0 引　言

在声呐系统的设计过程中，波束形成是一个核心基础环节，利用一定几何形状的基阵和信号处理技术，使发射和接收的信号形成指向性波束。在发射信号时，通过指向性波束提高声呐的作用距离；在接收信号时，在空间域中抑制环境噪声和混响干扰，提高声呐接收机输入端的信噪比，获得更好的声呐图像和目标的分辨率，其直接表征为旁瓣级，旁瓣级越低，系统抑制旁瓣区域的干扰能力越强。

在没有水下弹道测量系统的条件下，设计测量水下高速小目标末弹道的声呐成像系统的主要考虑：1）目标接近成像系统的方向未知，可能从任一方向接近；2）目标运动速度快，回波多普勒偏移量大，可能达到宽带信号的标准；3）目标距离近，成像系统受到混响的干扰强等因素的限制^[1]。在声呐系统的阵型设计中，只有使用均匀排布的圆形阵列，才具有 ${0^{\circ} }$ ～ ${360^{\circ} }$ 的方位角范围内，形成均匀指向性波束的能力，避免目标的方位模糊，圆阵波束形成数学模型简单，设计的工程实现性强。但是圆阵的常规波束形成的旁瓣级高，图像的目标分辨率低，弹道测量误差大，本文以一种对均匀圆阵进行Dolph-Chebyshev加权的波束形成方法，并给出在圆阵利用此法波束形成的约束条件，并通过仿真实验验证方法的可行性。

1 常规波束形成模型

由于声信号到达基阵各个阵元的距离不同，导致各个阵元输出的信号也不同，需要通过延时等信号处理方法补偿差异，这是常规波束形成的基本思想^{[2 – 3]}。假设入射信号是平面波，基阵是N个阵元组成。以其中某个阵元为参考点，设第 $i$ 个阵元接收的信号为 $s[t + {\tau _i}({\theta _0})]$ ，其中 ${\theta _0}$ 为预设的信号入射角，对各通道信号延时补偿 ${\tau _i}({\theta _0})$ ，使各路输出信号均为 $s(t)$ ，再对N路信号求和、平方和积分就得到 ${N^2}\sigma _s^2$ ，其中 $\sigma _s^2$ 为信号功率。此时，信号如从 $\theta $ 角入射，则第 $i$ 个阵元输出信号为 $s[t + {\tau _i}(\theta ) - {\tau _i}({\theta _0})]$ ，阵列输出为：

$D(\theta ) = {\left\{ {E{{\left( {\sum\limits_{i = 0}^{N - 1} {s\left[ {t + {\tau _i}(\theta ) - {\tau _i}({\theta _0})} \right]} } \right)}^2}} \right\}^{\frac{1}{2}}}{\text{。}} $

(1)

再经过归一化处理得到 $\mathop D\limits^ {\wedge} (\theta )$ ，即为阵列的指向性函数。上述即为波束形成的延时-求和-平方模型，如图1所示。

2 圆阵波束形成的信号模型

目前，阵元发射信号受到换能器谐振频点的限制，一般只能发射窄带信号。接收信号则根据信号的不同分为窄带信号模型和宽带信号模型，通常当目标回波信号带宽大于信号中心频率的1/10时，被认为是宽带信号，由于发射信号和接收信号的波束形成原理相同^[3]，文中以接收的信号模型为例说明。

被测目标到成像系统的距离一般是远大于成像系统的圆阵直径，阵元接收的信号属于远场窄带信号。假设回波信号为 $s(t)$ ，圆阵的阵元数为 $N$ ，圆阵接收的信号可以表示为：

$s(t) = a(t)\cos [2{\text{π}} {f_0}t + \varphi (t)]{\text{，}} $

(2)

式中， ${f_0}$ 为信号的中心频率， $a\left( t \right)$ 为信号幅度， $\varphi (t)$ 为信号相位，其解析信号可以表示为：

$\mathop {\tilde{s}} (t) = a(t){e^{j[2{\text{π}} {f_0}t + \varphi (t)]}}{\text{，}} $

(3)

假设接收信号的时延量为 $\tau $ ,圆阵接收信号为：

$\mathop {\tilde{s}} (t{\rm{ - }}\tau ) = a(t{\rm{ - }}\tau ){e^{j[2{\text{π}} {f_0}(t{\rm{ - }}\tau ) + \varphi (t)]}}{\text{。}} $

(4)

但是，窄带信号的幅度是慢变化的，则 $a(t{\rm{ - }}\tau ){\rm{ = }}a(t)$ 。可见，窄带信号时延只会引起信号复包络的相移变化，对信号的幅值的影响基本可以忽略。假设圆阵的参考阵元的接收信号为 ${\mathop {\tilde{s}} _0}(t)$ ，第 $i$ 个阵元接收信号相对参考阵元接收信号的时延量为 ${\tau _i}$ ，其信号可表示为：

${{\tilde{s}} _i}(t) = \mathop {\tilde{s}} (t{\rm{ - }}{\tau _i}) \approx \mathop {\tilde{s}} (t){e^{j2{\text{π}} {f_0}{\tau _i}}}{\text{，}} $

(5)

圆阵在第 $n$ 次快拍接收到的信号模型可用矩阵表示为：

$S{{(n) = }}s(n)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^{ - j2{\text{π}} {f_0}{\tau _1}}}} \\ \vdots \\ {{e^{ - j2{\text{π}} {f_0}{\tau _N}}}} \end{array}} \right] = s(n)\Phi {\text{，}} $

(6)

式中， $\varPhi {\rm{ = }}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^{ - j2{\text{π}} {f_0}{\tau _1}}}}& \cdots &{{e^{ - j2{\text{π}} {f_0}{\tau _N}}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$ 是圆阵接收信号的方向向量，取决于目标回波信号方向。

3 圆阵波束形成的数理模型 3.1 均匀加权波束形成

假设圆阵半径为 $R$ ，在其圆周上等间距排布 $N$ 个阵元，以原点作为参考点，依次确定信号到达各阵元的时延量，如图2所示。

可知，参考阵元的坐标向量为 ${P_m} = \Big[ R\cos$ $ {\begin{array}{*{20}{c}}{(2{\text{π}} n/N)}&{R\sin (2{\text{π}} n/N)}&0 \end{array}} \Big]$ ，接收信号的方位角 $\varphi \in \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{ - }}{\text{π}} }&{\text{π}} \end{array}} \right]$ ，俯仰角 $\theta \in \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{ - }}\dfrac{{\text{π}} }{2}}&{\dfrac{{\text{π}} }{2}} \end{array}} \right]$ ，其位置向量可表示为 $L = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \theta \cos \varphi }&{\sin \theta \sin \varphi }&{\cos \theta } \end{array}} \right]$ ，则信号到达第 $i$ 个阵元相对于原点的时延量为：

$ {{\tau }_{i}}=-\frac{\Delta R}{c}=\frac{\left\langle {{p}_{m}},l \right\rangle }{c}=\frac{l}{c}\sin \theta \cos \left( \phi -\frac{2{\text{π}} i}{N} \right), \;\;\;\; i=1,2,\cdots ,N{\text{。}} $

(7)

其中， $\Delta R$ 为参考原点和第 $i$ 个阵元的波程差。则第 $i$ 个阵元和参考原点之间的相位差为：

${\phi _i}(\theta ,\varphi ) = 2{\text{π}} {f_0}{\tau _i} = \frac{{2{\text{π}} }}{\lambda }R\sin \theta \cos \left(\varphi - \frac{{2{\text{π}} i}}{N}\right){\text{，}} $

(8)

整个均匀圆阵的波束响应可以表示为：

$B(\theta ,\varphi ) = \sum\limits_{i = 0}^{N - 1} {{s_i}(\theta ,\varphi ){\omega _i}} {\text{，}} $

(9)

式中， ${s_i}(\theta ,\varphi )$ 为第 $i$ 个阵元的接收信号， ${\omega _i}$ 为第 $i$ 个阵元接收信号的加权值。

在均匀圆阵上，采用均匀加权法进行波束形成，则有：

${\omega _i}{\rm{ = }}\frac{1}{N}{\text{，}} $

(10)

整个均匀圆阵的波束响应可以表示为：

$B(\theta ,\varphi ) = \sum\limits_{i = 0}^{N - 1} {\frac{1}{N}{s_i}(\theta ,\varphi )} {\text{。}} $

(11)

3.2 旁瓣抑制加权波束形成

通过Dolph-Chebyshev加权法抑制旁瓣高度，改善圆阵波束形成的性能，但是以上加权法只适用于线性阵列，故需要通过相位模式激励法将圆阵等效成线列阵，再进行后续的波束形成^{[4 – 5]}。

为了方便讨论波束性能，令 $\theta {\rm{ = }}\dfrac{{\text{π}} }{2}$ ，则方位角为 $\varphi $ ，此时参考阵元 $i$ 的接收信号响应为：

${\left[ {a(\varphi )} \right]_i} = {\alpha _i}(\varphi ){e^{jkR\cos (\varphi - \frac{{2{\text{π}} i}}{N})}},i = 0,1, \cdots ,N - 1 $

(12)

式中，波数 $k = \dfrac{{2{\text{π}} }}{\lambda }$ ， ${\alpha _i}(\varphi )$ 为阵元信号响应增益，由于已假定阵元各向同性，则可认为 ${\alpha _i}(\varphi ){\rm{ = }}1$ 。

将各个阵元接收信号响应乘上最大相位模数为 $h$ 的矩阵 $B_{JF}^H$ ，可以将圆阵等效为 $(2h + 1)$ 阵元的线列阵。其中，最大相位模数 $h$ 为：

$h \approx \frac{{2{\text{π}} R}}{\lambda }{\text{，}} $

(13)

最大相位模数矩阵 $B_{JF}^H$ 可表示为：

$B_{JF}^H{\rm{ =}} J \cdot {F}{\text{，}} $

(14)

定义矩阵 ${{J}}$ 和 ${{F}}$ 分别为：

$ J{\rm{ = diag}}\left\{ \left[{{{j}}^n}\sqrt M {{{J}}_n}(kR)\right]{^{{\rm{ - }}1}}\right\},n{\rm{ = - }}h, \cdots ,0, \cdots ,{{h}}{\text{，}} $

(15)

$F{\rm{ = }}\frac{1}{{\sqrt N }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{\omega ^{{\rm{ - }}h}}}&{{\omega ^{{\rm{ - 2}}h}}}& \cdots &{{\omega ^{{\rm{ - (}}N - 1{\rm{)}}h}}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 1&{{\omega ^{{\rm{ - 1}}}}}&{{\omega ^{{\rm{ - 2}}}}}& \cdots &{{\omega ^{{\rm{ - (}}N - 1{\rm{)}}}}} \\ 1&1&1& \cdots &1 \\ 1&{{\omega ^1}}&{{\omega ^2}}& \cdots &{{\omega ^{(N - 1)}}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 1&{{\omega ^h}}&{{\omega ^{2h}}}& \cdots &{{\omega ^{(N - 1)h}}} \end{array}} \right]{\text{，}} $

(16)

式中， $\omega {\rm{ = }}{e^{j\frac{{2{\text{π}} }}{N}}}$ ， ${{J}_{n}}(\centerdot )$ 是 $n$ 阶第一类Bessel函数。其模数转换原理如图3所示。

经过转化后，阵元信号响应矩阵为：

$ {{a}_{v}}(\varphi )=B_{JF}^{H}\centerdot a(\varphi )\approx {{\left[{{e}^{-jh\varphi }},\cdots ,1,\cdots ,{{e}^{jh\varphi }}\right]}^{\rm{T}}}{\text{。}} $

(17)

形成了线列阵的响应模式，具有范德蒙行列式的结构形式，在此基础上，可以按照Dolph-Chebyshev加权法对输出信号 ${y_i}(n),i = - h, \cdots ,h$ 进行波束形成，假设波束指向 ${\varphi _1}$ 方向，设置权向量 $W$ ：

$W = \mathop {\tilde J} {a_v}({\varphi _1}){\text{，}} $

(18)

式中， $\mathop {\tilde J} $ 是对角矩阵，设为：

$\mathop {\tilde J} {\rm{ = }}diag({I_{ - h}}, \cdots ,{I_{ - 1}},2{I_0},{I_1}, \cdots ,{I_h}){\text{，}} $

(19)

则整个整理的波束响应为：

$ B(\varphi )={{W}^{H}}\centerdot {{a}_{v}}(\varphi )=2{{I}_{0}}+\sum\limits_{n=1}^{h}{{{I}_{-n}}{{e}^{-jn({{\varphi }_{1}}-\varphi )}}}+\sum\limits_{n=1}^{h}{{{I}_{n}}}{{e}^{jn({{\varphi }_{1}}-\varphi )}}{\text{。}} $

(20)

根据对角矩阵 $\mathop {\tilde J} $ 元素的镜像对称性，上式可简化为：

$ B(\varphi )={{W}^{H}}\centerdot {{a}_{v}}(\varphi )=2\sum\limits_{n=0}^{h}{{{I}_{n}}\cos [2nu(\varphi )]}{\text{，}} $

(21)

式中， $u(\varphi ) = \dfrac{{{\varphi _1} - \varphi }}{2}$ ，在 $\cos [2nu(\varphi )]$ 转化为关于 $\cos [u(\varphi )]$ 的多项式的形式：

$\cos [2nu(\varphi )]{\rm{ = }}{\sum\limits_{q = 0}^n {b_{2q}^{2n}[\cos (u(\varphi ))]} ^{2q}}{\text{，}} $

(22)

即，波束响应 $B(\varphi )$ 可以转化为：

$B(\varphi ){\rm{ = }}2{\sum\limits_{q = 0}^h {\sum\limits_{n = q}^h {{I_n}b_{2q}^{2n}[\cos (u(\varphi ))]} ^{2q}} }{\text{，}} $

(23)

令 $\beta $ 为主瓣幅值和旁瓣幅值的比值，将式（22）表示成根值 $z \in [ - 1,1]$ 且还有 $2h$ 项的Chebyshev多项式：

${T_{2h}}(z) = \sum\limits_{q = 0}^h {b_{2q}^{2h}{z^{2q}}} {\text{，}} $

(24)

式中， $z = {z_0}\cos (u(\varphi )),z \in [ - {z_0},{z_0}]$ 。其中， ${z_0}$ 有 ${T_{2h}}({z_0}) $ $ = \beta > 1 $ 决定，可以进一步得到：

$2\sum\limits_{n = q}^h {{I_n}b_{2q}^{2n} = b_{2q}^{2h}z_0^{2q}} {\text{。}} $

(25)

对角矩阵 $\mathop {\tilde J} $ 中的元素 ${I_n}$ ，可由式（22）求得。此时，圆阵的波束响应可以表示为：

$B(\varphi ) = {W^H}{a_v}(\varphi ) = {T_{2h}}(z){\text{，}} $

(26)

圆阵响应模式可表示为：

${\left| {{W^H}{a_v}(\varphi )} \right|^2} = {\left| {{a_v}(\varphi )\mathop {\tilde J} {a_v}(\varphi )} \right|^2} = {\left| {{T_{2h}}({z_0}\cos (u(\varphi )))} \right|^2}{\text{。}} $

(27)

此时，圆阵波束响应模式已经等效为均匀线列阵Dolph-Chebyshev多项式的响应模式。因为 $u(\varphi )$ 和 ${\varphi _1}$ 成线性关系，对于任一取值的 ${\varphi _1}$ ，圆阵波束响应 $B(\varphi )$ 主瓣宽度都相同，即任一波束指向方向的圆阵波束响应的主瓣宽度一致。对于任一方向接近的目标，其波束响应的强度相同，有利于均衡图像的背景，提高目标的图像分辨率。

值得注意的是上述阵列模式等效转换需要满足矩阵 ${B_{JF}}$ 可逆的条件，即圆阵的阵元数 $N > \dfrac{{2{\text{π}} R}}{\lambda }$ ，圆阵的阵元间距必须小于回波信号的半波长。下面通过仿真实验经过Dolph-Chebyshev加权后的旁瓣抑制效果。

4 圆阵波束形成仿真实验及性能分析

仿真实验1：假设均匀圆阵共有33个各向同性的阵元，圆阵半径为 $R$ ，接收信号的波长为 $\lambda $ 。要求波束指向 $({0^{\circ} },{0^{\circ} })$ 方向，经过Matlab仿真得到圆阵的波束指向性图，如图4所示。

由图4可知，圆阵三维波束形成图可以获得均匀加权圆阵的俯仰角和方位角信息，反映了均匀加权波束形成性能。但是，实孔径声呐成像系统和被测目标基本在同一深度，故方位角信息更值得关注。为了方便分析圆阵波束形成水平方向的指向性特征及讨论不同阵元数和半径的波束指向性能。

仿真实验2：实验1中，其他假设条件不变，令俯仰角 $\theta {\rm{ = }}\dfrac{{\text{π}} }{2}$ ，得到波束指向性图，如图5所示。

由图5可知，均匀加权圆阵水平方向的半功率波束宽度 $11.5^{\circ} $ ，最大旁瓣高度约为 ${\rm{ - }}8\;{\rm dB}$ ，远离预成方向的旁瓣呈现递减趋势。

仿真实验3：其他实验假设条件不变，保持 $R/\lambda $ =0.66不变，改变阵元数 $N$ ，得到图6。

由图6可知，由于圆阵的非线性特点，在调整圆阵半径和接收信号波长比值不变的情况下，无论怎样改变圆阵阵元的数量，均匀加权圆阵的第一旁瓣高度总是约为–8 dB，明显高于线列阵的第一旁瓣–13.5 dB的高度。高旁瓣会引起高的虚警概率，造成大的弹道测量误差，应当在设计中采用适当的方法抑制旁瓣，保证测量精度。

仿真实验4：实验1的其他假设条件不变，改变圆阵接收信号频率，即改变圆阵的半径和信号波长比 $R/\lambda $ ，得到图7。

由图7所示，在圆阵阵形固定的条件下，提高发射信号频率可以减小波束形成的主瓣宽度，改善波束指向性能，但是最大旁瓣高度仍为–8 dB左右，虚警概率和轨迹测量依然较大，且提高发射信号频率会导致信号吸收损失的增强，限制了声呐系统的作用距离，需要慎重选择发射频率。

仿真实验5：设圆阵具有32个均匀排布的阵元且阵元各向同性，半径波长比 $\dfrac{R}{\lambda }$ 为0.75，主瓣幅值和旁瓣幅值比为 $\beta $ =10（ ${\rm{ - }}20\;{\rm dB}$ ），令波束指向 $({0^ \circ },{0^ \circ })$ 方向，俯仰角 $\theta {\rm{ = }}\dfrac{{\text{π}} }{2}$ ，最大相位模式 $h = 5$ ，则圆阵chebyshev加权部分可以等效为11个阵元均匀排布的线列阵，利用Matlab仿真，分别得到均匀加权圆阵波束响应图和Dolph-Chebyshev加权圆阵波束响应图，如图8和图9所示。

由仿真实验5可知，当圆阵满足 $N > \dfrac{{2{\text{π}} R}}{\lambda }$ 条件时，通过Dolph-Chebyshev加权法可以有效抑制波束响应的旁瓣，提高信噪比，有利于提高目标图像的分辨率。但是，在旁瓣被抑制的同时，主瓣宽度也略有增加，需要在设计中合理选择主瓣幅值和旁瓣幅值比 $\beta $ 的值，保证较高的方位角度的分辨率。

5 结　语

设计基于水下高速小目标末弹道测量的实孔径成像声呐应该优先考虑均匀排布的圆阵，保证没有观测盲区，提高观测效率。在圆阵做波束形成时，Dolph-Chebyshev加权法能够有效抑制旁瓣高度，克服均匀加权圆阵波束形成旁瓣高的缺陷，同时能够保证在各个波束方向上，波束响应的幅值相同，为后续图像信号处理提供高质量的输入信号。但是，圆阵阵元数必须满足 $N > \dfrac{{2{\text{π}} R}}{\lambda }$ 才能等效成线列阵的响应模式进行Dolph-Chebyshev加权，否则常规波束形成的方法旁瓣抑制效果均不理想，故为了获得良好的目标回波图像采用Dolph-Chebyshev加权时，必须合理设计圆阵半径、发射信号频率和阵元数量的关系以满足 ${B_{JF}}$ 矩阵可逆。