0 引　言

潜艇的外形设计需要考虑很多方面的因素。例如，考虑到耐压，潜艇外形一般采用回转体，截面是圆形或者椭圆。考虑其水动力性能，主要是减小阻力（粘滞阻力），纵向采用流线型。在潜艇设计时还需要考虑首部流噪声，希望其越小越好，使得声呐具有较好的外部环境。而且，潜艇需要安装各种武器装备动力装置及生活用具，所以希望内部容积尽可能大。这些问题的单独研究已有很多成果，综合起来利用多学科优化技术考虑潜艇的外形设计遇到很多的困难，其中主要困难之一是潜艇外形与这些因素耦合在一起，处理起来非常复杂。这里采用数学船型技术和二次响应面技术结合多目标优化研究潜艇的外形设计。

1 潜艇外形的数学描述

潜艇外形一般选择阻力性能较好的水滴型回转体，可以适当降低长宽比，获得更优良的总布置条件。水滴型艇型的母线线型一般采用Jackson潜艇线型控制方程。杜月中等^[1]分析了流线型回转体外形设计的特点并研究了线型拟合。陈明高等^[2]研究了常规潜艇排水量和主尺度的确定新方法。刘明静等^[3]研究了复杂回转体的数学表示方法。唐晓等^[4]研究了潜艇数学船型以及求解形状因子的超越方程组求解。这里为多学科设计优化的便利，采用改进的数学船型来描述。

潜艇裸艇可分为进流段、中段和去流段3部分。主要设计参数包括：艇长L，进流段长L₁，中段长L₂，去流段长L₃，其中， $L = {L_1} + {L_2} + {L_3}$ 。参数的含义如图1所示。

引入形状因子 ${\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3},{\alpha _4}$ ，则回转型潜艇的回转半径函数可表示为：

${R_i}(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {R{{\left[1 - {{\left(\frac{{ - x - L/2 + {L_3}}}{{{L_3}}}\right)}^{{\alpha _4}}}\right]}^{{\alpha _3}}},\mathop {}\limits^{} i = 3,\mathop {}\limits^{} - \frac{L}{2} \leqslant x \leqslant - \frac{L}{2} + {L_3}} {\text{；}}\\ {R,\mathop {}\limits^{} i = 2,\mathop {}\limits^{} - \frac{L}{2} + {L_3} \leqslant x \leqslant \frac{L}{2} - {L_1}} {\text{；}}\\ {R{{\left[1 - {{\left(\frac{{x + {L_1} - L/2)}}{{{L_1}}}\right)}^{{\alpha _2}}}\right]}^{{\alpha _1}}},\mathop {}\limits^{} i = 1,\mathop {}\limits^{} \frac{L}{2} - {L_1} \leqslant x \leqslant \frac{L}{2}} {\text{。}}\end{array}} \right.$

潜艇船型曲线为：

$y(x,z) = \pm \sqrt {{R^2}(x) - {z^2}} , \; - L/2 \leqslant x \leqslant L/2{\text{；}}$

在XOY平面上，潜艇进流段船型曲线为：

$y = R{\left[1 - {\left(\frac{{x + {L_1} - L/2)}}{{{L_1}}}\right)^{{\alpha _2}}}\right]^{{\alpha _1}}},\mathop {}\limits^{} \frac{L}{2} - {L_1} \leqslant x \leqslant \frac{L}{2}{\text{；}}$

在XOY平面上，潜艇去流段船型曲线为：

$y = R{\left[1 - {\left(\frac{{ - x - L/2 + {L_3}}}{{{L_3}}}\right)^{{\alpha _4}}}\right]^{{\alpha _3}}},\mathop {}\limits^{} - \frac{L}{2} \leqslant x \leqslant - \frac{L}{2} + {L_3}{\text{。}}$

在上述潜艇的数学船型表示下，潜艇的排水量体积可以表示为：

$\begin{align}&\nabla = {\text{π}}{R^{\rm{2}}}\left\{ {{\int_{{\rm{ - }}L/2}^{ - L/2 + {L_3}} {\left[ {1 - {{\left( {\frac{{ - x - L/2 + {L_3}}}{{{L_3}}}} \right)}^{{\alpha _4}}}} \right]} }^{{\alpha _3}}}{\rm d}x\right.+ \\& \left. \int_{ - L/2 + {L_3}}^{L/2 - {L_1}} {{\rm{d}}x} + \int_{L/2 - {L_1}}^{L/2} {{{\left[ {1 - {{\left( {\frac{{x - L/2 + {L_1}}}{{{L_1}}}} \right)}^{{\alpha _2}}}} \right]}^{{\alpha _1}}}{\rm d}x} \right\}{\text{，}}\end{align}$

潜艇的浮心纵坐标可以表示为：

$\begin{align}& {x_c} = \frac{{{\text{π}} {R^{\rm{2}}}}}{\nabla }\left\{{{\int_{{\rm{ - }}L/2}^{ - L/2 + {L_3}} {\left[ {1 - {{\left( {\frac{{ - x - L/2 + {L_3}}}{{{L_3}}}} \right)}^{{\alpha _4}}}} \right]} }^{{\alpha _3}}}x{\rm d}x +\right. \\& \left. \int_{ - L/2 + {L_3}}^{L/2 - {L_1}} {x{\rm{d}}x} + \int_{L/2 - {L_1}}^{L/2} {{{\left[ {1 - {{\left( {\frac{{x - L/2 + {L_1}}}{{{L_1}}}} \right)}^{{\alpha _2}}}} \right]}^{{\alpha _1}}}x{\rm d}x} \right\}{\text{。}}\end{align}$

在数学船型中，由于潜艇型线采用函数形式表示，可以用解析方法计算潜艇湿表面积：

$\begin{align}& S = {\rm{2}}{\text{π}} R\left\{ {{\int_{{\rm{ - }}L/2}^{ - L/2 + {L_3}} {\left[ {1 - {{\left( {\frac{{ - x - L/2 + {L_3}}}{{{L_3}}}} \right)}^{{\alpha _4}}}} \right]} }^{{\alpha _3}}}{\rm d}x +\right. \\& \left. \int_{ - L/2 + {L_3}}^{L/2 - {L_1}} {{\rm{d}}x} + \int_{L/2 - {L_1}}^{L/2} {{{\left[ {1 - {{\left( {\frac{{x - L/2 + {L_1}}}{{{L_1}}}} \right)}^{{\alpha _2}}}} \right]}^{{\alpha _1}}}{\rm d}x} \right\}{\text{。}}\end{align}$

在Jackson船型中，形状因子采用优化方法确定：

$\begin{align}& \max F({\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3},{\alpha _4}) = \nabla {\text{，}}\\& g({\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3},{\alpha _4}) = {\nabla _0} - \nabla \leqslant 0{\text{，}}\\& h({\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3},{\alpha _4}) = {x_c} - {x_{c0}} = 0{\text{，}}\\& {a_i} \leqslant {\alpha _i} \leqslant {b_i},i = 1,2,3,4{\text{。}}\end{align}$

取 ${\alpha _2} = 2,{\alpha _4} = 2$ 。利用数学船型中求解超越方程组方法确定 ${\alpha _1},{\alpha _3}$ 的值^[4]，以此作为优化的初值。

选取计算模型为美国DARPA潜艇模型Suboff。Suboff潜艇是美国David Taylor海军舰船研究发展中心（DTNSRDC）的研究项目，Suboff（Submarine Technology Program Office，潜艇技术规划办公室）项目公布后，其资料最为系统全面。1989年Groves等对Suboff系列潜艇的数学模型进行了系统的论述。1990年Roddy对Suboff系列潜艇进行了拘束模试验。1998年美国海军水面作战中心卡德洛克分部（Naval Surface Warfare Center，Carderock Division）Han-Lieh Liu等对Suboff系列潜艇进行了模型试验。从而，Suboff潜艇成为全世界研究潜艇的范例。Suboff潜艇是回转体水池试验模型，其参数见表1。

计算得， ${\alpha _1} = 0.4,{\alpha _3} = 1.3$ 。所以， ${\alpha _1} = 0.4, {\alpha _2} = 2,$ ${\alpha _3} = 1.3,{\alpha _4} = 2$ 是一组可行的形状因子。

2 潜航器阻力预测

潜艇的阻力系数与潜艇的形状及其表面特性有关。阻力系数有2种定义方式，一种利用潜艇表面积，另一种利用潜艇迎流方向正投影面积。这里采用前一种。对潜艇的阻力计算和估计有很多的研究，例如，涂海文等^[5]基于CFD，研究了的潜艇阻力及流场数值计算。

记 $F$ 为潜艇阻力，N； $\rho $ 为流体密度，kg/m³；v为潜航器速度，m/s；S为潜艇表面积，m²；则阻力可表示为：

$F = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{C_x}\rho S{v^2}{\text{，}}$

此处取 $\rho = {\rm{1}}{\rm{.08}}$ ， $v = 10$ 。

潜艇零升沾湿阻力系数等于压差阻力系数与摩擦阻力系数之和：

${C_x} = \frac{{2{\text{π}} }}{S}\int_0^L {{C_p}\sin (\gamma )y{\rm d}x + } \frac{{2{\text{π}} }}{S}\int_0^L {{C_f}cos(\gamma )y{\rm d}x} {\text{。}}$

其中： ${C_p}$ 为表面压力系数； ${C_f}$ 为表面摩擦切应力系数；γ为潜航器线型的切线与X轴的夹角， $S$ 为潜艇沾湿表面积。

3 潜艇首部声学模型

潜艇噪声主要分为自噪声（流噪声）和辐射噪声。辐射噪声影响潜艇的隐身性。辐射噪声大容易被敌方发现。潜艇的自噪声影响潜艇的内部工作环境，首部噪声对潜艇声呐的影响很大。对回转体首部噪声的研究是潜艇设计的一个热点。李福新等^[6]研究了回转体流噪声_边界层转捩区的声辐射。李福新等^[7]研究了低噪声回转体头部线型设计问题。卢云涛等^[8]研究了全附体潜艇的流场和流噪声的数值模拟。刘明静等^[9]研究了潜艇首部声呐流噪声计算方法。赵加鹏等^[10]研究了回转体边界层转捩区声辐射的预报方法。魏应三等^[11]研究了基于声场精细积分算法的潜艇流激噪声预报。江文成等^[12]研究了利用边界元理论求解水下潜艇流噪声的问题。蒋涛等^[13]研究了基于大涡模拟的潜艇流噪声预测技术。

潜艇首部的边界层如图2所示。

回转体流噪声是指回转体转捩区和湍流边界层向其头部驻点处所辐射的噪声。大量实验表明，转捩区的声辐射是构成回转体流噪声的主要组成部分。

$G(r,f) = \frac{{W{\rho ^2}uu_c^2{{(\Delta \delta^*)}^2}{{({k_c}\Delta x)}^2}}}{{8{{\text{π}} ^2}{r^2}[1 + {{({k_c}\Delta x)}^2}{{({t_i}{U_c}/\Delta x)}^2}]}} \times F({k_c}\Delta x){\text{，}}$

$F({k_c}\Delta x) = {({k_c}\Delta x)^2}\int_0^1 {\int_{ - z}^{1 - z} {\frac{{zN^*\cos ({k_c}\Delta xy)\gamma {e^ - }^{a^*\Delta x|y|}}}{{4N^{*^2}{{(u/{u_c})}^2} + {{({k_c}\Delta x)}^2}}}} } {\rm d}y{\rm d}z$

$N^* = \frac{{N\Delta x}}{{{u_c}}},a^* = \frac{{1 + 83.35{z^8}}}{{\Delta x}},{k_c} = \frac{\omega }{{{u_c}}},$

系数 $F({k_c}\Delta x)$ 仅与转捩区长度 $\Delta x$ 、来流速度 ${u_c}$ 以及角频率ω有关。转捩区向头部驻点处辐射的声压谱N：

$N = 10\log G(r,f) + 10\log \Delta f{\text{。}}$

式中：W为转捩区所在区域中点处回转体的周长； $\rho $ 为流体密度；γ为转捩区内湍斑的间歇影子；S为潜艇沾湿表面积； ${U_c}$ 为转捩区内湍斑的迁移速度； $N(z)$ 为转捩区内湍斑的猝发频率； $\Delta \delta ^*$ 为边界层位移厚度差； $\Delta x$ 为转捩区长度。 $\displaystyle\frac{{{u_c}{t_i}}}{{\Delta x}} = T$ 为无量纲上升时间。 $u$ 为来流速度， ${u_c}$ 为湍斑迁移速度（这里取 ${u_c} = 0.8u$ ）， ${t_i}$ 为上升时间（湍斑内的涡由层流边界层上升到湍流边界层所需的时间，取 $({t_i}{u_c})/\Delta x = 0.45$ ）， $\omega = 2{\text{π}}f$ 为声波角频率，f为声波频率。

4 多学科设计优化

利用多学科设计优化对船体进行优化设计近年来发展迅速。操安喜等^[14]研究了多学科设计优化方法在潜艇概念设计中的应用。李学斌等^[15]研究了潜艇概念设计阶段的多目标优化问题。杨卓懿等^[16]基于多目标遗传算法，研究了潜器外形的优化设计。赵加鹏等^[17]研究了鱼雷外形低阻、低噪和高机动性的多学科优化设计方法。寇冠元等^[18]研究了潜艇附体水动力外形优化设计。张楠等^[19]研究了潜艇围壳线型优化抑制脉动压力与流激噪声的数值模拟。

潜艇设计时，艇型设计是阻力最小、首部噪声最小、包络体积最大的多目标优化问题。设计变量取为4个，分别为艇首形状外因子x₁，艇首形状内因子x₂，艇尾形状外因子x₃，艇尾形状内因子x₄。多目标优化问题的数学模型可以描述为：

$\begin{align}&\min f({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}) = {\lambda _1}{f_1}({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}) + \\&\;\;\;\;\;\;{\lambda _2}{f_2}({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}) + {\lambda _3}[ - {f_3}({x_1},{x_2},{x_3},{x_4})]{\text{，}}\\&{g_i}({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}) \leqslant0,i = 1,2,...,n{\text{，}}\\&{h_j}({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}) = 0,j = 1,2, \cdots ,m{\text{，}}\\&{a_k} \leqslant {x_k}\leqslant {b_k},k = 1,2,3,4{\text{。}}\end{align}$

式中， ${f_1},{f_2},{f_3}$ 分别为潜航器阻力、转捩区噪声功率和排水体积， ${\lambda _1},{\lambda _2},{\lambda _3}$ 为权重，满足

${\rm{0}} \leqslant {\lambda _1},{\lambda _2},{\lambda _3} \leqslant {\rm{1}},\sum\limits_{{\rm{i}} = {\rm{1}}}^{\rm{3}} {{\lambda _i}} = 1{\text{。}}$

这里取 ${\lambda _1} = 0.5,{\lambda _2} = 0.3,{\lambda _3} = 0.2$ 。其中，不等式约束 $g({x_1},{x_2},{x_3},{x_4})$ 取为排水体积不得小于设计初值，等式约束 $h({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}) = 0$ 取为设计中要求的浮心纵坐标满足的设计值。变量约束的上下限由设计要求决定。

由于转捩区噪声模型的计算复杂性，构造响应面模型进行近似。由于只涉及2个变量x₁和x₂，选择采用拉丁方设计（Latin Hypercube Designs）试验，对计算得到的数据进行回归，得到流噪声的二次响应面模型：

$voice = {\beta _0} + {\beta _{\rm{1}}}{x_1} + {\beta _2}{x_3} + {\beta _3}x_1^2 + {\beta _4}x_3^2 + {\beta _5}{x_1}{x_3}{\text{。}}$

$\begin{array}{l}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\text{其中，}}{\beta _{\rm{0}}} = 781.1,\;\;{\beta _{\rm{1}}} = - 342.0{\rm{,}}\;\;{\beta _{\rm{2}}} = - 265.2{\rm{,}}\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\beta _3} = {\rm{ - 23}}{\rm{.0,}}\;\;{\beta _4} = {\rm{ - 2}}{\rm{.8,}}\;\;{\beta _{\rm{6}}} = 113.0{\text{。}}\end{array}$

5 实　例

选取的计算模型为美国DARPA潜艇模型Suboff，其参数如表1所示。这里，仅考虑裸艇，不考虑附件。生成的潜艇数学船型如图3所示。

多目标优化的初值取为：x₁=0.4，x₂=2.0，x₃=1.3，x₄=2.0。优化结果为：x₁=0.206 5，x₂=2.000 0，x₃=1.324 5，x₄=2.068 8。

优化计算结果表明，容积减小0.03.6978%，表面积减小0.35%，阻力系数减小14.65%，转捩区噪声减小2.02%，阻力减小14.68%。

6 结　语

潜艇的设计越来越多地采用现代的科学技术^[20]。本文以水滴型潜艇外形设计为例，利用回转型潜艇外形的数学船型，研究了多学科设计优化。其中，考虑了改善潜艇自身工作环境的转捩区噪声问题，并采取二次响应面方法进行近似。在数学船型基础上研究潜艇外形的多学科设计优化，大大简化了计算的复杂性。本文提供的多种技术的综合应用方法，能够为改善工程设计提供有益的支持。