0 引　言

船舶轴频电磁场是因船舶主轴转动而调制流经螺旋桨-主轴-船体的腐蚀相关电流产生的一种极低频电磁场^[1]。轴频电磁场分为轴频磁场和轴频电场，其基频即为主轴转动频率，约为1～7 Hz。由于频率极低，在海水中衰减很慢，传播距离很远，相比于其他物理场有着独特的优势，可以用于鱼水雷武器的探测引信和海战场的实时监测。而轴频磁场也能够在空气中以相同规律传播，可以用于航空磁探的信号源，能够极大地提高搜索效率。

国外对轴频电场研究较早，各军事强国在20世纪60年代起就对船舶轴频电磁场开展了相关理论和应用研究。Zolotarevskii Y等研究了船舶轴频电磁场的产生机理并介绍了俄罗斯的电磁场测量设备^[2]。Bostick F等对运动商船的极低频电磁场进行了建模、测量和分析^[3]。Hoitham P等对船舶的电磁场的静态场和交变场进行分析，并提出了减弱船舶交变电场的方法^[4]。国内对轴频电磁场研究较晚，且大多集中在船舶轴频电场理论研究方面。卢新城等对船舶的轴频电场进行了水池实验测量和分析，并建立了电偶极子在海水中电磁场的模型，得到了解析解^{[5 – 6]}。毛伟等分别对深海和浅海条件下运动的水平和垂直的电偶极子的电磁场进行建模和计算^{[7 – 8]}。贾一卓等对船舶轴频电场的测量和信号处理做了进一步研究^{[9 – 10]}。公开的文献对轴频磁场单独报道极少，吴志强等利用海底晃动平台测量了船舶在海水中的轴频磁场^[11]，尚没有对空气中的轴频磁场测量和分析的公开文献。本文以垂直时谐电偶极子为船舶轴频电流的等效源，建立浅海条件下电偶极子磁场模型并推导其在空气中的表达式，通过仿真计算和水池试验分析该磁场在空气中的传播特性。

1 船舶轴频磁场产生机理

船舶通常由不同电位的金属材料制造并要浸入海水中，船体不同材料之间的电化学腐蚀以及船舶防腐系统工作都会产生电流，这些电流统称为腐蚀相关电流。船舶在海洋环境中航行时，主轴旋转过程中轴系与船体的接触电阻会周期性波动，因此流经螺旋桨-轴承-船体回路的腐蚀相关电流会受到周期性调制，调制的基频即为主轴旋转的频率，其基本原理如图1所示。

2 垂直时谐电偶极子模型

以垂直时谐电偶极子为船舶轴频电流等效源，其在浅海条件下示意图如图2所示。x轴正方向对应船舶的船首方向，y轴正方向指右舷方向，z轴垂直向下。

垂直时谐电偶极子位于介质0、介质1和介质2组成的3层模型中，介质为各向同性线性均匀介质，初始坐标位置 $({x_0},0,{z_0})$ 。在实际中，这3层介质分别对应空气、海水和海底，电偶极子位于海水层中。可得时谐形式的Maxwell方程组^[12]：

$ \left\{ \begin{array}{l} \nabla \times {{{H}}_i} = {{{J}}_s} + ({\sigma _i} + {{j}}\omega {\varepsilon _i}){{{E}}_i}{\text{，}}\\ \nabla \times {{{E}}_i} = - {{j}}\omega {{{B}}_i} = - {{j}}\omega {\mu _i}{{{H}}_i}{\text{，}}\\ \nabla \cdot {{{B}}_i} = {\mu _i}\nabla \cdot {{{H}}_i} = 0{\text{，}}\\ \nabla \cdot {{{D}}_i} = \rho {\text{。}} \end{array} \right. $

(1)

其中： ${{{H}}_i}$ 和 ${{{E}}_i}$ 分别为磁场强度矢量和电场强度矢量； ${{{B}}_i}$ 和 ${{{D}}_i}$ 分别为磁感应强度矢量和电位移矢量； ${\sigma _i}$ 、 ${\mu _i}$ 、 ${\varepsilon _i}$ 分别为电导率、磁导率和介电常数， $i = 0,1,2$ 表示场区编号。

引入磁矢量势 ${{A}} $ 、标量电位 $\phi$ 以及洛仑兹规范：

$ \left\{ \begin{array}{l} {{B}} = \nabla \times {{A}} {\text{，}}\\ {{E}} = - \nabla \phi - {{j}}\omega {{A}} {\text{，}}\\ \nabla \cdot {{A}} - {k^2}\phi /{{j}}\omega = 0 {\text{。}} \end{array} \right. $

(2)

可推得矢量磁位的亥姆霍兹方程：

$\left\{ \begin{array}{l} {\nabla ^2}{{{A}}_0} + {k^2}{{{A}}_0} = 0 {\text{，}}\\ {\nabla ^2}{{{A}}_1} + {k^2}{{{A}}_1} = - \mu {{{J}}_{\rm{S}}} {\text{，}}\\ {\nabla ^2}{{{A}}_2} + {k^2}{{{A}}_2} = 0 {\text{。}} \end{array} \right. $

(3)

式中， $k$ 为传播常数，且 ${k^2} = - {{j}}\omega \mu \sigma + {\omega ^2}\mu \varepsilon $ 。

与水平电偶极子不同，垂直电偶极子产生的矢量磁位仅有z方向分量^[12]。图2中，海水层中的矢量磁位是由一次源和二次源产生的，可表示为 ${{{A}}_1} = {{{A}}_{1p}} + $ $ {{{A}}_{1s}}$ ，其中， ${{{A}}_{1p}}$ 和 ${{{A}}_{1s}}$ 分别为一次源和二次源产生的矢量磁位，空气层和海底层的矢量磁位由二次源产生，表示为 ${{{A}}_0}$ 和 ${{{A}}_2}$ 。可由Sommerfeld基本公式出发，首先假设各场区的矢量磁位表达式，然后利用边界条件求解。

对于介质1，矢量磁位可表示为：

$ {{{A}}_{1p}} = \frac{{{\mu _1}Il}}{{4{\text{π}} }}\int_0^{ + \infty } {\frac{\lambda }{{{\upsilon _1}}}{e^{ - {\upsilon _0}\left| {z - {z_0}} \right|}}{J_0}(\lambda r)} {\rm d}\lambda \cdot {{{e}}_{{z}}}{\text{，}} $

(4)

而 ${{{A}}_0}$ ， ${{{A}}_1}$ 和 ${{{A}}_2}$ 的可分别表示为：

$ \left\{ \begin{aligned} &{{{A}}_0}(\rho ,\phi ,z) = \displaystyle\sum\limits_{m = - \infty }^\infty {{e^{jm\phi }}\int_0^\infty {{J_m}(\rho \xi )[{b_0}(\xi ,m){e^{z{\upsilon _0}}} + }} \\ & \qquad\qquad\quad {d_0}(\xi ,m){e^{ - z{\upsilon _0}}}]{\rm d}\xi \cdot {{{e}}_z} {\text{，}} \\ & {{{A}}_1}(\rho ,\phi ,z) = {{{A}}_{1p}} + {{{A}}_{1s}} = \\ & \qquad\qquad \dfrac{{{\mu _1}Il}}{{4{\text{π}} }}\int_0^{ + \infty } {\dfrac{\lambda }{{{\upsilon _1}}}{e^{ - {\upsilon _0}\left| {z - {z_0}} \right|}}{J_0}(\lambda r)} {\rm d}\lambda \cdot {{{e}}_{{z}}} + \\ & \qquad\qquad \displaystyle\sum\limits_{m = - \infty }^\infty {{e^{jm\phi }}\int_0^\infty {{J_m}(\rho \xi )[{b_1}(\xi ,m){e^{z{\upsilon _1}}} +} } \\ & \qquad\qquad{d_1}(\xi ,m){e^{ - z{\upsilon _1}}}]{\rm d}\xi \cdot {{{e}}_z}{\text{，}}\\ & {{{A}}_2}(\rho ,\phi ,z) =\\ & \qquad\qquad \displaystyle\sum\limits_{m = - \infty }^\infty {{e^{jm\phi }}\int_0^\infty {{J_m}(\rho \xi )[{b_2}(\xi ,m){e^{z{\upsilon _2}}} + } } \\ & \qquad\qquad {d_2}(\xi ,m){e^{ - z{\upsilon _2}}}]{\rm d}\xi \cdot {{{e}}_z}{\text{。}} \end{aligned} \right. $

(5)

其中： $\,\rho = \sqrt {{{(x - {x_0})}^2} + {{(y - {y_0})}^2}} $ ； $\upsilon = \sqrt {{\xi ^2} - {k^2}} $ ； $\phi = {\rm arctg}$ $ ({{(y - {y_0})} / {(x - {x_0})}})$ ； ${J_m}(\rho \xi )$ 为m阶Bessel函数。

矢量磁位仅有z方向分量，因此电磁场边界条件可以只写出2项。其中空气-海水边界条件为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {[\dfrac{{\nabla \cdot {{{A}}_1}}}{{k_1^2}} - \dfrac{{\nabla \cdot {{{A}}_0}}}{{k_0^2}}]_{z = 0}} = 0{\text{，}}\\ {[\dfrac{{{{{A}}_{1z}}}}{{{\mu _1}}} - \dfrac{{{{{A}}_{0z}}}}{{{\mu _0}}}]_{z = 0}} = 0{\text{。}} \end{array} \right. $

(6)

海水-海床边界条件为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {[\dfrac{{\nabla \cdot {{{A}}_2}}}{{k_2^2}} - \dfrac{{\nabla \cdot {{{A}}_1}}}{{k_1^2}}]_{z = d}} = 0{\text{，}}\\ {[\dfrac{{{{{A}}_{2z}}}}{{{\mu _2}}} - \dfrac{{{{{A}}_{1z}}}}{{{\mu _1}}}]_{z = d}} = 0 {\text{。}} \end{array} \right. $

(7)

当 $z \to \pm \infty $ ， ${{{A}}_0}$ 和 ${{{A}}_2}$ 为有限值，因此可得 $ {d_0}(\xi ,m) =$ ${b_2}(\xi ,m) = 0$ 。

由于空气、海水和海底的磁导率相同，均为真空磁导率，即 ${\mu _2} = {\mu _1} = {\mu _0}$ 。结合式(6)和式(7)中的边界条件的第2项可以推得， ${b_0}(\xi ,m)$ ， ${b_1}(\xi ,m)$ ， ${d_1}(\xi ,m)$ 和 ${d_2}(\xi ,m)$ 中m只能取0，因此式(5)可写成

$ \left\{ \!\!\!\!\! \begin{array}{l} {{{A}}_0}(\rho ,\phi ,z) = \displaystyle\int_0^\infty {{J_0}(\rho \xi )[{b_0}(\xi ,0){e^{z{\upsilon _0}}}]{\rm d}\xi } \cdot {{{e}}_z}{\text{，}}\\ {{{A}}_1}(\rho ,\phi ,z) = \dfrac{{{\mu _1}Il}}{{4{\text{π}} }}\displaystyle\int_0^{ + \infty } {\dfrac{\lambda }{{{\upsilon _1}}}{e^{ - {\upsilon _0}\left| {z - {z_0}} \right|}}{J_0}(\lambda r)} {\rm d}\lambda \cdot {{{e}}_{{z}}} + \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}\!\!\displaystyle\int_0^\infty \!\!{{J_0}(\rho \xi )[{b_1}(\xi ,0){e^{z{\upsilon _1}}} + {d_1}(\xi ,0){e^{ - z{\upsilon _1}}}]{\rm d}\xi } \cdot {{{e}}_z}{\text{，}}\\ {{{A}}_2}(\rho ,\phi ,z) = \int_0^\infty {{J_0}(\rho \xi )[{d_2}(\xi ,0){e^{ - z{\upsilon _2}}}]{\rm d}\xi } \cdot {{{e}}_z}{\text{。}} \end{array} \right. $

(8)

由式（6）～式（8）可以解得 ${{{A}}_0}$ ， ${{{A}}_1}$ 和 ${{{A}}_2}$ ，文章研究的重点是空气中的磁场，解得空气中的矢量磁位为：

$ {{\rm{A}}_0}(\rho ,\phi ,z) = \dfrac{{\mu Il}}{{2{\text{π}} }}\int_0^\infty {\xi {G_0}K{e^{z{\upsilon _0}}}{J_0}(\rho \xi ){\rm d}\xi } \cdot {{\rm{e}}_z}{\text{。}} $

(9)

其中：

$ \begin{split} & K \!=\!\! \dfrac{{({G_1}{\upsilon _2} \!+\! {\upsilon _1}){e^{{\upsilon _1}(d \!-\! {z_0})}} \!-\! ({G_1}{\upsilon _2} \!-\! {\upsilon _1}){e^{ - {\upsilon _1}(d - {z_0})}}}}{{({G_0}{\upsilon _1} \!+\! {\upsilon _0})({G_1}{\upsilon _2} \!+\! {\upsilon _1}){e^{d{\upsilon _1}}} \!+\! ({G_0}{\upsilon _1} \!-\! {\upsilon _0})({G_1}{\upsilon _2} \!-\! {\upsilon _1}){e^{ - d{\upsilon _1}}}}}{\text{，}}\\ & {G_0} = {\raise0.7ex\hbox{${k_0^2}$} / \!\lower0.7ex\hbox{${k_1^2}$}},{G_1} = {\raise0.7ex\hbox{${k_1^2}$} \!/ \!\lower0.7ex\hbox{${k_2^2}$}}{\text{。}} \end{split} $

由式(2)中的 ${{B}} = \nabla \times {{A}}$ 可以解得空气中磁场的三分量表达式为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {B_{0x}} = - \dfrac{{\partial \rho }}{{\partial y}}\dfrac{{\mu Il}}{{2{\text{π}} }}\int_0^\infty {{\xi ^2}{G_0}K{e^{z{\upsilon _0}}}{J_1}(\rho \xi ){\rm d}\xi }{\text{，}} \\ {B_{0y}} = \dfrac{{\partial \rho }}{{\partial x}}\dfrac{{\mu Il}}{{2{\text{π}} }}\int_0^\infty {{\xi ^2}{G_0}K{e^{z{\upsilon _0}}}{J_1}(\rho \xi ){\rm d}\xi } {\text{，}}\\ {B_{0z}} = 0 {\text{。}} \end{array} \right. $

(10)

3 仿真计算

假定浅海模型中的垂直时谐电偶极子满足正弦变化，频率为5 Hz，峰值大小为10 A·m。取空气的3个电磁参数为 ${\mu _0} = 4{\text{π}} \times {10^{ - 7}}\ {\rm{H/m}}$ ， ${\varepsilon _0} = 8.854 \times {10^{ - 12}}\ {\rm{F/m}}$ ， ${\sigma _0} = 0$ 。海水的为 ${\mu _1} = {\mu _0}$ ， ${\varepsilon _1} = 9{\varepsilon _0}$ ， ${\sigma _1} = 4\ {\rm{S/m}}$ 。海底的为 ${\mu _2} = {\mu _0}$ ， ${\varepsilon _2} = 9{\varepsilon _0}$ ， ${\sigma _2} = 0.04\ {\rm{S/m}}$ 。电偶极子沿 $z$ 方向放置。为与后面的水池试验测量一致，采用测量点固定，电偶极子在海水中沿x轴由(–100 m，0，10 m)移动到(100 m，0，10 m)，选择测量点 $(x,y,z)$ 的坐标为(0，20 m，–10 m)，海水深度为50 m。在对式（10）进行数值计算时，采用快速汉克尔变换方法^[13]，计算结果如图3和图4所示，每个图都包含磁场有效值以及磁场的时域形式。

由于磁场的z分量为0，只对x和y分量计算作图。从计算结果来看，时谐水平电偶极子在空气中产生的磁场随着距离增大逐步衰减，距离越远，衰减越慢。 ${B_x}$ 和 ${B_y}$ 均具有明显的特征包络。在文中设定的各项参数下， ${B_x}$ 在x=0处达到峰值，在x=100 m处有超过0.02 nT的磁场值； ${B_y}$ 在x=0处计算值为0，在x=100 m处有超过0.1 nT的磁场值。

4 水池试验

试验采用一对碳棒电极模拟垂直时谐电偶极子进行了水池试验。实验条件包括无磁性实验水池、一对碳棒电极和磁场测量系统。无磁性水池的尺寸为8 m×5 m×1.5 m，水池水深为1 m。用工业盐调制出电导率约为4 S/m，近似于海水。磁场测量系统中，磁感应棒输出的信号经过滤波后，通过NI采集上传到上位机。电偶极子的电极间距10 cm，通以频率5 Hz、峰值为500 mA的正弦交流电。将碳棒用支架固定于水池中，使2个端头成垂直位置，支架可以水平移动。选择合适的坐标系，测量点固定在(0，90 cm，100 cm)。碳棒沿x轴由(–220 cm，0，30 cm)移动到(220 cm，0，30 cm)，速度5 cm/s。测量结果如图5所示。

垂直时谐电偶极子的磁场仿真计算中没有z分量值，但是在文中的碳棒电极实验时，存在幅值微弱的z分量，文中未列出。原因为碳棒电极的布放方式使得水中电流不能严格满足以z轴轴对称分布。从测量结果来看，磁场x分量和y分量周期性能够辨识，与仿真计算的包络比较一致，但幅值均比较小。在测量中更易受到环境磁场和实验设备磁场干扰，从图中可以看出噪声比较大。此时就不适合用时域信息分析磁场。图6（b）和图7（b）分别对磁场x分量和y分量做时频分析，可以看出频谱中5 Hz的线谱成分明显，因此利用磁场线谱特征进行在空气中对水中目标进行探测将更为有效。

5 结　语

　　本文分析船舶轴频磁场产生机理，建立浅海条件下垂直时谐电偶极子在空气层产生的极低频磁场模型，并采用快速汉克尔变换进行数值运算。碳棒电极在海水水池中的试验结果验证了模型有效性。磁传感器技术的发展使得其分辨率已达到pT级，能够检测到远距离目标的磁场信号。从文中的分析可知利用信号的频谱信息能够更好地实现检测，在此基础上，谱线增强技术和测量平台的磁补偿技术需要进一步研究。