0 引　言

自适应阵列处理作为阵列信号处理的重要分支，其关键在于依托自适应方向图来实现对特定信号的接收和对干扰的抑制^[1]。Applebaum在自适应阵列最优权方面的工作，使得自适应阵列处理能够直接对各阵元加自适应权而得到适合于信号干扰环境的自适应方向图^[2]。在Widrow和Capon等基础上，Frost将单一的无失真响应约束推广为线性约束最小方差波束形成器（LCMV）^[3]，可根据信号干扰环境得到更好的自适应方向图。然而，LCMV在存在多重干扰^{[4 – 5]}、快拍数较少^{[6 – 7]}时，输出信干噪比下降，方向图恶化严重，甚至不能保留主瓣特性和生成准确零陷。

自适应方向图控制作为一个困难的非线性优化问题，已有的许多经典方法可以参考，但常常无法推广^[8]，而进化算法被证明是得到此类问题最优解的有效方法^[2]。因此，诸如遗传算法（Genetic Algorithm）^[9]、蚁群优化算法（Ant Colony Optimization）^[10]、模拟退火算法（Simulated Annealing）^[11]等进化算法均被广泛应用于阵列方向图的最优化问题之中。粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）相较于传统分析方法、经典优化算法和其他进化算法，易于理解和实现、程序清晰和简单，且因算法兼顾个体特征和全体特征故可更快收敛^[12]，在求解此类非线性优化问题时表现出优越的性能。

PSO算法最早由J. Kennedy和R. Eberhart提出^[13]，受到人工生命的研究结果启发，其基本概念源于对蜂群采蜜行为的研究。目前，PSO算法已广泛应用于电力系统领域^[14]、系统可靠性设计^[15]、图像处理^[16]等领域。本文结合LCMV自适应波束形成及PSO算法，基于最大信干噪比（SINR）准则，提出一种多虚拟干扰改进PSO算法，有效改善了LCMV方法的输出信干噪比，且在处理自适应方向图控制问题方面效果显著。

1 LCMV波束形成处理模型 1.1 阵列数据模型

考虑 $N$ 元的均匀线列阵（ULA）如图1所示，假设各阵元均是各向同性阵元，相邻阵元间距为 $d$ ，一个期望信号和 $P$ 个窄带干扰从远场入射（波长为 $\lambda $ ）。

由阵列信号处理理论可知，阵列接收数据可表示为^[1]

${{x}}\left( t \right) = {{As}}\left( t \right) + {{n}}\left( t \right){\text{，}}$

(1)

其中： ${{n}}\left( t \right)$ 为 $N \times 1$ 阵列噪声向量； ${{x}}\left( t \right)$ 为 $N \times 1$ 阵列接收数据向量； ${{s}}\left( t \right) = {\left[ {{s_0}\left( t \right),{s_1}\left( t \right), \cdots ,{s_P}\left( t \right)} \right]^{\rm {T}}}$ 为接收复包络向量； ${s_k}\left( t \right)$ 为第 $k$ 个信源的复包络。 ${{A}} = \left[ {{{a}}\left( {{\theta _0}} \right),{{a}}}\right. $ $\left.{\left( {{\theta _1}} \right),\cdots ,{{a}}\left( {{\theta _P}} \right)} \right]$ 为阵列流形矩阵，其中， ${{a}}\left( {{\theta _i}} \right) = {\left[ {1,}\right.} $ ${\left.{\exp \left( {j{\beta _i}} \right), \cdots ,\exp \left( {j\left( {N - 1} \right){\beta _i}} \right)} \right]^{\rm {T}}}$ ， $\left( {i = 0,1, \cdots ,P} \right)$ 为第 $i$ 个信源的导向矢量，其中

${\beta _i} = \frac{{2\pi }}{\lambda }d\sin \left( {{\theta _i}} \right){\text{，}}$

(2)

阵元接收到的远场信号经其后接收机加权相加后，得到的阵列输出为：

$y = {{{w}}^H} \cdot {{x}}\left( t \right){\text{，}}$

(3)

式中， ${{w}} = {\left[ {{w_1},{w_2}, \cdots ,{w_N}} \right]^{\rm {T}}}$ 为 $N \times 1$ 阵列复权矢量。本文约定， ${\left( \cdot \right)^{\rm {T}}}$ 表示转置， ${\left( \cdot \right)^*}$ 表示共轭， ${\left( \cdot \right)^H}$ 表示共轭转置。

1.2 LCMV波束形成器

线性约束最小方差波束形成器的权矢量可表示为

${{{W}}_{LCMV}} = \mathop {\arg }\limits_{{{{w}}^H}{{C}} = {{{f}}^H}} \min {{{W}}^H}{{{R}}_X}{{W}}{\text{，}}$

(4)

式中： $C$ 为 $\left( {N + 1} \right) \times {N_C}$ 约束矩阵； ${{f}}$ 为其约束响应矢量； ${{{R}}_X}$ 为阵列协方差矩阵。当 ${{C}} = {{a}}\left( {{\theta _0}} \right)$ ， ${{f}} = 1$ 时，LCMV退化为最小方差无失真响应（MVDR）波束形成器。式（4）可解得LCMV权矢量的直接形式为

${{{W}}_{LCMV}} = {{R}}_X^{ - 1}{{C}}{\left( {{{{C}}^H}{{R}}_X^{ - 1}{{C}}} \right)^{ - 1}}{{f}}{\text{。}}$

(5)

LCMV作为经典的自适应波束形成算法，广泛应用于抑制干扰和增强期望信号等方面，下文将引入改进的粒子群算法以改善LCMV在多重干扰、低快拍等情况下性能较差的缺陷。

2 粒子群算法及其改进 2.1 基本粒子群算法

PSO算法作为一种有效的解决非线性优化问题的遗传算法，受启发于鸟类群体运动的规律性，利用群体智能建立一个简化模型，相较于GA、SA等遗传算法，更不易于早熟或停滞于局部极值。算法发展迅速，且研究者的改进很多，但其基本原理相差无几。

PSO算法利用种群群体及其 $N$ 个个体（粒子），在 $D$ 维空间中以重复迭代的方式搜寻最优解，粒子在空间飞行时，具有速度和位置2个特征。种群将以适应度函数为性能度量^[18]，不断调整其当前位置并向其中获得最佳位置的粒子的方向前进，即搜寻使适应度函数最优的粒子位置。文献[17]对PSO算法具体思想、发展历程和研究现状进行详细介绍。

粒子群中第 $i$ 个粒子的位置表示为 $ {{{x}}_i} = \left({{x_{i1}},{x_{i2}}, \cdots ,}\right.$ $\left.{{x_{iD}}} \right)$ ，它经历过的最好位置称之为个体最优位置，用 ${{{p}}_i}$ 表示，而群体所有粒子经历过的最好位置称之为全局最优位置，用 ${{g}}$ 表示。在每次迭代中，粒子 $i$ 第 $j$ 维的速度和位置更新方式如下：

$\begin{split}{v_{ij}}\left( {t + 1} \right) = & w{v_{ij}}\left( t \right) + {c_1}{r_{1j}}\left( {{p_{ij}} - {x_{ij}}\left( t \right)} \right) +\\& {c_2}{r_{2j}}\left( {{g_{ij}} - {x_{ij}}\left( t \right)} \right){\text{，}}\end{split}$

(6)

${x_{ij}}\left( {t + 1} \right) = {x_{ij}}\left( t \right) + {v_{ij}}\left( {t + 1} \right){\text{。}}$

(7)

其中， $t$ 为当前迭代次数， $i = 1,2, \cdots N$ ， $ j = 1,2, \cdots ,D$ 。 $w$ 为惯性权重，用来平衡算法的全局搜索和局部搜索能力。 ${c_1}$ 和 ${c_2}$ 为加速系数，表征粒子收到个体及种群认知的影响程度。 ${r_{1j}}$ 和 ${r_{2j}}$ 为在 $\left[ {0,1} \right]$ 内均匀分布的常数。PSO算法的主要步骤如图2所示，其中 $F$ 表示适应度函数。

PSO算法的核心在于每次迭代中对粒子速度和位置的更新，基于式（6）和式（7），粒子在整个空间内飞行进行搜索，不断学习个体最优和种群最优，调整飞行速度和粒子位置，直到寻找到最优解或达到最大迭代次数。通过设计合适的适应度函数，PSO算法可有效应用于阵列方向图控制领域。

2.2 改进的粒子群算法

在应用于阵列方向图控制的基本粒子群算法中，粒子位置可被视为阵列权矢量，算法开始于随机初始化 $N$ 个以权矢量形式表示的粒子位置。在本文中，首个粒子位置的初始化并非随机，而是由计算LCMV自适应权矢量而得到，因此，种群位置的初始化矩阵表示为：

${{X}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{W}}_{LCMV}^{\rm {T}}}\\{{{{x}}_2}}\\{{{{x}}_3}}\\ \vdots \\{{{{x}}_N}}\end{array}} \right]{\text{。}}$

(8)

其中 ${{{W}}_{LCMV}}$ 为 $N$ 维LCMV权矢量，可由式（5）计算得到。

PSO算法通过计算粒子的适应度函数值来指导粒子的整个搜寻过程，其设计的好坏直接决定了优化效果。在阵列方向图优化问题中，阵列增益、旁瓣级、方向图形状等参量均可作为其适应度函数的设计依据。为提高自适应阵列的干扰抑制能力，在特定方向得到期望的零陷，本文提出了一种基于最大信干噪比准则的改进适应度函数，该适应度函数通过添加虚拟干扰的方法以加深或展宽零陷，从而达到抑制干扰的目的。其设计形式如下：

$F\left( {{x}} \right) = \frac{{\sum\limits_{s = 1}^S {\sigma _s^2{{\left| {{{{x}}^*}{{a}}\left( {{\theta _s}} \right)} \right|}^2}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^I {\sigma _i^2{{\left| {{{{x}}^*}{{a}}\left( {{\theta _i}} \right)} \right|}^2}} + \sigma _n^2}}\text{，}$

(9)

其中 $\sigma _s^2$ 、 $\sigma _i^2$ 和 $\sigma _n^2$ 分别为期望信号功率、虚拟干扰功率和噪声功率， ${{a}}\left( {{\theta _s}} \right),s = 1,2, \cdots ,S$ 和 $ {{a}}\left( {{\theta _i}} \right),i = 1,$ $2, \cdots ,I$ 分别为 $S$ 个期望信号和设置的 $I$ 个虚拟干扰的导向矢量。为得到所求权矢量，最大化式（9）所示适应度函数将贯穿整个PSO算法的优化过程。PSO算法通过在每次迭代中更新粒子位置，不断寻求使适应度函数值达到最优的粒子位置，最终当迭代结束后，全局最优位置 ${{g}}$ 即为阵列权矢量。

3 数值仿真实例

通过控制阵列权矢量，自适阵列处理可通过零陷生成技术在特定方向生成零陷以抑制干扰，本节会深入分析文中提出的基于LCMV自适应波束形成的改进PSO算法，该方法所求得的阵列权矢量在增强期望信号和抑制干扰信号方面的性能表现将通过仿真实例验证。下文将主要讨论在增强期望信号前提下的两类自适应方向图控制问题，其一为在干扰方向自适应零陷加深，其二为干扰区域自适应零陷展宽。同时，通过与LCMV方法的横向对比和自身的纵向对比，研究并分析算法的有效性。

3.1 干扰方向自适应零陷加深

本实例将讨论文中提出的改进PSO算法在干扰方向形成自适应深零陷的有效性。考虑一个阵元间距为半波长的均匀线阵，阵元个数 $N = 12$ ，期望信号位于0°方向，干扰信号来自–36°和48°，信噪比和干噪比分别为0 dB和10 dB，接收数据快拍数为12。PSO算法种群规模设置为15，每个粒子维数为12，经过200次迭代和500次迭代后的阵列方向图分别如图3和图4所示。表1给出了经过10次独立重复实验后，LCMV方法及改进的PSO算法200次、500次迭代的阵列输出信干噪比。

通过图3和图4可以看出，在快拍数低的情况下，LCMV自适应波束形成方法已不能很好地增强期望信号，特别地，图3中的主瓣方向已与期望信号方向偏离甚远。可以看到，LCMV方法方向图旁瓣普遍较高，基本失去增强期望信号的能力，其零陷位置生成不准确且偏差较大。图3结果表明，通过设定干扰方向的虚拟干扰源，结合式（9）所示的适应度函数，改进的PSO算法可以准确地在增强期望信号的同时于干扰方向形成零陷，200次迭代后在–36°和48°的零陷电平分别达到–52.98 dB和–52.72 dB，零陷电平远低于LCMV方法的–24.57 dB和–24.84 dB，干扰抑制能力更强。对比图4与图3可以看到，两例均能在期望信号方向形成主瓣，在迭代次数提高至500次之后，干扰方向零陷电平进一步降低至–85.29 dB和–85.35 dB，且旁瓣电平整体降低，普遍压制在–10 dB以下，表明提高PSO算法的迭代次数可以获得方向图控制能力更好的阵列权矢量。表1中数据表示，改变自适应方向图控制的方法对阵列输出信干噪比的提升效果显著，但增大迭代次数对改进PSO算法性能的提升有限。由于在进化后期种群多样性逐渐丧失等多种原因，并不能单纯通过提高迭代次数来无限制获得更好的优化结果^{[17 – 18]}。

本实例表明，文中提出的改进PSO算法在增强期望信号、形成干扰处零陷方面的性能远优于LCMV自适应波束形成方法。

3.2 干扰区域自适应零陷展宽

零陷展宽是抑制快速运动强干扰的有效手段，有利于弱目标信号的检测，本实例将讨论改进的PSO算法在零陷展宽方面的性能。本实例要求方向图在干扰方向形成深零陷、增强期望信号的同时在（43°，53°）范围内形成抑制区域，其余仿真条件与上一例相同。经过500次迭代后阵列方向图综合结果见图5。

可知，通过在抑制区域内添加虚拟干扰源，可以有效在其间形成零深低于–40 dB的宽零陷。同时，–36°处也可生成约–46 dB深的零陷，主瓣位置也准确。仿真分析表明，文中提出的改进PSO算法可有效实现干扰区域自适应零陷展宽。

4 结　语

粒子群优化算法等自然启发类算法是寻找非线性问题最优解的有效工具，相较于传统自适应波束形成算法有很大优势。利用PSO算法，可有效降低阵列方向图旁瓣级，形成深而宽的零陷以抑制干扰，还可综合出特定形状的阵列方向图。本文提出一种基于LCMV自适应波束形成的改进粒子群算法，并将其应用于自适应方向图控制方面。通过仿真分析的结果对比可以看出，该方法有效改善了LCMV自适应波束形成技术在低快拍数下增强主瓣、抑制干扰等方面的性能，可显著加深及展宽零陷，有效提升阵列输出信干噪比，在自适应阵列处理方面有广阔的应用前景。但该算法在迭代次数过少时性能不稳定，且在面对高维复杂问题时有时会陷入早熟收敛问题，因此仍然有待深入研究并改进。