0 引　言

海洋平台通过推进器推力维持在给定位置的系统称为海洋平台动力定位系统^[1]，而控制技术作为该系统的核心，一直是研究热点。

韩京清教授提出了一种新型的非线性控制器——自抗扰控制器（Active Disturbance Rejection Controller，ADRC），ADRC 抗扰能力较强且不需知道被控对象的精确模型^{[2 – 3]}，其控制性能相对经典 PID 控制有巨大的优越性^[4]。在动力定位领域，自抗扰控制已得到了广大学者和科研人员的广泛关注与研究，其中文献[5]是对经典二阶非线性自抗扰控制器的直接应用研究，但其存在着扰动估计能力不足，控制效率与稳定性较低等问题，导致工程实用性不佳；线性自抗扰控制形式较为简单，文献[6]对其做了应用研究，但线性自抗扰的控制性能有所降低。

动态面控制（Dynamic Surface Control，DSC）是从反步法发展起来的一种控制方法。控制效率较高，稳定性好，具有对系统的全局跟踪能力且避免了反步法的计算膨胀问题^{[7 – 8]}。文献[9]率先将其应用于动力定位系统，文献[10]基于智能算法设计了动态面动力定位控制器，动态面控制的问题在于对系统模型依赖较大。

鉴于动态面控制与自抗扰控制各自的优点具有良好的互补性，本文提出引入动态面控制算法同时对自抗扰控制器中的扩张状态观测器以及非线性状态误差反馈控制律进行改造，在提高系统的稳定性与控制效率的同时，增强系统的扰动估计能力。设计出二阶动态面自抗扰控制器（Dynamic Surface Active-Disturbance Rejection Controller，DS-ADRC），并应用于动力定位领域。仿真结果表明，改进后的动力定位控制器具有较好的控制性能，海洋平台定位精度也因此得到了提高。

1 海洋平台动力定位常规自抗扰控制方案 1.1 海洋平台低频运动模型的 2 种形式

低速状态下的海洋平台动力定位系统包含纵荡、横荡、首摇 3 个自由度，则可建立其低频数学模型如下^[11]：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\dot \eta } = {J}(\eta ){\nu }}\text{，}\\{{M\dot \nu} + {D\nu } = {\tau } + {\omega }}\text{。} \end{array}} \right. $

(1)

式中： ${\eta } = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x \!\! & \!\! y\!\! & \!\! \psi \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$ 为位置向量； ${\nu } = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} u \!\! & \!\! v \!\! & \!\! r \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$ 为速度向量；向量 ${\omega } = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_\omega }} & {{Y_\omega }} & {{N_\omega }} \end{array}} \right]^{\rm T}}$ 为外部环境干扰力和力矩；向量 ${\tau } = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_\tau }} & {{Y_\tau }} & {{N_\tau }} \end{array}} \right]^{\rm T}}$ 为由推进器产生抵抗干扰的力和力矩； ${J}(\eta )$ 为船体坐标系与静坐标系之间的坐标变换矩阵；M 为质量矩阵；D 为阻尼矩阵。具体表示如下：

$\begin{aligned}& { J}(\eta ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \psi }& { - \sin \psi } & 0 \\{\sin \psi }& {\cos \psi } & 0\\0 & 0 & 1\end{array}} \right]\text{，}\\[6pt]& { M} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - {X_{\dot u}}} & 0 & 0\\0 & {m - {Y_{\dot v}}} & {m{x_G} - {Y_{\dot r}}}\\0 & {m{x_G} - {Y_{\dot r}}} & {{I_z} - {N_{\dot r}}}\end{array}} \right]\text{，}\\[6pt]& { D} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {X_u}} & 0 & 0\\0 & { - {Y_v}} & { - {Y_r}}\\0 & { - {N_v}} & { - {N_r}}\end{array}} \right]\text{。}\end{aligned}$

根据平台的长、宽、排水量、吃水深度等参数可求出 M，D 的具体数值，计算公式见文献[12]。

由式（1）可看出，海洋平台各个自由度相互耦合，对模型进行解耦可得：

${\ddot \eta } = {{M}_\eta }^{ - 1}(\eta )[{{J}^{ - {\rm{T}}}}(\eta )({\tau } + {\omega }) - {{D}_\eta }{\dot \eta }]\text{，}$

(2)

式中： ${{M}_\eta }^{ - 1}(\eta ) = {{J}^{ - {\rm{T}}}}(\eta ){M}{{J}^{ - 1}}(\eta )$ ； ${{D}_\eta } = {{J}^{ - {\rm{T}}}}(\eta ){D}{{J}^{ - 1}}(\eta )$ 。

设虚拟控制量 ${U} = {J}(\eta ){{M}^{ - 1}}{\tau }$ ，则式（2）可化为：

${\ddot \eta } = {{M}_\eta }^{ - 1}(\eta )[{{J}^{ - {\rm{T}}}}(\eta ){\omega } - {{D}_\eta }{\dot \eta }] + {U}\text{。}$

(3)

1.2 自抗扰控制原理

跟踪微分器、扩张状态观测器、非线性状态误差反馈控制律构成了自抗扰控制器的 3 个主体部分。

由式（3）可知，海洋平台动力定位系统为二阶被控系统，故本文采用二阶自抗扰控制器。二阶被控系统状态方程表述如下^[13]：

$\left\{ {\begin{aligned}& {y = {x_1}}\text{，}\\& {{{\dot x}_1} = {x_2}}\text{，}\\& {{{\dot x}_2} = f\left( {{x_1},{x_2},t} \right) + \omega \left( t \right) + bu}\text{。}\end{aligned}} \right.$

(4)

式中：y 为输出； $f\left( {{x_1},{x_2},t} \right)$ 为已知扰动； $\omega \left( t \right)$ 为未知扰动； $f\left( {{x_1},{x_2},t} \right) + \omega \left( t \right)$ 为总扰动；b 为控制量增益；u 为控制量。

对照式（3）可知， ${x_1} = {\eta }$ ， ${x_2} = {\dot \eta }$ ， $f({x_1},{x_2},t) = $ $- {J}(\eta ){{M}^{ - 1}}{D}{{J}^{ - 1}}(\eta ){\dot \eta }$ ， $\omega (t) = {J}(\eta ){{M}^{ - 1}}{\omega }$ ，b = 1，u = U。每个自由度上 1 个输入 U_i 对应 1 个输出 η_i，其中 i = 1，2，3。对每个自由度分别设计自抗扰控制器，各个自由度实际的控制量可通过 ${\tau } = {M}{{J}^{ - 1}}(\eta ){U}$ 求得。

适用于二阶系统（4）的自抗扰控制器离散形式如下^[13]：

1）跟踪微分器

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\!\!\!{{{\dot v}_1} = {v_1} + T{v_2}}\text{，}\\{\begin{array}{*{20}{l}}\!\!\!\!\!\!\!{{{\dot v}_2} = {v_2} + Tfh}\text{，}\\\!\!\!\!\!\!{fh = fhan\left( {{v_1} - v,{v_2},r,h} \right)}\text{。}\end{array}}\end{array}} \right.$

(5)

2）扩张状态观测器

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{e = {z_1} - y}\text{，}\\{{{\dot z}_1} = {z_2} - {\beta _{01}}e}\text{，}\\{{{\dot z}_2} = {z_3} - {\beta _{02}}fal\left( {e,{a_1},\delta } \right) + {b_0}u}\text{，}\\{{{\dot z}_3} = - {\beta _{03}}fal\left( {e,{a_2},\delta } \right)}\text{。}\end{array}} \right.$

(6)

3）非线性状态误差反馈控制律

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{e_1} = {v_1} - {z_1}}\text{，}\\{{e_2} = {v_2} - {z_2}}\text{，}\\{{u_0} = {k_1}fal\left( {{e_1},{\alpha _1},\delta } \right) + {k_2}fal\left( {{e_2},{\alpha _2},\delta } \right)}\text{，}\\{u = {u_0} - {z_3}/{b_0}}\text{。}\end{array}} \right.$

(7)

式中：v 为输入；v₁ 为对 v 进行跟踪；v₂ 为 v₁ 的微分；z₁，z₂，z₃ 分别为 x₁，x₂， $f\left( {{x_1},{x_2},t} \right) + \omega \left( t \right)$ 的估计量；T，r，h，β₀₁，β₀₂，β₀₃，b₀，a₁，a₂，δ，k₁，k₂，α₁，α₂ 均为可调参数； $fhan\left( {{x_1},{x_2},r,h} \right)$ 与 $fal\left( {e,a,\delta } \right)$ 的具体函数表达见文献[13]。

2 动态面自抗扰控制器设计

常规的自抗扰控制器中的扩张状态观测器扰动估计能力不足，非线性状态误差反馈控制率的控制效率与稳定性较低，为此，本文主要对传统的扩张状态观测器与非线性状态误差反馈控制率进行改进。

2.1 动态面扩张状态观测器的设计

引起常规扩张状态观测器扰动估计能力不足的原因是其采取了在分段点 ± δ 处不光滑可导的连续分段函数 $fal\left( {e,a,\delta } \right)$ ，使系统输出易产生振荡现象^[14]。针对这一问题，目前已有的改进方法主要集中在构造连续光滑函数来代替 $fal\left( {e,a,\delta } \right)$ 。本文将有别于现有方法，不再采用替换非线性函数的常规思路，考虑将动态面控制思想引入扩张状态观测器。

为彻底消除非线性函数的影响，须对式（6）进行等价变形，即

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\dot z}_1} = {z_2}}\text{，}\\{{{\dot z}_2} = {z_3} + {b_0}u}\text{，}\\{{{\dot z}_3} = - {f_3} - {{\dot f}_2} - {{\ddot f}_1}}\text{。}\end{array}} \right.$

(8)

式中： ${f_3} = {\beta _{03}}fal\left( {e,{a_2},\delta } \right)$ ； ${f_2} = {\beta _{02}}fal\left( {e,{a_1},\delta } \right)$ ； ${f_1} = {\beta _{01}}e$ 。引入动态面控制律 $\bar u$ 来代替 $ - {f_3} - {\dot f_2} - {\ddot f_1}$ ，即 ${\dot z_3} = \bar u$ 。

1）定义系统（8）的第 1 个子系统 ${\dot z_1} = {z_2}$ 的动态面方程为

${S_1} = {z_1} - {x_1}\text{，}$

(9)

则对 S₁ 求导可得：

${\dot S_1} = {z_2} - {x_2}\text{，}$

(10)

进而有虚拟控制律

${\bar u_1} = - {k_1}{S_1} + {x_2}\text{。}$

(11)

使 ${\bar u_1}$ 通过 1 个一阶低通滤波器，以避免对其多次微分，可得 x_1d，即

${\tau _1}{\dot x_{1d}} + {x_{1d}} = {\bar u_1}\text{。}$

(12)

2）第 2 个子系统 ${\dot z_2} = {z_3} + {b_0}u$ 的动态面方程为：

${S_2} = {z_2} - {x_{1d}}\text{，}$

(13)

对 S₂ 求导得：

${\dot S_2} = {z_3} + {b_0}u - {x_{1d}}\text{，}$

(14)

虚拟控制律：

${\bar u_2} = - {k_2}{S_2} - {b_0}u + {\dot x_{1d}}\text{。}$

(15)

同样，使 ${\bar u_2}$ 通过 1 个一阶低通滤波器，以免多次微分，可得 x_2d，即

${\tau _2}{\dot x_{2d}} + {x_{2d}} = {\bar u_2}\text{，}$

(16)

3）第 3 个子系统 ${\dot z_3} = \bar u$ 的动态面方程为：

${S_3} = {z_3} - {x_{2d}}\text{，}$

(17)

对 S₃ 求导得

${\dot S_3} = \bar u - {\dot x_{2d}}\text{，}$

(18)

最终的实际控制律为

$\bar u = - {k_3}{S_3} + {\dot x_{2d}}\text{，}$

(19)

其中：k₁，k₂，k₃，τ₁，τ₂ 为可调参数，且 τ₁ ＞ 0，τ₂ ＞ 0。

稳定性证明如下：

定义 ${\zeta _i} = - {\tau _i}{\dot x_{id}}$ ，i = 1，2，则由式（9）和式（13）得

${\dot S_1} = {S_2} + {x_{1d}} - {x_2}\text{，}$

(20)

根据式（11）和式（12）得：

${\dot S_1} = {S_2} + {\zeta _1} - {k_1}{S_1}\text{，}$

(21)

同理有

$\begin{array}{l}{{\dot S}_2} = {S_3} + {\zeta _2} - {k_2}{S_2}\text{，}\\[5pt]{{\dot S}_3} = - {k_3}{S_3}\text{。}\end{array}$

(22)

由式（10）～式（12）及式（14）～式（16）得：

$\begin{array}{c}{{\dot \zeta }_1} = {{\dot x}_{1d}} + {k_1}{{\dot S}_1} - {{\ddot x}_1} = - \displaystyle\frac{{{\zeta _1}}}{{{\tau _1}}} + {g_1}\text{，}\end{array}$

(23)

$\begin{array}{c}{{\dot \zeta }_2} = {{\dot x}_{2d}} + {k_2}{{\dot S}_2} + {b_0}\displaystyle\frac{{\partial u}}{{\partial {x_2}}}{{\dot x}_2} + \displaystyle\frac{{{\zeta _1}}}{{{\tau _1}}} = - \displaystyle\frac{{{\zeta _2}}}{{{\tau _2}}} + {g_2}\text{，}\end{array}$

(24)

其中 ${g_1} = {k_1}{\dot S_1} - {\ddot x_1}$ 和 ${g_2} = {k_2}{\dot S_2} + {b_0}\frac{{\partial u}}{{\partial {x_2}}}{\dot x_2} + \frac{{{\zeta _1}}}{{{\tau _1}}}$ 为连续光滑函数。

定义：

$\begin{aligned}& {V_{is}} = \frac{{S_i^2}}{2},i = 1,2,3\text{，}\\& {V_{i\zeta }} = \frac{{\zeta _i^2}}{2},i = 1,2\text{，}\end{aligned}$

(25)

根据式（22）～式（24）得：

$\left\{ {\begin{aligned}& {{{\dot V}_{is}} = {S_i}({S_{i + 1}} + {\zeta _i} - {k_i}{S_i})=}\\& \;\;\;\;\;\;{ - {k_i}S_i^2 + {S_i}{S_{i + 1}} + {S_i}{\zeta _i},i = 1,2}\text{，}\\& {{{\dot V}_{3s}} = - {k_3}S_3^2}\text{，}\\& {{{\dot V}_{i\zeta }} = - \frac{{\zeta _i^2}}{{{\tau _i}}} + {\zeta _i}{g_i},i = 1,2}\text{，}\end{aligned}} \right.$

(26)

定义 Lyapunov 函数

$V = \sum\limits_{i = 1}^3 {{V_{is}}} + \sum\limits_{j = 1}^2 {{V_{j\zeta }}} \text{。}$

(27)

由系统（4）知 ${x_1},{\dot x_1},{\ddot x_1}$ 均连续，此时假设 $S_1^2 + \zeta _1^2 + S_2^2 + \zeta _2^2 + S_3^2 \leqslant 2p$ ，p 为任意正数，g_i 的最大值设为 g_imax，令 ${k_i} = 2 + {\alpha _0}$ ，同时设定 τ_i 满足 $1/{\tau _i} = 1 + (g_{i\max }^2/2\varepsilon ) + {\alpha _0}$ ，则有：

$\begin{aligned}& \dot V \leqslant - (2 + {\alpha _0})\sum\limits_{i = 1}^3 {S_i^2} + \sum\limits_{i = 1}^2 {[\frac{{2S_i^2 + S_{i + 1}^2 + \zeta _i^2}}{2}} - \\& (1 + \frac{{g_{i\max }^2}}{{2\varepsilon }} + {\alpha _0})\zeta _i^2 + \frac{{g_{i\max }^2\zeta _i^2}}{{2\varepsilon }}\frac{{g_i^2}}{{g_{i\max }^2}}] + \varepsilon \leqslant - 2{\alpha _0}V + 2\varepsilon\text{。} \end{aligned}$

(28)

当 $V = p$ ， ${\alpha _0} > \varepsilon /p$ 时，有 $\dot V < 0$ 。即只要参数 k₁，k₂，k₃，τ₁，τ₂ 选择适当，系统收敛。

2.2 动态面非线性状态误差反馈控制律的设计

对于式（4）中的二阶系统，结合跟踪微分器的输出 v₁，v₂，可得动态面非线性状态误差反馈控制律如下：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{S_4} = y - {v_1}}\text{，}\\{{{\bar u}_3} = - {k_4}{S_4} + {v_2}}\text{，}\\{{\tau _3}{{\dot x}_{3d}} + {x_{3d}} = {{\bar u}_3}}\text{，}\\{{S_5} = {x_2} - {x_{3d}}}\text{，}\\{{u_0} = - {k_5}{S_5} - f({x_1},{x_2},t) - \omega (t) + {{\dot x}_{3d}}}\text{，}\\{u = {u_0} - {z_3}/{b_0}}\text{。}\end{array}} \right.$

(29)

式中：S₄，S₅ 为动态面方程； ${\bar u_3}$ 为虚拟控制律；τ₃，k₄，k₅ 为可调参数且 τ₃ ＞ 0。上式的给出过程与稳定性证明与 2.1 节相似。

由以上分析可知，二阶动态面自抗扰控制器结构如图 1 所示。

3 仿真实验

以某半潜式海洋平台作为控制对象，进行仿真实验。该控制对象参数为：长 114.07 m，宽 78.68 m，排水量 51 624 t，吃水深度 19 m^[15]。根据文献[12]的计算公式，可得该平台的质量矩阵和阻尼矩阵分别为：

$\begin{array}{l}{M} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{6.74 \times {{10}^7}} & 0 & 0 \\0 & {9.15 \times {{10}^7}} & { - 0.608 \times {{10}^7}}\\0 & { - 0.608 \times {{10}^7}} & {1.08 \times {{10}^{11}}}\end{array}} \right]\text{，}\\[6pt]{D} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{6.76 \times {{10}^5}} & 0 & 0 \\0 & {5.319 \times {{10}^5}} & { - 1.56 \times {{10}^5}}\\0 & { - 1.56 \times {{10}^5}} & {1.7313 \times {{10}^9}}\end{array}} \right]\text{。}\end{array}$

环境干扰设定为：平均风速 v_wind = 15 m/s，风向 γ_wind = 60°，考虑波浪由风引起，故γ_wave = 60°，流速v_current = 1 m/s，流向 γ_current = 45°。平台初始位置为 ${\eta }(0) \!=\! \left[ \!\!{\begin{array}{*{20}{c}} {0m} \!\!\! & \!\!\! {0m}\!\!\! & \!\!\! {0^\circ } \end{array}} \!\!\! \right]$ ，期望位置为 ${{\eta }_d} \!\!=\!\! \left[ \!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {15m} \!\!\! & \!\!\! {10m} \!\!\! & \!\!\!{12^\circ } \end{array}} \!\! \right]$ 。

在实验条件相同的前提下，本文采用典型的自抗扰与动态面自抗扰 2 种控制策略分别进行控制。对纵荡、横荡、首摇 3 个方向分别设计动力定位控制器并设置控制器参数为：

${T} \!=\! \left[ \!\!{\begin{array}{*{20}{c}} {0.1} \!\!\! & \!\!\!\!\! {0.1} \!\!\!\!\! & \!\!\! {0.1} \end{array}} \!\!\!\!\right]\text{，}$ ${r} \!\!= \!\!\left[ \!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {100} \!\!\! & \!\!\! {100}\!\!\! & \!\!\!{100} \end{array}} \!\!\!\right]\text{，}$ ${h} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {10} & {10} & {10} \end{array}} \right]\text{，}$ ${{\tau }_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.25} & {0.25} & {0.05} \end{array}} \right]\text{，}$ ${{\tau }_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.25} & {0.25} & {0.05} \end{array}} \right]\text{，}$ ${{\tau }_3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.1} & {0.1} & {0.1} \end{array}} \right]\text{，}$ ${{k}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.5} & {0.5} & {0.2} \end{array}} \right]\text{，}$ ${{k}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.5} & {0.5} & {0.2} \end{array}} \right]\text{，}$ ${{k}_3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 1 & 5 \end{array}} \right]\text{，}$ ${{k}_4} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {10} & {10} & {0.2} \end{array}} \right]\text{，}$ ${{k}_5} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & 2 \end{array}} \right]\text{，}$ ${{b}_0} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 1 & 1 \end{array}} \right]\text{。}$

仿真结果如图 2～图 5 所示。

图 2和图 3 分别为 ADRC 与 DS-ADRC 的系统总扰动及估计曲线，图 4 为 ADRC 与 DS-ADRC 的控制输出曲线，图 5 为 ADRC 与 DS-ADRC 的位置响应曲线。

从图 2和图 3 可看出，DS-ADRC 观测出的总扰动与真实值之间除了在零点处出现一些瞬时误差之外，其余各处基本一致，误差明显较 ADRC 小，说明其对扰动的估计能力强于 ADRC。图 4 表明，DS-ADRC 的控制输出波动范围较 ADRC 小，且变化更为平稳，能更快的趋于稳定。说明在 DS-ADRC 作用下的系统抗扰能力和鲁棒性有所提高。从图 5 可看出，2 种控制器均能使输出最终跟踪上设定值，但 DS-ADRC 比 ADRC 更快地稳定于设定值，并且无超调。表明 DS-ADRC 的控制品质与响应特性优于典型的 ADRC。

4 结　语

本文在半潜式海洋平台动力定位领域内，以非线性自抗扰控制器为基础，通过引入动态面控制思想对扩张状态观测器和非线性状态误差反馈控制律进行改造，设计出二阶动态面自抗扰动力定位控制器，便于工程实现。仿真结果表明其对扰动的估计能力明显增强，系统的抗扰能力与鲁棒性得到提高，同时其控制品质及响应特性较为优良。改进后的控制器具有较好的控制性能，并实现了动态面自抗扰控制技术在动力定位问题上的应用。