0 引　言

当今舰船的大型化及轻量化发展趋势对船体结构设计提出更高要求，经常需要在船体横梁、纵桁等构件的高腹板上开孔，这将严重破坏支撑构件的连续性。当构件受到均布或集中载荷时，开孔周边应力一般远大于其他位置，容易引起局部破坏。此外，开孔严重削弱腹板截面尺寸，构件抗剪性能远小于实腹梁，剪力次弯矩的影响不能忽略，在船舶结构设计时应充分重视^[1]。各大船级社规范均对开孔的位置和大小做出了规定和要求，但由于船舶主要构件受力情况复杂，并且开孔后截面发生变形，所以很难得到精确的理论解析公式。Allftlish等^[2]把蜂窝梁比拟为费氏空腹桁架，提供了研究空腹梁强度的概念模型和理论方法，并已成为许多国家制定其相应规范的重要参考。Liu和Chung等^[3-7]采用空腹桁架理论分析了开孔桁材的屈服性能。苏益声等^[8-10]提出蜂窝梁的强度简化计算方法。蒋赘^[11]分析了受集中载荷作用的圆孔空腹梁强度问题；蒋彩霞^[12]将腰圆形开孔附近应力的理论结果与有限元结果进行了对比分析。

本文分析开孔纵向位置、开孔长度和高度等参数对孔周强度的影响，并且在费氏空腹桁架理论的基础上，借助有限元分析及数值拟合方法对该理论作适当修正，解决该理论应用于船体构件高腹板开孔强度计算中误差偏大的问题，使计算过程快速简便，理论结果更加准确，具有实际工程应用价值。

1 费氏桁架理论

费氏空腹桁架理论通常用于蜂窝梁内力计算，已被多国规范使用。蜂窝梁受力后，其内力分布较实腹梁更为复杂，费氏空腹桁架理论对其进行适当简化，提出4个假设：

1）截面受力变形符合平截面假设；

2）在剪力作用下，空腹截面处的剪力按刚度分配到上、下2个T形截面；

3）剪力引起的次弯矩反弯点位于梁桥中点和墩腰处；

4）纯弯矩作用下，弯曲正应力均匀分布在空腹截面上。

1.1 孔周正应力计算方法

外载荷作用下，开孔周边正应力 $\sigma $ 由弯矩引起的正应力 ${\sigma _{M\varphi }}$ 和剪力次弯矩引起的正应力 ${\sigma _{V\varphi }}$ 两部分组成，如下式：

$ \begin{split} & \sigma = {\sigma _{M\varphi }} + {\sigma _{V\varphi }}\text{，}\\ & {\sigma _{M\varphi }} = \frac{{{M_x}}}{{{h_c}{A_T}}},{\rm{ }}{\sigma _{V\varphi }} = \frac{{jk{V_x}}}{{{W_{T\min }}}}\text{。} \end{split} $

(1)

式中： ${M_x}$ ， ${V_x}$ 为计算截面受到的弯矩、剪力； ${A_T}$ 为开孔处上、下T形截面面积； ${h_c}$ 为开孔处上、下T形截面的形心距离； $j$ 为剪力分配系数，若计算上方T形截面，则 $j = {I_{\text{上}}}/({I_{\text{上}}} + {I_{\text{下}}})$ ；若计算下方T形截面，则 $j = {I_{\text{下}}}/({I_{\text{上}}} + {I_{\text{下}}})$ ， ${I_{\text{上}}}$ 、 ${I_{\text{下}}}$ 分别为上下T形截面惯性矩； $k$ 为梁桥跨度的一半； ${W_{T\min }}$ 为T形截面最小截面模量。

图1为理论计算示意图。

1.2 孔周剪应力计算方法

截面处剪应力计算如下式：

$ \tau = \frac{{j{V_x}{S_T}}}{{{t_w}{I_T}}} \text{。} $

(2)

式中： ${t_w}$ 为腹板厚度； ${I_T}$ 为上、下T形截面惯性矩； ${S_T}$ 为上、下T形截面面积矩，当形心位于腹板内时，取中性轴以上部分面积对中性轴的面积矩；当形心位于翼缘内时，取腹板自由端至翼缘内表面之间腹板面积对形心轴的面积矩。

2 有限元模型建立

选取某尺寸为T500×8/200×10纵桁作为分析对象，跨距为6 200 mm，带板宽度取纵骨间距841 mm，厚度取为10 mm，纵桁尺寸参数及含义如图2所示。开孔垂向中心与腹板垂向中心对齐，形状为腰圆孔（长轴平行于纵桁跨距方向），开孔参数共3个，x为孔的纵向位置，即开孔中心距梁端部的距离，a，b分别为孔的长度和宽度的一半。由x，a，b可以组合成一系列开孔方案，利用有限元方法对此进行逐一分析。

针对孔边区域进行局部细化，网格尺寸控制在10 mm左右，远离孔边区域控制在20 mm左右。通过比较不同单元模拟方式的有限元计算结果可以得到，带板和面板均采用梁单元模拟，腹板采用板单元模拟得到的应力最大，故基于安全性考虑，本文采用此种单元模拟方式。材料的弹性模量 $E = 2.06 \times {10^6}\;{\rm{MPa}}$ ，泊松比 $\mu = 0.3$ 。边界条件设置为两端固定支持，纵桁受横向均布载荷，大小为 $q = 1\;{\rm N/mm}$ 。图3给出模型网格、边界条件和载荷情况。

3 腹板孔周应力分析 3.1 计算工况

本文选用无量纲参数分析开孔纵向位置和开孔大小对孔边强度的影响以排除不同尺寸型材的影响。孔的纵向位置对应无量纲参数为 $\eta = x/L$ ，取值为0.125～0.5（左右对称），步长为0.062 5，具体如图4所示；孔的大小对应的无量纲参数为 $\gamma = 2b/H$ ，取值为0.1～0.7，步长为0.1。开孔长宽比对应的无量纲参数为 $\mu = a/b$ ，分别取1.5，2，2.5，3。

3.2 孔周应力分布特点

图5为纵桁腹板孔周 $mises$ 应力云图。可以看出若开孔位于跨中，最大应力出现位置与空腹正截面夹角基本为0；而开孔位于非跨中处，最大应力出现位置与空腹正截面之间存在一定角度。

图6～图8为各开孔参数对孔周最大 $\rm mises$ 应力的影响情况。对比图中结果可以看出：

1）孔周最大 $\rm mises$ 应力一般出现在开孔四角处，存在明显的应力集中现象。当开孔位于跨中时， $\rm mises$ 应力沿腹板高度方向线性分布，应力分布更接近纯弯曲情况。

2）开孔的纵向位置越靠近梁端部，孔周最大mises应力值越大。这是由于固支梁两端剪力作用较大，使得剪力次弯矩引起的正应力显著增大从而导致mises应力显著增大。

3）开孔的高度越大，孔周最大mises应力值越大。这是由于开孔严重削弱腹板截面，使得剪应力增大导致mises应力随之增大。

4）开孔的长宽比越大，孔周最大mises应力越大。主要由于剪力次弯矩与开孔长度近似呈线性关系，当开孔长度增大时，剪力次弯矩相应增加，导致孔周正应力增加。

通过对比理论结果与有限元结果可知，两者趋势相符，但数值偏差较大，尤其对于开孔在跨中位置及大开孔情况下，误差可能达到81.31%。这也意味着不便于将费氏空腹桁架理论直接应用于船体结构腹板开孔强度的计算，需要对其进行合理修正。

4 费氏空腹桁架理论修正

费氏空腹桁架理论公式的特点在于：1）需要分别计算孔边的正应力和剪应力，并假定正应力由弯矩和剪力引起的两种成分组成；2）需要计算出开孔全周（即360°方向）的应力，然后对比得到最大应力。

针对上述特点，结合有限元分析结果，对费氏空腹桁架理论公式进行简化和修正，使其更适用于本文分析对象。

4.1 孔周最大应力分析

观察有限元分析结果可以发现，孔周最大mises应力出现位置与最大正应力位置相同。以 $a/b = 2, $ ${\rm{ }}2b/H = 0.5,{\rm{ }}x/L = 0.312$ 工况为例，图9为开孔腹板应力云图，孔周最大正应力为3.34 MPa，最大剪应力为0.79 MPa，可见孔周最大mises应力以正应力成分为主，最大正应力一定程度上能够代表最大mises应力，因此本文着重考虑针对费氏空腹桁架理论中的孔周正应力计算公式进行修正，剪应力暂不作修正处理。

4.2 最大正应力位置分析

采用最大正应力位置所处象限和与空腹梁正截面的夹角 $\varphi $ 这2个参考量描述孔周最大正应力具体位置，象限定义方法见图10所示。

图11为 $a/b = 2$ 对应的49个工况下有限元分析得到的夹角 $\varphi $ 的统计结果。

可以发现有限元分析得到的 $\varphi $ 在0°～45°范围内，当开孔越靠近梁端部及开孔高度越小时， $\varphi $ 值越大。在 $x/L = 0.{\rm{25}}$ 和 $x/L = 0.375$ 两个位置处， $\varphi $ 发生较大变化，并且在 $x/L = 0\sim0.25$ ， $0.{\rm{25}}\sim0.375$ ， $0.375\sim0.5$ 三段范围内服从各自的分布规律。因此，在利用理论公式计算时，可先将 $\varphi $ 考虑为随 $x/L$ 变化的分段函数，即 $\varphi {\rm{ = }}f(x/L)$ 。通过这种简化方法能够将 $\varphi $ 固定下来，相较费氏桁架理论需要计算开孔全周应力，这种简化手段更为快速简便。由于 $\varphi $ 的选取造成的误差将通过添加修正系数的方式予以弥补。

本文主要针对大开孔（ ${\rm{2}}b/H$ 较大）腹板孔周强度进行评估，故得到 $\varphi $ 值的选取方法如下：

1） $x/L = 0\sim0.25$ 时， $\varphi = 15^\circ $ ，位于第一象限；

2） $x/L = 0.{\rm{25}}\sim0.375$ 时， $\varphi = 15^\circ $ ，位于第二象限；

3） $x/L = 0.375\sim0.5$ 时， $\varphi = ( - 120 \times (x/L) + 60)^\circ $ ，位于第三象限。

4.3 理论公式修正

费氏桁架理论假定正应力分别由弯矩和剪力引起，本文同样采用对 ${\sigma _{M\varphi }}$ ， ${\sigma _{V\varphi }}$ 两部分分别引入修正系数的方式，并认为修正系数与开孔位置及大小参数相关。采用Matlab中的Fitlm函数多元拟合方法对大量工况计算结果进行分析得到修正系数，定义无量纲均方根误差 $RMSE$ 用以表征拟合效果，详见式（3）。 $RMSE$ 越接近0，表明拟合效果越理想。

$ RMSE = \frac{{{{({{x'}_1} - {x_1})}^2} + {{({{x'}_2} - {x_2})}^2} + \cdots + {{({{x'}_n} - {x_n})}^2}}}{{{x_1} + {x_2} + \cdots + {x_n}}}\text{。} $

(3)

式中： ${x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}$ 为孔周最大正应力有限元值； ${x'_1},{x'_2}, \cdots ,{x'_n}$ 为孔周最大正应力修正后理论值。

拟合得到正应力理论修正公式如下：

$x/L = 0\sim0.25$ 时，

$ \begin{split} &{\sigma _{\text{修正理论值}}} = \left({\rm{101}}{\rm{.91}}\eta - \frac{{{\rm{0}}{\rm{.89}}}}{\gamma }\right){\sigma _{M\varphi }}+\\ &{\rm{( - 20}}{\rm{.06}}{\eta ^{\rm{2}}}{\rm{ - 12}}{\rm{.24}}\eta \gamma {\rm{ + 16}}{\rm{.26}}\eta ){\sigma _{V\varphi }}\text{；} \end{split} $

(4)

$x/L = 0.{\rm{25}}\sim0.375$ 时，

$ \begin{split} & {\sigma _{\text{修正理论值}}}{\rm{ = (621}}{\rm{.96}}{\eta ^{\rm{2}}}{\rm{ - 36}}{\rm{.7}}\eta \gamma {\rm{ - 192}}{\rm{.55}}\eta ){\sigma _{M\varphi }}+\\ & {\rm{ (13}}{\rm{.02}}{\eta ^{\rm{2}}}{\rm{ + 6}}{\rm{.8}}\eta \gamma {\rm{ - 10}}{\rm{.96}}\eta ){\sigma _{V\varphi }}\text{；} \end{split} $

(5)

$x/L = 0.375\sim0.5$ 时，

$ \begin{split} & {\sigma _{\text{修正理论值}}}{\rm{ = ( - 8}}{\rm{.52}}{\eta ^{\rm{2}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.49}}\eta \gamma {\rm{ + 5}}{\rm{.24}}\eta ){\sigma _{M\varphi }}+\\ & {\rm{ ( - 7}}{\rm{.65}}{\eta ^{\rm{2}}}{\rm{ - 4}}{\rm{.27}}\eta \gamma {\rm{ + 7}}{\rm{.96}}\eta ){\sigma _{V\varphi }}\text{。} \end{split} $

(6)

式中， ${\sigma _{M\varphi }}$ 和 ${\sigma _{V\varphi }}$ 由式（1）计算得到， $\varphi $ 参考4.2节简化方法选取。

表1为修正公式（5）～式（7）的拟合及修正效果。

由表可知，各分段的 $RMSE$ 均较小，数值拟合效果较佳。通过修正公式计算得到的理论值相较有限元值误差为5%左右，较修正前大幅度减小，即该修正公式能够较为准确地计算得到孔边最大正应力。

5 修正公式算例验证

为验证本文得到的修正公式能够适用于不同尺寸的高腹板开孔结构，本节选取某LNG船纵桁作为计算对象，进行算例验证。

5.1 验证工况

该桁材尺寸为T450×9/180×10，跨距为5 000 mm，带板宽度为800 mm，厚度为10 mm。纵桁两端设置固支边界条件，受横向均布载荷，大小为 $q = 1\;{\rm N/mm}$ 。

选取2种开孔长宽比（ $a/b = 2,{\rm{ }}2.5$ ）作为验证工况，其他开孔参数选取情况如表2所示。

5.2 验证结果分析

表3为孔周最大正应力修正前后的理论值与有限元值对比结果。

由表可知，修正后的理论值与有限元值的误差基本在5%以内，较修正前误差明显减小。本文提出的修正公式具有一定的普适性。

6 结　语

　　本文结合费氏空腹桁架理论和MSC PATRAN /NASTRAN有限元软件，开展船体结构腹板开孔强度简化分析方法研究。研究表明，本文提出的理论修正公式能够快速简便地计算出孔边最大正应力，并且大幅度提高理论公式的精确度，修正公式计算误差基本在5%左右，可用于船舶工程中对船体结构腹板开孔强度进行分析研究。