0 引　言

随着船舶大型化的发展，大型散货船、油船、集装箱船普遍呈现方形系数大、平行中体长等船型特点，因而平面分段的需求量大。为了提高平面分段的建造效率，多数大型船厂组建了平面分段流水线，适用于各种规格的钢板及部件的装焊。

近年来，关于流水线调度问题的研究层出不穷，主要以流水车间调度问题和混合流水车间调度问题为研究对象，并应用诸如遗传算法、粒子群算法、蚁群算法、禁忌搜索法、模拟退火法等智能优化算法求解规模较大的、较复杂的调度问题^{[1 – 3]}。在多数情况下，流水线调度问题的建模假设了加工时间和交货期为精确值。但由于机器因素、工人因素、环境因素等的影响，加工时间实难确定，一般只能得到加工时间的大概数值和可能变化的范围。另一方面，交货期也并非完全固定，而是可能具有一定的弹性，表现为一个与需求方满意度相关联的时间区间。因此，可以认为加工时间和交货期均模糊。多目标调度问题常见于实际生产，并受到学者重视。如Kahraman等^[4]、Engine等^[5]就分别应用人工免疫算法和分散搜索算法求解了多目标的、带模糊加工时间和模糊交货期的流水车间调度问题。从调度的特点来看，一般的平面分段流水线的调度可以看作是流水车间调度问题。目前，关于平面分段流水线调度问题的研究相对较少^{[6 – 7]}，且没有考虑生产过程中的模糊性或不确定性。本文主要研究在模糊的加工时间和交货期下，平面分段流水线的调度问题，建立平面分段流水线多目标模糊调度问题的数学模型，并设计一种改进的多目标粒子群算法对其进行求解。

1 问题描述

平面分段是一类重要的船体分段，由钢板及部件在流水线上装焊而成。各船厂的平面分段流水线的工位设置不尽相同。本文以如图1所示的1条面向纵骨先安装法的平面分段流水线为例，研究其多目标模糊调度问题。该流水线配置了拼板、底板焊接、纵骨安装、纵骨焊接、纵桁及肋板装配、纵桁及肋板焊接、检查运出等7个工位。在建分段经由同步运输辊由一个工位输送至另一个工位。

平面分段流水线调度问题考虑如下：加工一批平面分段，任一分段的建造都须依次在各工位上完成相应的工序；每个工位一次只能对一个分段进行加工且每一个分段一次只能在一个工位上进行加工；各工位间没有缓冲工位，在建分段i需要在j-1工位上完成加工后才能进入j工位；在建分段i需要等其前一个在建分段在j工位上完成加工后才能进入j工位。另外，做出如下必要假设：所有分段可以在零时刻投入生产；加工过程中各平台持续可用；分段在各工位的加工时间和交货时间是模糊的，用模糊数表示；分段在各工位上加工前的准备时间包含于加工时间。

2 数学模型

基于以上描述与假设，建立平面分段流水线多目标模糊调度问题的数学模型。

2.1 符号表示

数学模型中的符号说明如下：

n为分段数量；m为工位数量；i为分段标号， $i = 1,2, \cdots ,n$ ；j为工位标号， $i = 1,2, \cdots ,m$ ； ${\tilde p_{i,j}}$ 为分段i在工位j上的模糊加工时间； ${\tilde d_i}$ 为分段i的模糊交货期； ${\tilde D_{i,j}}$ 为分段i离开工位j的模糊时间； ${\tilde C_i}$ 为分段i的模糊完工时间； $A{I_i}$ 为分段i的模糊完工时间相对于模糊交货期的满意度。

2.2 模糊加工时间

本文以三角模糊数描述模糊加工时间，表示为 ${\tilde p_{i,j}}{\rm{ = }}\left( {p_{i,j}^L,{p_{i,j}},p_{i,j}^U} \right)$ 包含加工时间的最可能值（ ${p_{i,j}}$ ）、加工时间的下限值（ $p_{i,j}^L$ ）和加工时间的上限值（ $p_{i,j}^U$ ）等3个参数。模糊加工时间的隶属函数表示如图2（a）所示。

2.3 模糊交货期

平面分段作为总段的中间产品，过早完工将增加仓储成本，而拖期又会影响总段的装配。本文以梯形模糊数刻画模糊交货期，表示为 ${\tilde d_i}{\rm{ = }}\left( {d_i^L,d_i^{{E_1}},d_i^{{E_2}},d_i^U} \right)$ ，其隶属函数表示如图2（b）所示。其中， $d_i^L$ 和 $d_i^U$ 分别表示交货期的上、下限，完工时间在上、下限之外，最不令人满意； $d_i^{{E_1}}$ 与 $d_i^{{E_2}}$ 构成理想的交货期窗口 $\left( {d_i^{{E_1}},d_i^{{E_2}}} \right)$ ，完工时间在此窗口内，最令人满意。

2.4 模糊完工时间

假设 $\pi = \left[ {{\pi _1},{\pi _2}, \cdots ,{\pi _n}} \right]$ 表示一批分段的加工排序，分段i位于第k位。各分段的模糊完工时间可通过其在各工位的模糊加工时间计算得到，如下：

${\tilde D_{{\pi _1},0}} = 0\text{，}$

(1)

${\tilde D_{{\pi _1},j}} = {\tilde D_{{\pi _1},j - 1}} + {\tilde p_{{\pi _1},j}},{\rm{ 1}} \leqslant j \leqslant m\text{。}$

(2)

${\tilde D_{{\pi _k},0}} = {\tilde D_{{\pi _{k - 1}},1}},{\rm{ }}2 \leqslant k \leqslant n\text{。}$

(3)

$\begin{gathered} {{\tilde D}_{{\pi _k},j}} = \max \left( {{{\tilde D}_{{\pi _k},j - 1}} + {{\tilde p}_{{\pi _k},j}},{{\tilde D}_{{\pi _{k - 1}},j + 1}}} \right),{\rm{ }}2 \leqslant k \leqslant n,{\rm{ }} \\ {\rm{ 1}} \leqslant j \leqslant m - 1\text{。} \\ \end{gathered} $

(4)

${\tilde D_{{\pi _k},m}} = {\tilde D_{{\pi _k},m - 1}} + {\tilde p_{{\pi _k},m}},{\rm{ 2}} \leqslant k \leqslant n\text{。}$

(5)

${\tilde C_i} = {\tilde D_{{\pi _k},m}}\text{。}$

(6)

模糊完工时间与模糊加工时间具有相同的结构，也用三角模糊数描述，表示为 ${\tilde C_i} = \left( {C_i^O,{C_i},C_i^P} \right)$ ，包含3个参数，分别为乐观的完工时间（ $C_i^O$ ）、最可能的完工时间（ ${C_i}$ ）及悲观的完工时间（ $C_i^P$ ）。

2.5 满意度

完工时间总被希望切合于交货期。在模糊调度问题中，满意度极其重要，也是应用最广泛的指标之一^[8]。它反映了模糊完工时间与模糊交货期的切合程度。满意度可通过式（7）计算，其表示如图2（c）所示。

$A{I_i} = \frac{{area\left( {{{\tilde C}_i} \cap {{\tilde d}_i}} \right)}}{{area{{\tilde C}_i}}}\text{。}$

(7)

2.6 调度目标

根据模糊流水线调度的特点及实际生产的一般要求，本文以最小化最大完工时间，最大化平均满意度为调度目标，如下：

$\operatorname{Minimize} {\rm{ }}{f_1} = makespan = \mathop {\max }\limits_{i = 1,2,...,n} {\tilde C_i}\text{，}$

(8)

$\operatorname{Maximize} {\rm{ }}{f_2} = \overline {AI} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {A{I_i}} \text{。}$

(9)

3 模糊数运算

模糊流水线调度主要涉及模糊数的加法运算、取大运算、大小比较。对于三角模糊数 $\tilde A = \left( {{a^1},{a^2},{a^3}} \right)$ 与 $\tilde B = \left( {{b^1},{b^2},{b^3}} \right)$ ，其加法运算操作如下：

$\tilde A + \tilde B{\rm{ = }}\left( {{a^1} + {b^1},{a^2} + {b^2},{a^3} + {b^3}} \right)\text{。}$

(10)

取大运算使用Lei近似准则^[9]：

$\text{若}\tilde A > \tilde B,\text{则}\max \left( {\tilde A,\tilde B} \right) = \tilde A \vee \tilde B \simeq \tilde A;\text{否则}\tilde A \vee \tilde B \simeq \tilde B\text{。}$

(11)

三角模糊数大小的比较采用以下3条准则^[10]：

准则 1 ${C_1}\left( {\tilde A} \right){\rm{ = }}\displaystyle\frac{{{a^1} + 2{a^2} + {a^3}}}{4}$ ，首先根据 ${C_1}$ 值的大小来比较2个三角模糊数的大小。

准则 2 ${C_2}\left( {\tilde A} \right){\rm{ = }}{a^2}$ ，如果2个模糊数的 ${C_1}$ 值相等，则根据 ${C_2}$ 值的大小来比较2个三角模糊数的大小。

准则 3 ${C_3}\left( {\tilde A} \right){\rm{ = }}{a^3} - {a^1}$ ，如果2个模糊数的 ${C_1}$ 值和 ${C_2}$ 值均相等，则根据 ${C_3}$ 值的大小来比较2个三角模糊数的大小。

4 改进多目标粒子群算法 4.1 粒子群算法

粒子群（PSO）算法是一种规则简单、容易实现的进化算法。在PSO算法中，每一个粒子都具有速度和位置2个特征参数。其中，粒子的位置表征问题的解。PSO算法首先在可行解空间和速度空间随机初始化粒子群，继而通过不断地更新各粒子的速度和位置搜寻最优解。在D维搜索空间，粒子的速度和位置分别按式（12）和式（13）进行更新。

$\begin{split}{{V}_q}\left( {k + 1} \right) = & \omega {{V}_q}\left( k \right) + {{r}_1}{c_1}\left[ {{X}_q^{pbest}\left( k \right) - {{X}_q}\left( k \right)} \right] + \\ &{{r}_2}{c_2}\left[ {{{X}^{gbest}}\left( k \right) - {{X}_q}\left( k \right)} \right]\text{，}\end{split}$

(12)

${{X}_q}\left( {k + 1} \right) = {{X}_q}\left( k \right) + {{V}_q}\left( {k + 1} \right)\text{。}$

(13)

其中， ${{V}_q}\left( k \right) = \left\{ {{v_{q,1}}(k),{v_{q,2}}(k), \cdots ,{v_{q,D}}(k)} \right\}$ 和 ${{X}_q}\left( k \right) = $ $ \left\{ {{x_{q,1}}(k),{x_{q,2}}(k), \cdots ,{x_{q,D}}(k)} \right\}$ 分别表示粒子q在第k次迭代时的速度和位置。 ${X}_q^{pbest}\left( k \right) = \left\{ {x_{q,1}^{pbest}(k),x_{q,2}^{pbest}(k), \cdots ,} \right.$ $\left. {x_{q,D}^{pbest}(k)} \right\}$ 表示粒子q所经过的最佳位置， ${{X}^{gbest}}\left( k \right) = $ $ \left\{ {x_1^{gbest}(k),x_2^{gbest}(k), \cdots ,x_D^{gbest}(k)} \right\}$ 表示粒子群体所发现的最佳位置。 $\omega $ 是惯性权因子， ${c_1}$ 和 ${c_2}$ 常被分别称作自学习因子和社会学习因子， ${{r}_1}$ 和 ${{r}_2}$ 是介于（0，1）之间的随机数向量。

需要指出，PSO算法在求解多目标问题上具有较大优势，主要表现在粒子群以内在的并行方式同时搜索多个非支配解，从而容易得到多个Pareto最优解。

4.2 按反Logistic曲线规律动态变化的惯性权重

本文提出惯性权重随目标函数评价次数（Number of Function Evaluations，nFEs）按反Logistic曲线规律动态变化（inverse logistic inertia weight，ILIW），使 $\omega $ 在搜索初期能保持较长时间的较大值，以便算法维持较强的全局搜索能力；而在搜索后期使 $\omega $ 保持较长时间的较小值，以利于算法进行更精确的局部搜索。从而在一定程度上平衡算法的全局和局部搜索能力。惯性权重动态变化如下式：

$\omega {\rm{ = }}{\omega _{\rm min}}{\rm{ + }}\frac{{\left( {{\omega _{\rm max}}{\rm{ - }}{\omega _{\rm min}}} \right)}}{{1{\rm{ + }}\exp \left( {a \cdot \cos \left( {\displaystyle\frac{{nFE{s_{\rm max}}{\rm{ - }}nFEs}}{{nFE{s_{\rm max}}}} \cdot \pi } \right)} \right)}}\text{。}$

(14)

其中， ${\omega _{\rm max}}$ 和 ${\omega _{\rm min}}$ 分别为 $\omega $ 的最大值和最小值， $nFE{s_{\rm max}}$ 为最大目标函数评价次数， $nFEs$ 为当前目标函数评价次数，a为常数（本文取值为3）。

4.3 解的表达

PSO算法中粒子的位置为连续值矢量，本文采用ROV（ranked-order-value）规则^[11]将粒子的连续位置 ${{X}_q} = \left\{ {{x_{q,1}},{x_{q,2}}, \cdots ,{x_{q,n}}} \right\}$ 转换为离散的工件排序 $\pi =[ {{\pi _1},} $ $ {{\pi _2}, \cdots ,{\pi _n}}] $ 。在ROV规则下，位置分量值 ${x_{q,t}}$ 由小到大依次映射到顺序值1到n，形成工件排序 $\pi $ 。

4.4 外部档案及其维护

设立具有特定规模的外部档案（external archive，EA）以保存算法在搜索过程中获得的非支配解，即所有的 ${{X}^{gbest}}$ 。通过对EA的维护使算法得到的非支配解能尽量位于或靠近Pareto前沿，并且分散地分布于Pareto前沿。EA的维护操作主要包括：1）将所有新的非支配解加入EA，并从当前EA中移除所有被支配成员；2）若当前EA中的非支配解个数未超过其容量，则维持EA，否则执行步骤3；3）采用基于拥挤距离（Crowding Distance, CD）的非支配解动态维护策略：①计算各非支配解的拥挤距离^[12]；②按式（15）为各非支配解分配适应值；③基于适应值采用轮盘赌的方法选择一个非支配解移出EA，转步骤2。

$fitnes{s_1}{\rm{ = }}{\left( {1{\rm{ - }}\exp \left( {{\rm{ - }}CD} \right)} \right)^{{\rm{ - }}\lambda }}\text{，}$

(15)

其中，CD为拥挤距离， $\lambda $ 为常数（本文取值为4）。如此，拥挤距离越小的非支配解越可能被移出。动态维护策略不仅能保证非支配解的分布性，也能有效避免因一次移除过多密集区域的粒子而可能误删最优解的问题。

4.5 变邻域搜索算子

插入（Insert）、互换（Swap）和逆序（Inverse）是求解流水车间问题的3种常用邻域结构。为了系统地应用3种邻域结构，本文将其随机排列构造变邻域搜索（variable neighborhood search, VNS）算子，并直接作用于工件排序。具体而言，在某次调用VNS算子时，3种邻域结构随机按6种顺序中的1种（如Swap、Insert、Inverse的操作顺序）依次调整工件排序，直到目标函数值有所改进或达到基于变邻域搜索的最大目标函数评价次数（ ${\rm{VNS}}nFE{s_{\rm max}}$ ，本文设置为30）或目标函数评价次数达到 $nFE{s_{\rm max}}$ 。需要指出，工件排序改进之后必须根据工件排序重新排列各粒子位置矢量中的位置分量值，以保证位置矢量在ROV规则下与改进后的工件排序相对应。VNS算子通过作用于 ${X}_q^{pbest}$ 和所有 ${{X}^{gbest}}$ （即所有外部档案成员）实现嵌入到多目标PSO算法，以增强算法的局部改良性搜索能力。VNS算子分别按概率 ${p_{X_q^{pbest}{\rm{VNS}}}}$ 和 ${p_{{X^{gbest}}{\rm{VNS}}}}$ 作用于 ${X}_q^{pbest}$ 和 ${{X}^{gbest}}$ ， ${p_{X_q^{pbest}{\rm{VNS}}}}$ 和 ${p_{{X^{gbest}}{\rm{VNS}}}}$ 均以一定的规律随 $nFEs$ 的增大而减小，本文中 ${p_{X_q^{pbest}{\rm{VNS}}}}{\rm{ = }}1{\rm{ - }}\frac{{nFEs}}{{nFE{s_{\rm max}}}}$ ， ${p_{{X^{gbest}}{\rm{VNS}}}}{\rm{ = }}{\left( {1{\rm{ - }}\frac{{nFEs}}{{nFE{s_{\rm max}}}}} \right)^{0.5}}$ 。

4.6 ${{X}^{gbest}}$ 的选取

在更新各粒子速度时，需要从EA中为其选取一个 ${{X}^{gbest}}$ 。考虑到解得分布性，本文按式（16）为各EA成员分配适应值，并基于适应值采用轮盘赌的方法为各粒子选取一个 ${{X}^{gbest}}$ 。

$fitnes{s_2}{\rm{ = }}{\left( {1{\rm{ - }}\exp \left( {{\rm{ - }}CD} \right)} \right)^\gamma }\text{，}$

(16)

其中，CD为拥挤距离， $\gamma $ 为常数（本文取其值为2）。如此，拥挤距离越大的EA成员越可能被选作某粒子更新速度时的 ${{X}^{gbest}}$ 。

5 调度实例求解 5.1 模糊数据

本文调度实例求解的对象为某船厂拟建造的一批（20个）不同尺寸平面分段。其中，加工时间的最可能值（ ${p_{i,j}}$ ）取相同或极相似分段历史加工时间的均值，加工时间的下限值（ $p_{i,j}^L$ ）和加工时间的上限值（ $p_{i,j}^U$ ）则分别随机取值于区间 $\left[ {{\delta _{11}}{P_{i,j}},{\delta _{12}}{P_{i,j}}} \right]$ 和区间 $\left[ {{\delta _{21}}{P_{i,j}},{\delta _{22}}{P_{i,j}}} \right]$ ^[9]。基于历史数据及相关工程师意见，本文对 ${\delta _{11}}$ 、 ${\delta _{12}}$ 、 ${\delta _{21}}$ 和 ${\delta _{22}}$ 分别定值为0.85，0.90，1.10和1.25。模糊交货期由平面分段的需求方（如总段建造车间）提出。

5.2 算法对比

在相同的算法条件和计算环境下，分别应用本文提出的改进多目标粒子群算法（MOPSO-ILIW-VNS），仅不采用非支配解动态维护策略的多目标粒子群算法（MOPSO-ILIW-VNS-2），仅引入按反Logistic曲线规律变化的动态惯性权重多目标粒子群算法（MOPSO-ILIW），仅嵌入VNS算子的多目标粒子群算法（MOPSO-VNS），以及带压缩因子^[13]的多目标粒子群算法（MOPSO-CF）求解平面分段流水线多目标模糊调度问题。其中，MOPSO-VNS与MOPSO的惯性权重 $\omega $ 相同，均为 $\chi = 2/\left| {2{\rm{ - }}\varphi {\rm{ - }}\sqrt {{\varphi ^2}{\rm{ - }}4\varphi } } \right|{\rm{, }}\left( {\varphi {\rm{ = }}{c_1} + {c_2},{\rm{ }}\varphi > 4} \right)$ ，本文取 ${c_1}{\rm{ = }}{c_2}{\rm{ = }}2.05$ ，其他3种算法的最大惯性权重 ${\omega _{\max }}$ 和最小惯性权重 ${\omega _{\min }}$ 分别取值0.9和0.4。其他3种算法的最大惯性权重 ${\omega _{\rm max}}$ 和最小惯性权重 ${\omega _{\rm min}}$ 分别取值为0.9和0.4。上述所有算法的自学习因子 $c_1^{{\rm{real}}}$ 相同，均为 $\chi \cdot {c_1}$ ，社会学习因子 $c_2^{{\rm{real}}}$ 也相同，均为 $\chi \cdot {c_2}$ 。除MOPSO-ILIW-VNS-2外，其余算法均采用非支配解动态维护策略。各算法的最大目标函数评价次数 $nFE{s_{\rm max}}$ 均设为20 000，种群规模Ps均设为40，外部档案最大规模s_M均设为10。MOPSO-ILIW-VNS、MOPSO-ILIW-VNS-2及MOPSO-VNS中基于变邻域搜索的最大目标函数评价次数 ${\rm{VNS}}nFE{s_{\max }}$ 均设为30。

引入C指标^[14]、GD指标^[15]和 $\Delta $ 指标^[12]分别从解的覆盖度、收敛性和分布性3个方面评价5种算法。以 ${E_A}$ 和 ${E_B}$ 分别表示2种算法所求得的近似Pareto最优解的集合，C指标通过将有序 $\left( {{E_A},{E_B}} \right)$ 映射到0到1之间的数值，直观反映2个集合中解的覆盖（相同及被支配）关系。GD指标描述了所求得的近似Pareto前沿（OF）中的元素到Pareto前沿（PF*）的距离。GD=0表明OF 包含于PF*，这是令人满意的。 $\Delta $ 指标衡量了OF中元素分布的差异性和均匀性。若OF中元素具有理想的分布且包含PF*中的2个端部元素的距离，则 $\Delta = 0$ 。

本文应用5种算法分别独立地对实例进行100次求解，基于各算法的100次求解结果计算上述3个指标评价对5种算法进行评价。由于PF*未知，本文通过整合5种算法求解的所有OF构造一个参考Pareto前沿作为PF*。在计算GD指标和 $\Delta $ 指标时，本文对目标向量值进行标准化处理，使之取值于[1，2]区间，其中makespan以第3节准则1先做了去模糊化处理。

以A₁，A₂，A₃，A₄和A₅分别表示MOPSO-ILIW-VNS、MOPSO-ILIW-VNS-2、MOPSO-ILIW、MOPSO-VNS和MOPSO-CF。分别整合各算法在100次求解中得到的近似Pareto最优解集，形成对应的 $ {E_{A{}_1}}$ ， $ {E_{A{}_1}}$ ， $ {E_{A{}_1}}$ ， $ {E_{A{}_1}}$ 和 $ {E_{A{}_1}}$ 五个集合。部分C指标如表1。其中，括号里的值为被支配的比例。

$C\left( {{E_{{A}_3}},{E_{{A}_5}}} \right)$ 和 $C\left( {{E_{{A}_5}},{E_{\operatorname{A}_3}}} \right)$ ， $C\left( {{E_{\operatorname{A}_4}},{E_{\operatorname{A}_5}}} \right)$ 和 $C\left( {{E_{\operatorname{A}_5}},{E_{\operatorname{A}_4}}} \right)$ 两组指标从解的覆盖度方面分别说明在MOPSO-CF（A5）上仅引入按反Logistic曲线规律动态变化的惯性权重，或者仅嵌入变邻域搜索算子的有效性。 $C\left( {{E_{\operatorname{A}_1}},{E_{\operatorname{A}_2}}} \right)$ 和 $C\left( {{E_{\operatorname{A}_2}},{E_{\operatorname{A}_1}}} \right)$ 从解的覆盖度方面说明非支配解动态维护策略的有效性。 ${E_{\operatorname{A}_1}}$ 与其他4个集合的比较则从解的覆盖度方面证实了MOPSO-ILIW-VNS（A₁）的有效性和优越性。

5种算法各求得100个独立的OF，进而获得各算法的100个GD指标和100个 $\Delta $ 指标，分布如图3所示。表2罗列了部分GD指标和 $\Delta $ 指标的Wilcoxon秩和检验的结果。其中，括号里的值为p值。表2和图3显示，A₃和A₄的两指标均显著优于A₅，说明在MOPSO-CF（A₅）上仅引入按反Logistic曲线规律动态变化的惯性权重，或者仅嵌入变邻域搜索算子都有利于提高解的收敛性和分布性。A₁的 $\Delta $ 指标在0.1的显著性水平下优于A₂，说明在0.1的显著性水平下可接受非支配解动态维护策略有利于提高解的分布性的假设。A₁的GD指标在至多为0.05的显著性水平下优于A₃、A₄和A₅，且不亚于A₂；A₁的 $\Delta $ 指标在至多为0.1的显著性水平下优于其他4种算法。因此，可认为MOPSO-ILIW-VNS（A₁）在解的收敛性和分布性上都表现出优越性。

6 结　语

本文研究了模糊的加工时间和交货期下，平面分段流水线的调度问题。提出了一种引入按反Logistic曲线规律动态变化的惯性权重，并嵌入由3种邻域结构随机排列构造的变邻域搜索算子，同时采用基于拥挤距离的非支配解动态维护策略的改进多目标粒子群算法MOPSO-ILIW-VNS来求解平面分段流水线多目标模糊调度问题。结合实例数据，通过对多种算法进行比较，从解的覆盖度、收敛性和分布性等3方面证实了各项改进措施的有效性，以及MOPSO-ILIW-VNS算法的优越性。作者将继续开展并不断深入关于船舶建造的多目标模糊调度研究。后续研究将考虑其他更复杂的船舶建造生产线（如非完全混合的平面分段流水线^[7]）的多目标模糊调度问题。