0 引　言

在精确度要求较高和响应速度较快的工程应用领域中，永磁同步电机（PMSM）占有重要位置。时下船用永磁同步电机（PMSM）传统的调速系统，仍然大规模采用常规PI调节器来控制。虽然PI控制容易实现，控制算法简单、稳定，但同样也存在一定的局限性和问题。因为PI算法的本质是一种线性控制，一旦被控对象的模型发生变化或是呈现非线性时，原本的线性PI控制无法满足设计时所要求的性能指标。鲁棒性、精确性都无法合人心意。而参考模型自适应模糊控制，综合了模糊控制和自适应控制优点，在面对不确定模型和非线性系统时，可以实现较好的控制性能。在文献[1] 首次提出用模糊集理论设计MRAC系统和文献[2]对自适应模糊系统进行深入研究之后，国内外学者在这方面做了大量的研究^[3–6]，并且在某些工程应用中已显示出良好的控制性能。为应对电机模型的不确定性和非线性等问题，本文对系统控制采用间接型自适应模糊控制，通过合理选择模糊规则、模糊基函数和参考模型，实现模型参考自适应。即使被控对象的模型发生变化时，也能够实现很好的控制性能。仿真结果表明：与传统的PI控制相比，基于间接参考模型自适应模糊控制方法的速度控制器具有更快速准确的跟踪能力，同时也降低了调速系统对电机参数变化、负载扰动等因素的敏感性。

1 问题描述

有如下形式的n阶非线性系统：

$\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{(n)}} = f\left( {{x},\mathop {x}\limits^ \cdot ,...,{{x}^{(n - 1)}}} \right) + g\left( {{x},\mathop {x}\limits^ \cdot ,...,{{x}^{(n - 1)}}} \right)u\text{。}\\y = {x}\text{。}\end{array} \right.$

(1)

式中：f和g为不确定的未知连续函数； $u \in R$ ， $y \in R$ 为系统的输入与输出； $ {x} \!=\! {\left( {{x_1},{x_2},...{x_n}} \right)^{\rm T}} \!\!\!= \!{\left(\! {x,\mathop x\limits^ \cdot ,...,{x^{(n - 1)}}} \!\right)^{\rm T}} $ $ \in{R^n}$ 是可以通过测量得到的系统状态向量。假设存在x使得 $g\left( {x} \right) \ne 0$ ，且 $g\left( {x} \right) > 0$ 。控制的目的是要求迫使系统的输出y跟随参考信号y_m，y_m是一个给定的有界信号，所有信号有界即为其约束条件。具体方法是：由模糊逻辑系统得到反馈控制 $u = u\left( {x|\theta } \right)$ 和调整参数向量 $\theta $ 的自适应律，使得

1）变量 $x\left( t \right)$ ， $\theta \left( t \right)$ ， $u\left( {x|\theta } \right)$ 一致有界的意义基础上，闭环系统一定具有全局稳定性。即对所有的 $t \geqslant 0$ ，都有 $\left| {x\left( t \right)} \right| \leqslant {M_x} < \infty $ ， $\left| {\theta \left( t \right)} \right| \leqslant {M_g} < \infty $ ， $\left| {u\left( {x|\theta } \right)} \right| \leqslant $ $ {M_u} < \infty $ 成立，式中 ${M_g}$ ， ${M_\theta }$ ， ${M_u}$ 是设计参数。

2）在满足上述条件下，为使跟踪误差 $e = {y_m} - y$ 尽可能小。需构造间接型自适应模糊控制器来满足上述任务，设

$e = {\left( {e,\mathop e\limits^ \cdot ,...{e^{\left( {n - 1} \right)}}} \right)^{\rm T}}$ ， $k = {\left( {{k_n},...,{k_1}} \right)^{\rm T}} \in {R^n}$ ，使多项式所有的根在左半开平面上。若函 $h\left( s \right) = {s^n} + {s^{\left( {n - 1} \right)}} + \cdot \cdot \cdot + {k_n}$ 数g和f均已知，则控制律为：

${u^*} = \frac{1}{{g\left( x \right)}}\left[ { - f\left( x \right) + y_m^{(n)} + {k^{\rm T}}e} \right]\text{。}$

(2)

代入式（1）得：

${e^{(n)}} + {k_1}{e^{(n - 1)}} + \cdot \cdot \cdot + {k_n}e = 0\text{。}$

(3)

取合适k值使得 $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } e(t) = 0$ ，这样系统的输出就渐进逼近参考模型的输出。若f和g未知，式（2）不能实现，则此时需要用模糊规则构造模糊系统 ${\hat {f}}(x)$ ， ${\hat {g}}(x)$ 以替代。为使 $f(x)$ ， $g(x)$ 逼近 ${\hat {f}}(x)$ ， ${\hat {g}}(x)$ 精度提高，可以允许 ${\hat {g}}(x)$ ， ${\hat {f}}(x)$ 中的一些参数在整个操作过程中实时变化。令 ${\theta _f} \in {\Omega _f}$ ， ${\theta _g} \in {\Omega _g}$ 分别为 ${\hat {f}}(x)$ ， ${\hat {g}}(x)$ 的自由参数，则有 ${\hat {f}}(x) = {\hat {f}}(x|{\theta _f})$ ， ${\hat {g}}(x) = {\hat {g}}(x|{\theta _g})$ ，其中 ${\hat {f}}(x|{\theta _f})$ ， ${\hat {g}}(x|{\theta _g})$ 取模糊逻辑系统形式。

$f(x) = \sum\limits_{l = 1}^M {{\theta _l}} {\xi _l}(x) = \theta _{}^{\rm T}\xi (x)$ ，

式中： $\theta = {({\theta _1},...,...{\theta _M})^{\rm T}}$ 为可调参数向量， $\xi (x) = $ $ {({\xi _1}(x),...,...{\xi _2}(x))^{\rm T}}$ 为模糊基函数向量。

其中 ${\xi _l}(x)$ 定义为：

${\xi _l}(x) = \frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {{u_{F_i^l}}({x_i})} }}{{\sum\limits_{l = 1}^M {\prod\limits_{i = 1}^n {{u_{F_i^l}}({x_i})} } }}\text{，}$

(4)

${u_{F_i^l}}$ 为给定的三角形隶属度函数^[7]。

所以 ${\hat {f}}(x|{\theta _f})$ ， ${\hat {g}}(x|{\theta _g})$ 为

${\hat {f}}(x|{\theta _f}) = \theta _f^{\rm T}\xi (x)\text{，}$

(5)

${\hat {g}}(x|{\theta _g}) = \theta _g^{\rm T}\xi (x)\text{。}$

(6)

2 等效控制器设计

式（2）中的 $f(x)$ 和 $g(x)$ 可分别由模糊逻辑系统 ${\hat {f}}(x|{\theta _f})$ ， ${\hat {g}}(x|{\theta _g})$ 代替，即可得：

${u_I} = \frac{1}{{\mathop g\limits^ \wedge (x|{\theta _g})}}[ - \mathop f\limits^ \wedge (x|{\theta _f}) + y_m^{(n)} + {k^{\rm T}}e]\text{，}$

(7)

即为等效控制器的控制律。

将式（7）代入式（1）即得误差方程：

$\begin{split}&{e^{(n)}} = - {k^{\rm T}}e + [\mathop f\limits^ \wedge (x|{\theta _f}) - f(x)] + \\& [\mathop g\limits^ \wedge (x|{\theta _g} - g(x)]{u_I}\text{。}\end{split}$

(8)

上式等价于：

$\begin{split}\mathop e\limits^ \cdot =& {{A}_c}e + {{b}_c}[(\mathop f\limits^ \wedge (x|{\theta _f}) - f(x)) + \\&(\mathop g\limits^ \wedge (x|{\theta _g}) - g(x)){u_I}]\text{。}\end{split}$

(9)

其中：A_c，b_c分别为

$\begin{array}{l}{{\mathit{\boldsymbol{A}}}_c} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&1&0&0&{...}&0&0\\0&0&1&0&{...}&0&0\\{...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\0&0&0&0&{...}&0&1\\{ - {k_n}}&{ - {k_{n - 1}}}&{...}&{...}&{...}&{ - {k_2}}&{ - {k_1}}\end{array}} \right]\text{，}\\[13pt]{{\mathit{\boldsymbol{b}}}_c} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\{...}\\0\\1\end{array}} \right]\text{。}\end{array}$

因A_c是稳定矩阵，则存在唯一 $n \times n$ 阶正定对称矩阵P，满足Lyapunov方程：

${ {{A}_c}}^{\rm {T}}{P} + {\mathit{\boldsymbol{P{{A}}_c}}} = - {Q}\text{。}$

(10)

式中Q为任意 $n \times n$ 阶正定矩阵。设 ${V_e} = \displaystyle\frac{1}{2}{e^{\rm T}}{P}e$ ，由式（10）与式（9）可得：

$\begin{split}& \dot V = \frac{1}{2}{{\dot e}^{\rm T}}{P}e + \frac{1}{2}{e^{\rm T}}{P}\dot e=\\& - \frac{1}{2}{e^{\rm T}}{Q}e + {e^{\rm T}}{P}{b_c}[(\mathop f\limits^ \wedge (x|{\theta _f}) - f(x))+\\& \mathop g\limits^ \wedge (x|{\theta _g}) - g(x)){u_I}]\text{。}\end{split}$

(11)

要使 ${x_i} = y_m^{(i - 1)} - {e^{(i - 1)}}$ 有界，则 ${V_e}$ 必有界，即当 ${V_e}$ 比较大常值 $\overline V $ 大时，有 ${\dot V_e} \leqslant 0$ ，那么就要设计 ${u_I}$ 使得式（11）末项小于0，但这个设计非常困难。因此，本文对模糊逻辑系统的参数采用自适应调节，以强迫跟踪误差收敛为0。

3 自适应率设计

定义

$\theta _f^* = \arg {\min _{{\theta _f} \in {\Omega _f}}}[{\sup _{x \in {u_I}}}\mathop {|f}\limits^ \wedge (x\left| {{\theta _f}) - f(x)} \right.|]\text{，}$

(12)

$\theta _g^* = \arg {\min _{{\theta _g} \in {\Omega _g}}}[{\sup _{x \in {u_I}}}\mathop {|g}\limits^ \wedge (x\left| {{\theta _g}) - g(x)} \right.|]\text{。}$

(13)

其中： ${\varOmega _f}$ 和 ${\varOmega _g}$ 为 ${\theta _f}$ 和 ${\theta _g}$ 的约束集，

$\begin{array}{c}{\varOmega _f} = \{ {\theta _f}:\left| {{\theta _f}} \right| \leqslant {M_f}\}\text{，} \\{\varOmega _g} = \{ {\theta _g}:\left| {{\theta _g}} \right| \leqslant {M_g}\} \text{。}\end{array}$

M_f和M_g的值为设计者所取。

定义最小逼近误差：

$\omega = ((\mathop f\limits^ \wedge (x\left| {\theta _f^*)} \right. - f(x)) + (\mathop g\limits^ \wedge (x\left| {\theta _g^*)} \right. - g(x))){u_I}\text{，}$

(14)

因此上式可将式（9）变形为下式：

$\begin{split}& \dot e = {A_c}e + {b_c}[(\mathop f\limits^ \wedge (x\left| {\theta _f^{})} \right. - \mathop f\limits^ \wedge (x\left| {\theta _f^*)} \right.)+\\& (\mathop g\limits^ \wedge (x\left| {\theta _g^{}) - } \right.\mathop g\limits^ \wedge (x\left| {\theta _g^*)} \right.){u_I} + \omega ]\text{，}\end{split}$

(15)

将式（5）和式（6）代入式（15）得到如下方程：

$\begin{split}& \dot e = {A_c}e + {b_c}[{({\theta _f} - \theta _f^*)^{\rm T}}\xi (x)+\\& {({\theta _g} - \theta _g^*)^{\rm T}}\xi (x){u_I} + \omega ]\text{。}\end{split}$

(16)

式中： $\xi (x)$ 为模糊基函数。为使参数误差 ${\theta _f} - \theta _f^*$ ， $\theta _g^{} - \theta _g^*$ 与跟踪误差e达到最小。需采用自适应律为 ${\theta _f}$ ， ${\theta _g}$ 确定一个调节机理。为解决上述问题，采用Lyapunov函数

$\begin{split}& V = \frac{1}{2}{e^{\rm T}}{P}e + \frac{1}{{2{\gamma _1}}}{({\theta _f} - \theta _f^*)^{\rm T}}({\theta _f} - \theta _f^*)+\\ & \frac{1}{{2{\gamma _2}}}{({\theta _g} - \theta _g^*)^{\rm T}}({\theta _g} - \theta _g^*)\text{，}\end{split}$

(17)

其中 ${\gamma _1}$ ， ${\gamma _2}$ 为正常数，导数为：

$\begin{split}& V = - \frac{1}{2}{e^{\rm T}}{Q}e + {e^{\rm T}}{P}{b_c}\omega+ \\& \frac{1}{{{\gamma _1}}}{({\theta _f} - \theta _f^*)^{\rm T}}[\mathop {{\theta _f}}\limits^ \cdot + {\gamma _1}{e^{\rm T}}{P}{b_c}\xi (x)]+\\& \frac{1}{{{\gamma _2}}}{({\theta _g} - \theta _g^*)^{\rm T}}[\mathop {{\theta _g}}\limits^ \cdot + {\gamma _2}{e^{\rm T}}{P}{b_c}\xi (x){u_I}]\text{。}\end{split}$

(18)

求解参数误差和跟踪误差差距最小的问题转换为使V最小的问题。为此自适应律的选择要使 $\dot V \leqslant 0$ ，又因 $ - \displaystyle\frac{1}{2}{e^{\rm T}}{Q}e$ 小于0，且模糊系统的选择又应使逼近误差 $\omega $ 尽量小，所以使式（18）后2项为0的策略为最优选择，即

$\mathop {{\theta _f}}\limits^ \cdot = - {\gamma _1}{e^{\rm T}}P{b_c}\xi (x)\text{，}$

(19)

$\mathop {{\theta _g}}\limits^ \cdot = - {\gamma _2}{e^{\rm T}}P{b_c}\xi (x){u_I}\text{。}$

(20)

4 实例

1）永磁同步电机机械运动方程

方程为：

$\left\{ \begin{array}{l}\displaystyle\frac{{{\rm d}{\theta _r}}}{{{\rm d}t}} = {\omega _r}\text{，}\\[10pt]J \displaystyle\frac{{{\rm d}{\omega _r}}}{{{\rm d}t}} = {T_e} - {T_l} - B{\omega _r}\text{。}\end{array} \right.$

(21)

设 ${x_1} = {\theta _r}$ ， ${x_2} = {\omega _r}$ 代入式（22）得：

$\left\{ \begin{array}{l}\mathop {{x_1}}\limits^ \cdot = {x_2}\text{，}\\\mathop {{x_2}}\limits^ \cdot = \frac{1}{J}({T_e} - {T_l} - B{x_2})\text{。}\end{array} \right.$

(22)

其中， ${T_e} = 1.5{p_n}{\psi _f}{i_q}$ 。

即上式可改写为：

$\left\{ \begin{array}{l}\mathop {{x_1}}\limits^ \cdot = {x_2}\text{，}\\\mathop {{x_2}}\limits^ \cdot = \frac{{( - {T_l} - B{x_2})}}{J} + (\frac{3}{{2J}}{p_n}{\psi _f}){i_q}\text{，}\\y = {x_1}\text{。}\end{array} \right.$

(23)

将式（23）与式（1）相比较，可知此时系统的输出为 ${\theta _r}$ ，系统的输入为 ${i_q}$ 。即永磁同步电机可以在矢量控制系统中加入间接型自适应模糊控制器。

式（23）中 $f({x_1},{x_2}) = ( - {T_l} - B{x_2})/J,\ g({x_1},{x_2}) =$ $ 3{p_n}$ ${\psi _f}/2J$ 未知，由于模糊规则构造的模糊系统 $\mathop f\limits^ \wedge (x)$ ， $\mathop g\limits^ \wedge (x)$ 无法较好逼近 $f(x)$ ， $g(x)$ 。所以设 ${\theta _f}$ ， ${\theta _g}$ 作为 $\mathop f\limits^ \wedge (x)$ ， $\mathop g\limits^ \wedge (x)$ 的自由参数。即有 $\mathop f\limits^ \wedge (x) = \mathop f\limits^ \wedge (x|{\theta _f})$ ， $\mathop g\limits^ \wedge (x) = \mathop g\limits^ \wedge (x|{\theta _g})$ ，则由自适应参数的在线调整和模糊基函数的构造，即可得到等效控制器：

$u = - \frac{{(\mathop f\limits^ \wedge (x|{\theta _f}) + \ddot y + {k^{\rm T}}e)}}{{\mathop g\limits^ \wedge (x|{\theta _g})}}\text{。}$

2）构造模糊基函数

以电机转子角 ${\theta _r}$ 和转角变化率 $\mathop {{\theta _r}}\limits^ \cdot $ ，构建模糊基函数，函数中的 ${u_{F_i^l}}$ 为隶属度函数，其曲线如图2~图3所示。

模糊基函数由Matlab的M文件实现：

M=12，即模糊基函数12维列向量，那么 $\theta = $ ${({\theta _1},{\theta _2},...,{\theta _{12}})^{\rm T}}$ 是可调参数向量。

3）自适应率在线调整

为使问题简化，按上述自适应律设计步骤，设 ${k_1} = 2$ ， ${k_2} = 1$ ，使 ${s^2} + {k_1}s + {k_2} = 0$ 得根位于左半开平面，取 $Q = diag(10,10)$ ，解式（10）得：

$\begin{array}{l}{P} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{15}&5\\5&5\end{array}} \right]\text{，}\\[10pt]{{b}_c} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\end{array}} \right]\text{，}\\[10pt]{P}{{b}_c} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}5\\5\end{array}} \right]\text{。}\end{array}$

式（18）中参数 ${\gamma _1}$ ， ${\gamma _2}$ 均取4 500，初始状态 $f(0) = \theta _f^{\rm T}(0){\xi ^{\rm T}}(0)$ ， $g(0) = \theta _g^{\rm T}(0){\xi ^{\rm T}}(0)$ ，其中模糊基函数 $0 < {\xi _l}(x) \leqslant 1$ ，由电机特性确定初始值为：

$\begin{array}{l}{\theta _f}(0) = {(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)^{\rm T}}\text{，}\\{\theta _g}(0) = {(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)^{\rm T}}\text{。}\end{array}$

取M_g=600与M_f=1 000。

仿真模型如图4所示。

5 仿真结果与分析

选择参考模型为2阶系统，则传函标准形式为：

${y_m}(s) = \frac{{\omega _n^2}}{{{s^2} + 2\varsigma {\omega _n}s + \omega _n^2}}\text{，}$

当 $0 \leqslant \varsigma \leqslant 1$ 时，在单位阶跃和零初始条件下，输出动态性能指标为：

上升时间 ${t_r} = \displaystyle\frac{1}{{{\omega _n}\sqrt {1 - {\varsigma ^2}} }}(\pi - {\cos ^{ - 1}}\varsigma )$ ，

超调量 $\sigma = {e^{ - (\varsigma \pi /\sqrt {1 - {\varsigma ^2}} )}} \times 100\% $ ，

过渡时间 ${t_s} \approx \frac{3}{{\varsigma {\omega _n}}}(0 \leqslant \varsigma \leqslant0.9)$ 。

当改变 ${\omega _n}$ 和 $\varsigma $ 时，就能改变参考信号的输出动态性能，即通过改变参考模型的参数来改变电机的输出响应，而且不受电机本身参数影响。参考模型仿真模块如图5所示，其中 $k = {k_1} = \omega _n^2$ ， ${k_2} = 2\varsigma {\omega _n}$ 。

模型参数选择为

条件1： $\varsigma = 0.7$ ， ${\omega _n} = 10$ 。在t=1.2 s时突加负载。

条件2： $\varsigma = 1$ , ${\omega _n} = 20$ 。在t = 1.2 s时突加负载。

条件1和条件2的仿真结果分别如图6~图7所示。

由仿真结果可以看出：当对永磁同步电机进行间接自适应模糊控制时，可知条件1阻尼系数与角频率不大时，加入扰动时系统跟随参考模型的输出精度较高，即使是条件2时，系统也只是发生较小的振荡后快速稳定并跟踪参考模型输出。由结果可知参考模型参数发生改变，被控系统的输出也能很好的跟随参考曲线，不需要依赖电机的参数与电机自身特性的改变还有就是抗扰动能力强，跟踪精度高。

条件2下PI控制与自适应模糊控制跟踪情况如图8~图9所示。

从仿真结果可以看出，相同条件下PI控制在跟踪精度上远低于自适应模糊控制，1.2 s对系统施加扰动时也可以看出，自适应模糊控制的抗扰动能力远高于PI控制。所以仿真结果表明：间接自适应模糊控制器通过模糊推理产生模糊基函数并构建等效控制器，使不确定的非线性系统实时在线逼近参考模型，成功实现了模型参考自适应。还可看出，系统的输出响应受电机自身参数影响不敏感，系统参数突变时，系统仍有较好的动、静态性能。自适应模糊控制无论是在跟踪模型精度上，还是在抗扰动能力等方面都有明显的优势。

6 结　语

本文针对船用永磁同步电机控制系统中的非线性时变系统，使用模糊系统的模糊基函数逼近永磁同步电机未知参数，并由Lyapunov稳定性理论设计模型参考自适应模糊控制器。根据自适应模糊控制理论，建立Matlab/Simulink系统仿真模型。通过与传统永磁同步电机矢量PI控制对比，由仿真结果证明，参考模型自适应控制在跟踪参考信号的稳定性、跟踪精度等方面远好于传统PI控制，而且对电机参数的改变不敏感，即使给系统加入突变扰动时系统仍具有良好的动静态性能。本文也为永磁同步电机高性能控制及其实用提供了新的研究方法。