0 引　言

均匀圆阵是声呐广泛采用的一种布阵形式，具有易实现等束宽波束形成等诸多优点。圆阵常采用常规波束形成方法（Conventional Beamforming，CBF）具有实现简单、性能稳定等优点，但存在旁瓣级高，噪声抑制能力弱的不足，通常不满足切比雪夫加权等波束形成方法应用条件^{[1 – 2]}。最小方差信号无畸变响应方法（Minimum Variance Distortionless Response，MVDR）能有效克服上述不足，突破常规波束形成分辨率的“瑞利限”，抑制高旁瓣级。但是，阵元域MVDR方法存在计算量大、低信噪比时目标分辨率低和少快拍数信号协方差矩阵求逆易发生畸变的问题^[3]。本文提出一种基于少快拍条件下均匀圆阵波束域MVDR方法，较好克服少快拍数MVDR波束形成性能严重下降问题并具有良好的低信噪比目标分辨率。

1 均匀圆阵MVDR波束形成方法及特点 1.1 均匀圆阵及信号模型

如图1所示，假设圆阵的半径为 $R$ ，均匀排布 $M$ 个阵元，第 $i$ 个阵元接收的信号为 ${x_i}(t)$ ，权值为 ${a_i}$ ，阵列的输出信号可以表示为：

$ {Z_{CBF}}(t) = {A^H}(\theta )X(t) \text{。} $

(1)

式中：向量 ${{A(}}\theta {\rm{) = [}}{\alpha _1}{\rm{(}}\theta {\rm{),}} \cdots {\rm{,}}{\alpha _i}(\theta ) \cdots {\rm{,}}{\alpha _M}{\rm{(}}\theta {\rm{)}}{{\rm{]}}^{\rm T}}$ 表示阵列的方向向量， $\theta $ 为信号入射角，向量 $X(t)$ 表示 $t$ 时刻阵列接收信号向量，可表示为：

$ X(t) = S(\theta ) + N(t) \text{。} $

(2)

式中： $S(\theta )$ 为阵元域接收的目标信号， $N(t)$ 是加性高斯白噪声。则此时阵列的输出功率为：

$ {P_{CBF}}(\theta ) = E\{ Y(t) \cdot {Y^H}(t)\} = {A^H}(\theta ){{ R}_{xx}}A(\theta )\text{，} $

(3)

式中， ${{ R}_{xx}}$ 为阵列接收信号的协方差矩阵为：

$ {{ R}_{xx}} = E\{ X(t) \cdot {X^H}(t)\} \text{。} $

(4)

1.2 MVDR方法及特点

MVDR波束形成方法思想在于保证目标信号方向输出量不变的前提下，使阵列输出信号功率最小，可数学抽象为线性约束下求最优解的问题：

$ \mathop {\min }\limits_a {A^H}{R_{xx}}A\;\;\;{\rm{s.t.}}\;\;\;{A^H}{{\alpha}} ({{\theta}} ) = 1\text{，} $

(5)

式中， $ ({{\alpha\theta}} )$ 为 $\theta $ 方向目标的方向向量。

求解得，MVDR波束形成的阵列信号输出功率为：

${P_{MVDR}}(\theta ) = \frac{1}{{{\alpha ^H}(\theta ){{ R}^{ - 1}}\alpha (\theta )}}\text{。}$

(6)

由于MVDR方法中，需对协方差矩阵 ${ R}$ 求逆。在低信噪比条件会导致矩阵 ${ R}$ 主对角线元素值较小甚至接近零时，求 ${{ R}^{ - 1}}$ 会大概率出现奇异解，导致波束性能严重退化，且矩阵维数越高出现奇异解的概率越大。因此，需要尽可能降低矩阵 ${ R}$ 的维数，提高求 ${{ R}^{ - 1}}$ 的鲁棒性。

2 均匀圆阵波束域MVDR方法

如图2所示，在波束域利用阵元域输出信息作为MVDR输入信息，将目标信号从阵元域 $M \times 1$ 维降到波束域 $B \times 1$ 维，降低了协方差矩阵 ${ R}$ 的维数，减小了MVDR的计算量^[4]。同时，将阵元域信息转换到波束域相当于利用均匀加权波束形成约7.6dB的信号增益，提高了波束域信号的信噪比，提高了波束形成分辨率和鲁棒性。

基于假设的阵列构造 $M \times 1$ 维常规波束形成预成加权向量：

$ V(u) \!=\! {[1,\exp (j{\text{π}} u),\exp (j2{\text{π}} u), \cdots ,\exp (j(M \!-\! 1){\text{π}} u)]^{\rm T}}\!\!\text{，}\!\! $

(7)

式中： $u = 2\dfrac{d}{\lambda }\sin (\theta )$ ， $d$ 为阵元间距。此时，波束域MVDR波束形成的转换矩阵 $ T$ 表示为：

$ { T} = \frac{1}{{\sqrt M }}[v(u1),v(u2), \cdots ,v(uB)]\text{，} $

(8)

可见，转换矩阵 ${ T}$ 是 $M \times B$ 维矩阵。阵列在波束域的输出信号为：

$ Z(t) = {{ T}^H}X(t) \text{，} $

(9)

信号实现了由阵元域 $M \times 1$ 维转换到波束域 $B \times 1$ 维。波束域MVDR波束形成器输入信号协方差矩阵为：

$ {R_B} = E\{ Z(t){Z^H}(t)\} = E\{ {{ T}^H}X(t){X^H}(t)T\} \text{，} $

(10)

此时，波束域MVDR波束形成器的输出功率为：

$ {P_{BMVDR}}(\theta ) = \frac{1}{{{A^H}(\theta )T{R_B}^{ - 1}{T^H}A(\theta )}} \text{。} $

(11)

3 均匀圆阵对角加载技术

波束域信号协方差矩阵实际工程应用是通过采样信号获得，假设信号快拍是为N，则均匀圆阵波束域信号协方差矩阵表示为：

${\hat { R}_B} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {Z({t_i}){Z^H}({t_i})} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{T^H}X({t_i}){X^H}({t_i})T} \text{。}$

(12)

波束域信号协方差矩阵 ${\hat { R}_B}$ 求逆的过程中，快拍数N必须远大于波束域B，才能保证 ${\hat { R}_B}$ 的求逆不出现畸变解。若N≤B则 ${\hat { R}_B}$ 的逆矩阵不存在；若N仅略大于B，则 ${\hat { R}_B}$ 求逆过程会大概率出现畸变解^[5]。由Van Trees的相关著作介绍，信号协方差矩阵求逆的稳定性主要由其主对角线元素大小决定，元素值越大则求逆稳定性越高。故当形成单波束阵元数 $L$ 接近波束域波束数 $B$ 时，协方差矩阵 $ R$ 降维效果不明显，求逆计算需要的快拍数较大^[6]。对于快拍数较少且波束数接近阵元数时，波束域MVDR波束形成也存在较高的协方差矩阵求逆出现奇异解导致波束形成的性能明显下降的问题。通过对波束域信号协方差矩阵的主对角线元素加载惩罚性噪声，优化少快拍条件和形成单波束阵元数 $L$ 接近波束域波束数 $B$ 条件下波束域MVDR的鲁棒性^{[7 – 8]}。对角加载技术可数学表示为：

${\tilde { R} _B} = {\hat { R}_B} + \xi {{ I}_B}\text{。}$

(13)

式中： ${\tilde { R}_B}$ 为添加惩罚性噪声后的波束域信号协方差矩阵； $\xi $ 为对角加载因子； ${{ I}_B}$ 为波束域对角加载单位矩阵。由于波束域信号协方差矩阵 ${\hat { R}_B}$ 在主对角线添加了惩罚性因子 $\xi $ ，能够有效的提高矩阵 ${\hat { R}_B}$ 求逆的稳健性，从而增强均匀圆阵波束域MVDR的鲁棒性，此时最小方差无畸变方法的约束方程可以表示为：

$ \mathop {\min }\limits_a {A^H}T{\tilde R_B}{T^H}A\;\;\;s.t.\;\;\;{A^H}T\alpha (\theta ) = 1\text{。} $

(14)

对角加载后的波束域MVDR波束形成的信号输出功率为：

$ {P_{BMVDR}}(\theta ) = \frac{1}{{{A^H}(\theta )T{{\tilde R}_B}^{ - 1}{T^H}A(\theta )}}\text{。} $

(15)

4 仿真验证

通过仿真实验对以上的方法进行验证：

实验1 　假设均匀圆阵有48个阵元，阵元间距为半波长，波束覆盖 ${20^ \circ }{\rm{\sim}}{\;60^ \circ }$ 的扇面区域，有3个同强度的目标信号分别在参考阵元的 ${30^ \circ }$ ， ${40^ \circ }$ 和 ${45^ \circ }$ 方向，信噪比 $SNR$ 分别为10 dB和0 dB，快拍数为1 000 pd，仿真结果如图3和图4所示。

在假设的仿真条件下，通过10 dB和0 dB信噪比下的仿真结果可知，阵元域MVDR波束形成在高信噪比时，具有良好的目标分辨率，能够明显区分 ${40^ \circ }$ 和 ${45^ \circ }$ 两个方位的目标；在低信噪比时，该波束形成方法的目标分辨率较差，无法区分相距 ${5^ \circ }$ 的2个目标，旁瓣级较CBF均有明显降低。

实验2 　基于仿真实验1的条件，分别在0 dB，–5 dB和–10 dB的信噪比条件下，进行波束域MVDR波束形成方法的仿真实验。

由仿真结果图5～图7可知，在3种信噪比条件下，波束域MVDR方法均可以区分 ${40^ \circ }$ 和 ${45^ \circ }$ 两个方向的目标，目标分辨率比阵元域MVDR方法有较明显的提高，波束形成图的锐度也有进一步优化。

实验3 　保持其他仿真条件不变，在信噪比为–10 dB，快拍数为50 pd条件下，仿真结果如图8所示。

由图8可知，假设仿真条件下，相较于阵元域MVDR波束形成无法区分 ${40^ \circ }$ 和 ${45^ \circ }$ 方向相邻目标，而波束域MVDR波束形成方法性能虽稍有退化，但尚能基本分辨 ${40^ \circ }$ 和 ${45^ \circ }$ 两个方向目标。

实验4 　假设192个阵元按照半波长均匀排布在圆周上，利用相邻的48个阵元形成一个波束，在0°～360°空间上均匀产生96个波束，单个波束覆盖 ${3.58^ \circ }$ 扇形区域。在 ${30^ \circ }$ ， ${32^ \circ }$ 和 ${34^ \circ }$ 三个方向强度相同的窄带信号目标，在信噪比为–10 dB，快拍数为50 pd条件下进行波束域MVDR波束形成如图9所示。

由图9可知，在仿真实验4假设条件下，阵元域MVDR未发生畸变，但受到目标分辨力的限制，不能将 ${30^ \circ }$ ， ${32^ \circ }$ 和 ${34^ \circ }$ 三个方向强度相同的窄带信号目标区分出来；而此时形成单个波束的阵元数等于圆阵半周长形成的波束数的波束域MVDR波束形成发生了明显的畸变，波束形成的鲁棒性明显退化，完全不能观测目标。

实验5 　基于仿真实验4的条件，对信号协方差矩阵的添加 $\xi {\rm{ = }}0.01$ 的惩罚性噪声，进行波束域MVDR波束形成如图10所示。

由图10可知，利用对角加载技术添加惩罚噪声后，波束域MVDR形成的波束清晰区分出 ${30^ \circ }$ 、 ${32^ \circ }$ 和 ${34^ \circ }$ 方向的3个目标，引入的对角加载技术保证了方法的鲁棒性，保持了波束域MVDR良好的目标分辨率，波束形成性能较好。

5 结　语

引入了对角加载技术的波束域MVDR波束形成方法能够使均匀圆阵波束形成在少快拍数、低信噪比和单波束阵元的数量 $L$ 接近波束域波束的数量 $B$ 的条件下，保证了良好的目标分辨能力和鲁棒性。当形成单波束阵元的数量 $L$ 较显著大于波束域波束的数量 $B$ 时，不需要对角加载也可实现少快拍数条件良好的鲁棒性，但 $L$ 和 $B$ 之间定量的关系需要进一步讨论研究。