0 引　言

由于结构应力状态复杂性或裂纹分布随机性使得工程结构中的裂纹通常为混合型裂纹。用于研究混合型裂纹断裂问题的经典断裂理论假设裂纹尖端应力场仅由奇异项控制，这些断裂理论主要包括最大环向应力准则（MTS准则）^[1]、应变能密度因子准则（SED准则）^[2]以及平均应变能密度准则（ASED准则）^[3]。与MTS准则和SED准则仅考虑裂纹前缘某一点的应力或应变能不同，ASED准则考虑裂纹尖端某一区域内所有应力分量对裂纹扩展的影响并假设裂纹尖端以临界距离r_c为半径的圆形面积内平均应变能密度达到其临界值时裂纹发生起裂扩展，具有明确的物理意义。已有研究表明^[4-7]，裂纹尖端应力场常数项对裂纹扩展过程中的裂纹尖端塑性区形状、起裂扩展角及起裂扩展条件的影响不可忽略。本文基于ASED准则理论围道积分核心思想^{[3, 8-10]}，综合考虑裂纹尖端应力场奇异项和常数项对裂纹扩展的影响，建立I-II-III混合型裂纹起裂扩展条件计算式。在此基础上，系统分析常数项T应力对裂纹起裂扩展条件的影响；最后，以承受纵向拉伸、侧向压缩双轴疲劳载荷作用下的平板表面I型裂纹为研究对象，结合修正的平均应变能密度准则分析常数项T应力对疲劳裂纹扩展寿命的影响。

1 修正平均应变能密度准则

柱坐标系下，包含奇异项及常数项的裂纹尖端应力场为^[11]：

$ \begin{split} &{\sigma _{11}} = \frac{{{K_{\rm{I}}}}}{{\sqrt {2{\text{π}} r} }}\left( {\frac{5}{4}\cos \frac{\theta }{2} - \frac{1}{4}\cos \frac{{3\theta }}{2}} \right)+\\ & \frac{{{K_{{\rm{{\rm I}I}}}}}}{{\sqrt {2{\text{π}} r} }}\left( { - \frac{5}{4}\sin \frac{\theta }{2} + \frac{3}{4}\sin \frac{{3\theta }}{2}} \right) + T{\cos ^2}\theta {\text{，}} \end{split} $

(1)

$ \begin{split} &{\sigma _{22}} = \frac{{{K_{\rm{I}}}}}{{\sqrt {2{\text{π}} r} }}\left( {\frac{3}{4}\cos \frac{\theta }{2} + \frac{1}{4}\cos \frac{{3\theta }}{2}} \right)-\\ & \frac{{{K_{{\rm{{\rm I}I}}}}}}{{\sqrt {2{\text{π}} r} }}\left( {\frac{3}{4}\sin \frac{\theta }{2} + \frac{3}{4}\sin \frac{{3\theta }}{2}} \right) + T{\sin ^2}\theta {\text{，}} \end{split} $

(2)

$ \begin{split} & {\sigma _{12}} = \frac{{{K_{\rm{I}}}}}{{\sqrt {2{\text{π}} r} }}\left( {\frac{1}{4}\sin \frac{\theta }{2} + \frac{1}{4}\sin \frac{{3\theta }}{2}} \right)+\\ & \frac{{{K_{{\rm{II}}}}}}{{\sqrt {2{\text{π}} r} }}\left( {\frac{1}{4}\cos \frac{\theta }{2} + \frac{3}{4}\cos \frac{{3\theta }}{2}} \right) - T\sin \theta \cos \theta {\text{，}} \end{split} $

(3)

$ {\sigma _{33}} = \upsilon '\left( {{\sigma _{11}} + {\sigma _{22}}} \right){\text{，}} $

(4)

$ {\sigma _{13}} = \frac{{{K_{{\rm{{\rm I}II}}}}}}{{\sqrt {2{\text{π}} r} }}\sin \frac{\theta }{2}{\text{，}} $

(5)

$ {\sigma _{23}} = \frac{{{K_{{\rm{{\rm I}II}}}}}}{{\sqrt {2{\text{π}} r} }}\cos \frac{\theta }{2}{\text{。}} $

(6)

式中：σ_ij（i，j=1，2，3）为柱坐标系下与裂纹平面呈θ角；距离裂纹尖端为r的一点应力分量（见图1）；K_Ι，K_ΙΙ，K_ΙIΙ和T分别为I型、II型、III型应力强度因子和非奇异项T应力；υ'为材料常数，平面应力问题取为0，平面应变问题取为材料泊松比υ。

弹性体中一点应变能密度表达式为^[8-9]：

$ w = \frac{1}{{2\mu }}\left[ \frac{{1 + \kappa }}{8}{{\left( {{\sigma _{11}} + {\sigma _{22}}} \right)}^2} - {\sigma _{11}}{\sigma _{22}} + \sigma _{12}^2 + \sigma _{13}^2 + {\sigma _{23}^2} \right]{\text{。}} $

(7)

式中：μ为剪切模量；参数κ为材料参数，平面应变问题κ=3–4υ，平面应力问题κ= $ \left( {3 - \upsilon } \right)/\left( {1 + \upsilon } \right)$ 。

根据ASED准则^[3]，当裂纹尖端以临界距离r_c为半径的圆形面积内的平均应变能密度 $ \bar E$ 达到临界值 $ {\bar E}_{\rm{c}}$ 时裂纹发生起裂扩展，如图2所示。

根据ASED准则，平均应变能密度 $ \bar E$ 为^[8-10]：

$ \bar E\left( {{r_{\rm{c}}}} \right) = \frac{{E\left( {{r_{\rm{c}}}} \right)}}{{A\left( {{r_{\rm{c}}}} \right)}} = \frac{{\displaystyle\int \nolimits_0^{{r_{\rm{c}}}} \displaystyle\int \nolimits_{ - {\text{π}}}^{{\text{π}}} wr{\rm{d}}\theta {\rm{d}}r}}{{{\text{π}} r_{\rm{c}}^2}}{\text{。}} $

(8)

结合式（1）～式（8），采用Mathematica计算，得到综合考虑裂纹尖端应力场奇异项和常数项的平均应变能密度：

$ \begin{split} &\bar E\left( {{r_{\rm{c}}}} \right) = \frac{{\left( {2\kappa - 1} \right)}}{{16{\text{π}} \mu {r_{\rm{c}}}}}K_{\rm{I}}^2 + \frac{{\left( {2\kappa + 3} \right)}}{{16{\text{π}} \mu {r_{\rm{c}}}}}K_{{\rm{II}}}^2 + \frac{1}{{2{\text{π}} \mu {r_{\rm{c}}}}}K_{{\rm{III}}}^2+ \\ & \frac{{\sqrt 2 \left( {5\kappa - 7} \right)}}{{15{{\text{π}} ^{\frac{3}{2}}}\mu \sqrt {{r_{\rm{c}}}} }}{K_{\rm{I}}}T + \frac{{\left( {\kappa + 1} \right)}}{{16\mu }}{T^2}{\text{。}} \end{split} $

(9)

根据ASED准则，裂纹起裂判据表达式为：

$ \bar E\left( {{r_{\rm{c}}}} \right) = {\bar E_{\rm{c}}}{\text{，}} $

(10)

对于纯I型裂纹有K_ΙΙ=0，K_ΙIΙ=0，T=0。同时，纯I型裂纹起裂时K_Ιf=K_Ιc，于是以临界距离r_c为半径的圆形面积内的平均应变能密度临界值 $ {\bar E_{\rm{c}}}$ 为^[8]：

$ \frac{{\left( {2\kappa - 1} \right)}}{{16{\text{π}} \mu {r_{\rm{c}}}}}K_{{\rm{Ic}}}^2 = {\bar E_{\rm{c}}}{\text{，}} $

(11)

联立式（9）、式（10）和式（11）可得修正平均应变能密度准则I-II-III混合型裂纹起裂判据为：

$ \begin{split} & K_{{\rm{Ic}}}^2 = K_{\rm{I}}^2 + \frac{{2\kappa + 3}}{{2\kappa - 1}}K_{{\rm{II}}}^2 + \frac{{8K_{{\rm{III}}}^2}}{{2\kappa - 1}} +\\ & \frac{{16\sqrt {2{r_{\rm{c}}}} \left( {5\kappa - 7} \right)}}{{15\sqrt {\text{π}} \left( {2\kappa - 1} \right)}}{K_{\rm{{\rm I}}}}T + {\rm{}} \frac{{{\text{π}} {r_{\rm{c}}}\left( {\kappa + 1} \right)}}{{2\kappa - 1}}{T^2}{\text{。}} \end{split} $

(12)

2 常数项对裂纹断裂特性影响分析 2.1 对I-II混合型裂纹断裂特性影响分析

对于I-II混合型裂纹，K_III=0，式（12）蜕化为I-II混合型裂纹起裂扩展条件计算式^[12]。研究I-II混合型裂纹时引入无量纲参数双轴因子B和参数α^[7]：

$ \left\{ \begin{aligned} & {B = \frac{{T\sqrt {{\text{π}} a} }}{{{K_{{\rm{eff}}}}}} = \frac{{T\sqrt {{\text{π}} a} }}{{\sqrt {K_{\rm{I}}^2 + K_{{\rm{II}}}^2} }}}{\text{，}}\\ & {\alpha = \sqrt {\frac{{2{r_{\rm{c}}}}}{a}} }{\text{。}} \end{aligned} \right. $

(13)

式中：K_eff为有效应力强度因子^[7]；a为裂纹长度；r_c为断裂控制区域临界距离，可由 $ \dfrac{1}{{2{\text{π}} }}{\left( {\dfrac{{{K_{{\rm{{\rm I}c}}}}}}{{{\sigma _{\rm{t}}}}}} \right)^2}$ 进行估算^[7]，其中σ_t为材料拉伸极限。反映常数项T应力的参数Bα为：

$ B\alpha = \frac{{{K_{{\rm{{\rm I}c}}}}T}}{{{\sigma _{\rm{t}}}\sqrt {K_{\rm{I}}^2 + K_{{\rm{II}}}^2} }}{\text{，}} $

(14)

引入参数Bα后，修正平均应变能密度准则I-II混合型裂纹起裂判据为^[12]：

$ \begin{split} & K_{{\rm{Ic}}}^2 = K_{\rm{I}}^2 + \frac{{2\kappa + 3}}{{2\kappa - 1}}K_{{\rm{II}}}^2 + \frac{{16\left( {5\kappa - 7} \right)}}{{15{\text{π}} \left( {2\kappa - 1} \right)}}{K_{\rm{{\rm I}}}}{K_{{\rm{eff}}}}\left( {B\alpha } \right) + {\rm{}}\\ & \frac{{\left( {\kappa + 1} \right)}}{{2\left( {2\kappa - 1} \right)}}K_{{\rm{eff}}}^2{\left( {B\alpha } \right)^2}{\text{。}} \end{split} $

(15)

平面应变状态，泊松比υ=0.3时不同Bα情况下的修正平均应变能密度准则断裂判据曲线（Bα=0时为ASED准则，作为比较基准），如图3所示。

由图3可以看出，考虑常数项T应力影响的断裂判据曲线均在ASED准则（Bα=0）断裂判据曲线之内，即T应力降低了材料裂纹起裂阻力，且|Bα|越大裂纹断裂极限值越低；当|Bα|相同时，正的T应力（Bα为正值）对应的断裂判据曲线在负的T应力（Bα为负值）对应的断裂判据曲线之下，即|Bα|相同时，正T应力要比负T应力更容易发生断裂。

2.2 对I型、II型裂纹断裂特性影响分析

对于I型裂纹（K_ΙΙ=0），修正平均应变能密度准则I型裂纹断裂判据为^[8]：

$ \sqrt {1 + \frac{{16\left( { - 7 + 5\kappa } \right)}}{{15{\text{π}} \left( { - 1 + 2\kappa } \right)}}\left( {B\alpha } \right) + \frac{{\left( {1 + \kappa } \right)}}{{2\left( { - 1 + 2\kappa } \right)}}{{\left( {B\alpha } \right)}^2}} = \frac{{{K_{{\rm{Ic}}}}}}{{{K_{\rm{I}}}}}{\text{，}} $

(16)

对于II型裂纹（K_Ι=0），修正平均应变能密度准则II型裂纹断裂判据为：

$ \sqrt {\frac{{3 + 2\kappa }}{{ - 1 + 2\kappa }} + \frac{{\left( {1 + \kappa } \right)}}{{2\left( { - 1 + 2\kappa } \right)}}{{\left( {B\alpha } \right)}^2}} = \frac{{{K_{{\rm{Ic}}}}}}{{{K_{{\rm{{\rm I}I}}}}}}{\text{。}} $

(17)

平面应变状态，泊松比υ=0.3时I型裂纹断裂极限值K_If随Bα的变化曲线如图4所示。

由图4可以看出，T应力对I型裂纹断裂极限值K_Ιf有很大的影响，当T应力为负值时，K_Ιf随T应力的增大而增大直到达到最大值（K_Ιfmax=1.02K_Ιc），随后随T应力的继续增大而下降；T应力在区间为–0.48<Bα<0时I型裂纹断裂极限值K_Ιf反而大于K_Ic，可理解为此区间内T应力增大了I型裂纹的断裂韧性，但引起的增大幅度并不高，可忽略不计，即–0.48<Bα<0时，T应力对I型裂纹断裂极限K_Ιf几乎没有影响；正的T应力将降低I型裂纹断裂极限值K_Ιf；相同|Bα|时，正T应力对应的I型裂纹断裂极限K_Ιf低于负T应力对应的I型裂纹断裂极限K_Ιf，如当Bα=1.0时，K_Ιf=0.75K_Ic（考虑T应力时的I型裂纹断裂韧性降低了25.0%）当Bα=–1.0时，K_Ιf=0.88K_Ic，即考虑T应力时的I型裂纹断裂韧性降低了12.0%。

平面应变状态，泊松比υ=0.3时II型裂纹断裂极限值K_IIf随Bα的变化曲线，如图5所示。

由图5可以看出，对于II型裂纹来说，T应力降低了II型裂纹断裂极限值K_IIf；相同|Bα|时，II型裂纹断裂极限K_IIf相同，II型裂纹断裂极限值K_IIf受T应力的大小影响，与T应力的正负无关。当|Bα|=1.0时，K_IIf=0.51K_Ic，以ASED准则纯II型裂纹断裂极限值K_IIf=0.63K_Ic作为参考基准，考虑T应力时的II型裂纹断裂韧性降低了19.1%。

3 常数项对裂纹扩展影响分析

工程结构中最常见、最危险的裂纹形式为I型表面裂纹，选取双轴载荷作用下平板半椭圆表面I型裂纹研究常数项T应力对疲劳裂纹扩展寿命的影响，其中纵向载荷为拉伸属性，侧向载荷为压缩属性。考虑T应力影响的I型裂纹K_ΙΙ=0，T≠0。按照修正平均应变能密度准则，I型裂纹等效应力强度因子K_eq为：

$ {K_{{\rm{eq}}}} = {K_{\rm{{\rm I}}}}\sqrt {1 + \frac{{16\left( {5\kappa - 7} \right)}}{{15{\text{π}} \left( {2\kappa - 1} \right)}}\left( {B\alpha } \right) + \frac{{\left( {\kappa + 1} \right)}}{{2\left( {2\kappa - 1} \right)}}{{\left( {B\alpha } \right)}^2}} {\text{。}} $

(18)

疲劳裂纹扩展计算参量∆K_eq，只需将式（18）中K_I替换为∆K_I=（1–R）K_I即可，为简化研究，取应力比R=0。

3.1 准静态分析

纵向施加拉伸载荷P₁=300 MPa，侧向施加压缩载荷P₂=500 MPa。双轴载荷作用下的平板模型示意如图6所示。平板长度为L=600 mm，宽度为W=120 mm，厚度为t=35 mm；半椭圆表面裂纹位于平板中心，初始裂纹长度为2c=5 mm，深度为a=2 mm，裂纹形状示意如图7所示。

采用20节点solid95单元建立含半椭圆表面I型裂纹平板有限元模型，如图8所示。坐标原点位于平板表面裂纹长度中心位置，y轴为裂纹长度方向，z轴为平板长度方向。在平板2个侧面施加500 MPa的压应力，在平板纵向一端施加300 MPa的拉应力。边界条件为：平板纵向端面面心施加u_y=0，纵向端面板厚一半高度上所有节点u_x=0，未施加纵向载荷的端面所有节点施加u_z=0。

某钢材料泊松比υ=0.3，断裂韧性 $ {K_{{\rm{Ic}}}} = 6\;640\;{\rm{MPa}}\sqrt {{\rm{mm}}} $ ，强度极限σ_t=890 MPa。裂纹尖端应力强度因子可由20节点奇异单元1/4节点位移法求解^[13]，常数项T应力由裂纹尖端 $ \left( {{\sigma _{11}} - {\sigma _{22}}} \right){|_{\theta = 0}}$ 求解，计算得到初始裂纹长度5 mm，深度2 mm时裂纹最深点A处的I型应力强度因子值为 $ {K_{\rm{I}}} = 548.2\;{\rm{MPa}}\sqrt {{\rm{mm}}} $ ，T应力为T=–161.1 MPa，参数Bα=–2.19。由于T应力为负值，裂纹不会发生偏折^[6-7]，即θ₀=0°。

3.2 疲劳裂纹扩展寿命分析

疲劳裂纹扩展分析时，计算参量分别选取为传统方法的I型应力强度因子范围∆K_I和等效应力强度因子范围∆K_eq，选取裂纹最深点A为计算参考点（见图7），裂纹扩展深度由2 mm扩展至14 mm时，最深点A处的参数Bα变化曲线，如图9所示。等效应力强度因子变化范围∆K_eq（取κ=3–4υ，平面应变状态），如图10所示。

由图9可以看出，在裂纹扩展过程中参数Bα为负值，总体趋势为随裂纹扩展而逐渐变小，Bα的变化区间为–2.5～–1.0（裂纹在扩展中将不会发生偏折^[6-7]）。由图10可知，裂纹扩展过程中应力强度因子随裂纹扩展而逐渐增大；裂纹扩展过程中裂纹尖端等效应力强度因子范围∆K_eq高于不考虑T应力时的I型应力强度因子范围∆K_I。

裂纹扩展过程中应力强度因子变化范围直接决定了裂纹扩展寿命。根据裂纹前缘参考节点的扩展情况计算裂纹扩展寿命，当参考点的∆a_A足够小时，可近似将应力强度因子变化范围按常数处理。选择工程中常用的Paris模型计算裂纹扩展寿命，某钢材料疲劳裂纹扩展速率参数如下式：

$ \frac{{{\rm{d}}a}}{{{\rm{d}}N}} = 2.94 \times {10^{ - 11}}{\left( {\Delta K} \right)^{2.28}}{\text{。}} $

(19)

其中： $ \dfrac{{{\rm{d}}a}}{{{\rm{d}}N}}$ 单位为mm/cycle，∆K单位为 $ {\rm{MPa}}\sqrt {{\rm{mm}}} $ 。

计算得到的裂纹扩展寿命如图10所示。由图10可以看出，对于承受纵向受拉、侧向受压双轴载荷作用的平板表面裂纹，裂纹深度由2 mm扩展至14 mm（0.4t）时：不考虑T应力影响时的裂纹扩展寿命为72 508次；根据修正平均应变能密度准则，计算得到考虑常数项T应力影响的裂纹扩展寿命为35 752次，约为传统裂纹扩展寿命的49%。

4 结　语

本文根据考虑常数项T应力影响的修正平均应变能密度准则，研究常数项T应力对I型、II型和I-II混合型裂纹起裂扩展特性的影响。基于修正平均应变能密度准则研究常数项T应力对双轴疲劳载荷作用下的平板表面裂纹扩展寿命的影响。得到以下结论：

1）常数项T应力降低了材料裂纹起裂阻力，且|Bα|越大裂纹断裂极限值越低，|Bα|相同时正T应力下的裂纹更易起裂扩展。

2）对于I型裂纹，当T应力为负值时，K_If随T应力的增大而增大直到达到最大值，随后随T应力的继续增大而下降；相同|Bα|时，正T应力对应的I型裂纹断裂极限K_If低于负T应力对应的I型裂纹断裂极限K_If；对于II型裂纹，相同|Bα|时，II型裂纹断裂极限K_IIf相同，即II型裂纹断裂极限值K_IIf受T应力大小影响，与T应力正负无关。

3）计算得到的纵向受拉、侧向受压双轴疲劳载荷平板表面I型裂纹，由深度2 mm扩展至14 mm时，扩展寿命计算结果约为传统不考虑T应力影响时裂纹扩展寿命计算结果的49%，不考虑T应力影响的传统计算方法将会严重高估I型裂纹的扩展寿命。