0 引　言

自20世纪90年代，水面无人艇（Unmanned Surface Vehicles, USV）已被美国海军应用的战场上，它具有小型化、反应快、隐蔽性好、长航时等优点^[1]。导航定位系统作为水面无人艇重要传感单元之一，决定着无人艇航行的精度，利用卫星定位技术可以实现海上精准察打一体的功能^[2]。远洋地区有着丰富的自然资源和巨大航线价值，近年来世界各国对海洋权益的争夺日益激烈，随着我国北斗卫星导航系统（BDS Satellite Navigation System, BDS）的崛起，评估无人艇在远洋地区的定位性能有着重要意义。

BDS是我国正在实施的自主研发、独立运行的全球卫星导航系统，于2018年12月27日开始开放面向全球提供服务。当前BDS-3已经进入密集发射期，预计于2020年将实现35颗卫星完整星座提供全球定位能力，包括5颗地球同步卫星（Geostationary earth orbit, GEO），3颗地球倾斜轨道同步卫星（Inclined Geostationary Earth Orbit, IGSO），27颗地球中轨道卫星（Medium Earth Orbit, MEO）覆盖全球^[3-5]。到目前为止，BDS星座主要包括33颗卫星组成，其中5颗GEO卫星轨道高度为35 786 km，位于赤道上方与地球同步运行；7颗IGSO，卫星运动轨迹以赤道为对称轴，绕“8”字运行；21颗MEO卫星，卫星轨道为21 500 km，为7天13圈回归周期^[6]。

自2012年以来，BDS系统已具备基本的导航定位功能，实现了对我国区域性和沿线“一带一路”国家增强覆盖，BDS实际观测数据得到广泛应用，卫星信号的强度、可见性、位置精度衰减因子（Position Dilution of Precision, PDOP）值以及定位精度等多个方面已经有了大量的分析和研究工作^[7-10]。BDS系统目前仍处于战略建设的最后阶段，尚未实现全球定位，特别是远洋航海区域其系统性能仍需进一步的研究和论证。基于此，本文利用BDS满星座仿真数据和GPS真实广播星历数据联合计算，从可见星数量、PDOP值以及定位精度等方面对BDS卫星导航系统及其组合的定位性能进行详细比较分析。

1 数学模型与方法

当对星钟误差、电离层和对流层延迟误差进行补偿后，单个卫星修正伪距观测方程可简化为^[8]：

${\rho ^m} = {r^m} + {b_G} + \varepsilon _\rho ^m{\text{，}}$

(1)

${\rho ^n} = {r^n} + {b_B} + \varepsilon _\rho ^n{\text{。}}$

(2)

式中：ρ为测量伪距；下标G和B分别表示GPS和BDS；上标m，n分别表示GPS和BDS卫星序号； $ {r^m} = \sqrt {{{\left( {x - {x^m}} \right)}^2} + {{\left( {y - {y^m}} \right)}^2} + {{\left( {z - {z^m}} \right)}^2}} $ ， ${r^n} = \sqrt {{{\left( {x - {x^n}} \right)}^2} + {{\left( {y - {y^n}} \right)}^2} + {{\left( {z - {z^n}} \right)}^2}} $ ；（x,y,z）为地球坐标系下用户坐标； $\left( {{x^m},{y^m},{z^m}} \right)$ 和 $\left( {{x^n},{y^n},{z^n}} \right)$ 分别表示GPS和BDS卫星地球坐标系下坐标；b表示接收机时钟等效距离误差；ε表示伪距测量噪声。

将式（1）、式（2）在接收机近似坐标 $ ( {x_0},{y_0},$ ${z_0} )$ 处进行泰勒展开，得到伪距定位线性误差方程^[8]：

$\begin{split} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{l^1}}\\ \vdots \\ {{l^m}}\\ {{l^{m + 1}}}\\ \vdots \\ {{l^{m + n}}} \end{array}} \right] =& \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x_0} - {x^1}}}{{{{\bar r}^1}}}}&{\dfrac{{{y_0} - {y^1}}}{{{{\bar r}^1}}}}&{\dfrac{{{z_0} - {z^1}}}{{{{\bar r}^1}}}}&1&0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {\dfrac{{{x_0} - {x^m}}}{{{{\bar r}^m}}}}&{\dfrac{{{y_0} - {y^m}}}{{{{\bar r}^m}}}}&{\dfrac{{{z_0} - {z^m}}}{{{{\bar r}^m}}}}&1&0\\ {\dfrac{{{x_0} - {x^{m + 1}}}}{{{{\bar r}^{m + 1}}}}}&{\dfrac{{{y_0} - {y^{m + 1}}}}{{{{\bar r}^{m + 1}}}}}&{\dfrac{{{z_0} - {z^{m + 1}}}}{{{{\bar r}^{m + 1}}}}}&0&1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {\dfrac{{{x_0} - {x^{m + n}}}}{{{{\bar r}^{m + n}}}}}&{\dfrac{{{y_0} - {y^{m + n}}}}{{{{\bar r}^{m + n}}}}}&{\dfrac{{{z_0} - {z^{m + n}}}}{{{{\bar r}^{m + n}}}}}&0&1 \end{array}} \right]\times \\ &\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta x}\\ {\Delta y}\\ {\Delta z}\\ {\Delta {b_G}}\\ {\Delta {b_B}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\varepsilon _\rho ^1}\\ \vdots \\ {\varepsilon _\rho ^m}\\ {\varepsilon _\rho ^{m + 1}}\\ \vdots \\ {\varepsilon _\rho ^{m + n}} \end{array}} \right]{\text{。}}\\[-55pt]\end{split} $

(3)

式中： $\left( {\Delta x,\Delta y,\Delta z} \right)$ 为迭代求解的位置坐标改正数； ${\bar r^k}\left( {k = 1,2 \cdots ,m + n} \right)$ 为信号发射时刻卫星k至接收机近似位置的几何距离； ${l^m} = {\rho ^m} - {\bar r^k}$ 为观测方程常数项。

式（3）写成矩阵形式：

$ {{L}} = {{AX}} + {{V}}{\text{。}} $

(4)

式中：A为观测方程的系数矩阵；X为待估计参数矩阵；L为常数项矩阵；V为残差矩阵。观测权重为高度角模型定权P，应用最小二乘法求解式，计算出未知向量为^[8]：

$ {{X}} = {\left( {{{{A}}^{\rm{T}}}{{PA}}} \right)^{ - 1}}{{{A}}^{\rm{T}}}{{PL}} = {{{A}}^{\rm{T}}}{{PL}}{\text{。}} $

(5)

权系数矩阵：

$ {{H}} = {\left( {{{{A}}^{\rm{T}}}{{PA}}} \right)^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{q_{11}}}&{{q_{12}}}&{{q_{13}}}&{{q_{14}}}\\ {{q_{21}}}&{{q_{22}}}&{{q_{23}}}&{{q_{24}}}\\ {{q_{31}}}&{{q_{32}}}&{{q_{33}}}&{{q_{34}}}\\ {{q_{41}}}&{{q_{42}}}&{{q_{43}}}&{{q_{44}}} \end{array}} \right]{\text{。}}$

(6)

PDOP值是评价定位精度的重要参数，其值与接收机及各观测卫星间的几何结构有关，定义为^[8]：

$ PDOP = \sqrt {{q_{11}} + {q_{22}} + {q_{33}}} {\text{。}} $

(7)

2 结果与分析 2.1 数据处理方法

为了评估基于GPS系统、BDS系统及其组合系统的无人艇在远洋地区的定位性能，利用4个测站进行数据仿真，分别设置为南海海域（测站1）、印度洋海域（测站2）、太平洋海域（测站3）和南极罗斯海海域（测站4），测站的坐标参数和位置分布分别如表1和图1所示。仿真过程中，采样数据长度为24 h，采样间隔为30 s，截止高度角为10°。GPS星座使用2019年3月2日0:00时-2019年3月3日0:00时的真实广播星历计算卫星位置，表2所列开普勒轨道根数用于计算BDS卫星位置，共有31颗GPS卫星和35颗BDS卫星。

2.2 可见卫星数和PDOP值

图2为4个测站上空的BDS卫星可视图，可以反映当天BDS卫星在测站上空的分布和变化情况。可见，由于BDS的GEO卫星为高轨卫星，覆盖范围为58.75°E～160°E，5颗GEO卫星在测站1和测站2长期可见，在测站3有3颗GEO卫星可见，测站2和测站3长期在[–135°，135°]方位不可见，卫星空间几何结构不强，而在测站4附近GEO卫星和高仰角卫星不可见。

可见星的数量是定位性能的重要指标，接收4颗卫星时才能进行定位解算，多余5颗卫星才有可能保证卫星定位结果的可靠性，因此有效的可视卫星数目是定位有效性的一个标志。PDOP值直接反映了卫星的空间分布情况，其取值越小，卫星的空间几何结构越强，定位精度也越高。表3为4个测站在一天内的可见星和PDOP平均值，BDS系统可见卫星数和PDOP取值整体优于GPS系统，特别在5颗GEO卫星覆盖的区域，平均值超过GPS系统可见星4颗左右，在测站4由于GEO卫星不可见，2个系统的可见星数量和PDOP取值相当。

图3和图4分别描述了在4个测站GPS、BDS以及GPS+BDS组合系统可视卫星数和PDOP值变化情况。测站1中BDS可见星最多，最多可达17颗卫星，最少可见13颗卫星，PDOP值基本都在2.5以内；测站4中BDS可见星最少，保持在7～13颗之间，PDOP值在2～4之间。GPS系统在全球范围内相对均匀分布，可见星在10颗左右。部分时间段PDOP取值超过10，造成定位误差较大，这主要是由于卫星的几何结构不强造成的。GPS+BDS组合导航系统，可用卫星数大大增加，在4个测站中，最少有14颗，冗余卫星在9颗以上，可利用多余观测值提高系统的可靠性。而组合系统的PDOP值相对于GPS和BDS单系统显著降低，基本保持在2以内，能够保障导航的定位精度。

2.3 定位精度

比较4个测站中，测站1一天内平均可见星最多，测站4一天内平均可见星最少，以测站1和测站4为例分析GPS、BDS以及GPS+BDS三种系统定位性能。图5和图6分别为3个导航系统在2个测站上东（E）、北（N）和天（U）三个方向上定位误差，定位统计结果的数据如表4所示。

在测站1，单独利用GPS定位在ENU方向分别为3.00 m，2.37 m，6.28 m，BDS单系统在ENU方向分别为1.42 m，1.74 m，3.69 m，组合系统在ENU方向分别为1.17 m，1.13 m，2.76 m。可见BDS系统的定位精度显著优于GPS单系统，这是由于在测站1上5颗GEO卫星长期可见，整个观测过程中BDS系统可见星明显多于GPS可见星，GPS+BDS组合系统能够进一步提高定位精度。

测站1在18:00-20:00时间段GPS在东向和北向误差明显增大，超过10 m的误差，这是由于对应时间段可观测的卫星数量在5～7颗之间，部分时间段高程超过20 m的误差。在测站4位置上，单独利用GPS定位在ENU方向分别为2.03 m，2.55 m，7.23 m，BDS单系统在ENU方向分别为1.76 m，2.03 m，5.90 m，GPS+BDS组合系统在ENU方向分别为1.16 m，1.37 m，3.94 m。在该测站位置上，BDS系统定位精度略优于GPS系统，整个观测时间2个系统的可见星数量相当，且BDS的GEO卫星长期不可见；GPS+BDS组合系统在4个测站中，可见卫星平均值都在20颗左右，大大超过单卫星导航系统的可见星数量，并且空间几何结构强，其定位结果水平精度在2 m以内，高程精度在4 m以内。

3 结　语

本文介绍GPS与BDS组合定位原理与模型，模拟BDS系统的全星座数据，分析远洋海域的4个测站位置下的可见卫星数、PDOP值以及定位精度等方面性能。具体结论如下：

1）BDS在远洋地区的整体定性能优于GPS系统，水平定位精度在2 m左右，高程在5 m左右，可见星在10颗以上。

2）BDS的GEO卫星在南海海域长期可见，可见星数量保持在13～17颗，卫星几何结构强，定位性能显著优于GPS系统。

3）在南极罗斯海海域，BDS的GEO卫星和高仰角卫星不可见，GPS系统和BDS系统可见星均在10颗左右，BDS定位性能略优于GPS系统。

4）GPS+BDS组合系统在4个测站1天内可见星在20颗左右，大大增加了系统的可靠性，改善卫星空间分布，显著降低PDOP值，提高定位精度。