0 引　言

合成孔径声呐（synthetic aperture sonar，SAS）利用小尺寸基阵沿运动方向做匀速直线运动来合成大的孔径基阵，获得沿运动方向（横向）的高分辨率^[1]。海流和载体平台的非对称等因素，可能导致合成孔径声呐出现斜视。另外，由于多子阵合成孔径声呐的斜视角会导致时延误差以及声呐多普勒效应比雷达显著，即使斜视角很小，也会导致合成孔径声呐图像散焦。

斜视合成孔径声呐与斜视合成孔径雷达信号模型最大的不同有两点：一是由于水中声速低，造成方位频率不模糊和距离不模糊存在矛盾。为了解决这个矛盾。合成孔径声呐的接收阵一般采用多子阵配置^[2]。在现有的斜视合成孔径成像算法中，仅有单接收阵斜视合成孔径成像算法，包括单站斜视合成孔径雷达成像算法和双基单接收阵斜视合成孔径成像算法。其中单站斜视合成孔径雷达成像算法有：RDA^[3]，CSA^[4]，omega-K 算法^[5]以及它们的修正算法^[6]和斜视子孔径算法^[7]，双基单接收阵斜视合成孔径成像算法有：双基RDA^[8]、双基CSA^[9]和双基omega-K 算法^[10]。二是由于声呐平台航速和水下声速可比拟，导致在一般合成孔径雷达中常用的“停走停”假设在合成孔径声呐上不适用^{[11 – 12]}。

因此，斜视单基站成像算法不能直接用于斜视多接收阵 SAS。本文提出一种小斜视多接收阵 SAS 距离多普勒成像算法，并通过仿真实验证明了算法的有效性和正确性。

1 斜视多接收阵SAS模型 1.1 精确距离史模型

假设声基阵无俯仰、无横滚，偏航角为 ${\theta _{yaw}}$ ，如图1所示，发射阵位于声基阵中间，发射阵与接收子阵沿直线等间隔排列，其对应的波束分别与该直线垂直，第 $i$ 个接收子阵与发射阵的矢量长度为 ${d_i}$ （ ${d_i} = \Delta d \times i - N\Delta d/2$ ，其中 $\Delta d$ 为阵元间隔， $N$ 为接收阵元总数， $i$ 为阵元位置），发射阵在距海底 $h$ 的高度上沿理想直线航迹做匀速直线运动（速度为 $v$ ），发射波束斜视角为 ${\theta _{sq}}$ ，点目标 $P$ 与发射阵的俯仰角为 ${\theta _r}$ 、与发射阵的最短距离为 $r$ 。

由于在斜视情况下发射阵、接收阵与目标三者不位于一个平面内，需要在三维直角坐标系内建立多子阵斜视合成孔径声呐模型。定义声呐运动方向为 $x$ 轴方向，垂直向下的方向为 $z$ 轴方向，用右手准则确定 $y$ 轴方向。设以发射阵位于 $o$ 点的时刻为慢变时间 $t$ 的起点，此时波束中心射线通过点目标 $ P(r\tan {\theta _{sq}},$ $ r\sin {\theta _r}, h)$ ，第 $i$ 个接收子阵位于 $D({d_i}\cos {\theta _{yaw}}, - d\sin {\theta _{yaw}}, 0)$ 点。在 $t$ 时刻，发射阵移动到 $E(vt, 0, 0)$ 点发射信号，那么此时发射阵与点目标 $P$ 的距离为：

${R_T}(t;r) = \sqrt {{r^2} + {v^2}{{\left( {t - \frac{{r\tan {\theta _{sq}}}}{v}} \right)}^2}}{\text{，}} $

(1)

经过 $t_i^*(t;r)$ 后，第 $i$ 个接收子阵移动到了 $F\left( {V\left( {t + {t^*} + {d_i}\cos {\theta _{yaw}}, - d\cos {\theta _{yaw}}, 0} \right)} \right)$ 点，才接收到点目标 $P$ 的回波信号，那么此时第 $i$ 个接收子阵与点目标 $P$ 的距离为：

${R_{Ri}}(t;r) = \sqrt {r_{Ri}^2 + {v^2}{{\left[ {t - \frac{{r\tan {\theta _{sq}}}}{v} + {t^*}(t;r) + \frac{{{d_i}\cos {\theta _{yaw}}}}{v}} \right]}^2}} {\text{。}}$

(2)

其中：

${r_{Ri}} = \sqrt {{r^2} + {d^2}\sin _{yaw}^2 + 2r{d_i}\sin {\theta _r}\sin {\theta _{yaw}}}{\text{，}} $

(3)

表示点目标 $p$ 与第 $i$ 个接收子阵的最短距离。在式（1）、式（2）和式（3）中，斜视角 ${\theta _{sq}}$ 与偏航角 ${\theta _{yaw}}$ 和俯仰角 ${\theta _r}$ 的关系为：

$\tan {\theta _{sq}} = \sin {\theta _r}\tan {\theta _{yaw}}{\text{，}}$

(4)

由式（1）和式（2），可以得到点目标P的精确距离史 $R_i^*(t, r)$ 为：

$R_i^*(t, r) = {R_T}(t;r) + {R_{Ri}}(t;r){\text{，}}$

(5)

由于接收和发射的间隔时间 ${t^*}(t;r)$ 等于声波通过点目标P的精确距离史 $R_i^*(t;r)$ 所需要的时间，因此 ${t^*}(t;r)$ 也叫点目标的精确时延史，还可以表示为：

${t^*}(t;r) = \frac{{R_i^*(t;r)}}{c}{\text{，}}$

(6)

其中 $c$ 为声速。

由式（5）和式（6）解得

${t^*}(t;r) = \frac{{B + \sqrt {{B^2} + ac} }}{A}{\text{，}}$

(7)

其中：

$A = {C^2} - {V^2}{\text{，}}$

(8)

$ \begin{split} B =& {d_i}v\cos {\theta _{yaw}} + {v^2}(t - r\tan {\theta _{sq}}/v) +\\ & \sqrt {{v^2}{{(t - r\tan {\theta _{sq}}/v)}^2} + {r^2}c} {\text{，}} \end{split} $

(9)

$C = \cos \theta _{yaw}^2d_i^2 + 2\cos {\theta _{yaw}}{d_i}v(t - r\tan {\theta _{sq}}/v) - {r^2} + r_{Ri}^2{\text{。}}$

(10)

1.2 修正距离史

从式（7）可以看出 $t_i^*$ 非常复杂，难以直接用于推导成像算法，借鉴文献[13]的方法，对式（2）中的 $t_i^*$ 作如下近似：

$t_i^* \approx \frac{{2r}}{c}{\text{。}}$

(11)

将式（11）代入式（5），得到近似距离史为：

$ \begin{split} R'_I(t;r) =& s \sqrt {{r^2} + {v^2}{{\left( {t - \frac{{r\tan {\theta _{sq}}}}{v}} \right)}^2}} + \\ & \sqrt {r_{Ri}^2 + {v^2}{{\left[ {t - \frac{{r\tan {\theta _{sq}}}}{v} + \frac{{2r}}{c} + \frac{{{d_i}\cos {\theta _{yaw}}}}{v}} \right]}^2}}{\text{。}} \!\!\!\! \end{split} $

(12)

斜视SAS的中接收阵排列方向与运动方向存在一个固定的角度偏差，使得斜视多子阵合成孔径声呐与正侧视多子阵合成孔径声呐单基近似过程不一样。如图2所示，首先将每个接收阵元投影至方位轴上，然后取接收阵的投影位置和发射阵位置的中点作为单基采样点。由于接收子阵在方位轴上的投影长度为 ${{{d_i}} / {\cos {\theta _{yaw}}}}$ ，为了满足方位均匀采样，脉冲重复频率（PRF）需要调整为 ${{2v\cos {\theta _{yaw}}} / {(N\Delta d)}}$ 。

由以上分析可知，点目标P的斜视修正距离史为：

${R''_i}(t;r) = {R_i}(t;r) + \Delta R(r;{d_i}){\text{，}}$

(13)

其中： ${R_i}(t;r)$ 表示修正量，写为

${R_i}(t;r) = 2\sqrt {{r^2} + {v^2}{{\left[ {t - r\tan {\theta _{sq}}/v + {r /c} + {{{d_i}} / {2v\cos {\theta _{yaw}}}}} \right]}^2}}{\text{；}} $

(14)

$\Delta R(r;{d_i})$ 表示修正量，写为

$ \begin{split} & \Delta R(r;{d_i}) = R'_i(t;r) - {R_i}(t;r) = \sqrt {{r^2} + {v^2}{{(t - r\tan {{{\theta _{sq}}}/ v})}^2}}+ \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! \\ & \sqrt {r_{Ri}^2 + {v^2}{{(t - r{{\tan {\theta _{sq}}} / v} + 2{r / c} + {{{d_i}\cos {\theta _{yaw}}}/ v})}^2}}- \\ & 2\sqrt {{r^2} + {v^2}{{(t - {{r\tan {\theta _{sq}}} / v} + 2{r / c} + {{{d_i}\cos {\theta _{yaw}}} / {2v}})}^2}} {\text{。}} \end{split} $

(15)

再利用 $\sqrt {1 + \varsigma } \approx 1 + {\varsigma / 2} - {{{\varsigma ^2}} / 8}$ 对式（15）进行化简，得到

$ \Delta R(r;{d_i}) \approx \frac{1}{{4r}}{(v\frac{{2r}}{c} + {d_i}\cos {\theta _{yaw}})^2} + {d_i}\sin {\theta _{yaw}}\sin {\theta _r}{\text{。}} $

(16)

其中：第1项为平方项，包括非停走停模式引入采样点在方位上的移动距离和 ${d_i}$ 在方位向上投影长度；第2项 ${d_i}\sin {\theta _{yaw}}\sin {\theta _r}$ 表示斜视条件下接收子阵引入的偏移量。

通过比较式（13）和精确距离史式（5），得到波长归一的距离史误差为：

$ \sigma = \frac{{R''(t;r) - ct_i^*}}{\lambda }{\text{。}} $

(17)

其中： $\lambda $ 为载波波长。假设信号载频为75 kHz、平台速度为2.5 m/s、接收阵与发射阵的最远距离为2 m、平台距水底高度为50 m，在不同斜视角条件下 $\sigma $ 结果如图3所示。

在图3中，距离史误差都是在波束边沿处最大，随着距离增大而增大，随着斜视角增大而增大。为了在不同斜视角下定量地比较距离史误差，分别对图3进行测量，得到距离史误差的最大变化量分别为 $0.0105\lambda $ ， $0.0248\lambda $ ， $0.0537\lambda $ 和 $0.1128\lambda $ 。从测量结果看，斜视角在0°～4.4°范围内的距离史误差小于 ${\lambda/ {16}}$ ，满足成像需要。当斜视角增加到6.8°时，距离史误差超过 ${\lambda / {16}}$ 的1倍。因此式（13）能够满足小斜视条件下的成像要求。

1.3 信号模型

假设传播介质均匀， ${f_0}$ 为发射信号载频， $\tau $ 为快变时间， $c$ 为声速，那么到达第 $i$ 个接收阵的点目标 $P$ 的回波信号解调后的近似形式为：

$ \begin{split} & {s_i}(\tau , t;r) = {\omega _a}\left(t - \frac{r}{c}\right)\exp \left\{ { - j{\text{π}}K{{\left( {\tau - \frac{{{{R''}_i}(t;r)}}{c}} \right)}^2}} \right\}\times\\ & \exp \left[ { - j\frac{{2{\text{π}} {f_0}{{R''}_i}(t;r)}}{c}} \right]{\text{。}} \end{split} $

(18)

其中： ${\omega _a}$ 表示方位向包络， $K$ 表示调频斜率。

2 小斜视多接收阵SAS距离多普勒成像算法

本文提出的小斜视多接收阵SAS距离多普勒成像算法，实现过程如图4所示，包括多接收阵信号处理和斜视单基站RDA两大部分。

2.1 斜视多接收阵信号单基处理

从式（13）可知，相比斜视单基合成孔径信号，斜视多接收阵SAS信号包含 $\Delta R(r;{d_i})$ 带来的相位和时延，以及收发分置项。这3项的处理对应斜视多接收阵信号的单基过程。

由式（18）和式（13），可以得到 $\Delta R(r;{d_i})$ 对应的相位补偿因子 ${\psi _i}(r;{d_i})$ 为：

$ {\psi _i}(r;{d_i}) = \exp \left\{ {j\frac{{2{\text{π}}{f_0}}}{c}\Delta R(r;{d_i})} \right\}{\text{。}} $

(19)

由于 $\Delta R(r;{d_i})$ 是弱距离依赖的， $\Delta R(r;{d_i})$ 对应的时延可以用参考距离 ${r_{ref}}$ （选为测绘带中心）上的时延代替。在距离向频域通过相位相乘的方式完成时延补偿，对应的时延补偿因子为：

$ {\varphi _i}({f_r};{d_i}) = \exp \left\{ {j2{\text{π}}\frac{{\Delta R({r_{ref}};{d_i})}}{c}{f_r}} \right\}{\text{。}} $

(20)

假设完成时延补偿后的信号变换至二维时域，得到

$ \begin{split} &{s_i}(\tau , t;r) = {\omega _a}\left( {t - \frac{r}{c}} \right)\exp \left\{ { - j{\text{π}} K{{\left( {\tau - \frac{{{R_i}(t;r)}}{c}} \right)}^2}} \right\}\times \\ &\exp \left[ { - j\frac{{2{\text{π}} f{}_0{R_i}(t;r)}}{c}} \right]{\text{。}} \end{split} $

(21)

对于多接收阵SAS来说，单个接收阵信号是方位欠采样的。为了获得满足奈奎斯特采样定理的方位信号，需要对多接收阵信号进行方位重构。由于所有的接收阵几乎同时接收同一个点目标的回波信号，必须将不同的接收阵信号沿着方位时间轴错开不同的时间间隔，才能等效为一个接收阵沿着方位时间轴在不同的位置接收回波信号，从而得到方位向采样点数增加的倍数与阵元个数相等，采样频率提高倍数与阵元个数相等的方位重构信号。通过对式（21）所示的多接收阵信号按照逐阵元逐脉冲的排列，得到方位重构的信号为：

$ \begin{split} & s(\tau , t;r) = {\omega _a}\left( {t - \frac{r}{c}} \right)\exp \left\{ { - j{\text{π}} K{{\left( {\tau - \frac{{R(t;r)}}{c}} \right)}^2}} \right\}\times \\ & \exp \left[ { - j\frac{{2{\text{π}} f{}_0R(t;r)}}{c}} \right]{\text{，}} \end{split} $

(22)

其中：

$R(t;r) = 2\sqrt {{r^2} + {v^2}{{\left( {t - \frac{{r\tan {\theta _{sq}}}}{v} + \frac{r}{c}} \right)}^2}} {\text{。}}$

(23)

此时斜视多接收阵SAS信号式（22）能够等效为斜视单基合成孔径信号。

2.2 斜视单基RDA

为了推导斜视单基RDA，利用驻定相位原理将式（22）变换至二维频域，得到

$SS({f_r}, {f_a};r) = {W_r}({f_r}){W_a}({f_a} - {f_{dc}})\exp \left\{ {j\phi ({f_r}, {f_a};r)} \right\}{\text{，}}$

(24)

其中： ${W_r}\left( \bullet \right)$ 表示距离向包络； ${W_a}\left( \bullet \right)$ 表示方位向包络； ${f_a}$ 表示多普勒频率； ${f_{dc}}$ 表示多普勒中心频率； $\phi ({f_r}, {f_a};r)$ 表示相位函数，写为

$ \phi ({f_r}, {f_a};r) = - \frac{{4{\text{π}} r{f_0}}}{c}\sqrt {\frac{{f_r^2}}{{f_0^2}} + \frac{{2{f_r}}}{{{f_0}}} + {D^2}} - \frac{{{\text{π}} f_r^2}}{{{K_r}}} - \frac{{2{\text{π}} r{f_a}}}{c}{\text{。}}\!\!\!\!\!\!\! $

(25)

将式（25）对 ${f_r}$ 进行泰勒级数展开，保留至 $f_r^2$ ，得到

$ \begin{split} &\phi ({f_r}, {f_a};r) = - {\text{π}} \left( {\frac{1}{K} - \frac{1}{{{K_{src}}}}} \right)f_r^2 - \frac{{4{\text{π}} r{f_r}}}{D} -\\ &\frac{{4{\text{π}} r{f_0}D}}{c} - \frac{{2{\text{π}} r{f_a}}}{c}{\text{。}} \end{split} $

(26)

其中： ${K_{src}}$ 为二次距离压缩调频斜率；D为距离徙动因子。分别写为：

${K_{src}} = - \frac{{{f_0}c{D^3}}}{{2r({D^2} - 1)}}{\text{，}}$

(27)

$D = \sqrt {1 - \frac{{{c^2}f_a^2}}{{4{v^2}f_0^2}}} {\text{。}}$

(28)

式（26）中第1项表示距离向匹配滤波项，包含发射信号调制项和二次距离压缩项，其中二次距离压缩项是弱距离依赖的，一般可以用参考距离上对应的二次距离压缩调频斜率代替整个场景的调频斜率；第2项表示距离徙动项，是距离徙动的来源；第3项表示方位调制项，是方位匹配滤波的来源；第4项是“非停走停”模式引起的方位向线性走动量。

从式（26）的第1项可得实现距离向脉压和二次距离压缩的相位函数为：

$ H({f_r}, {f_a};{r_{ref}}) = {\text{π}} \left( {\frac{1}{K} - \frac{1}{{{K_{src}}}}} \right)f_r^2{\text{，}} $

(29)

从式（26）的第2项可得距离徙动校正量为：

$\Delta \tau = 2r\left( {1 - \frac{1}{D}} \right){\text{。}}$

(30)

完成距离徙动校正后，从式（26）可以看出方位向脉压和“非停走停”引起的线性走动量可以合并，用一个相位函数实现。该相位函数写为

$ {H_{ac}}({f_a};r) = \frac{{4{\text{π}} r{f_0}D}}{C} + \frac{{2{\text{π}} rf{}_a}}{c}{\text{。}} $

(31)

最后，进行方位向逆傅里叶变换，即可得到成像结果。

3 实验验证

为了验证本文提出的小斜视多接收阵RDA的有效性，进行仿真实验。多接收阵合成孔径声呐的系统参数如表1所示，点目标的时延由精确时延公式（7）给出，仿真结果如图5所示。

当斜视角为2°时，比较图5（a）和图5（d）发现与斜视角为0°的成像结果很相似，都对场景中的目标进行了很好的聚焦。不同之处是图5（d）出现了由于斜视造成的图像几何形变。为更详细比较图5中点目标的成像质量，将点目标从图5（a）和图5（b）中提取出来，并画出距离向和方位向剖面，分别如图5（b）、图5（c）、图5（e）和图5（f）所示。然后分别对目标的方位向和距离向IRW（Impulse Response Width）及PSLR（Peak Sidelobe Ratio）和ISLR（Integration Sidelobe Ratio）进行测量，结果如表2所示。从图5（b）、图5（c）、图5（e）和图5（f）和表2的对比结果可知，本文提出的小斜视多接收阵RDA消除了斜视对成像结果的影响，得到了和正侧视相同的成像结果。

4 结　语

为解决斜视多子阵合成孔径声呐成像问题，本文首先建立斜视多子阵合成孔径声呐精确的几何模型，给出了精确的时延史。为推导成像算法，对该时延史进行2次近似，分析了近似误差，结果表明在窄波束小斜视角情形下，总的近似误差满足成像要求。然后给出了相应的信号模型。在算法推导部分，借鉴经典RDA算法。提出小斜视角多子阵合成孔径声呐RDA算法。最后通过计算机仿真实验证明了算法的有效性和正确性。