0 引　言

船舶阻力预报是准确预报船舶快速性的重要内容之一，目前常用的预报方法有模型试验，CFD数值模拟和一些近似估算方法。在现代船舶工程中，近似模型方法很好地解决了船舶CFD计算的复杂耗时问题^[2]，避免了模型试验的繁琐过程与较高成本。陈爱国等^{[3 – 4]}基于系列60船舶试验数据，建立了最佳的BP神经网络系统,拓展了系列60的应用范围。李纳等^[5]建立了基于广义回归神经网络的“船型要素—船体阻力”数学模型，并结合遗传算法完成了船型要素的优化设计，优化结果可以为玻璃钢渔船初步设计提供技术参考。肖振业等^[6]采用支持向量和神经网络方法建立了国际船模KCS总阻力的近似模型，表明了支持向量机近似模型具有较好的预测精度和可推广能力。Devrim^[7]在低雷诺数条件下，采用神经网络方法对双体船中心片体的形状、布置位置进行了选择优化。通过与模型试验结果的分析对比，表明了这种外形设计的有效性，可以减少波干扰所引起的阻力。Jong-hyun Lee等^[8]基于遗传规划的非线性数学函数的方法，在船型设计初期对船舶附加阻力进行预报，通过预测结果与试验结果、理论结果的对比分析，表明该方法满足精度要求，具有一定的适用性。

采用近似模型方法解决船舶阻力相关问题已经受到许多学者的广泛关注，但近似模型方法有很多，为了提高船舶阻力预报的准确性，应该有针对性地选择预报模型。为此，本文以公开的泰洛系列船模试验数据为例，研究目前机器学习模型在船舶阻力预报中的应用效果。泰洛系列船模试验是以一艘军舰为母型进行系列改型^[9]，生成不同宽度吃水比B/T、棱形系数Cp、排水体积长度系数1 000 $\nabla $ /L³的船模，在不同傅汝德数Fr下进行系列阻力试验，最终得到剩余阻力系数试验数据。现取B/T，Cp，1 000 $\nabla $ /L³，Fr作为模型构建输入向量，剩余阻力系数作为输出向量。为检验模型泛化能力且避免原始数据集分布对模型训练的影响，随机选取数据集的80%作为训练集、20%作为测试集，进行20组不同排列组合试验，以测试样本预报值和真实值的均方误差和相关系数作为衡量模型适用性的评价指标，并通过4组不同B/T插值样本进一步检验，以选出较好的预报模型。

1 机器学习模型原理

本文选取机器学习模型中6种经典的回归预报模型进行试验论证，即KNN近邻回归、多元线性回归、岭回归、标准支持向量回归、3层BP神经网络、回归树。

1.1 KNN近邻回归

KNN近邻回归属于非参数回归方法，是通过搜索历史样本库中与新样本相似的样本数据来进行预测，需要考虑的主要因素包括：从历史样本库中选取与新样本距离较近的样本个数（K值）、近似程度度量方式、K个历史样本的权重函数和内部实现算法。本文选取比较常用的欧式距离度量方式，公式如下：

${d_i} = \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n \left({V_i} - \mathop {\mathop {V_i}\limits^\Lambda}\right)^2}\text{。}$

(1)

式中： ${d_i}$ 为新样本与历史样本库中相似样本的欧式距离； $V{}_i$ 为新样本的第 $i$ 个子项值； ${\mathop V\limits^\Lambda _i}$ 为历史样本库中相似样本的第 $i$ 个子项值；n为样本中所包含子项的个数。

而其他3个因素在已有文献中也是针对各自的试验数据选取最优参数值^[10]，因此本文结合所选数据集特点，选取等比重函数和距离反比函数2种权重函数、kd树与暴力搜索2种内部实现算法、K值大小进行试验，以选出最优参数，有关权重函数与内部实现算法的具体介绍可参考文献[11]。

1.2 多元线性回归与岭回归

多元线性回归是自变量多于一维时的回归形式，具体的方程形式为：

${y_i} = x_i^{\rm T}{ w}\text{。}$

(2)

式中： ${x_i}$ 为输入数据向量； ${ w}$ 为各输入数据向量对应的权值矩阵； ${y_i}$ 为真实输出值。

多元线性回归的目标是寻找使真实值与预测值误差平方和最小的一组权值矩阵。误差平方和可写为：

$\sum\limits_{i = 1}^m {({y_i}} - x_i^{\rm T}w{)^2}\text{，}$

(3)

上式对 $w$ 求导后，令其导数为0进而取极小值点，解出 $w$ 如下：

$\mathop {w}\limits^\Lambda = {({X^{\rm T}}X)^{ - 1}}{X^{\rm T}}y\text{，}$

(4)

其中 $\mathop {w}\limits^\Lambda $ 为w的最优解。

由于上式需要对矩阵求逆，当矩阵非满秩时求逆会出现问题，因此采用缩减系数法来解决这一问题，岭回归即是其中的一种。岭回归是在矩阵 ${x^{\rm T}}x$ 上加一个 $\lambda $ $I$ （ $I$ 是m×m的单位矩阵）使矩阵非奇异， $\lambda $ 的取值需要根据具体问题进行训练，使误差最小化。该方法不仅可以解决矩阵 ${x^{\rm T}}x$ 无法求逆的问题，也可在估计中引入偏差，并且 $\lambda $ 限制了 $w$ 之和，从而减少了不重要的参数^[12]。

1.3 支持向量回归

支持向量回归是通过特征空间中估计内积的核隐式，实现输入变量到高维特征空间的映射，然后在高维特征空间中构建线性回归函数，对应原空间非线性问题的求解^[2]。数学表达式为：

$f(x) = {\omega ^{\rm T}}{\rm{\cdot}}\varphi (x) + b\text{。}$

(5)

式中： $f(x)$ 为回归系数， $\omega $ 和 $b$ 分别为回归函数的法向量和偏移量； $\varphi (x)$ 表示特征映射函数。支持向量回归算法可以描述为以下问题：

$\begin{split} &\min \frac{1}{2}||\omega |{|^2} + C\sum\limits_{i = 1}^l {({\xi _i}} + \xi _i^*)\text{，}\\ &\left\{ \begin{array}{l} {\rm s.t.}{y_i} - {\omega ^{\rm T}}\varphi ({x_i}) - b \leqslant \varepsilon + {\xi _i}\text{，}\\ {\omega ^{\rm T}}\varphi ({x_i}) + b - {y_i} \leqslant \varepsilon + \xi _i^*\text{，}\\ {\xi _i},\xi _i^* \geqslant 0,i = 1,2, \cdots ,l\text{。} \end{array} \right. \end{split}$

(6)

式中： $C$ 表示惩罚系数； ${\xi _i}$ ， $\xi _i^*$ 为松弛变量； $\varepsilon $ 表示拟合精度^[13]。通过引入拉格朗日乘子与核函数的方法求解该问题，最终可将式（6）化为：

$f(x) = \sum\limits_{i = 1}^l {({\alpha _i}} - \alpha _i^*) \cdot K({x_i} \cdot x) + b\text{。}$

(7)

因此，支持向量回归模型的设计需要选择合适的精度参数 $\varepsilon $ ，惩罚系数 $C$ 以及核函数。

1.4 3层BP神经网络

人工神经网络基本单元如图1所示。图中 ${x_1} \sim {x_n}$ 为输入值， ${y_i}$ 为输出值， ${w_{ij}}$ 表示从神经元 $j$ 到神经元 $i$ 的连接权值， $\theta $ 表示阈值， $\phi $ 为激活函数，单个神经元的运算过程如下式：

${y_i} = \phi \left(\sum\limits_{j = 1}^n {{w_{ij}}} {x_j} - \theta \right)\text{。}$

(8)

BP神经网络的主要思想为对于样本若干个输入向量以及与其对应的目标向量，根据网络实际输出与目标向量之间的误差，选用合适算法修改权值和阈值，使网络输出层的误差平方和达到最小^[14]。

1.5 回归树

回归树是一种非参数监督学习方法，基本思想是通过给定数据集的特性采用某种算法推断出简单的决策规则，进而预测目标变量的值。树构建算法中常用的是CART算法，即使用二元切分来处理连续性变量。具体算法过程如下：

在训练数据集所在的输入空间中，递归地将每个区域划分为2个子区域并决定每个子区域上的输出值，构建二叉决策树^[15]。

1） 选择最佳切分变量j与切分点s，求解

$\mathop {\min }\limits_{j,s} [\mathop {\min }\limits_{{c_1}} {\sum\limits_{{x_i} \subset {R_1}\left( {j,s} \right)} {\left( {{y_i} - {c_1}} \right)} ^2} + \mathop {\min }\limits_{{c_2}} {\sum\limits_{{x_i} \subset {R_2}(j,s)} {({y_i} - {c_2})} ^2}]\text{。}$

(9)

式中： ${c_1}$ ， ${c_2}$ 为 ${R_1}$ ， ${R_2}$ 两个划分区域的代表值，以使区间实际值 ${y_1}$ ， ${y_2}$ 与代表值之间的平方差达到最小。

2） 遍历变量j，对固定的切分变量j寻找切分点s，找到可使式（9）达到最小值的（j,s），用选定的（j,s）划分区域并决定相应的输出值：

$\begin{split} &{R_1}(j,s) = \{ x|{x^{(j)}} \leqslant s\} ,{R_2}(j,s) = \{ x|{x^{(j)}} > s\} \text{，}\\ &\mathop {{c_m}}\limits^\Lambda = \frac{1}{{{N_m}}}\sum\limits_{{x_i} \subset {R_m}(j,s)} {{y_i}} ,x \subset {R_m},m = 1,2\text{。} \end{split}$

(10)

3） 继续对2个子区域重复步骤1和步骤2，直至满足条件，

4）最终可将输入空间划分为若干区域，假定M个：R₁，R₂，···R_m，并生成回归树：

$f(x) = \sum\limits_{m = 1}^M {\mathop {{c_m}}\limits^\Lambda } I(x \subset {R_m})\text{。}$

(11)

2 机器学习回归模型设计 2.1 KNN近邻回归模型设计

为选取合适的k值、权重函数和内部实现算法，开展不同组合参数的方案设计，得到均方误差与相关系数随k值数的变化曲线，如图2所示。

由图2可知，当k值为2时，相关系数出现峰值，而后随k值的增加逐渐减小，均方误差也在k值为2时出现低谷，之后随k值增加而增大；而在内部实现算法与权重函数的选择上，kd树算法与距离反比函数的组合最优。故本文选择k=2,kd树算法，距离反比函数的KNN近邻回归模型。

2.2 岭回归模型设计

岭回归主要调节参数为 $\lambda $ 值，岭回归模型中对 $\lambda $ 在0.1～1.0之间进行参数寻优，均方误差与相关系数变化曲线如图3所示。可以看出，最佳的 $\lambda $ 值只能看出在0.1附近，因此继续对 $\lambda $ 在0.01～0.1之间寻优，结果如图4所示。当 $\lambda $ =0.1时，预测效果最好。

2.3 支持向量回归模型设计

根据文献[13]可知，在预报船舶阻力时，支持向量回归模型需要考虑的参数有惩罚系数 $C$ 、核函数与拟合精度 $\varepsilon $ ，现对3个参数进行组合方案设计。现对4种常用核函数进行试验，结果如表1所示。均方误差与相关系数随惩罚系数 $C$ 、拟合精度 $\varepsilon $ 的变化曲线如图5和图6所示。因此，本文选取多项式核函数、惩罚系数 $C$ 为0.16、拟合精度 $\varepsilon $ 为5的支持向量回归模型。

2.4 3层BP神经网络模型设计

通过参考文献[3]，选择贝叶斯正则化函数作为训练函数，均方误差规则化函数为性能函数，隐层传递函数为双曲正切S形函数，输出层传递函数为线性函数。而隐层神经元数则参考经验公式 ${n_1} = \sqrt {n + m} + a$ （其中，m为输出节点数，n为输入节点数， $a$ 可取1～10之间的整数）选取调优范围，具体变化情况由图7所示。从可以看出隐层神经元数为18时最优。

3 船舶阻力预报模型比较

采用以上6种机器学习回归模型进行阻力预报试验，得到20组不同数据集样本排列方式的相关系数与均方误差平均值，如表2所示。由于训练和测试样本都是采用的原始数据，为了验证各模型的泛化能力，选择各模型20组中拟合效果最好的一组，对相同的Cp，1 000 $\nabla $ /L³与Fr，进行B/T为2.5，2.75，3.25，3.5的4组剩余阻力系数值进行预报，同时采用直线内插法^[16]对4组剩余阻力系数值进行计算。预报剩余阻力系数值与内插法所得值的均方误差与相关系数如表3所示。由此可见，回归树模型在6种机器学习模型中预报效果最好。

4 结　语

利用泰洛标准系列船模原始试验数据，采用6种经典机器学习回归模型，对船舶剩余阻力系数进行预报，通过每种模型预报效果对比，得到以下结论：

1）通过训练机器学习回归模型，在泰勒标准系列船模试验数据的参数范围内，可以较精确地对船舶剩余阻力系数进行预报，避免了人工查谱的的繁琐过程，且预报效率较CFD数值模拟方法要高。

2）对于机器学习近似预报模型可以进一步调整算法，以提高对船舶阻力的预报精度。

3）针对不同的船舶阻力系列数据，根据数据集的特点与分布规律，选择合适的近似模型并进行调优，从而设计出具有较高泛化能力的船舶阻力预报模型的方法切实可行。