0 引　言

声呐设备通常采用换能器阵列和波束形成方法处理水声信号^[1]。传统的波束形成方法是延时求和，这种方法可以简单有效的处理窄带水声信号，但是随着频率的升高，延时求和方法形成的波束变窄并且产生旁瓣^[2]，这会使得水声信号产生严重的失真。为了不失真的处理宽带水声信号，就要求在工作频带范围内形成恒定束宽的波束，并且尽可能减小旁瓣。

因此提出了很多基于信号处理理论的恒定束宽波束形成方法^{[3 – 6]}和旁瓣抑制方法^{[7 – 9]}，这些方法通常将宽带划分为多个窄带，在每个窄带中对水声信号进行处理，这使得阵列必须采用随频率变化的复杂阵元权重，并且频带越宽计算越复杂。由美国海军研究实验室提出的恒定束宽换能器（CBT）阵列^{[10 – 12]}，经过了多年的发展^{[13 – 15]}，可以采用不随频率变化的简单Legendre函数阵元权重，实现宽频带范围内恒定束宽的波束，并且具有较小的旁瓣^[16]。

和其他恒定束宽阵列一样，CBT阵列有一定的工作频率限制。CBT理论表明，对于Legendre函数加权的球冠或者圆弧形换能器，只存在工作频率下限，即高于此频率时即具有恒定束宽的波束特性^[11]。然而CBT阵列是由离散的换能器组成，阵元间距会导致旁瓣^[16]。为了使旁瓣小于某一特定值，通常将认为CBT阵列的工作频率上限与常规的直线形阵列一样，须满足阵列理论的要求，即阵元间距须小于波长的一半^{[17 – 18]}。然而研究表明，圆弧形CBT阵列的工作频率上限比阵列理论要求的高^{[15, 19]}，所以根据阵列理论设计的CBT阵列没有充分利用其工作频带，浪费了频带资源。因此本文系统计算分析CBT阵列的工作频率上限。

1 阵列工作频率上限理论分析 1.1 直线形阵列

直线形阵列的结构如图1（a）所示，其中坐标原点O取为阵列中心，阵列方向取为x轴方向。不难得到在远场空间任意点P处的声压 $p\left( \theta \right)$ 为：

$p\left( \theta \right) = \frac{{{\rm{e}}^{ - {j}{kr}}}}{r}\int_{ - L/2}^{L/2} {A\left( l \right){{\rm{e}}^{{j}kl\sin \theta }}{\rm{d}}l}\text{。} $

(1)

式中：l为阵列上任意一点Q的x坐标；L为阵列的长度； $A\left( l \right)$ 为点Q的阵元权重；r为点P到原点O的距离；θ为OP与y-O-z平面的夹角；k为波数； ${j} = \sqrt { - 1} $ 。注意式（1）采用了远场近似，即 $r \gg L$ 。通常情况下，直线形阵列是由N个阵元等距排列而成，不妨假定这些阵元为相同的点源，这样式（1）离散化为

$p\left( \theta \right) = \frac{{{{\rm{e}}^{ - {{j}}k\left[ {r + \left( {N + 1} \right)d/2} \right]}}}}{r}\sum\limits_{n = 1}^N {A\left( n \right){{\rm{e}}^{{{j}}knd\sin \theta }}}\text{。} $

(2)

式中： $A\left( n \right)$ 为第n个阵元的权重；d为阵元间距 $d = L/\left( {N - 1} \right)$ 。

注意到式（2）中求和号外的项与θ无关，即与波束的形状无关，因此波束形状完全由式（2）中的求和部分决定。另外注意到 $A\left( n \right)$ 的离散时间Fourier变换（DTFT）为

$F\left\{ {A\left( n \right)} \right\} = \sum\limits_{n = 1}^N {A\left( n \right){{\rm{e}}^{{{j}}n\varOmega }}}\text{。} $

(3)

式中：Ω为数字角频率。对比式（2）和式（3）不难发现，远场声压 $p\left( \theta \right)$ 是阵元权重 $A\left( n \right)$ 的DTFT变换，即 $p\left( \theta \right) \propto F\left\{ {A\left( n \right)} \right\}$ ，其中数字角频率Ω与θ的关系为 $\varOmega = kd\sin \theta $ 。随着θ的变化，Ω的变化区间为 $\left[ { - kd,kd} \right]$ 。注意到DTFT是周期为2π的周期函数，当Ω的变化区间大于一个周期时，就有可能出现与主瓣相同强度的栅瓣，为了确保栅瓣不出现，要求 $kd < \pi $ ，即 $d < \lambda /2$ ，其中λ为波长。虽然有些情况下即使d大于 ${\lambda / 2}$ 也不会出现栅瓣，例如波束偏转为0°的均一阵列（即所有阵元权重为1）出现栅瓣的条件是 $d \geqslant \lambda $ ^[20]，但是考虑到在使用中波束偏转会引入延时或相移而改变栅瓣出现的条件，例如波束偏转90°的均一阵列出现栅瓣的条件是 $d \geqslant {\lambda /2}$ ，因此取直线形阵列的工作频率上限满足的条件为 $d < {\lambda / 2}$ ，满足这一条件时，无论波束如何偏转均不会出现栅瓣。由于具有直线形的几何结构^[21]，延时直线形CBT阵列同样需要满足这一条件。类似的，对于二维平面CBT阵列，也可以通过类似分析得到相同的结论。

1.2 圆弧形阵列

圆弧形阵列的结构如图1（b）所示，其中坐标原点O取为圆弧的圆心，阵列位于x-O-z平面，取z方向为圆心到阵列中点的方向。根据几何关系，不难得到在远场空间任意点P处的声压 $p\left( \theta \right)$ 为

$p\left( \theta \right) = \frac{{{{\rm{e}}^{ - {{j}}kr}}}}{r}\int_{ - \pi }^\pi {A\left( \psi \right){{\rm{e}}^{{{j}}k{r_0}G\left( {\varphi ,\theta ,\psi } \right)}}{r_0}{\rm{d}}\psi }\text{。} $

(4)

式中： $G\left( {\varphi ,\theta ,\psi } \right) = \cos \varphi \cos \theta \left( {\cos \psi - 1} \right) + \sin \theta \sin \psi $ ；ψ为阵列上任一点Q对应的圆心角； ${r_0}$ 为圆弧形阵列的半径；φ为OP在y-O-z平面的投影 $OP'$ 与z轴的夹角。注意式（4）采用了远场近似 $r \gg {r_0}$ 。

同样考虑圆弧形阵列由N个等距排列的点源组成，考虑到通常对阵列所在平面的声压分布更为感兴趣，即 $\varphi = 0$ 时的情形，这样可以得到离散圆弧形阵列的声压分布为

$p\left( \theta \right) = \frac{{{{\rm{e}}^{ - {{j}}k\left( {r + a\cos \theta } \right)}}}}{r}\sum\limits_{n = 1}^N {A\left( n \right){{\rm{e}}^{{{j}}k{r_0}\cos \left( {n\Delta \psi - \theta - \frac{{N + 1}}{2}\Delta \psi } \right)}}}\text{。} $

(5)

式中：Δψ为相邻2个点源的圆心角之差。由式（5）可见，n与θ耦合，无法进行与直线形阵列类似的DTFT分析，阵列的声压分布较为复杂且不具有周期性，因此须采用数值方法分析圆弧形阵列的工作频率上限。类似的，对于二维球面阵和柱面阵，也可以通过类似分析得到相同的结论。

2 阵列工作频率上限数值分析 2.1 一维阵列

圆弧形CBT阵列如图2（a）所示，其中表示阵元的黑色圆点越大表示其阵元权重越大。圆弧形CBT阵列的阵元权重满足

$A\left( \psi \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{{P}}_\nu }\left( {\cos \psi } \right),\;\;\;\;\;\;\psi \leqslant {\theta _0}}\text{，}\\{0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\psi > {\theta _0}}\text{。}\end{array}} \right.$

(6)

其中， ${\theta _0}$ 为ν阶Legendre函数 ${{{P}}_\nu }\left( {\cos \psi } \right)$ 的第1个零点，且阶数 $\nu $ （ $\nu > 0$ ）不必为整数。根据CBT阵列理论，在阵列所在平面，其远场声压满足^{[15 – 16]}

$p\left( \theta \right) \approx \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\rho c{r_0}{{{P}}_\nu }\left( {\cos \theta } \right)\frac{{{{\rm{e}}^{{{j}}k\left( {r - {r_0}} \right)}}}}{r},\;\;\;\;\;\;\theta \leqslant {\theta _0}}\text{，}\\{0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\theta > {\theta _0}}\text{。}\end{array}} \right.$

(7)

由式（7）可见，远场声压的角度θ和波数k解耦，波束形状不随频率的变化而变化，因而具有恒定束宽的波束特性。另外注意到式（6）中，当 $ \psi > {\theta _0}$ 时 $A\left( \psi \right) = 0$ ，因此一般取圆弧形CBT阵列对应的圆心角为 $ 2{\theta _0}$ ，这样式（5）中的 $\Delta \psi $ 满足 $ \Delta \psi = 2{\theta _0}/\left( {N - 1} \right)$ 。

实际情况下CBT阵列由离散的换能器组成，离散阵列会导致旁瓣和主瓣的纹波。如图3所示不同情况下圆弧形CBT阵列的波束，这里假定阵元为点源，图中黑色粗线为由式（7）计算得到波束的理论值，灰色细线为不同频率下的离散圆弧形CBT阵列的波束，相邻频率对应的波长相差 ${d / {40}}$ ，其中d为阵元间距，有 $d = 2{r_0}\sin \left( {{{\Delta \psi } / 2}} \right)$ 。由图可见，阵列的离散性会产生旁瓣和主瓣纹波。不妨定义最大旁瓣为SIDE，纹波的最大峰-峰值为RIPP。研究表明^[13]，频率越高，波长越小，则SIDE和RIPP越大。另外，和直线形阵列不同，圆弧形阵列并不是靠改变阵元的延时或者相位实现波束偏转，而是通过改变阵元权重的分布实现波束偏转，即对式（6）中的 $\psi $ 加入一个常数相位 ${\psi _0}$ 而变为 $\left( {\psi - {\psi _0}} \right)$ ，显然这并不会改变波束形状，因此不失一般性本文分析波束方向为0°的情形。

可以设定SIDE和RIPP的最大值，这样可以采用数值计算方法得到圆弧形CBT的工作频率上限对应的 $\lambda $ 。注意到式（5）中与频率相关的项为 $ k{r_0} = \pi d/$ $\left[ {\lambda \sin \left( {\Delta \psi /2} \right)} \right]$ ，结合式（5）中相位部分的其他项不难发现与频率相关的独立变量为 ${d / \lambda }$ ，因此本文计算 ${d / \lambda }$ 。考虑最大旁瓣为主瓣的1/10，即SIDE≤–20 dB，最大纹波为3 dB，即RIPP≤3 dB，这样计算得到 ${d / \lambda }$ 如图4所示，图中圆点为数值计算结果，曲面为拟合结果。由图可见，阵元个数N越大，对应的 ${d / \lambda }$ 越大，即工作频率上限越高；而 ${\theta _0}$ 越大，对应的 ${d / \lambda }$ 越小，即工作频率上限越低。根据数据的整体趋势，可以取拟合函数为

$\frac{d}{\lambda } = a\left( {1 + \frac{b}{N}} \right) \cdot \left( {1 + c{\theta _0}} \right)\text{，}$

(8)

其中：a，b，c为拟合系数； ${\theta _0}$ 的单位为角度。采用最小二乘法得到 $a = 1.019\;9$ ， $b = - 2.670\;7$ ， $c = - 8.163\;4 \times $ 10^–4，拟合优度 ${R^2} = 0.993\;5$ 。根据拟合结果，在要求不高的情况下可以进一步简化式（8）为

$\frac{d}{\lambda } = \left( {1 - \frac{{2.7}}{N}} \right) \cdot \left( {1 - \frac{{{\theta _0}}}{{1000}}} \right)\text{。}$

(9)

考虑到通常情况下，声呐的N不会太小，统计 $N \geqslant 10$ 的情况可以得到 ${d / \lambda } = 0.8489$ 即能使90%的情况下满足对SIDE和RIPP的要求，这相对于阵列理论得到的工作频率上限（ ${d / \lambda } = 0.5$ ）增加了超过0.76个倍频程。如图3所示为按照式（8）计算得到的工作频率上限以内的波束，由图可见，在此工作频率上限以内圆弧形CBT的波束均能满足SIDE和RIPP的要求。

2.2 二维阵列

二维CBT阵列包括球面CBT阵列和柱面CBT阵列。对于球面CBT阵列，其阵元满足的曲面方程为 ${x^2} + {y^2} + {z^2} = {r_0}^2$ ，如图5（a）所示，不难得到阵元加权方法为

$A\left( {x,y,z} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{{P}}_\nu }\left( {\frac{z}{{{r_0}}}} \right),\;\;\;\;\;\theta \leqslant {\theta _0}}\text{，}\\{0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\theta > {\theta _0}}\text{。}\end{array}} \right.$

(10)

其中 $\theta = {\cos ^{ - 1}}\left( {z/{r_0}} \right)$ ，图5（a）中代表阵元的黑色圆点的大小即代表阵元权重。对于柱面CBT阵列，其阵元满足的曲面方程为 ${x^2} + {y^2} = {r_0}^2$ ，如图5（b）所示，不难得到阵元加权方法仍由式（10）给出，图5（b）中代表阵元的黑色圆点的大小即代表阵元权重。

同样考虑SIDE≤–20 dB，RIPP≤3 dB，这样计算得到 ${d / \lambda }$ 如图6所示，图中圆点为数值计算结果，曲面为拟合结果。和圆弧形CBT阵列一样，阵元个数N越大，对应的 ${d / \lambda }$ 越大，即工作频率上限越高；而 ${\theta _0}$ 越大，对应的 ${d / \lambda }$ 越小，即工作频率上限越低。仍然采用式（8）对球面CBT阵列和柱面CBT阵列进行拟合，对于球面CBT阵列，可得拟合系数为 $a = 1.0144$ ， $b = - 2.2778$ ， $c = - 2.4376 \times {10^{ - 3}}$ ，拟合优度为 ${R^2} = 0.9780$ ；对于柱面CBT阵列，可得拟合系数为 $a = 1.0199$ ， $b = - 2.6107$ ， $c = - 8.1634 \times {10^{ - 4}}$ ，拟合优度为 ${R^2} = 0.9935$ 。不难发现，柱面CBT阵列和圆弧形CBT阵列的计算结果极为接近。根据拟合结果，对于球面CBT阵列，在要求不高的情况下可以简化式（8）为

$\frac{d}{\lambda } = \left( {1 - \frac{{2.3}}{N}} \right) \cdot \left( {1 - \frac{{{\theta _0}}}{{400}}} \right)\text{。}$

(11)

而对于柱面CBT阵列，式（8）简化为式（9）。同样对 $N \geqslant 10$ 时的计算结果进行统计，对于球面CBT阵列，可以得到 ${d / \lambda } = 0.7457$ 即能使90%的情况下满足对SIDE和RIPP的要求，这相对于阵列理论得到的工作频率上限增加了超过0.57个倍频程；对于柱面CBT阵列，可以得到 ${d / \lambda } = 0.8489$ 即能使90%的情况下满足对SIDE和RIPP的要求，这相对于阵列理论得到的工作频率上限增加了超过0.76个倍频程。

3 讨论

可以考虑旁瓣SIDE和主瓣纹波RIPP对频率上限的影响。如图7所示，为不同的SIDE和RIPP要求情况下各个阵列的工作频率上限对应的 ${d / \lambda }$ 按照式（8）拟合的结果，其中实线对应 ${{RIPP}} \leqslant 3{\rm{ dB}}$ ，虚线对应 ${{RIPP}} \leqslant 1{\rm{ dB}}$ ，横坐标对应SIDE的要求，其中–13.26 dB对应常规的直线形均一阵列的最大旁瓣^[22]。另外注意到圆弧形CBT阵列和柱面CBT阵列的计算结果即为接近，因此图7中圆弧形CBT阵列的曲线与柱面CBT阵列的曲线几乎重合。由图7可见，主瓣纹波RIPP对计算结果的影响较小，而旁瓣SIDE对计算结果的影响较大。另外，由图7（d）可见，大部分情况下拟合优度 ${R^2}$ 都大于0.9，表明式（8）对计算结果有较好的拟合。

同样可以对 $N \geqslant 10$ 时的计算结果进行统计分析，如图8所示即为能使90%情况下均能满足旁瓣SIDE和主瓣纹波RIPP要求的工作频率上限对应的 ${d / \lambda }$ ，同样实线对应 ${{RIPP}} \leqslant 3{\rm{ dB}}$ ，虚线对应 ${{RIPP}} \leqslant 1{\rm{ dB}}$ ，横坐标对应SIDE的要求。由图可见，大部分情况下圆弧形CBT阵列和柱面CBT阵列的工作频率上限对应的 ${d / \lambda } > 0.75$ ，表明其工作频率上限对于阵列理论可以至少拓展0.59个倍频程；而对于球面CBT阵列，大部分情况下工作频率上限对应的 ${d / \lambda } > 0.65$ ，表明其工作频率上限对于阵列理论可以至少拓展0.38个倍频程。

4 结　语

首先，理论分析了CBT阵列的工作频率上限。对于延时直线形CBT阵列，可以得到工作频率上限的理论解，即需满足阵列理论的要求，阵元的间距需小于最大工作频率对应的波长的1/2。而对于圆弧形CBT阵列，无法得到理论解，需采用数值方法求解。

其次，采用数值方法分析了主瓣纹波不大于3 dB、旁瓣不大于–20 dB时的圆弧形CBT阵列的工作频率上限，并采用最小二乘法对结果进行拟合，给出了具体的拟合公式。结果表明圆弧形CBT阵列的工作频率上限要大于阵列理论规定的工作频率上限，大部分情况下工作频率上限可以拓展至少0.76个倍频程。此外还进一步分析了球面CBT阵列和柱面CBT阵列，其中球面CBT阵列的工作频率上限略小，但大部分情况下仍比阵列理论规定的工作频率上限大0.57个倍频程；而柱面CBT阵列的结果和圆弧形CBT阵列的结果几乎一致。

最后，分析了主瓣纹波和旁瓣的不同要求对工作频率上限的影响。结果表明，主瓣纹波的影响较小，而旁瓣的影响较大。