0 引　言

随着各国海洋利益的不断扩展，水下安全形势越来越复杂，水下目标辐射噪声级不断降低，隐蔽性随之增强。近场区域警戒和近海岸的港口防御等军事需求越来越迫切。针对近场声目标定位问题，聚焦波束形成是常见的方法之一，其原理是根据目标声源到各个阵元曲率半径不同，补偿球面波传播模型下的时延差。该时延差考虑的是声源距离和方位的二维函数，在扫描平面上对不同位置点进行扫描，获得该平面的声强图，当扫描点与目标位置重合时，聚焦波束形成输出会出现峰值，即可得到目标的距离和方位。科研人员基于均匀线列阵，对近场聚焦波束形成方法展开了比较深入的研究，2012年，陈欢等^[1]提出了基于幅度补偿的直线阵近场聚焦波束形成方法，该方法有效提高了基阵对于低频信号的空间分辨能力，并进一步抑制了高频信号的空间混叠，但是直线阵对目标进行方位估计时会出现方位模糊等问题针对小基阵的近场目标定位问题，2014年，陈泓宇等^[2]提出了基于半圆阵的近场聚焦波束形成方法，通过仿真结果来看，半圆阵虽然克服了直线阵对目标进行方位估计时出现的“左右舷模糊”问题，但是基于半圆阵的近场聚焦波束形成方法旁瓣级比较高，使得空间分辨率降低。从目前的研究情况来看，近场目标的定位研究主要集中于方位估计或方位与俯仰角估计，针对基于空间阵的目标距离、方位、俯仰角三维同时定位需要进行更深入的研究。研究也表明，定位性能与基阵的布设、定位的方法等都有比较大的关系，如何设计更合理的小尺寸基阵实现对近场目标的准确定位仍然是需要解决的问题。

本文提出圆台阵设计的构想，推导了圆台阵的接收信号模型，提出了近场三维声聚焦波束形成的实现框架，通过对切割球面上聚焦点的扫描，得到目标方位角和俯仰角，再通过对不同扫描球面上最大输出功率的比较得到目标距离，从而实现了对近场目标距离、方位角、俯仰角的估计，并采用MVDR波束形成方法仿真分析了圆台阵阵型对目标三维定位性能的影响，可为优化圆台阵的阵形设计提供一定支撑。

1 圆台阵近场信号接收模型

如图1所示，圆台阵由4条线型子阵组成，每条子线阵的阵元数为 $m$ ，则整个圆台阵的总阵元数 $M = 4m$ 。4条线型子阵分别排列在圆台阵的母线上，母线倾斜角度为 ${\theta _z}$ ，单条子阵的长度为 $d$ 且阵元间距相等，圆台上台面的半径为 ${l_1}$ ，以圆台上台面圆心为参考点建立坐标系，假设近场声源 $S$ 的位置为 $\left( {r,\theta ,\varphi } \right)$ ，其中 $r$ 表示声源到参考点的距离， $\theta $ 表示俯仰角， $\varphi $ 表示方位角。声源 $S$ 到第 $k$ （ $k = 1,2,...,{\rm{4}}$ ）条子阵第 $i$ 个（ $i = 1,2,...,m$ ）阵元的距离为 ${r_{ki}}$ 。

根据图1和几何关系，运用三角形余弦定理可得

$\tiny \left\{ \begin{align} & {{r}_{{\rm 1}i}}{\rm =}\\ &\sqrt{\begin{align} & {{\left( r\cos \left( \theta \right) \right)}^{{\rm 2}}}{\rm +}{{\left( i\frac{d}{m}\cos \left( {{\theta }_{z}} \right){\rm +}{{l}_{1}} \right)}^{2}}-2r\left( i\frac{d}{m}\cos \left( {{\theta }_{z}} \right){\rm +}{{l}_{{\rm 1}}} \right)\cos \left( \theta \right)\cos \left( \varphi \right) +{{\left( \left( i-1 \right)\frac{d}{m}\sin \left( {{\theta }_{z}} \right){\rm +}r{\rm sin}\left( \theta \right) \right)}^{2}} {\text{，}}\\ \end{align}}\\& {\text{ 第一个子阵}}{\rm }i=1,2,.....,m {\text{，}}\\ &{{r}_{{\rm 2}i}}{\rm =}\\& \sqrt{\begin{align} &{{\left( r\cos \left( \theta \right) \right)}^{{\rm 2}}}{\rm +}{{\left( i\frac{d}{m}\cos \left( {{\theta }_{z}} \right){\rm +}{{l}_{1}} \right)}^{2}}-2r\left( i\frac{d}{m}\cos \left( {{\theta }_{z}} \right){\rm +}{{l}_{{\rm 1}}} \right)\cos \left( \theta \right)\cos \left( {\rm 90}-\varphi \right) +{{\left( \left( i-1 \right)\frac{d}{m}\sin \left( {{\theta }_{z}} \right){\rm +}r{\rm sin}\left( \theta \right) \right)}^{2}}{\text{，}} \\ \end{align}}\\& {\text{第二个子阵}}{\rm }i=1,2,.....,m {\text{，}}\\ &{{r}_{{\rm 3}i}}{\rm =}\\ & \sqrt{\begin{align} & {{\left( r\cos \left( \theta \right) \right)}^{{\rm 2}}}{\rm +}{{\left( i\frac{d}{m}\cos \left( {{\theta }_{z}} \right){\rm +}{{l}_{1}} \right)}^{2}}-2r\left( i\frac{d}{m}\cos \left( {{\theta }_{z}} \right){\rm +}{{l}_{{\rm 1}}} \right)\cos \left( \theta \right)\cos \left( 180-\varphi \right) +{{\left( \left( i-1 \right)\frac{d}{m}\sin \left( {{\theta }_{z}} \right){\rm +}r{\rm sin}\left( \theta \right) \right)}^{2}} {\text{，}}\\ \end{align}}\\ &{\text{ 第三个子阵}}{\rm }i=1,2,.....,m \\ &{{r}_{{\rm 4}i}}{\rm =} \\& \sqrt{\begin{align} & {{\left( r\cos \left( \theta \right) \right)}^{{\rm 2}}}{\rm +}{{\left( i\frac{d}{m}\cos \left( {{\theta }_{z}} \right){\rm +}{{l}_{1}} \right)}^{2}}-2r\left( i\frac{d}{m}\cos \left( {{\theta }_{z}} \right){\rm +}{{l}_{{\rm 1}}} \right)\cos \left( \theta \right)\cos \left( 360-\varphi \right) +{{\left( \left( i-1 \right)\frac{d}{m}\sin \left( {{\theta }_{z}} \right){\rm +}r{\rm sin}\left( \theta \right) \right)}^{2}} {\text{，}}\\ \end{align}}\\ &{\text{第四个子阵}}{\rm }i=1,2,.....,m{\rm } \\ \end{align} \right. $

(1)

第 $k$ （ $k = 1,2,...,{\rm{4}}$ ）条子阵第 $i$ 个阵元收到信号与参考点的时延差为：

${\tau _{ki}}{\rm{ = }}\frac{{{r_{ki}} - r}}{c}{\text{，}}$

(2)

则第 $k$ （ $k = 1,2,...,{\rm{4}}$ ）条子阵第 $i$ 个阵元的接收信号可表示为：

${x_{ki}}\left( t \right) = s\left( t \right){e^{ - 2{\text{π}} jf{\tau _{ki}}}}{\rm{ + }}{n_{ki}}\left( t \right){\text{，}}$

(3)

表示为矩阵形式为：

${ X}\left( t \right) = { A}\left( {r,\theta ,\varphi } \right)s\left( t \right) + { N}\left( t \right){\text{。}}$

(4)

式中： ${ X}\left( t \right) = {[{x_{{\rm{1}}1}}\left( t \right),{x_{{\rm{1}}2}}\left( t \right),...,{x_{4m}}\left( t \right)]^{\rm T}}$ 为圆台阵接收数据矩阵； $s\left( t \right)$ 为目标声源信号， $ { N}\left( t \right) =[{n_{{\rm{1}}1}}\left( t \right),{n_{{\rm{1}}2}}\left( t \right),...,$ $ {{n_{4m}}\left( t \right)]^{\rm T}}$ 为噪声干扰矩阵； ${ A}\left( {r,\theta ,\varphi } \right)$ 为信号导向向量。经推导，导向矢量是目标距离、方位角、俯仰角的三维函数，如下式：

$\tiny \begin{align} & A\left( {r,\theta ,\varphi } \right) =\\ & \left[ \begin{array}{l} \!\! \!\! \!\!{e^{\dfrac{{ - j2{\text{π}} \left( {\sqrt {{{\left( {r\cos \left( \theta \right)} \right)}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\left( {\frac{d}{m}\cos \left( {{\theta _z}} \right){\rm{ + }}{l_1}} \right)}^2}\!\! - 2r\left( {\frac{d}{m}\cos \left( {{\theta _z}} \right){\rm{ + }}{l_1}} \right)\cos \left( \theta \right)\cos \left( \varphi \right) + {{\left( {r{\rm{sin}}\left( \theta \right)} \right)}^2}} \!\!- r} \right)}}{\lambda }}} \\ \!\! \!\! \!\! \vdots \\ \!\! \!\! \!\! {e^{\dfrac{{ - j2{\text{π}} \left( {\sqrt {{{\left( {r\cos \left( \theta \right)} \right)}^{\rm{2}}}{\rm{ \!+\! }}{{\left( {i\frac{d}{m}\cos \left( {{\theta _z}} \right){\rm{ \!+\! }}{l_1}} \right)}^2} \!\!\!-\! 2r\left( {i\frac{d}{m}\cos \left( {{\theta _z}} \right){\rm{ \!+\! }}{l_1}} \right)\cos \left( \theta \right)\cos \left( {{\rm{90}} \!-\! \varphi } \right) \!+\! {{\left( {\left( {i \!-\! 1} \right)\frac{d}{m}\sin \left( {{\theta _z}} \right){\rm{ \!+\! }}r{\rm{sin}}\left( \theta \right)} \right)}^{\rm{2}}}} \!\! \!-\! r} \right)}}{\lambda }}} \!\!\!\! \!\! \\ \!\! \!\! \!\! \vdots \\ \\ \!\! \!\! \!\!{e^{\dfrac{{ - j2{\text{π}} \left( {\sqrt {{{\left( {r\cos \left( \theta \right)} \right)}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\left( {d\cos \left( {{\theta _z}} \right){\rm{ + }}{l_1}} \right)}^2} - 2r\left( {d\cos \left( {{\theta _z}} \right){\rm{ + }}{l_1}} \right)\cos \left( \theta \right)\cos \left( {360 - \varphi } \right) + {{\left( {d\sin \left( {{\theta _z}} \right){\rm{ + }}r{\rm{sin}}\left( \theta \right)} \right)}^2}} - r} \right)}}{\lambda }}} \!\! \!\!\!\! \end{array} \!\!\! \right]\text{。}\end{align}$

(5)

2 MVDR三维声聚焦波束形成原理

常规的聚焦波束形成，就是根据目标噪声源到各个阵元的声传播距离不同，补偿球面波传播模型下的时延差，再对补偿后的阵元信号进行加权、求和，其传统方法的时延差是声源距离和方位的二维函数，在扫描平面上对不同位置点进行扫描，获得该平面的声强图，当扫描点与目标位置重合时，聚焦波束形成输出会出现峰值，即可得到目标的距离和方位估计^{[3 – 4]}。

本文在常规聚焦波束形成的基础上，提出三维声聚焦波束形成的实现框架，其基本原理如图2所示。

首先，将三维空间以参考点为中心，以搜索目标的距离范围将搜索空间切割为 $Q$ 个扫描球面，对每一个扫描球面 ${r_q}$ 再以 ${{\rm{1}}^ {\circ} }$ 为间隔，将扫描球面 ${r_q}$ 按俯仰角划分为181个扫描点，方位角划分为361个扫描点，如图3所示。

对 ${r_q}$ （扫描球面距参考点的距离）球面上扫描点进行波束形成，可得到波束输出为：

$y\left( {{r_q},t} \right) = {{ W}^H}{ X}\left( t \right){\text{。}}$

(6)

相应 ${r_q}$ 球面上各个扫描点的输出功率为：

${P_{\left( {{r_q},\theta ,\varphi } \right)}} = {\overline y ^2}\left( t \right) = \overline {{{\left[ {{{ W}^H}{ X}\left( t \right)} \right]}^2}} {\text{。}}$

(7)

本文采用最小方差无失真响应（MVDR）波束形成方法实现入射位置处信号的输出功率不变，使扫描空间其他位置点的信号输出功率最小。在近场条件下，MVDR三维声聚焦波束形成可以转化为求解如式（8）所示的优化问题^{[5 – 9]}。

$\left\{ \begin{array}{l} {{ W}^H}{ A}\left( {{r_q},\theta ,\varphi } \right) = 1 {\text{，}} \\ P\left( {{r_q},\theta ,\varphi } \right) = \min {{ W}^H}{ RW} {\text{。}}\\ \end{array} \right.$

(8)

式中： ${ W} = {\left[ {{w_{11}},{w_{12}},...,{w_{4m}}} \right]^{\rm T}}$ 为加权向量， $ { A}\left( {r_q} ,\theta ,\right.$ $\left. \varphi \right)$ 为阵列的导向矢量， ${ R}$ 为基阵输出的协方差矩阵。求解上述优化问题，可得到最佳加权向量为：

${{ W}_{opt}} = \frac{{{{ R}^{ - 1}}{ A}\left( {{r_q},\theta ,\varphi } \right)}}{{{ A}{{\left( {{r_q},\theta ,\varphi } \right)}^H}{{ R}^{ - 1}}{ A}\left( {{r_q},\theta ,\varphi } \right)}}$

(9)

相应 ${r_q}$ 球面上的空间谱为：

${P_{MVDR}}\left( {{r_q},\theta ,\varphi } \right) \!= \!{ W}_{opt}^H{ R}{{ W}_{opt}}\! =\! \frac{1}{{{ A}{{\left( {{r_q},\theta ,\varphi } \right)}^H}{{ R}^{ - 1}}{ A}\left( {{r_q},\theta ,\varphi }\! \right)}}\text{。}$

(10)

利用上式，代入不同的 $\left( {\theta ,\varphi } \right)$ ，其中 $\theta = - {90^ {\circ} }\sim{90^ {\circ} }$ ， $\varphi = {0^ {\circ} }\sim{360^ {\circ} }$ ，就可扫描出 ${r_q}$ 球面上最大输出功率，然后通过扫描不同球面 ${r_q}$ ，得到每个球面的最大输出功率，通过比较不同球面的最大输出功率，得到输出功率的最大值 ${P_{\max }}$ ，其所对应的球面距离即为目标声源的估计距离 $r$ ，同时此球面上出现最大输出功率的扫描点所对应的角度即为目标声源的方位角和俯仰角。

3 仿真数据检验与分析

仿真验证中假设单条线阵长度 $d$ 固定为3 m，每条子阵上的阵元数为30个且均匀分布，圆台阵上底半径 ${l_1}$ 为1.5 m，信号采样频率 ${f_s}$ 为12.5 kHz，快拍数为4 096，信噪比 $SNR$ 设为 $5\;{\rm dB}$ ，声传播速度 $c$ 为 $1\;500\;{\rm{m/s}}$ 。每次仿真实验都进行100次蒙特卡罗实验。

3.1 母线倾斜角度对测距性能的影响

实验1：假设目标俯仰角为 ${5^ {\circ} }$ ，方位角为 ${\rm{9}}{{\rm{0}}^ {\circ} }$ ，目标为频率 $500\;{\rm Hz}$ 的单频率信号，单条线阵阵元数为30个，母线倾斜角度从 ${0^ {\circ} }$ 变化到 ${90^ {\circ} }$ ，目标距离从500 m直线变化到2 000 m，即圆台阵从平面阵变化到圆柱阵时目标距离估计相对误差的三维和二维图如图4所示。

从图4可以看出，圆台阵的母线倾斜角度对不同距离目标下的距离估计误差影响比较大，总的来看，倾斜角度值越小，由于此时阵越接近平面阵，相当于孔径变大，使得同一距离目标的距离估计越准确，也就是当4个线阵接近于同一平面时，测距性能越好。另外，同一倾斜角度值下，目标距离越远，距离估计误差越大。同时通过取值分析可以得到，当母线倾斜角度小于 ${\rm{3}}{{\rm{0}}^ {\circ} }$ 时，2 000 m范围内目标的距离估计误差均小于 ${\rm{20\% }}$ 。

实验2：假设目标俯仰角为 ${5^ {\circ} }$ ，方位角为 ${\rm{9}}{{\rm{0}}^ {\circ} }$ ，目标距离为 ${\rm{2}}\;000\;{\rm m}$ ，单条线阵阵元数为30个，母线倾斜角度从 ${0^ {\circ} }$ 变化到 ${\rm{9}}{{\rm{0}}^ {\circ} }$ ，目标仍为单频信号，频率从 $500\;{\rm Hz}$ 到 ${\rm{1}}\;500\;{\rm Hz}$ 线性变化，即圆台阵从平面阵变化到圆柱阵时不同频率目标的距离估计相对误差的三维和二维图如图5所示。

从图5可以看出，圆台阵的母线倾斜角度对不同频率目标下的距离估计误差影响比较大，总的来看，倾斜角度值越小，由于此时阵越接近平面阵，相当于孔径变大，使得同一频率目标的距离估计越准确，也就是当4个线阵接近于同一平面时，测距性能越好，与仿真实验1得到的结果一致。另外，同一倾斜角度值下，目标信号频率越高，距离估计误差越小。同时通过取值分析可以看出，当频率大于1 000 Hz时，目标距离估计误差可均小于 ${\rm{20\% }}$ 。

3.2 母线倾斜角度对聚焦空间分辨率的影响

聚焦空间分辨率即聚焦波束在半功率点处的波束宽度值，该值反映的是分辨2个空间位置相近点声源的能力，是衡量近场聚焦波束形成定位性能的重要指标之一^[10]。当2个声源之间的角度差大于聚焦波束半功率点处时可分辨。

实验1：假设目标方位角为 ${\rm{6}}{{\rm{0}}^ {\circ} }$ ，距离为 ${\rm{2}}\;000\;{\rm m}$ ，信号为频率 $500\;{\rm Hz}$ 的单频信号，单条线阵阵元数为30，母线倾斜角度从 ${5^ {\circ} }$ 变化到 ${\rm{9}}{{\rm{0}}^ {\circ} }$ ，目标俯仰角从 $ - {\rm{9}}{{\rm{0}}^ {\circ} }$ 变化到 ${\rm{9}}{{\rm{0}}^ {\circ} }$ ，不同母线倾斜角度、不同俯仰角下的俯仰角聚焦空间分辨率如图6所示。

可以看到，当圆台阵母线倾斜角度较小时，俯仰角在 $ - {15^ {\circ} }\sim{15^ {\circ} }$ 范围内的目标，其俯仰角聚焦空间分辨率明显差于其他位置，增大母线倾斜角度，即当圆台阵接近于圆柱阵时俯仰角聚焦空间分辨率可以得到明显改善。也就是说，要想保证目标俯仰角的估计精度，特别是要估计俯仰角在 $ - {15^ {\circ} }\sim{15^ {\circ} }$ 范围内的目标时，母线倾斜角必须增大。

实验 2：假设目标俯仰角为 ${5^ {\circ} }$ ，距离为2 000 m，信号为频率500 Hz的单频信号，单条线阵阵元数为30，母线倾斜角度从 ${{\rm{5}}^ {\circ} }$ 变化到 ${90^ {\circ} }$ ，目标方位角从 ${0^ {\circ} }$ 变化到 ${\rm{36}}{0^ {\circ} }$ ，不同母线倾斜角度、不同方位角下的目标方位角聚焦空间分辨率如图7所示。

可以看出，母线倾斜角度越小，目标方位角聚焦空间分辨率越高。同一母线倾斜角度下，不同方位目标的聚焦空间分辨率基本相同。当母线倾斜角度接近 ${90^ {\circ} }$ 时，位于4个线阵所处方位附近的目标，由于目标实际位置处和目标镜像位置处的聚焦峰发生混叠，造成聚焦峰显著变宽，因此使得线阵附近的目标方位角聚焦空间分辨率出现异常的情况。

实验3：假设目标距离为2 000 m，俯仰角为 ${5^ {\circ} }$ ，方位角为 ${\rm{6}}{{\rm{0}}^ {\circ} }$ ，单条线阵阵元数为30，母线倾斜角度从 ${{\rm{5}}^ {\circ} }$ 变化到 ${90^ {\circ} }$ ，目标仍为单频信号，频率从500 Hz到1 500 Hz线性变化，不同母线倾斜角度下，不同频率目标的俯仰角聚焦空间分辨率如图8（a）所示，方位角聚焦空间分辨率如图8（b）所示。

从图8（a）可以看出，母线倾斜角度不变，信号频率越高，俯仰角聚焦空间分辨率值越小，分辨目标能力越强。信号频率不变，母线倾斜角度越大，俯仰角聚焦空间分辨率值越大，分辨目标能力越弱。

从图8（b）可以看出，母线倾斜角度不变，信号频率越高，方位角聚焦空间分辨率值越小，分辨目标能力越强。信号频率不变，母线倾斜角度越小，方位角聚焦空间分辨率值越小，分辨目标能力越强。

综合图6~图8可以看出，方位角聚焦空间分辨率明显高于俯仰角聚焦空间分辨率，且无论母线倾斜角度等于多少，方位角聚焦空间分辨率均小于3^o。但要想保证目标俯仰角的估计精度，母线倾斜角必须增大，对于信号频率为500 Hz的目标而言，要想保证俯仰角聚焦空间分辨率小于5^o，母线倾斜角需要大于45^o。

4 结　语

本文推导了圆台阵近场信号接收模型和三维声聚焦波束形成方法，研究了圆台阵近场MVDR三维声聚焦波束形成被动定位的性能。从仿真数据分析发现，母线倾斜角度对定位性能的影响比较大，母线倾斜角度越小，测距性能就越好，方位角空间分辨率就越高。但是对于俯仰角较低的目标而言，母线倾斜角度越小，俯仰角空间分辨率就越差。要想保证目标俯仰角的估计精度，母线倾斜角必须增大。也就是说，如果只要求目标方位和距离估计性能，则圆台阵可摆放成平面阵型，如果需要对目标实现距离、方位、俯仰三维声定位，则圆台阵的母线倾斜角必须增大到合适的角度。对于中高频目标而言，当指标要求距离估计相对误差10%，方位角和俯仰角误差5^o时，母线倾斜角为 ${{\rm{45}}^ {\circ} }$ 时即可满足指标要求。需要说明的是，本文仿真实验的目标信号均为窄带信号，对宽带目标信号的定位性能还有待进一步分析验证。同时，圆台阵子阵条数、每条子阵的阵元个数与阵元间隔、圆台阵上台面的半径等对定位性能的影响也需要进一步研究。