0 引　言

自20世纪50年代苏联将潜艇电场信号作为引信制造出非触发反潜锚雷（KCM），证实这种来源于船、艇腐蚀或防腐电流的新型信号源可用于水中兵器开发后，各海洋大国纷纷开展该领域的研究^{[1 – 4]}。传统研究根据其产生机理采用最基本的电结构——电偶极子对场源进行建模，将空气—海水—海床构成的浅海环境简化成理想无限大三层平行分层导电媒质^{[5 – 7]}，利用镜像法推导位于海水中的静态电偶极子在三层平行分层环境中的场分布表达式，进而达到分析场的分布特征的目的 ^{[8 – 9]}。目前已取得了一定的研究成果，可初步应用于水雷引信，舰船探测与定位，舰船隐身与防护等方面^{[10 – 11]}。

但是，实际海洋环境相当复杂^[12]，各水域情况不一，在边界影响不能忽略的情况下，传统理想无限大平行分层环境下的研究成果不能直接应用；并且打击准确、定位精确、隐身完美等军方需求的不断增长也要求研究者需要针对复杂水域开展研究。据此，本文将海床倾斜水域作为切入点，在前人研究基础上^{[13 – 17]}，以水平直流电偶极子模拟场源，在推导出海水中的水平直流电偶极子在全空间产生的标量电位分布表达式的基础上，对海床倾斜水域中潜艇水下标量电位的分布特征进行了仿真分析，并与传统平行分层环境下电位分布进行对比。工作为进一步研究更为复杂水域环境下潜艇腐蚀相关电场的场分布问题奠定了基础。

1 海床倾斜水域水平直流电偶极子水下标量电位分布表达式的推导

电偶极子作为最基本的电结构，其产生的场可以直接用来模拟某些辐射场，一定分布的电偶极子的组合理论上可以用来模拟任意电流分布产生的场。现有研究表明可用水平直流电偶极子模拟潜艇水下电场分布^{[18 – 21]}。本文正是以水平直流电偶极子对场源进行模拟，并运用镜像法推导出了潜艇水下标量电位的表达式。推导过程如下：

空气—海水—倾斜海床环境可由图1所示的3层媒质模型来表示。建立直角坐标系如图1所示， $x$ 轴和 $y$ 轴平行于水面， $z$ 轴垂直于水面，海水—海床分界面与 $z = 0$ 平面所成的角度为 $\theta \left( {{{ - }}\pi /2 \leqslant \theta \leqslant \pi /2} \right)$ ，并且规定： $z = 0$ 平面沿逆时针方向旋转 $\theta $ 后与海水—海床分界面平面重合，则 $\theta $ 取正。 $\varepsilon $ ， $\sigma $ 分别表示媒质的电容率和电导率，下标0，1，2分别代表空气、海水、海床场域，设水平直流电偶极子源 $Idli$ 位于海水中 $\left( {{x_{{0}}},{y_0},{z_0}} \right)$ 处，且指向 $x$ 轴的正方向，当待求场点位于海水中时，水平直流电偶极子在2个界面之间不断“镜像”，场点处产生的电位可以用电偶极子及无穷多个镜像电偶极子在无限大的海水空间分别产生的电位的叠加来代替。

设 $\eta = \displaystyle\frac{{{\sigma _1} - {\sigma _2}}}{{{\sigma _1} + {\sigma _2}}}$ ，令 ${\theta _k} = \left[ {k + \frac{1}{2} + {{\left( {{{ - }}1} \right)}^{k + 1}} \cdot \frac{1}{2}} \right]\theta $ ， $ {m_k} \!=\! \displaystyle\frac{k}{2} -$ $ \displaystyle\frac{1}{4} + {\left( {{{ - }}1} \right)^k} \cdot \frac{1}{4}$ ， ${\eta _k} = {\eta ^{\frac{1}{4} + {{\left( {{{ - }}1} \right)}^{k + 1}} \cdot \frac{1}{4} + \frac{k}{2}}}$ ， $\left( {{x_{k{{a}}}},{y_{ka}},{z_{ka}}} \right)$ 表示位于空气—海水界面以下电偶极子及所有镜像电偶极子的位置坐标， ${P_{ka}}$ 表示对应其偶极矩， $k = 0,1,2 \cdots $ ； $\left( {{x_{kb}},{y_{kb}},{z_{kb}}} \right)$ 表示位于空气—海水界面以上所有镜像电偶极子的位置坐标， ${P_{kb}}$ 表示对应其偶极矩， $k = 1,2,3 \cdots $ 。在满足分界面两边标量电位及电流密度的法向分量连续的边界条件下，经求解（具体求解过程在此不再一一列出）可求得场源和各镜像源的位置坐标及相应的电偶极矩为：

$\small \begin{align}& \left( {{x_{k{{a}}}},{y_{ka}},{z_{ka}}} \right) = {\left(\!\!\! \begin{array}{l}{x_0}\cos {\theta _k} + {\left( { - 1} \right)^{k + 1}}{z_0}\sin {\theta _k} + 2D\sum\limits_{l = 0}^{{m_k}} {\sin 2l\theta } \\{y_0}\\{x_0}\sin {\theta _k} + {\left( { - 1} \right)^k}{z_0}\cos {\theta _k} - 2D\left( {\sum\limits_{l = 0}^{{m_k}} {\cos 2l\theta } - 1} \right)\end{array} \!\!\! \right)^{ T}},\\& {{P}_{ka}} = {\eta _k}Idl\cos {\theta _k}{i} + {\eta _k}Idl\sin {\theta _k}{k},k = 0,1,2,3 \cdots {\text{；}}\end{align}$

$\scriptsize\begin{array}{l}\left( {{x_{kb}},{y_{kb}},{z_{kb}}} \right) = {\left(\!\! \begin{array}{l}{x_0}\cos {\theta _{k - 1}} + {\left( { - 1} \right)^k}{z_0}\sin {\theta _{k - 1}} + 2D\sum\limits_{l = 0}^{{m_{k{{ - }}1}}} {\sin 2l\theta } \\{y_0}\\2D - \left\{ {{x_0}\sin {\theta _{k - 1}} + {{\left( { - 1} \right)}^{k - 1}}{z_0}\cos {\theta _{k - 1}} - 2D\left( {\sum\limits_{l = 0}^{{m_{k{{ - }}1}}} {\cos 2l\theta } - 1} \!\!\right)} \right\}\end{array} \right)^{ T}}\! ,\\{{ P}_{kb}} = {\eta _{k - 1}}Idl\cos {\theta _{k - 1}}i - {\eta _{k - 1}}Idl\sin {\theta _{k - 1}}{ k}, k = 1,2,3 \cdots {\text{。}}\end{array}$

则水平直流电偶极子在海水中产生的标量电位可表示为：

$\begin{array}{l} {\mathit{\Phi }_1} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{\eta _k}Idl\cos {\theta _k}(x - {x_{ka}}) - {\eta _k}Idl\sin {\theta _k}(z + {z_{ka}} - 2D)}}{{4\pi {\sigma _1}{r_{(k + 1)b}}^3}}} + \\ \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{\eta _k}Idl\cos {\theta _k}(x - {x_{ka}}) + {\eta _k}Idl\sin {\theta _k}(z - {z_{ka}})}}{{4\pi {\sigma _1}{r_{ka}}^3}}} , \end{array}$

(1)

同理可求出场点在空气及海床中时的标量电位分别为：

${{{\varPhi }}_0} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{\frac{{2{\varepsilon _0}}}{{{\sigma _1}}}{\eta _k}Idl\cos {\theta _k}(x - {x_{ka}}) + \frac{{2{\varepsilon _0}}}{{{\sigma _1}}}{\eta _k}Idl\sin {\theta _k}(z - {z_{ka}})}}{{4\pi {\varepsilon _0}{r_{ka}}^3}}}, $

(2)

$ \small\begin{align}& {\varPhi _2} = \frac{{\frac{{2{\sigma _2}}}{{{\sigma _1} + {\sigma _2}}}Idl(x - {x_0})}}{{4\pi {\sigma _2}{r_1}^3}} + \\&\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{\frac{{2{\sigma _2}}}{{{\sigma _1} \!+\! {\sigma _2}}}{\eta _{k - 1}}Idl\cos {\theta _{k - 1}}(x \!-\! {x_{kb}}) \!+\! \frac{{2{\sigma _2}}}{{{\sigma _1} \!+\! {\sigma _2}}}{\eta _{k - 1}}Idl\sin {\theta _{k \!-\! 1}}(z \!-\! {z_{kb}})}}{{4\pi {\sigma _2}{r_{kb}}^3}}} {\text{。}}\end{align}$

(3)

其中： ${r_{ka}} = {\left[ {{{\left( {x - {x_{ka}}} \right)}^{{2}}}{{ + }}{{\left( {y - {y_{ka}}} \right)}^{{2}}}{{ + }}{{\left( {z - {z_{ka}}} \right)}^2}} \right]^{1/2}}$ ； $ {r_{kb}} = $ $ {\left[ {{{\left( {x - {x_{kb}}} \right)}^{{2}}}{{ + }}{{\left( {y - {y_{kb}}} \right)}^{{2}}}{{ + }}{{\left( {z - {z_{kb}}} \right)}^2}} \right]^{1/2}}$ 。

上述表达式的正确性可通过将之代入边界条件验证是否满足来说明。得到空气—海水—倾斜海床环境下水平直流电偶极子产生的电位分布表达式后，便可以此为基础分析海床倾斜水域潜艇水下标量电位分布特征，下文即采用数值仿真方法对此进行分析。

2 海床倾斜水域潜艇水下标量电位的特征分析

真实海洋环境中，海床虽然是以一定的坡度向海洋底延伸的，但坡度一般较小。世界范围内，大陆架平均坡度只有0°07′，Sherpard（1973）计算的大陆坡的平均坡度为4°17′^[12]。因此本文在对海床倾斜水域中的潜艇水下标量电位分布特征进行仿真分析时，假定海床倾斜角度均为5°以下的小角度。

2.1 海床倾斜水域标量电位的分布特征

采用水平直流电偶极子对潜艇水下电位分布进行模拟，仍采用如图1所示的坐标系。设水平直流电偶极子的偶极矩为10 A·m，方向沿 $ + i$ 方向。海床倾斜角度 $\theta $ =5°， $D$ =100 m，海水电导率 ${\sigma _1}$ =4 S/m，海床电导率 ${\sigma _2}$ =0.4 S/m，源点位置坐标 ${x_0}$ =0 m， ${y_0}$ =0 m， ${z_0}$ =30 m。用Matlab编程，分别计算相对场源的水平偏移量 $x - {x_0}$ ， $y - {y_0}$ 为分别10 m的平面上和垂直偏移量 $z - {z_0}$ 为20 m的平面上的电位分布，计算结果如图2和图3所示。其中图2为所取各个平面上，电位分布的三维视图，图3为各个平面上，电位分别随坐标参量变化的二维视图。

由图2可看出，潜艇水下标量电位分布有明显的区域特征：场点相对于潜艇纵向偏移量 $x - {x_0}$ 为10 m的平面上，电位有一个峰值点（ $y = {y_0}$ ， $z = {z_0}$ ），而在场点相对于潜艇横向偏移量 $y - {y_0}$ 为10 m的平面和垂直偏移量 $z - {z_0}$ 为20 m的平面上均有2个峰值。

同时由图3可知，随着场点相对于潜艇垂直偏移量 $\left| {z - {z_0}} \right|$ 和横向偏移量 $\left| {y - {y_0}} \right|$ 的增大，电位绝对值逐渐衰减；随着场点相对于潜艇纵向偏移量 $\left| {x - {x_0}} \right|$ 增大，电位绝对值先增大到一个峰值后，再不断衰减。在前述参数条件下，测量点电位绝对值最高可达到10^–3V。

电位在 $y = {y_0}$ 处有最大绝对值的原因是：根据毕奥萨法尔定律，在 $x$ ， $z$ 坐标固定的直线上的场点，任意场点到各镜像源的位置矢量与对应镜像源的偶极矩点乘相等，但 $y = {y_0}$ 处场点到各镜像源的距离最短，因此电位在 $y = {y_0}$ 处有最大绝对值。

上述分布特征可用于潜艇探测与定位：某深度平面上电位两峰值点连线，线上各场点均满足 $y = {y_0}$ ，即两峰值连线为潜艇运动方向；确定潜艇运动方向后，在相对于潜艇横向偏移量 $y - {y_0}$ 为某距离的平面上电位也有2个峰值，同理将两峰值点连线，线上各场点均满足 $z = {z_0}$ ，即可由此确定潜艇潜水深度，另外根据连线上 $x = {x_0}$ 时电位随 $z$ 变化的最大值不在 $z = {z_0}$ 的特点，确定 $x = {x_0}$ 的位置。

综上所述，海床倾斜水域潜艇水下标量电位分布特征明显，且量值可观。特别是根据其分布特征，可提出实现潜艇探测与定位的新思路，具有重大应用价值。

2.2 海水电导率对电位分布的影响

在前述海洋环境、源参数条件下，为分析海水电导率对电位分布的影响，用Matlab编程，计算不同电导率时电位随 $x$ 的变化和坐标为（10 m，0 m，50 m），（30 m，0 m ，50 m），（50 m，0 m，50 m）的场点处电位分别随海水电导率的变化。计算结果如图4和图5所示。

由图可见：在海床倾斜水域，场源各参数不变时海水电导率不改变水下标量电位分布特征的区域性，但对具体场点会影响其标量电位大小，本文所研究区域标量电位的绝对值随海水电导率的增大，呈非线性衰减。

2.3 标量电位随海床倾斜角度的变化特征

在前述海洋环境、源参数条件下，为分析海床倾斜角度对电位分布的影响，用Matlab编程，分别计算不同倾斜角度时电位随 $x$ 的变化和 $x = 10$ ， $y = 0$ ， $z = 50$ 时，电位 ${{\varPhi }}$ 随 $\theta $ 的变化。计算结果如图6和图7所示。

由图可见：在海床倾斜水域，海床倾斜角度不改变水下标量电位分布特征的区域性，但对具体场点会影响其标量电位大小。在本文研究的小角度范围内，各场点处电位随海床倾斜角度的增加，近似呈线性单调递增。

3 倾斜海床水域与传统平行海床水域电位分布的对比

在前述海洋环境、源参数条件下，为与传统平行海床条件下电位分布做对比，分别令 $\theta $ =0°， $\theta $ =5°，用Matlab编程，得到倾斜角度 $\theta $ =5°与 $\theta $ =0°时，电位分别随 $x$ ， $y$ ， $z$ 的变化，结果如图8所示。

由图8可看出，倾斜海床水域域与平行海床水域相比：

1）电位分布特征的区域性相同；

2）平行海床时存在电位为0的场点，而海床倾斜时无；

3）平行海床时电位分布关于源的投影点，沿偶极矩方向反对称，而倾斜海床时该对称性丧失。

另外，本文将 $\theta $ =0°代入式（1），仿真分析得到的平行海床区域电位分布特征与文献[21]中的结论相吻合，间接表明了本文推导出的表达式及采用的分析方法的正确性。

4 结　语

本文针对海床倾斜水域，采用水平电偶极子模拟潜艇水下电场场源，进而对潜艇水下标量电位分布特征进行分析。主要内容如下：1）推导出了海床倾斜水域水平电偶极子水下标量电位的分布表达式；2）仿真分析了海床倾斜水域潜艇水下标量电位的分布特征，并分析了海水电导率变化和海床倾斜角度变化对电位分布的影响；3）将海床倾斜水域与传统理想平行海床水域的潜艇水下标量电位分布做了对比。

研究表明：海床倾斜水域潜艇水下电位分布特征明显，量值可观，可用于潜艇的探测与定位；小角度范围内，改变海床倾斜角度和海水电导率，所研究水域电位分布特征的区域性不变，量值随海床倾斜角度增大呈线性增加，随海水电导率增大呈二次方衰减；与传统平行海床水域电位分布相比，海床倾斜水域不存在零电位，沿偶极矩方向的对称性丧失。未来研究工作主要从以下2个方面进行：1）实验验证本文提出的潜艇探测与定位方法的可行性；2）研究海床倾斜水域潜艇腐蚀相关电场的场分布特征问题。