0 引　言

舰船姿态^[1]的精确测量是舰载跟踪设备实现精确测量的基础。目前，舰船姿态的实时和精确测量主要依靠惯性导航系统（INS）。惯性导航系统是完全自主的导航系统，它能高精度测量舰船的动态姿态，抗无线电干扰能力强，并能长期在水下潜航，但惯性导航也具有系统的结构复杂，价格昂贵，由陀螺漂移等因素引起的测量误差随时间积累等不足^{[2 – 3]}。与INS相比，GPS测姿具有体积小、结构简单、成本低、没有误差积累等优点^{[4 – 5]}。随着对GPS测姿技术的不断探索研究，用GPS独立测姿或与其他导航组合测姿已成为一种趋势^[6]。

GPS测姿的精度与基线数量、基线长度和基线矢量间的夹角密切相关^[7]。GPS测姿至少需要2条不平行的基线才能测定运动载体的3个姿态角，理论上来说基线数目越多，冗余度就越高，精度也随之提高，但增加基线的数目，提高了成本，且不利于解算^{[8 – 9]}。本文研究在采用2条基线的条件下，如何改变基线的长度和基线矢量间的夹角来提高GPS测姿的精度。

1 相关坐标系及姿态角定义 1.1 相关坐标系

在用GPS测量舰船姿态的过程中，常用坐标系的有以下3种：世界大地坐标系（WGS），当地水平坐标系（LLS）和舰船甲板坐标系（DOC）。

1）世界大地坐标系（WGS）

GPS坐标采用的是WGS-84坐标系，WGS-84坐标系是世界大地坐标系的一种，坐标系原点为地球质心，其下坐标用（L，B，H）表示。L，B和H分别为坐标系下点的经度、纬度和高度。

2）当地水平坐标系（LLS）

如图1所示，当地水平坐标系的坐标原点 ${O_l}$ 定义为舰船摇摆运动中心在舰船甲板上的投影点， ${X_l}$ 轴平行于当地水平面指向正东， ${Y_l}$ 轴平行于当地水平面指向正北， ${Z_l}$ 轴与 ${X_l}$ 轴和 ${Y_l}$ 轴垂直指向上。 ${X_l}$ 轴， ${Y_l}$ 轴和 ${Z_l}$ 轴构成一个右手坐标系，坐标系中的点用坐标 $({x_l},{y_l},{z_l})$ 表示。

3）舰船甲板坐标系（DOC）

如图2所示，舰船甲板坐标系的原点 ${O_d}$ 与当地水平坐标系的坐标原点 ${O_l}$ 重合， ${Y_d}$ 轴与舰船首尾线平行，以舰尾方向为正， ${X_d}$ 轴与舰船甲板平行且与 ${Y_d}$ 轴垂直，以左舷方向为正， ${Z_d}$ 与 ${X_d}$ 轴、 ${Y_d}$ 轴垂直构成一个右手坐标系，以向上为正。DOC不是惯性坐标系，它随舰船的六自由度运动而运动，坐标系中的点以坐标 $({x_d},{y_d},{z_d})$ 表示。

1.2 舰船姿态角定义

舰船的姿态由航向角（Yaw）、纵摇角（Pitch）和横摇角（Roll）3个姿态角表示。当舰船的3个姿态角都为0时，舰船甲板坐标系与当地水平坐标系重合。舰船运动时，舰船甲板坐标系相对于当地水平坐标系的3个轴之间的旋转角度即为舰船的姿态角。舰船姿态角定义如图3所示。

当地水平坐标系和舰船甲板坐标系的原点重合，2坐标系之间只有旋转变换，而旋转的角度就是舰船的3个姿态角。据研究，从当地水平坐标系到舰船甲板坐标系的变换可由3次绕轴旋转实现，但旋转顺序必须为先绕Z轴旋转（航向变换），再绕X轴旋转（纵摇变换），最后绕Y轴变换（横摇变换）^[10]。旋转矩阵为：

$\begin{array}{l}{T_{ld}} = {R_Y}(K){R_X}(\theta ){R_Z}(\psi ) = \left[ \begin{array}{l}\cos K\cos \psi + \sin K\sin \theta \sin \psi \\\cos \theta \sin \psi \\\sin K\cos \psi - \cos K\sin \theta \sin \psi \end{array} \right.\\\left. \begin{array}{l} - \cos K\sin \psi + \sin K\sin \theta \cos \psi \\\cos \theta \cos \psi \\ - \sin K\sin \psi - \cos K\sin \theta \cos \psi \end{array} \begin{array}{l} - \sin K\cos \theta \\\sin \theta \\\cos K\cos \theta \end{array} \right]{\text{。}}\quad\;\;\; (1)\end{array}$

2 GPS测姿的原理

GPS姿态测量技术是利用多幅天线间的相对定位，通过解算各天线接收的GPS卫星信号，计算出各基线向量在当地水平坐标系中的解，最后根据各天线的相对位置关系和姿态转换矩阵求解姿态角。

2个GPS天线中心的连线称为基线。要测量舰船的三维姿态，至少需要2条不平行的基线，即至少需要3个不共线的GPS天线。由沿舰船首尾线（舰船航向）布置的2个GPS天线可以解算出舰船的航向角和纵摇角，再利用第3个不在舰船首尾线上的GPS天线可解算出舰船的横摇角。

2.1 GPS基线矢量的解算

如图4所示，GPS天线1和GPS天线2组成的基线矢量记为 ${{\vec b}}$ 。GPS测量姿态时，基线一般为数米到数十米，卫星距地面天线的约2 000 km，所以天线接收到的GPS信号可视为平面波，不同天线指向同一颗GPS卫星的单位矢量可视为相同^[11]，为 $\overrightarrow {{e}} $ 。

由图4可知：

$\rho {{ = }}\rho _1^{{K}} - \rho _2^{{K}}{{ = }}\overrightarrow {{e^K}} \cdot \overrightarrow {{b}} {{ = }}\left| {\overrightarrow {{b}} } \right| \cdot \cos \phi {\text{，}}$

(2)

其中， $\rho _1^K$ 为GPS天线1到卫星K的距离， $\rho _2^K$ 为GPS天线2到卫星K的距离， $\overrightarrow {{e^K}} $ 为天线到卫星K的单位矢量， $\phi $ 为 $\overrightarrow {{e^K}} $ 与基线向量 ${{\vec b}}$ 的夹角。

基线长度相对于站星距很小，相位差分几乎消除了电离层延迟误差、对流层误差、SA误差和钟差等空间相关性的误差源^[12]。由载波相位单差观测方程得：

$\lambda \varphi _{12}^K = \left( {\rho _1^K - \rho _2^K} \right) - \lambda N_{12}^K\text{，}$

(3)

将式（2）代入式（3）得：

$\lambda \varphi _{12}^K = \overrightarrow {{e^K}} \cdot \overrightarrow b - \lambda N_{12}^K\text{，}$

(4)

同理，对于卫星J有：

$\lambda \varphi _{12}^J = \overrightarrow {{e^J}} \cdot \overrightarrow b - \lambda N_{12}^J\text{，}$

(5)

式（4）–式（5）得双差观测方程：

$\lambda \varphi _{12}^{{{K}}J} = \overrightarrow {{e^{{{K}}J}}} \cdot \overrightarrow b - \lambda N_{12}^{{{K}}J}\text{。}$

(6)

同一时刻GPS天线1和GPS天线2能同时观测到的GPS卫星数大于等于5（假设观测到5颗GPS卫星，为K、J、P、Q和T，设定卫星K为主星），则可构造4个双差观测方程，写成矩阵形式为：

$\lambda \left( \begin{array}{l}\varphi _{12}^{KJ}\\[4pt]\varphi _{12}^{KP}\\[4pt]\varphi _{12}^{KQ}\\[4pt]\varphi _{12}^{KT}\end{array} \right) = \left( \begin{array}{l}\overrightarrow {{e^{KJ}}} \\\overrightarrow {{e^{KP}}} \\\overrightarrow {{e^{KQ}}} \\\overrightarrow {{e^{KT}}} \end{array} \right) \cdot \overrightarrow b - \lambda \left( \begin{array}{l}N_{12}^{KJ}\\[4pt]N_{12}^{KP}\\[4pt]N_{12}^{KQ}\\[4pt]N_{12}^{KT}\end{array} \right)\text{。}$

(7)

只要确定了整周模糊度，就可解算出基线矢量在地球坐标系中的坐标 ${{\vec b}}$ 。

2.2 GPS姿态确定原理

假设舰船甲板为刚体，则固连在舰船甲板的GPS天线的位置相对于舰船甲板坐标系不改变，基线矢量在舰船甲板坐标系中的坐标 ${b^d}$ 可通过事先精密测量。基线矢量在当地水平坐标系中的坐标 ${b^L}$ 可以通过坐标变换获得：

${b^L} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\operatorname{sinB} }_0}\cos {L_0}}&{\sin {B_0}\sin {L_0}}&{ - \cos {B_0}} \\ { - \sin {B_0}}&{\cos {B_0}}&0 \\ {\cos {B_0}\cos {L_0}}&{\cos {B_0}\sin {L_0}}&{\sin {B_0}} \end{array}} \right] \cdot \overrightarrow b\text{。} $

(8)

当精准测得某一基线b在当地水平坐标系中的坐标 ${b^L}$ 和舰船甲板坐标系中的坐标 ${b^d}$ 后，有如下变换关系

${b^L} = {T_{ld}} \cdot {b^b}\text{。}$

(9)

通过解算式（9）矩阵即可解算出舰船姿态K、 $\theta $ 和 $\psi $ 。

3 姿态解算及测量精度分析 3.1 姿态解算

目前GPS测量姿态的姿态角解算有多种算法，例如：直接计算法^[13]、融合TRIAD算法^[14]、最小二乘法^[15]和四元数法^[16]等。直接计算法求解载体3个姿态角，具有原理简单、计算快等优点，本文采用直接计算法来解算舰船的姿态。

利用3个GPS天线，安装位置如图4所示，天线1和天线2组成基线矢量 $\overrightarrow {{b_{12}}} $ ，天线1和天线3组成基线矢量 $\overrightarrow {{b_{13}}} $ ，长度分别为 ${b_{12}}$ 和 ${b_{13}}$ 。利用GPS观测数据解算得到的在当地水平坐标系中的基线向量分别为：

$b_{12}^L = \left[ {x_{12}} \right.,y_{12}{\left. {,z_{12}} \right]^{\rm{T}}}\text{，}b_{13}^L = \left[ {x_{13}} \right.,y_{13}{\left. {,z_{13}} \right]^{\rm{T}}}\text{。}$

根据基线 $\overrightarrow {{b_{12}}} $ ，求解得：

$K = - \arctan \frac{{{x_{12}}}}{{{y_{12}}}}\text{，}$

(10)

$\theta = \arctan \frac{{{z_{12}}}}{{\sqrt {x_{12}^2 + y_{12}^2} }}\text{。}$

(11)

将基线 $\overrightarrow {{b_{13}}} $ 先绕 ${Z_l}$ 轴旋转 $K$ 角，再绕X轴旋转 $\theta $ 角，得

$\begin{aligned}b_{13}^{'L} = & {\left[ {x_{13}',y_{13}',z_{13}'} \right]^{\rm{T}}} = \\ &\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\!\!\!\!\!\! 1 & 0 &0 \!\!\!\!\!\!\\\!\!\!\!\!\! 0 & {\cos \theta } & {\sin \theta } \!\!\!\!\!\!\\\!\!\!\!\!\! 0 & { - \sin \theta } & {\cos \theta } \!\!\!\!\!\!\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\!\!\!\!\!\! {\cos K} & {\sin K} & 0 \!\!\!\!\!\! \\\!\!\!\!\!\! { - \sin K} & {\cos K} & 0 \!\!\!\!\!\! \\\!\!\!\!\!\! 0 & 0 & 1 \!\!\!\!\!\!\end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l}\!\!\!\!\!\! {x_{13}} \!\!\!\!\!\! \\\!\!\!\!\!\! {y_{13}} \!\!\!\!\!\! \\\!\!\!\!\!\! {z_{13}} \!\!\!\!\!\!\end{array} \right]\text{。}\end{aligned}$

(12)

$\begin{split}\psi = & - \arctan \displaystyle\frac{{z_{13}'}}{{x_{13}'}} = \\ & -\arctan \displaystyle\frac{{{x_{13}}\sin K\sin \theta \!-\! {y_{13}}\cos K\sin \theta \!+\! {z_{13}}\cos \theta }}{{{x_{13}}\cos K \!+\! {y_{13}}\sin K}}\text{。}\!\!\!\!\!\end{split}$

(13)

3.2 姿态测量精度分析

根据式（9），对航向角 $K$ 进行微分得：

$dK = - \frac{{{y_{12}}d{x_{12}} - {x_{12}}d{y_{12}}}}{{x_{12}^2 + y_{12}^2}}\text{，}$

(14)

航向角 $K$ 的中误差 ${\sigma _K}$ 为：

$\begin{split}{\sigma _K} = & \sqrt {y_{12}^2\sigma _{{x_{12}}}^2 + x_{12}^2\sigma _{{y_{12}}}^2} /\left( {x_{12}^2 + y_{12}^2} \right) = \\ &\sqrt {{{\cos }^2}(K)\sigma _{{x_{12}}}^2 + {{\sin }^2}(K)\sigma _{{y_{12}}}^2} /{b_{12}}\cos \theta \text{，}\end{split}$

(15)

同理，纵摇角 $\theta $ 和横摇角 $\psi $ 的中误差分别为：

${\sigma \!_\theta } \!=\! \frac{{\sqrt {{{\left( {cosK\sin \theta } \right)}^2}\sigma _{{x_{12}}}^2 \!+\! {{(\sin K\sin \theta )}^2}\sigma _{{y_{12}}}^2 \!+\! {{(\cos \theta )}^2}\sigma _{{z_{12}}}^2} }}{{{b_{12}}}}\text{，}$

(16)

${\sigma _\psi } = \sqrt {{{(\sin \psi )}^2}\sigma _{x_{13}'}^2 + {{(\cos \psi )}^2}\sigma _{z_{13}'}^2} /{b_{13}}\sin \alpha\text{。} $

(17)

分析式（14）～式（16），得航向角和纵摇角的测量精度与 ${b_{12}}$ 成正比，即基线越长航向角和纵摇角的测量精度越高；横摇角的测量精度与 ${b_{13}}$ 及 $\left| {\sin \alpha } \right|$ 成正比，即基线越长，两基线越接近正交布设横摇角的测量精度越高。此结论仅适用于短基线。

4 仿真验证

为了验证上述结论，利用7个GPS接收机天线来采集舰船的航行数据，GPS天线在舰船甲板上的布局如图5所示。

天线1位于舰船甲板中心；天线1、天线2和天线4沿舰船首尾线布置；天线1、天线5和天线6沿一条与首尾线垂直的直线布置；天线3与天线1间的基线与首尾线成60°夹角；天线2、天线3、天线5与天线1之间基线的长度均为1 m；天线4、天线6与天线1之间的基线均为10 m。选用不同组合的GPS测量数据解算舰船的实时姿态角，然后减去该时刻舰载高精度INS测得的舰船姿态（将舰载高精度INS的姿态测量值作为真值），得到GPS姿态测量误差序列。

解算天线1与天线2，天线1与天线4组成的2条基线，得到不同基线长度下舰船的航向角和纵摇角测量误差，分别如图6和图7所示。

由图6和图7可知，基线长度1 m时的航向角和纵摇角测量误差明显大于基线长度10 m时的测量误差。

解算①天线1、天线4和天线3；②天线1、天线4和天线5；③天线1、天线4和天线6三种天线组合下舰船的横摇角，得到不同情况下的舰船横摇角测量误差，如图8所示。

由图8可知，基线长度相同时，2条基线间夹角为90°时横摇角的测量误差明显小于夹角为60°时的测量误差；2条基线夹角相同时，基线长度为10 m时的横摇角测量误差明显小于基线长度为1 m时的测量误差。

5 结　语

仿真试验对姿态测量精度与天线布局的关系进行了验证，试验结果与推导的结论一致，即：航向角和纵摇角与航向基线长度有关，基线越长，测量精度越高；横摇角测量精度与横向基线长度和基线夹角有关，基线越长，两基线越接近正交布设，横摇角的测量精度越高。因此，利用GPS测量舰船姿态时，应该适当增加基线长度，并使2条基线正交分布，以提高舰船姿态的测量精度。