0 引　言

随着人类社会的发展，陆地上的资源将消耗殆尽，世界上各国对海洋资源的开发与利用逐渐重视起来，而进行海洋资源的开发与利用离不开先进的海洋监测技术与设备。水下滑翔机（autonomous underwater glider，AUG）^[1-4]作为一种新型的水下航行器，对能源的需求量小，可以高效率、长时间地在海洋中航行，又因其成本和维护费用较低，可以重复使用和大量投放，已在大范围海洋探索和监测中发挥出越来越重要的作用。

相较于由回转体、水翼和操纵面组成的传统布局水下滑翔机，翼身融合（blended-wing-body，BWB）水下滑翔机具有扁平翼型剖面形状的机身，且水翼平滑地与机身融合在一起，可大幅提高升阻比。但翼身融合水下滑翔机的外形曲面复杂，机身与机翼连接处运用了大量的曲线、曲面平滑过渡，很难用简单的外形参数描述，因此，如何进行精细化的参数化建模是对其进行水动力性能分析和设计的先决条件。

谷海涛等^[5]将描述水下滑翔机机翼的形状尺寸参数定义为状态变量，直接驱动CATIA参数化程序完成了滑翔机外形的几何参数化建模；孙春亚等^[6]选择UG作为开发平台，针对翼身融合水下滑翔机的平面形状和翼型相对厚度分布进行了基于CAD的参数化研究，完成了翼身融合水下滑翔机外形的参数化建模。此外，Li等^[7]也使用CST（class function-shape function transformation）方法对翼身融合水下滑翔机的翼型截面进行了参数化，进而实现翼身融合水下滑翔机外形的建模。上述学者对水下滑翔机的基本外形特征进行了参数化，提取了一些关键的几何参数化变量。本文在以上成果的基础上，对翼身融合滑翔机平面外形以及各翼型截面这类复杂曲线曲面进行精细的参数化，从而实现翼身融合滑翔机外形的精细化建模，更充分挖掘翼身融合构型的高升阻比潜力。

本文基于非均匀有理B样条（non-uniform rational b-spline，NURBS）方法，依次从翼型剖面曲线和几何外形曲面的NURBS参数化入手，提出一种精细化的参数化建模方法，可通过操纵局部或全局参数化变量实现翼身融合水下滑翔机外形的局部或整体变形。

1 翼身融合水下滑翔机外形特征

理论上讲，水下滑翔机的升力越大，阻力越小，其滑翔效率越高。借鉴于航空飞机新一代翼身融合布局^[8]的高升阻比优势，翼身融合水下滑翔机的机身采用扁平椭球形状，并与机翼进行平滑地连接（见图1），以大幅提高升力，进而提高升阻比。

此外，为了获得更高的升阻比，翼身融合水下滑翔机外形有一个显著特性：每一个横截面都是由翼型剖面组成，如图1中曲线剖面所示。

2 基于NURBS的外形参数化 2.1 NURBS建模基础理论

NURBS曲线、曲面建模技术^[9-10]是现代工业几何建模中最为广泛流行的技术。相较于B样条方法，其能精确表示圆锥截线及初等解析曲面，克服了B样条曲线在进行产品几何定义时的不确定性，使曲线曲面具有统一的数学描述形式。目前，基于NURBS曲面建模技术成为最为广泛流行的技术，并被广泛应用于汽车、飞机、船舶等工业设计及制造领域以及其他高新科技领域。

$p$ 阶NURBS曲线的定义如下：

$ C(u) = \frac{{\displaystyle\sum\nolimits_{i = 0}^n {{N_{i,p}}(u){w_i}{P_i}} }}{{\displaystyle\sum\nolimits_{i = 0}^n {{N_{i,p}}(u){w_i}} }}, \;\;a \leqslant u \leqslant b {\text{。}} $

(1)

其中： ${w_i}$ 为权值并且 ${w_i} > 0$ ； ${P_i}$ 为曲线的控制点； ${N_{i,p}}(u)$ 为曲线节点矢量 $U$ 上的 $p$ 阶B样条基函数，定义如下：

$ \begin{split} & {N_{i,p}}(u) = \dfrac{{u - {u_i}}}{{{u_{i + p}} - {u_i}}}{N_{i,p - 1}}(u) + \\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\dfrac{{{u_{i + p + 1}} - u}}{{{u_{i + p + 1}} - {u_{i + 1}}}}{N_{i + 1,p - 1}}(u) {\text{，}} \end{split} $

(2)

节点矢量 ${ U}(m + 1)$ 的表达式如下：

$ { U} = \left\{ {\underbrace {{\rm{0}},...{\rm{0}}}_{p + 1},{u_{p + 1}},...,{u_{m - p - 1}},\underbrace {{\rm{1}},...,{\rm{1}}}_{p + 1}} \right\} {\text{，}} $

(3)

对于在 $u$ 方向为 $p$ 阶、 $v$ 方向为 $q$ 阶的NURBS曲面定义如下：

$ \begin{split} &S(u,v) = \frac{{\displaystyle\sum\nolimits_{i = 0}^n {\displaystyle\sum\nolimits_{j = 0}^m {{N_{i,p}}(u){N_{j,p}}(v){w_{i,j}}{P_{i,j}}} } }}{{\displaystyle\sum\nolimits_{i = 0}^n {\displaystyle\sum\nolimits_{j = 0}^m {{N_{i,p}}(u){N_{j,p}}(v){w_{i,j}}} } }} {\text{，}} \\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{ }} 0 \leqslant u,v \leqslant 1 {\text{。}} \end{split} $

(4)

其中： ${w_{i,j}}$ 为权值； ${P_{i,j}}$ 为曲面网格上的控制点； ${N_{i,p}}(u)$ 和 ${N_{j,p}}(v)$ 分别为节点矢量 $ U$ 和 $ V$ 上的 $p$ 阶B样条基函数； $ U$ 和 $ V$ 的表达式如下：

$ { U} = \left\{ {\underbrace {0,...0}_{p + 1},{u_{p + 1}},...,{u_{r - p - 1}},\underbrace {1,...,1}_{p + 1}} \right\} {\text{，}} $

(5)

$ { V} = \left\{ {\underbrace {0,...0}_{q + 1},{u_{q + 1}},...,{u_{s - q - 1}},\underbrace {1,...,1}_{q + 1}} \right\} {\text{。}} $

(6)

NURBS可以通过控制网格点 ${P_{i,j}}$ 和权值 ${w_{i,j}}$ 方便地控制曲线的形状。综合来看，NURBS方法在复杂几何外形参数化建模方面具有精度高、效率高的特点，且容易进行曲线曲面的修改，进而能更好地控制创建的几何模型，让复杂外形的参数化建模效果更为逼真、形状更为生动。

2.2 翼型剖面曲线的NURBS参数化

设 $\left\{ {{Q_k}({x_k},{y_k},{z_k}){\rm{|0}} \leqslant k \leqslant l} \right\}$ 为给定初始翼型上的 $l + 1$ 个型值点（见图2的数据点），且以翼型尾缘为起止点在翼型轮廓线上依序排列。

试图寻找一条如下的 $p$ 次非有理曲线：

$ C(u) = \sum\limits_{i = 0}^n {{N_{i,p}}} (u){P_i}, \;\;{\rm{0}} \leqslant u \leqslant {\rm{1}} {\text{。}} $

(7)

在满足条件： ${Q_0} = C(0), {Q_l} = C(1)$ 的情况下，剩余的数据点 ${Q_k}$ 以最小二乘的形式被逼近，关于 $n + 1$ 个变量 ${P_i}$ 达到最小，具体表达式为：

$ {\sum\limits_{k = 1}^{l - 1} {\left| {{Q_k} - C(\overline {{u_k}} )} \right|} ^2} {\text{。}} $

(8)

其中， $\left\{ {\overline {{u_k}} |0 \leqslant k \leqslant l} \right\}$ 是预先给出的参数值。

具体的翼型剖面曲线拟合过程如下：

1）需要给出每一个型值点 ${Q_k}$ 对应的参数值 $\overline {{u_k}} $ 。通常有3种选择 $\overline {{u_k}} $ 的方法：均匀参数化、弦长参数化和向心参数化。考虑翼型头部的型值点曲率较大，而向心参数化在数据点急转弯变化时能得到更好的结果，故此处选用向心参数化方法将明显优于前2种方法。向心参数化方法的具体描述为：

$ d = \sum\limits_{k = 1}^l {\sqrt {\left| {{Q_k} - {Q_{k - 1}}} \right|} } ,\;\;\overline {{u_0}} = 0,\overline {{u_l}} = 1 {\text{，}} $

(9)

$ \overline {{u_k}} = \overline {{u_{k - 1}}} + \frac{{\sqrt {\left| {{Q_k} - {Q_{k - 1}}} \right|} }}{d}, k = 1,2, \cdots ,l - 1 {\text{。}} $

(10)

2）按如下方法选定节点矢量U，保证每一个节点区间内至少包含一个 $\overline {{u_k}} $ 。

$ d = \frac{{l + 1}}{{n - p + 1}}, i = {\rm{int}} (jd), a = jd - i {\text{,}} $

(11)

$ {u_{p + j}} = (1 - a)\overline {{u_{i - 1}}} + a\overline {{u_i}} , j = 1,2, \cdots ,n - p {\text{。}} $

(12)

3）建立一个含 $(n - 1)$ 个未知量和 $(n - 1)$ 个方程的线性方程组：

$ ({{ N}^{\rm T}}N)P = R {\text{。}} $

(13)

其中， ${ N}$ 为由标量组成的 $(m - 1) \times (n - 1)$ 的矩阵：

$ { N} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{N_{1,p}}(\overline {{u_1}} )}& \cdots &{{N_{n - 1,p}}(\overline {{u_1}} )} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {{N_{1,p}}(\overline {{u_{l - 1}}} )}& \cdots &{{N_{n - 1,p}}(\overline {{u_{l - 1}}} )} \end{array}} \right]{\text{；}} $

(14)

$R$ 为由 $n - 1$ 个点组成的列向量：

$ R = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{N_{1,p}}(\overline {{u_1}} ){R_1} + \cdots + {N_{1,p}}(\overline {{u_{l - 1}}} ){R_{l - 1}}} \\ \vdots \\ {{N_{n - 1,p}}(\overline {{u_1}} ){R_1} + \cdots + {N_{n - 1,p}}(\overline {{u_{l - 1}}} ){R_{l - 1}}} \end{array}} \right]{\text{,}} $

(15)

${R_k}$ 的具体表达式如下：

$ {R_k} = {Q_k} - {N_{0,p}}(\overline {{u_k}} ){Q_0} - {N_{n,p}}(\overline {{u_k}} ){Q_l} {\text{,}} $

(16)

$P$ 为由中间 $n - 1$ 个控制点组成的列向量：

$ P = {[\begin{array}{*{20}{c}} {{P_1}}& \cdots &{{P_{n - 1}}} \end{array}]^{\rm T}} {\text{。}} $

(17)

求解式（13）即可得到拟合的NURBS翼型曲线，如图2所示。本文选择对应的控制点为翼型剖面曲线的NURBS参数化变量。

2.3 几何外形曲面的NURBS参数化

对于翼身融合水下滑翔机外形，基于上节翼型剖面的参数化方法，进一步实现几何外形曲面的NURBS参数化,详细过程如下：

1）分别使用 $x$ ， $y$ ， $z$ 表示弦向、垂直和展向方向，设2.2节定义的翼型剖面被定义在 $xy$ 平面上，且令 ${A_{ij}} = {[{x_{ij}},{y_{ij}},0]^{\rm T}}$ 表示第 $i$ 个翼型剖面上的第 $j$ 个控制点的坐标值。

2）在 $x$ ， $y$ 方向上使用偏移因子 ${\delta _i} = {[{x_{\delta i}},{y_{\delta i}},0]^{\rm T}}$ 改变第 $i$ 个翼型剖面控制点的坐标；采用比例因子 ${s_i}$ 改变第 $i$ 个翼型剖面的弦长或者厚度，尤其当翼型剖面的弦长为单位长度1时，在前缘使用比例因子 ${s_i}$ 将会改变弦长为 ${s_i}$ 。经过偏移和比例缩放后，第 $i$ 个翼型剖面上的第 $j$ 个控制点的坐标值 ${B_{ij}}$ 可通过下式表述：

$ {B_{ij}} = {s_i}({A_{ij}} - {\delta _i}) {\text{。}} $

(18)

3）使用 ${\theta _i} = {[{\alpha _i},{\beta _i},{\gamma _i}]^{\rm T}}$ 表示第 $i$ 个翼型剖面在 $x$ ， $y$ ， $z$ 轴上的旋转角度，则通过定义 ${[{\alpha _i},{\beta _i},{\gamma _i}]^{\rm T}}$ 的值，可实现 $xz$ 平面上的翼型剖面的控制点向三维空间的旋转变换，具体通过下式实现：

$ \begin{split} {C_{ij}} = \,& \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ 0&{\cos {\beta _i}}&{ - \sin {\beta _i}} \\ 0&{\sin {\beta _i}}&{\cos {\beta _i}} \end{array}} \right) \times \\ &\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\alpha _i}}&0&{\sin {\alpha _i}} \\ 0&1&0 \\ { - \sin {\alpha _i}}&0&{\cos {\alpha _i}} \end{array}} \right) \times \\ &\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\gamma _i}}&{ - \sin {\gamma _i}}&0 \\ {\sin {\gamma _i}}&{\cos {\gamma _i}}&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right){B_{ij}} {\text{。}} \end{split} $

(19)

4）使用 ${T_i} = {[{a_i},{b_i},{c_i}]^{\rm T}}$ 表示第 $i$ 个翼型剖面的放置位置，则第 $i$ 个翼型剖面的控制点在三维空间的坐标为：

$ {D_{ij}} = {C_{ij}} + {T_i} {\text{。}} $

(20)

5）基于NURBS的曲面方程，翼身融合水下滑翔机外形的数学表述式为：

$ S(u,v) = \sum\limits_{i = 0}^n {\sum\limits_{j = 0}^m {{R_{i,j}}(u,v){D_{ij}}} } {\text{。}} $

(21)

相应的NURBS参数化示意图如图3所示。

综上，翼身融合水下滑翔机外形的参数化建模过程主要通过局部和全局参数化变量对各个翼型剖面的控制点进行操控实现，详细介绍见表1。

通过改变表1中的局部和全局参数化变量，可实现翼身融合水下滑翔机外形的几何变形。

3 实例分析

为了分析所提参数化方法的可行性，以一型翼身融合水下滑翔机外形进行实例分析，其具体的外形参数化为：1）外形左右对称，共由11个翼型剖面组成，且每个剖面的型值点为NACA0012的型值点；2）各个翼型剖面的弦长从左至右依次为[0.10 m，0.18 m，0.28 m，0.57 m，0.96 m，1.45 m，0.96 m，0.57 m，0.28 m，0.18 m，0.11 m]，展长为3 m；3）各个翼型剖面的前缘位置坐标从左至右依次为：[（1.38，0.04，–1.50），（1.16，0.02，–1.20），（0.93，0.01，–0.90），（0.71，0.01，–0.60），（0.44，–0.01，–0.30），（0，0，0），（0.44，–0.01，0.30），（0.71，0.01，0.60），（0.93，0.01，0.90），（1.16，0.02，1.20），（1.38，0.04，1.50）]。

利用本文提出的精细参数化建模方法，设置各翼型剖面曲线通过15个控制点进行参数化，共165个控制点，可得到如图4所示的几何模型。

将第8个翼型剖面的第4个控制点的纵坐标增加0.03 m，可得到如图5所示的几何模型。因外形左右对称，为了突出对比效果，图5中左边为初始外形，右边为改变后的外形。

分别改变第4、第8个翼型剖面（左右对称）的弦长为0.90 m，可得到如图6所示的几何模型。同样，图6左边为初始外形，右边为改变弦长后的外形。

分析图5和图6可以发现，通过改变局部参数化变量和全局参数化变量可实现外形的局部和全局几何控制，进而实现翼身融合水下滑翔机外形的精细参数化建模和几何控制。

4 结　语

翼身融合水下滑翔机具有高升阻比特性，但如何实现精细化的外形参数化建模是充分挖掘其高升阻比潜力的先决条件。针对这一现状，本文提出了一种基于NURBS方法的翼身融合水下滑翔机外形参数化建模方法，该方法具有以下特性：

1）对各个翼型剖面的型值点，采用最小二乘法进行拟合，并将各个翼型剖面的控制点作为局部参数化变量，实现各个翼型剖面的局部几何控制。

2）利用偏移因子、比例因子、旋转角度、放置坐标等参数化变量对各个翼型剖面的控制点进行操控，并基于NURBS曲面方程进行参数化建模，实现翼身融合水下滑翔机外形的精细参数化建模及几何控制。