0 引　言

舰船辐射噪声是评价舰船隐蔽性的重要指标之一，如何对潜艇机械噪声源进行精确地定位，对其传递途径进行判断，准确查找潜艇机械噪声的来源，是潜艇机械噪声控制和减震降噪工作的重要环节 ^{[ 1]}。

通过大量理论研究与实验测试发现，影响声源定位精度的因素诸多，其中阵列几何结构是影响阵列声源定位精度的一个重要因素 ^{[ 2]}。阵列结构问题已在阵列细化技术研究领域中被提出，其研究多侧重在结构优化方面，近几年国内出现很多关于阵列结构形式的声源定位性能研究报道，包括线性阵 ^{[ 3]}、平面阵列 ^{[ 4]}和立体阵列 ^{[ 5- 6]}。分析可知任何一种阵列结构均由阵元按照不同方式构成，不同的阵列结构在声源的定位性能上各有差异，因此阵列结构对噪声源定位技术的基础性作用不容忽视。

本文着眼于研究不同阵列结构对声源定位性能的影响，首先建立 n元基阵的数学模型，给出线阵，线圆组合阵模型中各阵元几何关系方程组，在此基础上，分别推导了线阵、线圆组合阵的定位算法。最后进行仿真实验，分析不同阵列结构和算法在不同条件下的最优组合。

1 阵列的数学模型

首先，假设存在 M个窄带信号，阵列由 N个阵元组成，阵列中每个阵元的最终输出都可以表示为 M个再带信号与加性噪声的和。因此，将 N个阵元在特定时刻接受的信号排列成一个列矢量，可得窄带远场信号的DOA数学模型：

$\begin{split} { G} =& { AF} + { V}{\text{，}} \\ \left[ \begin{array}{l} {g_1}\\ {g_2}\\ \vdots \\ {g_N} \end{array} \right] =& \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}({\theta _1})}&{{a_1}({\theta _2})}& \cdots &{{a_1}({\theta _M})}\\ {{a_2}({\theta _1})}&{{a_2}({\theta _1})}& \cdots &{{a_2}({\theta _M})}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots &{{a_N}({\theta _M})} \end{array}} \right] \times \\&\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_1}}\\ {{F_2}}\\ \vdots \\ {{F_M}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{V_1}}\\ {{V_2}}\\ \vdots \\ {{V_N}} \end{array}} \right]{\text{。}} \end{split}$

(1)

式中： G 为阵列的快拍数据矢量； V 为噪声数据矢量； F 为空间信号矢量； A 为空间阵列的流型矩阵。

1.1 圆阵的数学模型

利用平面阵列可以获取目标声源的方位角和俯仰角，典型的平面阵列包括圆阵和矩形阵列。圆阵的阵元结构如 图1所示，圆阵的半径为 ${{{R}}_0}$ ，阵元数为 N（ q=0 1··· N–1)。阵列在 X- Y平面上，参考阵元位于 X轴上( q=0)。阵元位置与角度的关系： ${\varphi _0} = 2{\text{π}} /N$ 。

假设平面波的振幅为 ${A_1}$ ，频率为 ${f_1}$ ，入射角为（ ${\varphi _1},\;{\theta _1}$ ）。则第 q个阵元的信号输出可以写成：

$ g(q,t) = {A_1}\exp \left(j\left(2{\text{π}}{f_1}\left(t - \frac{{{\tau _{q1}}}}{c}\right)\right)\right)\text{，} $

(2)

其中， ${\tau _{q1}}$ 为阵元 q相对于参考阵元的空间延迟

$ {\tau _{q1}} = - {R_0}\sin {\theta _1}\cos {\varphi _{q1}}{\text{，}} $

(3)

在这种情况下，因为阵元的方位角间隔相等，所以 ${\varphi _{q1}}$ 可以写成：

$ {\varphi _{q1}} = q{\varphi _0} - {\varphi _1}{\text{，}} $

(4)

因此

$ \begin{split} g\left( {q,t} \right) =& {A_1}\exp \left( {j2 {\text{π}} {f_1}\left( {t + \frac{{{R_0}\sin {\theta _1}\cos \left( {\frac{{2 {\text{π}} q}}{N} - {\varphi _1}} \right)}}{c}} \right)} \right)=\\ & {A_1}\exp \left( {j2 {\text{π}} \left( {{f_1}t + \frac{{{R_0}\sin {\theta _1}\cos \left( {\frac{{2 {\text{π}} q}}{N} - {\varphi _1}} \right)}}{{{\lambda _1}}}} \right)} \right){\text{。}} \end{split} $

(5)

用笛卡尔坐标系中的单位矢量 ${\hat k_1}$ 表示接收信号的入射方向。

$ {\hat k_1} = - (\sin {\theta _1}\cos {\varphi _1}\hat x + \sin {\theta _1}\sin {\varphi _1}\hat y + \cos {\theta _1}\hat z){\text{，}} $

(6)

其中， $\hat x$ ， $\hat y$ 和 $\hat z$ 是笛卡尔坐标系中的单位向量，前面的减号表示向量的指向性。第q个阵元的位置矢量为:

$ {\hat r_q} = \cos (q{\varphi _0})\hat x + \sin (q{\varphi _0})\hat y{\text{，}} $

(7)

因此

$ {\hat k_1} \cdot {\hat r_q} = - \sin {\theta _1}\cos (q{\varphi _0} - {\varphi _1}){\text{，}} $

(8)

将此扩展为多个信号源（ m= 1,2，···，M）

$ g\left( {q,t} \right) = \sum\limits_{m = 1}^M {{A_m}\exp \left( {j2 {\text{π}} \left( {{f_m}t - \frac{{{R_0}{{\hat k}_m} \cdot {{\hat r}_q}}}{{{\lambda _m}}}} \right)} \right)} {\text{，}} $

(9)

则圆阵的的导向矩阵：

$\begin{gathered} A(\theta ,\varphi ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\exp (j2\pi {R_0}\cos ( - {\varphi _1})\sin {\theta _1})}&{ \cdots }&{} \\ \cdots &{ \ddots }&{} \\ {\exp (j2\pi {R_0}\cos ( - {\varphi _{N1}})\sin {\theta _1})}&{ \cdots }&{} \end{array}} \right. \hfill \\ \left. {\begin{array}{*{20}{c}} &{\exp (j2\pi {R_0}\cos ( - {\varphi _1})\sin {\theta _M})} \\ &{\cdots } \\ &\;\;{\exp (j2\pi {R_0}\cos ( - {\varphi _{NM}})\sin {\theta _M})} \end{array}} \right] {\text{。}} \\ \end{gathered} $

(10)

其中： ${\varphi _{nm}} = n{\varphi _0} - {\varphi _m}$ ， ${\theta _m}$ 为第 m个信号源的俯仰角， ${\varphi _m}$ 是第 m信号源的方位角， ${R_0}$ 为圆的半径。本文假设 ${R_0} = 0.5\lambda $ ， $0 \leqslant {\varphi _m} \leqslant 2{\text{π}} 0, \leqslant {\theta _m} \leqslant {\text{π}}/2$ 。

1.2 线圆组合阵的数据模型

这里仅考虑由圆阵和线阵组合成三维阵列。如 图2所示，圆阵位于 X- Y平面，线阵沿 Z轴排列。在特殊情况下进行研究，圆形阵列的阵元分别在 X- Y轴上，据中心阵元的距离为 d，沿 Z轴的3个阵元间距也为 d。因此，阵列的7个阵元是等间距的。

线性阵列3个阵元的位置由位置矢量给出：

$ {\hat r_h} = (h - 1)d\hat z\text{，}\quad h=1,2,3\text{，} $

(11)

所以

$ {\hat k_m} \cdot {\hat r_h} = - \cos ({\theta _m}(h - 1)d){\text{。}} $

(12)

如果阵列接收 M个信号，则线性阵列的第 h个阵元的输出：

$ {g_{linear}}(h,t) = \sum\limits_{m = 1}^M {{A_M}\exp \left(j\left(2{\text{π}} {f_m}t - \frac{{2{\text{π}} {{\hat k}_m} \cdot {{\hat r}_h}}}{{{\lambda _m}}}\right)\right)} {\text{，}} $

(13)

由式（8）可知圆阵的阵元输出，由此可知线圆组合阵的阵元输出为：

$ {g_{circular - linear}} = {g_{circular} \cdot g_{linear}}{\text{。}} $

(14)

该阵列结合线形和圆形阵列，以提供二维测向。则线圆组合阵的转向矩阵：

$\begin{gathered} A(\theta ,\varphi ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1& \cdots \\ {\exp (j2{\text{π}} d\sin {\theta _1})}& \cdots \\ {\exp (j4{\text{π}} d\sin {\theta _1})}& \cdots \\ {\exp (j2{\text{π}} d\cos ( - {\varphi _1})\sin {\theta _1})}& \cdots \\ \vdots & \ddots \\ {\exp (j2{\text{π}} d\cos ( - {\varphi _{N1}})\sin {\theta _1})}& \cdots \end{array}} \right. \hfill \\ \left. {\begin{array}{*{20}{c}} &\qquad 1 \\ &\qquad {\exp (j2{\text{π}} d\sin {\theta _M})} \\ &\qquad {\exp (j4{\text{π}} d\sin {\theta _M})} \\ &\qquad {\exp (j2{\text{π}} d\cos ( - {\varphi _M})\sin {\theta _M})} \\ &\qquad \vdots \\ &\qquad {\exp (j2{\text{π}} d\cos ( - {\varphi _{NM}})\sin {\theta _M})} \end{array}} \right] \hfill \\ \end{gathered} $

(15)

其中 $d = 0.4\lambda $ ，前3行是线阵，其余为圆阵。

2 两种高分辨算法的数学模型

运用2种高分辨定位算法估计信号的到达角：多信号分类（MUSIC）算法；最小范数（Mini-norm）算法。

2.1 MUSIC ^{[ 7]}

对于空间理想的白噪声且噪声功率为 ${\sigma ^2}$ ，阵列数据的协方差矩阵为

$ { S} = E[G{G^H}] = A{S_s}{A^H} + {S_N} = A{S_s}{A^H} + {\sigma ^2}I\text{，} $

(16)

对 S 进行特征分解，有

$ { S} = { U}\Lambda {{ U}^H} = {U_S}{\Lambda _S}{U_S}^H + {U_N}{\Lambda _N}{U_N}^H {\text{。}} $

(17)

式中， U 为特征矢量矩阵，其中由特征值组成的对角阵 $\varLambda = diag\{ {\lambda _1},{\lambda _2}, \cdots {\lambda _M}\} $ 。利用信号子空间 ${U_S}$ 与矂声子空间 ${U_N}$ 的正交性来估计信号的方位，所以MUSIC的空间谱估计可表示为：

$ {{{P}}_{{{MUSIC}}}} = \frac{1}{{{a^H}(\theta ){{\hat U}_N}\hat U_N^Ha(\theta )}}{\text{。}} $

(18)

2.2 最小范数（Mini-norm） ^{[ 8]}

这个方法和Music方法有些相似。其基本思想是在噪声子空间中找到特征向量的线性组合 D：

$ D = {[{\varsigma _0},{\varsigma _1} \cdots {\varsigma _N}]^{\rm T}} = [1,{\varsigma _1} \cdots {\varsigma _N}]{\text{。}} $

(19)

式中， ${\varsigma _0}$ 被指定为单位矢量。式（17）的范数的平方为：

$ {\left| \varsigma \right|^2} = \sum\limits_{i = 0}^{M - 1} {\varsigma _i^2} \text{，} $

(20)

信号子空间 ${U_S}$ 可以被划分为：

$ {{ U}_S} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_{00}}}&{{u_{00}}}& \cdots &{{u_{00}}}\\ {{u_{00}}}&{{u_{00}}}& \cdots &{{u_{00}}}\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ {{u_{00}}}&{{u_{00}}}& \cdots &{{u_{00}}} \end{array}} \right] = \left[\begin{array}{*{20}{c}} {{\eta ^H}}\\ {U_S'} \end{array}\right]\text{，} $

(21)

其中， ${\eta ^{{H}}}$ 是 ${{{U}}_S}$ 的第一行， ${{U}}_S'$ 是剩余行。向量 D可以被写成

$ D =\left [\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - U_S'\eta /(1 - {\eta ^H}\eta )} \end{array}\right]{\text{，}} $

因此，最小范数 ^{[ 7]}的空间谱估计可表示为：

$ {P_{MN}} = \frac{1}{{a(\theta )D{D^H}a{{(\theta )}^H}}}{\text{。}} $

(22)

3 性能仿真与对比分析 3.1 不同信噪比的影响

考虑7元半波长间隔均匀的圆阵和线圆组合阵，假设两等强度非相关窄带信号源分别从（16°,15°）和（21°,15°）方向入射到阵列，背景噪声与信号不相关的窄带高斯白噪声。要求分别采用Music和MIni-norm进行目标方位估计。信噪比分别为25dB，10dB，进行仿真实验，仿真结果如 图3和 图4所示。

图3和 图4显示了线圆组合阵在信噪比较高时，2种算法的峰值明显，能准确定位信号源的位置。而信噪比较低时，2种算法都失效了。图5和 图6显示了圆阵在较高或较低信噪比时，都能定位信号源的位置，不过，在信噪比较低时，Mini-norm算法显示的峰值更加尖锐，准确。

比较 图3和 图5，得出在较高 SNR（= 25dB）时，Music和min-norm方法对于2个阵型的声源定位有相似的结果。从 图4和 图6可以看出，当 SNR较低（10dB）时，圆形阵列的效果更好。

3.2 多个噪声源影响

由各向同性的7元阵分别组成圆阵和线圆组合阵，快拍数为4 095,4个独立窄带远场信号，信号的方向分别为（16°,15°）、（21°,15°）、（21°,15°）（21°,15°），信噪比为25 dB， $d = 0.4\lambda $ 。进行仿真实验，仿真图如 图7所示。

从 图7可以看出，多信号源时，线圆组合阵中2种算法都可以定位信号源，但Mini-norm算法出现了虚假峰。图8可以看出圆形阵列可以解决4个峰值，但圆形阵列具有更多的旁瓣。对比 图7和 图8可以得出在多信号源时，线圆组合阵和Music算法结合能准确定位信号源的位置，且低旁瓣。

4 结　语

针对上述仿真结果，对圆阵和线圆组合阵给出以下结论：

1）在较高信噪比的情况下，2种阵型具有相似的性能；

2）在低信噪比情况下，圆阵的性能更好；

3）圆形阵列的方位角分辨率优于线圆组合阵列的。

从算法来看，MUSIC算法更稳定，几乎总是正确地显示出信号源的位置，更重要的是，低旁瓣。然而，在信噪比较低（<10 dB）的情况下，2种阵型的music算法都无法正确的提供峰值数目。

因此，可以得出在较低信噪比（<10 dB）时,圆阵和Mini-norm算法组合性能最好。在多信号源时，圆阵和线圆组合阵都能定位信号源位置，但是圆阵多旁瓣，而Mini-norm算法与线圆组合阵结合出现虚假峰。所以，在多信号源时，线圆组合阵 与Music算法结合可以更加准确的定位信号源。

由于使用子空间方法来计算AOA，因此声源的数量必须小于阵元的数目。将来，应该考虑如何突破这种限制，以及如何在低信噪比时，提高算法的性能。