0 引　言

随着海洋经济的快速发展，人类对海洋的探索越来越重视，而深海环境的复杂多变，使得作业的船舶或平台需要更高的定位精度，传统的作业工具由于其自身的局限性，如锚泊操作复杂、机动性能差等缺点，已经不能满足现代定位精度的要求，因此，具有智能控制的动力定位系统应运而生^[1]。

动力定位系统（Dynamic Positioning System，DPS）是指在不借助外界的辅助下，依靠自身的动力装置来对船舶进行定位的控制系统；主要有测量系统、控制系统和推进系统3部分组成，其中控制系统是核心^[2]，其工作原理如图1所示。

工作原理为：DPS根据测量系统获得的船舶运动信息及当前环境参数，将船舶当前的位置和首向与设定值比较，经过信号处理剔除噪声、船舶干扰信号；控制器根据得到的偏差和控制算法计算出所需推力；船舶的推进器形成一个足以抵消外界环境干扰的主动力和转矩，最终使船舶保持目标位置或设定的航迹^[3]。

本文在前人研究的基础上，对动力定位船舶的控制系统进行研究，采用滑模变结构控制（Sliding Model Control，SMC）方法设计一种新型的控制器，使其具有较好的控制效果，具有更好的稳定性和鲁棒性。

1 船舶动力定位系统的数学模型

船舶在海上的运动极其复杂，包括横摇（Rolling）、纵摇（Pitching）、首摇（Yawing）、横荡（Swaying）、纵荡（Surging）和垂荡（Heaving）六自由度的运动^[4]。本文为了简化船舶运动的数学模型，只考虑水平面上横荡、纵荡和首摇三自由度的运动。

1.1 建立坐标系

首先建立坐标系，包括大地坐标系EON和随船坐标系XOY，如图2所示，船舶的位置和首向的矢量式为 $\eta = {\left[ {x,y,\varphi } \right]^{{T}}}$ ，船舶的速度矢量式为 $\upsilon = {\left[ {u,\nu ,r} \right]^{{T}}}$ 。

2种坐标系的转换关系为^[5]：

$\dot \eta = { J}\left( \varphi \right)\upsilon \text{，}$

(1)

式中，转换矩阵：

${ J}\left( \varphi \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{cos}}\varphi } & { - {{sin}}\varphi } & 0\\{{{sin}}\varphi } & {{{cos}}\varphi } & 0\\0 & 0 & 1\end{array}} \right]\text{。}$

(2)

1.2 船舶运动的数学模型

船舶运动包括低频运动和高频运动，高频运动仅表现为周期性的振荡而不会引起平均位置的改变，一般从测得的综合信息分离出低频信号加以控制，而不对高频信号进行控制；为便于描述船舶运动，本文假设船舶质量分布均匀、左右对称且视为刚体，忽略海洋环境的高频干扰，只考虑风、流、浪等引起的低频干扰，得到经简化的三自由度船舶低频运动的数学模型^[6]：

$\begin{aligned}{ M}\dot \upsilon + & { D}\left( \upsilon \right)\upsilon = {\tau _c} + {\tau _s}\text{，}\\ & \dot \eta = { J}\left( \varphi \right)\upsilon \text{。}\end{aligned}$

式中：M为惯性矩阵，且满足 ${ M} = {{ M}^{{T}}} > 0$ ； ${ D}\left( \upsilon \right)$ 为阻尼系数矩阵，且满足 ${ D}\left( \upsilon \right) = {{ D}^{{T}}}\left( \upsilon \right) > 0$ ；τ_c为推进器产生的控制输入量；τ_s为外界环境对船舶产生的干扰力和力矩，且假设干扰力矩有界， $\left| {{\tau _s}} \right| \leqslant {\tau _{s{{max}}}}$ 。

$\begin{array}{l}{ M} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - {X_{\dot u}}} & 0 & 0\\0 & {m - {Y_{\dot \nu }}} & 0\\0 & 0 & {{I_z} - {N_{\dot r}}}\end{array}} \right]\text{，}\\[10pt]{ D}\left( \upsilon \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {X_u}} & 0 & 0\\0 & { - {Y_v}} & 0\\0 & 0 & { - {N_r}}\end{array}} \right]\text{。}\end{array}$

式中：m为船舶质量，I_Z为船舶转动惯量； ${X_{\dot u}}$ ， ${Y_{\dot v}}$ 。 ${N_{\dot r}}$ 为船舶在纵荡，横荡，首摇方向上产生的附加质量；X_u，Y_v，N_r为船舶在三自由度方向上的线性阻尼系数^[7]。

2 船舶动力定位系统滑模控制器的设计

传统的DPS控制器很难满足现代船舶定位精度的要求，故要采用更加适宜的控制方法来设计控制器。滑模变结构控制理论的提出，对解决系统的不确定性问题具有很强的鲁棒性，对非线性系统的控制具有良好的控制效果。滑模控制理论以其独特的优点，广泛应用于各类控制器的设计当中^[8]。

2.1 滑模变结构控制理论

变结构控制是一类特殊的非线性控制，其非线性表现为控制的不连续性；其控制原理为，根据系统所期望的动态特性来设计系统的切换超平面，通过滑动模态控制器使系统状态从超平面之外向切换超平面收束；系统一旦到达切换超平面，控制作用将保证系统沿切换超平面到达系统原点，这一沿切换超平面向原点滑动的过程称为滑模控制；其优点是能够克服系统的不确定性，对干扰和未建模动态具有很强的鲁棒性，尤其是对非线性系统具有良好的控制效果；该方法的缺点在于当状态轨迹到达滑模面后，难于严格地沿着滑模面向平衡点滑动，而是在滑模面两侧来回穿梭，从而产生抖振^[9]。

2.2 滑模变结构控制器的设计

本文采用双环滑模控制的方法来设计控制律，采用积分器来设计切换函数。外环控制是将船舶的实际位置和首向 $\eta = {\left[ {x,y,\varphi } \right]^{{T}}}$ 对期望值 ${\eta _d} = {\left[ {{x_d},{y_d},{\varphi _d},} \right]^{{T}}}$ 进行跟踪，并产生期望速度V_d传递给内环；内环控制是将船舶的实际速度V对期望速度V_d进行跟踪，由内环产生的实际速度V通过积分器转化为船舶的位置和首向η。其外环为位置和首向环，内环为速度环^[10]。控制系统的框图如图3所示。

本文设计的控制目标：设计控制向量τ_c，使船舶的实际位置和首向η保持在期望的位置和首向η_d上。

设系统的位置和首向误差为e，定义：

$e = \eta - {\eta _d}\text{，}$

(4)

则其速度误差 $\dot e$ ：

$\dot e = \dot \eta - {\dot \eta _d} = \upsilon - {\upsilon _d}\text{，}$

(5)

对其求一阶导数得：

$\ddot e = \dot \upsilon - {\dot \upsilon _d}\text{，}$

(6)

定义系统的外环滑模面s_o：

${s_o} = \eta + { \varLambda _1}\mathop \smallint \nolimits_0^t \eta {{d}}t,\;\;\;\;{s_0} \in {R^3}\text{，}$

(7)

其中，对角矩阵Λ₁特征值为正。

对式（7）求一阶导数得：

${\dot s_o} = \dot \eta + {\varLambda _1}\eta $

(8)

将式（3）、式（5）代入式（7）得：

${\dot s_o} = { J}\left( \varphi \right)\dot e + { J}\left( \varphi \right){\upsilon _d} + {\varLambda _1}\eta \text{，}$

(9)

定义期望值v_d：

${\upsilon _d} = {{ J}^{ - 1}}\left( \varphi \right)\left( { - {\varLambda _1}\eta - {\rho _1}{{sgn}}\left( {{s_o}} \right)} \right)\text{，}$

(10)

式中：ρ₁＞0，将v_d代入式（8）得

${\dot s_o} = { J}\left( \varphi \right)\dot e - {\rho _1}{{sgn}}\left( {{s_o}} \right)\text{。}$

(11)

定义系统的内环滑模面s_i：

${s_i} = \dot e + {\varLambda _2}\mathop \smallint \nolimits_0^t \dot e{{d}}t\text{，}$

(12)

其中，对角矩阵Λ₂特征值为正。

对式（12）求一阶导数得：

${\dot s_i} = \ddot e + {\varLambda _2}\dot e \text{，}$

(13)

将式（3）、式（6）代入式（12）得：

${\dot s_i} = - {{ M}^{ - 1}}{ D}\upsilon + {{ M}^{ - 1}}\left( {{\tau _c} + {\tau _s}} \right) - {\dot \upsilon _d} + {\varLambda _2}\dot e\text{，}$

(14)

得控制律τ_c：

${\tau _c} = M\left( {{{\dot s}_i} + {{\dot \upsilon }_d} - {\varLambda _2}\dot e} \right) + D\upsilon - {\tau _s}\text{，}$

(15)

可令 ${\dot s_i}$ ：

${\dot s_i} = {\tau _s} - {\rho _2}{{sgn}}\left( {{\tau _{\max}}{s_i}} \right)\text{，}$

(16)

其中ρ₂＞0。

则控制律τ_c：

${\tau _c} = { M}\left( {{{\dot s}_i} + {{\dot \upsilon }_d} - {\varLambda _2}\dot e} \right) + { D}\upsilon - {\dot s_i} - {\rho _2}{{sgn}}\left( {{\tau _{\max}}{s_i}} \right)\text{。}$

(17)

2.3 稳定性分析

Lyapunov函数常作为判断系统稳定性的重要工具，本文用来判断所设计控制器的稳定性^[11]。

对外环滑模面s_o，构造Lyapunov函数V_o：

${V_o} = \frac{1}{2}{s_o}^{{T}}{s_o}\text{，}$

(18)

对上式求一阶导数：

${\dot V_o} = {s_o}^{{T}}{\dot s_o}\text{，}$

(19)

将式（11）代入式（19）得：

${\dot V_o} = {s_o}^{{T}}{ J}\left( \psi \right)\dot e - {\rho _1}{s_o}^{{T}}{{sgn}}\left( {{s_o}} \right)\text{。}$

(20)

当系统的实际速度趋近于期望速度，即 $\dot e = \upsilon - {\upsilon _d} = {\left[ {0,0,0} \right]^{{T}}}$ 时，可得：

${\dot V_o} = - {\rho _1}{s_o}^{{T}}{{sgn}}\left( {{s_o}} \right) \leqslant 0\text{。}$

(21)

根据Lyapunov函数的稳定性理论可知，所设计的外环滑模的控制系统趋于稳定。

对内环滑模面s_i，构造Lyapunov函数V_i：

${V_i} = \frac{1}{2}{s_i}^{{T}}{s_i}\text{，}$

(22)

对上式求一阶导数：

${\dot V_i} = {s_i}^{{T}}{\dot s_i}\text{，}$

(23)

将式（16）代入上式得：

${\dot V_i} = {s_i}^{{T}}{\tau _s} - {\rho _2}{s_i}^{{T}}{{sgn}}\left( {{\tau _{\max}}{s_i}} \right)\leqslant 0 \text{。}$

(24)

根据Lyapunov函数的稳定性理论可知，所设计的内环滑模的控制系统趋于稳定^[12]。

3 仿真试验

为了验证所设计的滑模变结构控制器的控制效果，采用的船舶模型为经简化的动力定位船舶三自由度模型，为了便于仿真，将式（3）进一步简化得：

$\dot \nu = - {{ M}^{ - 1}}{ D}\left( \upsilon \right)\upsilon + {{ M}^{ - 1}}\left( {{\tau _c} + {\tau _s}} \right)\text{，}$

(25)

式中，令 ${ A} = - {{ M}^{ - 1}}{ D}\left( \upsilon \right)$ ， ${ B} = {{ M}^{ - 1}}$ ，将其写成状态方程的形式为：

$\dot \upsilon = { A}\upsilon + { B}\left( {{\tau _c} + {\tau _s}} \right)\text{，}$

(26)

本文以某动力定位船舶为对象进行仿真研究^[13]，该动力定位船舶的主要参数如表1所示。

公式（3）中的惯性矩阵M，线性阻尼矩阵 ${ D}\left( \upsilon \right)$ 可用理论方法或实验方法求得，本文使用外国学者Clarke整理的水动力导数估算公式计算^[14]，对仿真船舶的主要参数计算可得：

$\begin{aligned}{ M} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1.127 \ 4} & 0 & 0\\0 & {1.890 \ 2} & 0\\0 & 0 & {0.127 \ 8}\end{array}} \right]\text{，}\\{ D} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0.035 \ 8} & 0 & 0\\0 & {0.118 \ 3} & 0\\0 & 0 & { - 0.030 \ 8}\end{array}} \right]\text{。}\end{aligned}$

由计算出的惯性矩阵M，线性阻尼矩阵 ${ D}\left( \upsilon \right)$ ，进一步计算出系数矩阵A和矩阵B：

$\begin{aligned}{ A} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 0.031 \ 8} & 0 & 0\\0 & { - 0.062 \ 8} & 0\\0 & 0 & {0.250 \ 6}\end{array}} \right],\\{ B} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 0.887 \ 0} & 0 & 0\\0 & { - 0.541 \ 5} & 0\\0 & 0 & { - 8.008 \ 2}\end{array}} \right]\end{aligned}$

仿真中，取船舶的期望位置和首向 $ {\eta _d} = [ 0\;{{m}}, $ $ 0\;{{m}},0^\circ ]^{{T}} $ ，船舶的初始位置和首向 $\eta = {\left[ {60\;{{m}},60\;{{m}},30^\circ } \right]^{{T}}}$ ，采样时间取T=0.01 s，外界风浪流引起的干扰力矩取 ${\tau _s} = 0.2\sin \left( {0.2t} \right) + 0.2\cos \left( {0.2t + \pi /4} \right)$ ，控制律中的参数设置为：ρ₁=ρ₂=1， ${\varLambda _1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}} \right]$ ， $ {\varLambda _2} =$ $ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 5 \end{array}} \right]$ ， ${\tau _{\max }} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 5 \end{array}} \right]$ 。通过Matlab编程，采用ode45函数，即表示四/五阶龙格-库塔法^[15]，仿真结果如图4~图6所示。

从仿真结果来看，所设计的滑模变结构控制器表现出了良好的控制效果。由图4船舶位置和首向的变化曲线可知，所设计的控制律能使船舶位置和首向渐进稳定到期望值；由图5船舶速度的变化曲线可知，所设计的控制律能使船舶速度渐进稳定到目标值，并保持该状态；由图6控制律的变化曲线可知，所设计的控制律在经过一段时候，能趋于稳定状态，说明该控制律具有较好的控制效果。

4 结　语

本文基于动力定位船舶简化的三自由度数学模型，借助滑模变结构控制方法，设计一种滑模变结构控制的动力定位控制器，并对所设计的控制器进行了稳定性分析，最后借助某动力定位船舶作为仿真对象，通过Matlab编程对控制器进行仿真验证，结果表明，在有外界环境的干扰下，该控制器能较好地保持稳定性和鲁棒性，控制精度较高，对今后进行动力定位控制器的设计研究具有一定的参考意义。