﻿ 翼身融合水下滑翔机外形的精细参数化建模
 舰船科学技术  2020, Vol. 42 Issue (2): 103-107 PDF

1. 西北工业大学 航海学院，陕西 西安 710072;
2. 江苏科技大学 船舶与海洋工程学院，江苏 镇江 212003

Fine parametric modeling of blended-wing-body underwater glider shape
CHEN Xu1, ZHANG Dai-yu2, WANG Peng1, WANG Zhi-dong2
1. School of Marine Science and Technology, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China;
2. School of Naval Architecture and Engineering, Jiangsu University of Science and Technology, Zhenjiang 212003, China
Abstract: Because of the requirement of fine parametric modeling for blended-wing-body underwater glider, a parametric modeling method of blended-wing-body (BWB) underwater glider based on non-uniform rational b-spline (NURBS) was proposed. Firstly, the least squares method is used to fit the data points of each airfoil section, and the control points of each airfoil section are taken as parametric variables. Then, the control points of each airfoil section are manipulated by the parametric variables such as offset, proportion, rotation and position, and the NURBS surface equations are used to describe the geometry of BWB underwater glider. Thus, the fine parametric modeling of the BWB underwater glider is realized. Finally, the validity of the proposed method is proved through a case study.
Key words: underwater glider     non-uniform rational b-spline (NURBS)     parametric modeling     least squares
0 引　言

1 翼身融合水下滑翔机外形特征

 图 1 翼身融合水下滑翔机外形 Fig. 1 Shape of BWB underwater glider

2 基于NURBS的外形参数化 2.1 NURBS建模基础理论

NURBS曲线、曲面建模技术[9-10]是现代工业几何建模中最为广泛流行的技术。相较于B样条方法，其能精确表示圆锥截线及初等解析曲面，克服了B样条曲线在进行产品几何定义时的不确定性，使曲线曲面具有统一的数学描述形式。目前，基于NURBS曲面建模技术成为最为广泛流行的技术，并被广泛应用于汽车、飞机、船舶等工业设计及制造领域以及其他高新科技领域。

$p$ 阶NURBS曲线的定义如下：

 $C(u) = \frac{{\displaystyle\sum\nolimits_{i = 0}^n {{N_{i,p}}(u){w_i}{P_i}} }}{{\displaystyle\sum\nolimits_{i = 0}^n {{N_{i,p}}(u){w_i}} }}, \;\;a \leqslant u \leqslant b {\text{。}}$ (1)

 $\begin{split} & {N_{i,p}}(u) = \dfrac{{u - {u_i}}}{{{u_{i + p}} - {u_i}}}{N_{i,p - 1}}(u) + \\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\dfrac{{{u_{i + p + 1}} - u}}{{{u_{i + p + 1}} - {u_{i + 1}}}}{N_{i + 1,p - 1}}(u) {\text{，}} \end{split}$ (2)

 ${ U} = \left\{ {\underbrace {{\rm{0}},...{\rm{0}}}_{p + 1},{u_{p + 1}},...,{u_{m - p - 1}},\underbrace {{\rm{1}},...,{\rm{1}}}_{p + 1}} \right\} {\text{，}}$ (3)

 $\begin{split} &S(u,v) = \frac{{\displaystyle\sum\nolimits_{i = 0}^n {\displaystyle\sum\nolimits_{j = 0}^m {{N_{i,p}}(u){N_{j,p}}(v){w_{i,j}}{P_{i,j}}} } }}{{\displaystyle\sum\nolimits_{i = 0}^n {\displaystyle\sum\nolimits_{j = 0}^m {{N_{i,p}}(u){N_{j,p}}(v){w_{i,j}}} } }} {\text{，}} \\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{ }} 0 \leqslant u,v \leqslant 1 {\text{。}} \end{split}$ (4)

 ${ U} = \left\{ {\underbrace {0,...0}_{p + 1},{u_{p + 1}},...,{u_{r - p - 1}},\underbrace {1,...,1}_{p + 1}} \right\} {\text{，}}$ (5)
 ${ V} = \left\{ {\underbrace {0,...0}_{q + 1},{u_{q + 1}},...,{u_{s - q - 1}},\underbrace {1,...,1}_{q + 1}} \right\} {\text{。}}$ (6)

NURBS可以通过控制网格点 ${P_{i,j}}$ 和权值 ${w_{i,j}}$ 方便地控制曲线的形状。综合来看，NURBS方法在复杂几何外形参数化建模方面具有精度高、效率高的特点，且容易进行曲线曲面的修改，进而能更好地控制创建的几何模型，让复杂外形的参数化建模效果更为逼真、形状更为生动。

2.2 翼型剖面曲线的NURBS参数化

$\left\{ {{Q_k}({x_k},{y_k},{z_k}){\rm{|0}} \leqslant k \leqslant l} \right\}$ 为给定初始翼型上的 $l + 1$ 个型值点（见图2的数据点），且以翼型尾缘为起止点在翼型轮廓线上依序排列。

 图 2 翼型剖面型值点与NURBS拟合曲线 Fig. 2 Data points of airfoil section and NURBS curve

 $C(u) = \sum\limits_{i = 0}^n {{N_{i,p}}} (u){P_i}, \;\;{\rm{0}} \leqslant u \leqslant {\rm{1}} {\text{。}}$ (7)

 ${\sum\limits_{k = 1}^{l - 1} {\left| {{Q_k} - C(\overline {{u_k}} )} \right|} ^2} {\text{。}}$ (8)

1）需要给出每一个型值点 ${Q_k}$ 对应的参数值 $\overline {{u_k}}$ 。通常有3种选择 $\overline {{u_k}}$ 的方法：均匀参数化、弦长参数化和向心参数化。考虑翼型头部的型值点曲率较大，而向心参数化在数据点急转弯变化时能得到更好的结果，故此处选用向心参数化方法将明显优于前2种方法。向心参数化方法的具体描述为：

 $d = \sum\limits_{k = 1}^l {\sqrt {\left| {{Q_k} - {Q_{k - 1}}} \right|} } ,\;\;\overline {{u_0}} = 0,\overline {{u_l}} = 1 {\text{，}}$ (9)
 $\overline {{u_k}} = \overline {{u_{k - 1}}} + \frac{{\sqrt {\left| {{Q_k} - {Q_{k - 1}}} \right|} }}{d}, k = 1,2, \cdots ,l - 1 {\text{。}}$ (10)

2）按如下方法选定节点矢量U，保证每一个节点区间内至少包含一个 $\overline {{u_k}}$

 $d = \frac{{l + 1}}{{n - p + 1}}, i = {\rm{int}} (jd), a = jd - i {\text{,}}$ (11)
 ${u_{p + j}} = (1 - a)\overline {{u_{i - 1}}} + a\overline {{u_i}} , j = 1,2, \cdots ,n - p {\text{。}}$ (12)

3）建立一个含 $(n - 1)$ 个未知量和 $(n - 1)$ 个方程的线性方程组：

 $({{ N}^{\rm T}}N)P = R {\text{。}}$ (13)

 ${ N} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{N_{1,p}}(\overline {{u_1}} )}& \cdots &{{N_{n - 1,p}}(\overline {{u_1}} )} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {{N_{1,p}}(\overline {{u_{l - 1}}} )}& \cdots &{{N_{n - 1,p}}(\overline {{u_{l - 1}}} )} \end{array}} \right]{\text{；}}$ (14)

$R$ 为由 $n - 1$ 个点组成的列向量：

 $R = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{N_{1,p}}(\overline {{u_1}} ){R_1} + \cdots + {N_{1,p}}(\overline {{u_{l - 1}}} ){R_{l - 1}}} \\ \vdots \\ {{N_{n - 1,p}}(\overline {{u_1}} ){R_1} + \cdots + {N_{n - 1,p}}(\overline {{u_{l - 1}}} ){R_{l - 1}}} \end{array}} \right]{\text{,}}$ (15)

${R_k}$ 的具体表达式如下：

 ${R_k} = {Q_k} - {N_{0,p}}(\overline {{u_k}} ){Q_0} - {N_{n,p}}(\overline {{u_k}} ){Q_l} {\text{,}}$ (16)

$P$ 为由中间 $n - 1$ 个控制点组成的列向量：

 $P = {[\begin{array}{*{20}{c}} {{P_1}}& \cdots &{{P_{n - 1}}} \end{array}]^{\rm T}} {\text{。}}$ (17)

2.3 几何外形曲面的NURBS参数化

1）分别使用 $x$ $y$ $z$ 表示弦向、垂直和展向方向，设2.2节定义的翼型剖面被定义在 $xy$ 平面上，且令 ${A_{ij}} = {[{x_{ij}},{y_{ij}},0]^{\rm T}}$ 表示第 $i$ 个翼型剖面上的第 $j$ 个控制点的坐标值。

2）在 $x$ $y$ 方向上使用偏移因子 ${\delta _i} = {[{x_{\delta i}},{y_{\delta i}},0]^{\rm T}}$ 改变第 $i$ 个翼型剖面控制点的坐标；采用比例因子 ${s_i}$ 改变第 $i$ 个翼型剖面的弦长或者厚度，尤其当翼型剖面的弦长为单位长度1时，在前缘使用比例因子 ${s_i}$ 将会改变弦长为 ${s_i}$ 。经过偏移和比例缩放后，第 $i$ 个翼型剖面上的第 $j$ 个控制点的坐标值 ${B_{ij}}$ 可通过下式表述：

 ${B_{ij}} = {s_i}({A_{ij}} - {\delta _i}) {\text{。}}$ (18)

3）使用 ${\theta _i} = {[{\alpha _i},{\beta _i},{\gamma _i}]^{\rm T}}$ 表示第 $i$ 个翼型剖面在 $x$ $y$ $z$ 轴上的旋转角度，则通过定义 ${[{\alpha _i},{\beta _i},{\gamma _i}]^{\rm T}}$ 的值，可实现 $xz$ 平面上的翼型剖面的控制点向三维空间的旋转变换，具体通过下式实现：

 $\begin{split} {C_{ij}} = \,& \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ 0&{\cos {\beta _i}}&{ - \sin {\beta _i}} \\ 0&{\sin {\beta _i}}&{\cos {\beta _i}} \end{array}} \right) \times \\ &\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\alpha _i}}&0&{\sin {\alpha _i}} \\ 0&1&0 \\ { - \sin {\alpha _i}}&0&{\cos {\alpha _i}} \end{array}} \right) \times \\ &\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\gamma _i}}&{ - \sin {\gamma _i}}&0 \\ {\sin {\gamma _i}}&{\cos {\gamma _i}}&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right){B_{ij}} {\text{。}} \end{split}$ (19)

4）使用 ${T_i} = {[{a_i},{b_i},{c_i}]^{\rm T}}$ 表示第 $i$ 个翼型剖面的放置位置，则第 $i$ 个翼型剖面的控制点在三维空间的坐标为：

 ${D_{ij}} = {C_{ij}} + {T_i} {\text{。}}$ (20)

5）基于NURBS的曲面方程，翼身融合水下滑翔机外形的数学表述式为：

 $S(u,v) = \sum\limits_{i = 0}^n {\sum\limits_{j = 0}^m {{R_{i,j}}(u,v){D_{ij}}} } {\text{。}}$ (21)

 图 3 基于NURBS的水下滑翔机参数化外形 Fig. 3 Parametric shape of BWB based on NURBS

3 实例分析

 图 4 翼身融合水下滑翔机建模实例 Fig. 4 Modeling of BWB underwater glider shape

 图 5 改变翼型剖面控制点后的外形对比 Fig. 5 Shape comparison after control points of an airfoil section changed

 图 6 改变弦长参数化变量后的外形对比 Fig. 6 Shape comparison after chord length parametric variables changed

4 结　语

1）对各个翼型剖面的型值点，采用最小二乘法进行拟合，并将各个翼型剖面的控制点作为局部参数化变量，实现各个翼型剖面的局部几何控制。

2）利用偏移因子、比例因子、旋转角度、放置坐标等参数化变量对各个翼型剖面的控制点进行操控，并基于NURBS曲面方程进行参数化建模，实现翼身融合水下滑翔机外形的精细参数化建模及几何控制。

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