0 引　言

锚链是锚泊系统的重要组成部分，连接着锚和船体，其运动特征和张力变化可直接表征舰船的锚泊状态。锚链可分为铺底段和悬链段两部分。铺底段锚链铺放在海底，其摩擦力和锚抓力共同提供了锚泊力^[1]。悬链段锚链悬垂于海水中，底端的锚泊力和顶端的舰船所受外力综合作用于此。舰船锚泊时，悬链段时刻受到海流、波浪等海洋环境因素的影响^[2]，其运动特征和张力变化具有动态特性，在一定条件下将引起铺底段的应力变化，使舰船面临走锚的威胁，因而一直是舰船锚泊安全领域研究的热点。

当前，国内外学者多采用静力计算法对锚链悬链段进行分析，如经典悬链线方程法、抛物线理论以及分段外推法等^[3-7]。经典悬链线方程属于超越方程，构建模型时通常将锚链的悬链段近似简化为抛物线^[3]，未考虑海流对锚链的作用力和锚链自身的弹性形变^[4]，与真实的锚链受力情况相差较大，特别是无法分析海流对于舰船走锚的影响。文献[5-6]在锚链动力性能分析中考虑了海流对锚链的作用力和锚链弹性形变的因素，但建模时同样也采用了易于计算的静力分析方法，忽略了水流力和弹性形变。现有文献在分析锚链运动特征和张力变化时，往往忽略海流等环境因素的干扰，尤其是在海流流速较大的情况下，计算结果将与实际情况存在一定的误差^[7]。

鉴于此，本文基于拖曳系统运动模型的建立思想^[8]，采用集中质量法构建计入海流作用的锚链运动模型，进而进行仿真分析。

1 系统稳态模型构建

本文仅考虑海流为定常流的情况，即海流中任何一点的压力、速度和密度等物理量都不随时间变化，且速度的方向始终由船首指向船尾。为简化分析，对锚链悬链段作如下假定：锚链为理想的弹性缆索，锚链上的张力和应变具有一一对应关系；忽略锚链的扭转运动，即锚链微元仅作3个自由度的运动；锚泊系统在运行过程中，锚链位于水面以下，并一直处于张紧状态，张力始终大于0，即不考虑锚链存在松弛时的情况；锚链的横截面是圆形。

1.1 坐标系建立

为了便于分析锚链运动特征，引入2个右手坐标系，分别是惯性坐标系和锚链局部坐标系，其方向如图1所示。惯性坐标系 $\left( {i,j,k} \right)$ 的原点为锚链顶端与舰船的连接处， $i$ 方向与海流方向相同，由船首指向船尾， $j$ 方向平行于水平面并指向舰船右舷， $k$ 方向垂直向下；锚链局部坐标系 $\left( {t,n,b} \right)$ 的原点为锚链微元的中心， $t$ 为锚链的切线方向， $n$ 和 $b$ 为2个法向向量，且 $b$ 在 $i$ 和 $j$ 的平面内。

以欧拉角表示锚链上任一点相对于惯性坐标系的姿态角，其中， $\psi $ 表示偏航角， $\theta $ 表示纵倾角， $\varphi $ 表示横倾角。锚链上任意一点在空间中的位置信息，取决于该点在惯性坐标系中的3个坐标分量 $\left( {i,j,k} \right)$ ，以及该点的锚链局部坐标系相对于惯性坐标系的3个姿态角。在锚链上任意一点，其局部坐标与惯性坐标系之间的关系如下式：

$\left( {t,n,b} \right) = \left( {i,j,k} \right)\left[ D \right] {\text{。}} $

(1)

其中， $\left[ { D} \right]$ 为锚链的局部坐标与惯性坐标之间的转换矩阵，通常情况下不考虑锚链的扭转情况，取 $\varphi = \dfrac{{\text{π}} }{2}$ ，则具体表达式为：

$\left[ { D} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta \cos \psi }&{ - \cos \theta \sin \psi }&{\sin \theta } \\ {\sin \theta \cos \psi }&{ - \sin \theta \sin \psi }&{ - \cos \theta } \\ {\sin \psi }&{\cos \psi }&0 \end{array}} \right]{\text{。}}$

(2)

1.2 舰船水动力模型

舰船与周围的海流有相对运动时，船体就会受到海流的作用力，这种作用力称为水动压力。船在锚泊时经常会受到水动压力的影响，水动压力的大小可按下式求取^[9]：

$ {F_w} = \frac{1}{2}{\rho _w}{C_w}LdV_w^2 {\text{。}} $

(3)

其中： ${F_w}$ 为水动压力； ${\rho _w}$ 为海水密度； $L$ 为船长； $d$ 为舰船吃水； ${V_w}$ 为相对流速； ${C_w}$ 为流压力系数，一般表示为漂角的函数，可通过模型试验数据得到。

1.3 锚链运动数学模型

锚链的运动方程参考Ablow的模型^[10]。假设锚链为连续的细长圆柱状缆索，材质均匀且具有各向同性，在整个锚链长度上平滑连续^[11]。在海流作用下达到稳态时，锚链上任意一点的位置和张力不随时间变化。根据锚链在海洋中的实际情况，其受力可以分为重力与浮力的合力、流体水动力以及张力。根据锚链上任意一点的力平衡，可得矢量方程式：

$ \frac{\partial }{{\partial S}}{{T}} + {{W}} + {{F}} = 0 {\text{。}} $

(4)

其中： $S$ 表示拉伸后锚链的弧长； ${{T}}$ 为锚链的张力； ${{W}}$ 为单位长度锚链所受重力与浮力的合力； ${{F}}$ 为单位长度锚链所受流体水动力。

定义矢量 ${ y}\left( s \right) = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} T&\alpha &\beta \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$ ，其中 $\alpha $ 和 $\beta $ 为锚链局部坐标与惯性坐标之间的方向角； $s$ 表示锚链未拉伸时的弧长， $S$ 与 $s$ 之间的相互关系为 $S' = \dfrac{{\partial S}}{{\partial s}}$ （其中′表示对弧长的微分），若考虑锚链的弹性形变，即具有线性拉伸特性，则有 $S' = \dfrac{{\partial S}}{{\partial s}} = \dfrac{{1 + T}}{{EA}} = 1 + eT$ ，其中 $E$ 为锚链的弹性模量， $ A$ 为锚链的横截面积，式（4）可改写成：

$ \frac{\partial }{{\partial s}}{{T}} + S'\left( {{{W}} + {{F}}} \right) = 0 {\text{。}} $

(5)

1.3.1 锚链的重力与浮力

${{W}}$ 为单位长度锚链所受重力与浮力的合力，方向竖直向下：

$ {{W}} = \frac{{\left( {m - {\rho _w}A} \right)g{{k}}}}{{S'}} {\text{。}} $

(6)

其中： $m$ 为单位长度锚链的质量； ${\rho _w}$ 为海水密度； $g$ 为重力加速度。

将式（2）代入式（6）中，得到在锚链局部坐标系下的展开式：

$ S'{{W}} = - {w_1}\left( {\sin \theta {{t}} + \cos \theta {{n}}} \right) {\text{。}} $

(7)

其中， ${w_1} = \left( {m - {\rho _w}A} \right)g$ 。

1.3.2 锚链的流体水动力

将锚链截面等效为圆截面，其单位长度所受流体水动力为：

$ \begin{split} {{F}} =\,& - \frac{1}{2}{\rho _w}d({\text{π}} {C_T}{{U}} \cdot {{t}}\left| {{{U}} \cdot {{t}}} \right|{{t}} + \\ & {C_N}\left| {{{U}} - ({{U}} \cdot {{t}}){{t}}} \right|({{U}} - ({{U}} \cdot {{t}}){{t}})) {\text{。}} \end{split} $

(8)

其中： $d$ 为拉伸后的等效直径， $d = \sqrt {\dfrac{{4A}}{{{\text{π}} S'}}} $ ，与未拉伸的等效直径关系为 ${d_0} = d\sqrt {S'} $ ； ${C_T}$ 和 ${C_N}$ 为锚链的切向和法向阻尼系数； ${{U}}$ 为拖缆上点相对于流体的速度。

引入符号 ${C_t} = \dfrac{1}{2}{\rho _w}{d_0}{C_T}$ ， ${C_n} = \dfrac{1}{2}{\rho _w}{d_0}{C_N}$ ，则有：

$ \begin{split} S'{{F}} =\,& - \frac{1}{{\sqrt {1 + eT} }}({\text{π}} {C_t}{U_t}\left| {{U_t}} \right|{{t}} + \\ & {C_n}{U_n}\sqrt {U_n^2 + U_b^2} {{n}} + {C_n}{U_b}\sqrt {U_n^2 + U_b^2} {{b}}) {\text{。}} \end{split} $

(9)

其中： ${U_t}$ ， ${U_n}$ 和 ${U_b}$ 为锚链局部坐标系下的3个速度分量。

1.3.3 锚链的张力

锚链的张力按下式进行展开：

$ \frac{\partial }{{\partial s}}{{T}} = \left( {T{{t}}} \right)' = T'{{t}} + T\theta '{{n}} - T\psi '\cos \theta {{b}} {\text{。}} $

(10)

1.3.4 锚链平衡方程

根据受力平衡，依据上文进行的锚链受力分析，所有作用力之和为0的原则，分别在锚链局部坐标系的3个方向上建立锚链动力平衡方程，具体表达式如下：

$ \left\{ \begin{array}{l} T' - {w_1}\sin \theta - \sqrt {1 + eT} \pi {C_t}{U_t}\left| {{U_t}} \right| = 0 {\text{，}} \\ T\theta ' - {w_1}\cos \theta - \sqrt {1 + eT} {C_n}{U_n}\sqrt {U_n^2 + U_b^2} = 0{\text{，}} \\ - T\psi '\cos \theta - \sqrt {1 + eT} {C_n}{U_b}\sqrt {U_n^2 + U_b^2} = 0 {\text{。}} \end{array} \right. $

(11)

锚链在海流作用下的运动控制方程可写成如下的微分方程：

$ M\frac{{\partial y}}{{\partial s}} = Q {\text{。}} $

(12)

将锚链上任一点的位置 ${{r}}$ 对链长求导：

$ {{r}}' = x'{{i}} + y'{{j}} + z'{{k}} = \left( {1 + e} \right){{t}} {\text{，}} $

(13)

即可得到锚链上任意一点惯性坐标 $\left( {x,y,z} \right)$ 的微分表达：

$\left\{ \begin{array}{l} x' = \left( {1 + e} \right)\cos \alpha \cos \beta {\text{，}} \\ y' = - \left( {1 + e} \right)\sin \alpha \cos \beta {\text{，}} \\ z' = - \left( {1 + e} \right)\sin \beta {\text{。}} \\ \end{array} \right.$

(14)

当应变 $e$ 和角度 $\alpha $ 和 $\beta $ 已知时，可对链长 $s$ 积分求 $\left( {x,y,z} \right)$ 。

1.4 边界条件

为了求解微分方程，需要确定边界条件。锚链底端为铺底段，包含了3个边界条件。根据稳态时受力平衡，锚链底端张力等于锚泊船所受海流水动力和悬链段锚链所受海流力之和，考虑到悬链段锚链所受海流力相比于锚泊船所受海流水动力极小，可以将其忽略。此外，底端锚链微元局部坐标系相对于惯性坐标系的2个方向角固定，即得到3个边界条件。3个边界条件的初值设定原则如下：根据舰船的水动力模型求解出锚泊船所受海流水动力，作为底端锚链微元张力初值；由于底端锚链微元水平铺在海底，其方向角分别为 $\alpha = {\text{π}} $ 和 $\beta = 0$ 。由初始条件逐步求出稳态时锚链上各微元的 $T$ ， $\alpha $ 和 $\beta $ ，由式（14）求出微元在惯性坐标系中的位置 $\left( {x,y,z} \right)$ ，得到锚链的姿态和张力。

1.5 铺底段处理过程

舰船抛锚时，通常设置有足够长度的锚链以便有一段铺底锚链，使锚不产生上拔力，锚链会有一部分是直接铺放在海底^[12]。锚链的悬链段可以采用上述模型进行分析，而铺底段显然不符合上述模型理论，一般可以近似地把这部分视为张力恒定的直线段计算。悬链段与铺底段的分界点随着锚链受力、水深和海流流速的不同而不断改变，确定分界点十分必要。对于这个问题，可以先放出与水深相等长度的悬链段，在一定流速的海流作用下，假设悬链段顶端微元位于水面，悬链段底端微元满足铺底条件，即方向角 $\beta = 0$ ，计算底端微元的位置是否到达海底，如果不能到达，说明此时悬链段底端微元并未到底，则增大悬链段长度，继续计算底端微元的位置，如此循环，当底端微元能够达到海底时，此处的微元即为悬链段与铺底段的分界点。

2 仿真结果分析

基于上文建立的锚链运动模型，使用4阶龙格库塔法求解微分方程，对海流作用下锚链的运动特征和张力进行仿真，并与悬链线方程法进行比较和分析。

2.1 参数设置

假设锚链长度足够使之存在铺底段，选用的海水、锚泊船和锚链等的物理参数设置见表1。

2.2 锚链运动模型验证分析

为比较海流的存在对锚链特征的影响，在以下情况下分别对本文所建立锚链运动模型和悬链线方程法^[13-14]进行仿真和结果分析：

1）选择海流速度2 m/s，抛锚深度30 m，2种方法得到的锚链水中姿态和张力，结果如图2所示。

2）选择抛锚深度30 m，不同海流流速下2种方法得到的锚链顶端位移和张力，结果如图3和图4所示。

3）选择海流流速 2m/s，不同抛锚深度下2种方法得到的锚链顶端位移和张力，结果如图5和图6所示。

2.2.1 相同锚泊环境下锚链特征验证分析

由图2可知，采用本文锚链运动模型得到的悬链段水平长度为84.61 m，而采用悬链线方程得到的悬链段水平长度为81.27 m，二者存在差异。同时，随着距海底高度的增大，锚链张力逐渐增大，锚链受到的海流影响不断累积，2种方法结果的差值也逐渐增大，在达到水面时的结果分别为81.11 kN和76.03 kN，差值大于 $6\% $ ，已经较明显，这在工程上不能忽略。

2.2.2 不同海流流速下锚链特征验证分析

由图3和图4可知，在相同抛锚深度下，海流流速不大时，海流对锚链顶端位移和张力的影响并不大，但随着流速的增大，海流对锚链的影响逐渐增大，2种情况下的差值越来越大。这是因为在海流和重力作用下，锚链所受的海流力和发生的弹性形变会随着流速的增大而增大，锚链悬链段在不断地张紧。据此可知，对于锚泊船来说，在海流流速较大时，采用悬链线方程计算的锚链顶端位移和张力会导致结果比实际情况小，这是不安全的。因而，在不同海流流速下不能忽略海流作用力对锚链的影响。

2.2.3 不同抛锚深度下锚链特征验证分析

由图5和图6可知，在相同海流流速下，抛锚深度对锚链顶端位移和张力的影响一直较大，且随着抛锚深度的增大，影响更加显著，在抛锚深度30 m时，顶端位移相差4.11%，顶端张力相差6.68%。原因在于当抛锚深度增大时，锚链阻水面积相应增大，导致流体作用力增加，对锚链顶端的位移与张力产生一定影响。因而，在不同抛锚深度下也不可忽略海流作用力对锚链的影响。

2.3 锚链运动模型数值分析

为检验海流速度对锚链姿态和张力的影响，在本文所建立的锚链运动模型基础上，选定抛锚深度为30 m，海流流速分别为0.5 m/s，1 m/s，1.5 m/s和2 m/s，分析锚链的姿态和张力变化情况，结果如图7和图8所示。

2.3.1 海流作用下的锚链姿态分析

由图7可知，抛锚深度相同时，随着海流流速的增大，锚链被拉起的长度逐渐增大，铺放海底的锚链相应缩短。这一过程也体现了海流是造成锚泊船走锚的重要因素，在进行建模时必须考虑海流作用。

2.3.2 海流作用下的锚链张力分析

由图8可知，抛锚深度相同时，随着海流流速的增大，锚链各点的张力逐渐增大，且顶端锚链的张力增量最大，这是因为海流流速增大导致了锚泊船受到的水动力增大，底端锚链初始张力增大，同时锚链被拉起，悬链段长度增大，所受海流作用力和重力的累积效果越来越显著。

3 结　语

本文针对传统锚链静力计算方法未计入海流作用这一问题，建立了海流作用下的锚链运动模型，对锚链悬链段的姿态和张力等进行仿真，并与悬链线方程方法比较和分析，得出以下结论：

1）海流作用力会对锚链运动产生影响，且随着海流流速的增大，海流对锚链的影响逐渐显著，特别是海流对锚链顶端张力、顶端位移的影响不可忽略。

2）当抛锚深度不变时，随着海流流速的增大，锚链悬链段的长度、顶端位移和锚链各点的张力逐渐增大，且顶端锚链的张力增量最大。