0 引　言

在当代高科技形势下的局部战争中，快速有效地识别出水面敌我舰船的型号，对军事指挥者实时掌握敌方军事部署、快速做出战争决策具有非常重要的参考价值。目标典型特征的有效提取是模式识别的先决条件。不同类型的舰船具有特异的外形特征，因此可利用舰船的形状、角点及边缘等特征识别具体型号。然而在实际成像过程中，拍摄距离和舰船姿态不同，使得图像中舰船目标的大小、旋转角度和位置等发生了无序改变。因此，描述舰船目标的特征需要具有旋转、尺度和平移（rotation，scale and translation，RST）不变性^[1]。在Hu提出几何矩并利用代数不变性理论导出7个不变矩后，基于矩不变量的目标识别得到了广泛关注^[2]。针对舰船型号识别，目前常用方法有Hu矩、Zernike矩和小波矩等。Hu不变矩的核函数是非正交多项式，利用其计算出的目标特征含有冗余信息，且随着矩阶数的增加，它的计算复杂度也随之增加；在提取Zernike矩时需要将图像坐标空间映射到单位圆内，且将连续Zernike多项式离散化处理后其正交性得不到保证^[1]。此外，Zernike矩与Hu矩一样，是在整个图像空间中计算出的，得到的是全局特征，容易受到噪声干扰，并且不容易区分形状相似的物体^[3]。

为了克服以上缺点，D.Shen等^[4]将小波多尺度分析与不变矩相结合，提出了小波矩的概念。小波矩结合了小波多尺度分析与不变矩的优点，即能同时得到图像的全局特征和局部特征，因而在识别相似形状的物体时有更高的识别率。然而，小波矩优良的局部分析能力是以大量复杂计算量为代价，限制它的应用。一方面，根据图像的小波系数能量分布采用各异的尺度和平移因子可以显著降低小波距的计算复杂度；另一方面仿射不变矩较好地解决了目标形变的情况，与不同特征指标联合能适应目标平移、旋转、尺度缩放等多种情况，有效提高目标的识别精度^[5-8]。

图像分类方法有很多，传统的分类方法在处理小样本问题时一方面容易出现过学习现象，导致算法的推广性差；另一方面学习的性能差，处理非线性问题算法复杂^[9]。而统计学习理论是一种专门的小样本统计理论，基于统计学习理论的支持向量机技术是一种新的模型识别方法，能够较好解决小样本学习问题，而且实现简单，训练算法时间短，识别率稳定^[10]。

因此，本文构造一种基于小波和仿射不变矩特征融合的小样本舰船型号识别算法，采用均值与标准差的比值作为特征评价函数，从多维特征中选择出鲁棒性好、稳定性高的特征向量，再将归一化的组合特征向量输入支持向量机进行训练和识别，进而得到较高的识别率。该方法有效结合小波矩和仿射不变矩各自的优势，充分发挥小波矩对相似结构的区分能力和仿射不变矩对仿射形变图像的辨别能力，从而提高舰船型号的识别率。

1 不变矩 1.1 小波矩

设某一连续灰度图像函数为 $f\left( {x,y} \right)$ ，则该图像在笛卡尔坐标下的标准矩为：

${M_{p.q}} = \iint {{x^p}{y^q}f\left( {x,y} \right){\rm d}x{\rm d}y} {\text{。}}$

(1)

由直角坐标和极坐标的转换关系： $x = r\cos \theta $ ，y = $ r\sin \theta $ ，可把式（1）从直角坐标系转换到极坐标系，进而得到具有旋转不变性的矩特征表达式：

F_p,q = $ \int {{S_q}\left( r \right){g_p}\left( r \right)r{\rm d}r} $ ，

${F_{p,q}} = \iint {f\left( {r,\theta } \right){g_p}\left( r \right){e^{ - jq\theta }}r{\rm d}r{\rm d}\theta } {\text{。}}$

(2)

式中： ${F_{p,q}}$ 为p+q阶矩； ${g_p}\left( r \right)$ 为变换核的径向分量； ${e^{ - jq\theta }}$ 为变换核的角度分量，且p，q均为整数。记 ${F_{p,q}}$ 的模为 $\left\| {{F_{p,q}}} \right\|$ ，若原图像 $f\left( {r,\theta } \right)$ 旋转了β角度，可证得 $\left\| {{F_{p,q}}} \right\|$ 值不变，即 $\left\| {{F_{p,q}}} \right\|$ 具有旋转不变性。

为了把二维图像的特征提取简化为一维图像的特征提取，令

${S_q}\left( r \right) = \int {f\left( {r,\theta } \right)} {e^{ - jq\theta }}{\rm d}\theta ,$

(3)

则式（2）可改写成

${F_{p,q}} = \int {{S_q}\left( r \right){g_p}\left( r \right)r{\rm d}r}{\text{。}} $

(4)

从式（4）可看出，若 ${g_p}\left( r \right)$ 定义在变量r的整个定义域[0，1]内，则 ${F_{p,q}}$ 提取图像的全局特征，否则提取局部特征。

所谓图像的小波矩，就是用径向小波基函数代替径向核函数 ${g_p}\left( r \right)$ ，则可得到图像的小波矩 ${F_{m,n,q}}$ 为

${F_{m,n,q}} = \int {{S_q}\left( r \right)} {\psi _{m,n}}\left( r \right)r{\rm d}r{\text{。}}$

(5)

其中：m为尺度因子；n为平移因子。选择不同的m和n值，即可得到图像在不同尺度和位置上的局部特征。

1.2 仿射不变矩

仿射变换是一类重要的线性变换。假定二维空间中任意曲线 $\left( {x,y} \right)$ ，经仿射变换后的曲线变为 $\left( {x',y'} \right)$ ，则仿射变换为：

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x'}\\{y'}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}} & {{a_{12}}}\\{{a_{21}}} & {{a_{22}}}\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}\\{{b_2}}\end{array}} \right] = { A}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}x\\y\end{array}} \right] + B{\text{。}}$

(6)

式中：A为仿射矩阵，且必须满足非奇异条件，该二维方阵包含了旋转、尺度、伸缩和扭曲变换；B为平移参数。

任意的矩函数如果在平移、旋转、尺度、伸缩和扭曲等变换下保持不变的话，那么它具有仿射不变性，称之为仿射不变矩。设图像仿射变换后的中心变为：

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\bar x'}\\{\bar y'}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}} & {{a_{12}}}\\{{a_{21}}} & {{a_{22}}}\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\bar x}\\{\bar y}\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}\\{{b_2}}\end{array}} \right]{\text{。}}$

(7)

式（6）和式（7）作差可将平移参数B抵消。采用图像中心矩来构造仿射不变矩，构造仿射不变矩就是构建关于 $\left( {p + q} \right)$ 阶中心矩 ${u_{p,q}}$ 的多项式，抵消仿射变换矩阵A，从而消除旋转、尺度、伸缩和扭曲变换造成的图像变形。

仿射不变矩函数式的构造有很多方法，本文采用Flusser在文献[11]构造的6维仿射不变矩，其公式如下：

$\begin{split} {I_1} \!= & {{\left( {{u_{20}}{u_{02}} - u_{11}^2} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{u_{20}}{u_{02}} - u_{11}^2} \right)} {u_{00}^4}}} \right.} {u_{00}^4}},\\ {I_2} \!=& {{\left( {u_{30}^2u_{03}^2 - 6{u_{30}}{u_{21}}{u_{03}} + 4{u_{30}}u_{12}^3 \!+\! 4u_{21}^3{u_{03}} \!- \! 3u_{21}^2u_{12}^2} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {u_{30}^2u_{03}^2 - 6{u_{30}}{u_{21}}{u_{03}} + 4{u_{30}}u_{12}^3 \!+\! 4u_{21}^3{u_{03}} - 3u_{21}^2u_{12}^2} \right)} {u_{00}^{10}}}} \right.} {u_{00}^{10}}},\\ {I_3} \!= & \left[ {{u_{20}}\left( {{u_{21}}{u_{03}} - u_{12}^2} \right) - {u_{11}}\left( {{u_{30}}{u_{03}} - {u_{21}}{u_{12}}} \right) + } \right.\\& {{\left. {{u_{02}}\left( {{u_{30}}{u_{12}} - u_{21}^2} \right)} \right]} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left. {{u_{02}}\left( {{u_{30}}{u_{12}} - u_{21}^2} \right)} \right]} {u_{00}^7}}} \right. } {u_{00}^7}},\\ {I_4} \!= & (u_{20}^3u_{03}^2 - 6u_{20}^2{u_{11}}{u_{12}}{u_{03}} - 6u_{20}^2{u_{02}}{u_{21}}{u_{03}} + 9u_{20}^2{u_{02}}u_{12}^2 + \\& 12{u_{20}}u_{11}^2{u_{21}}{u_{03}} \!+\! 6{u_{20}}{u_{11}}{u_{02}}{u_{30}}{u_{03}} \!-\! 18{u_{20}}{u_{11}}{u_{02}}{u_{21}}{u_{12}} \!- \\& 8u_{11}^3{u_{30}}{u_{03}} \!\!-\!\! 6{u_{20}}u_{02}^2{u_{30}}{u_{12}} \!\!+\!\! 9{u_{20}}u_{02}^2u_{21}^2 \!\!+\!\! 12u_{11}^2{u_{02}}{u_{30}}{u_{12}} \!-\\& 6{u_{11}}u_{02}^2{u_{30}}{u_{12}} + u_{02}^3u_{30}^2)/u_{00}^{11},\\ {I_5} \!= & {{\left( {{u_{40}}{u_{04}} - 4{u_{13}}{u_{31}} + 3u_{22}^2} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{u_{40}}{u_{04}} - 4{u_{13}}{u_{31}} + 3u_{22}^2} \right)} {u_{00}^6}}} \right. } {u_{00}^6}},\\{I_6} \!= & \left( {u_{40}}{u_{04}}{u_{22}} + 2{u_{31}}{u_{22}}{u_{13}} - 4{u_{40}}u_{13}^2 \right.\\& \left.- 4{u_{04}}u_{31}^2 - u_{22}^3 \right) \Big/{u_{00}^9}{\text{。}}\end{split}$

(8)

2 特征向量的建立 2.1 特征提取

一般矩不变量具有旋转不变性，为了使它同时具有平移和比例不变性，在计算图像的矩特征之前先要对图像进行归一化处理。特征提取的具体步骤如下：

1）图像归一化。因图像的重心具有平移和比例不变性，所以解决平移问题的方法是计算图像 $f\left( {x,y} \right)$ 的重心坐标（ $\bar x$ ， $\bar y$ ）；解决比例缩放问题的方法是定义缩放因子τ为图像尺寸与标准尺寸的比值。根据像素点相对于重心的距离做归一化，从而改变坐标以获取平移和缩放的标准图像：

${f_{normal}}\left( {x,y} \right) = f\left( {\frac{{x - \bar x}}{\tau },\frac{{y - \bar y}}{\tau }} \right){\text{。}}$

(9)

2）提取六维仿射不变矩。首先对 $\left( {p + q} \right)$ 阶中心矩 ${u_{p,q}}$ 进行归一化，然后再将其代入式（8）。由于不同阶的不变矩数值分布范围非常大，为了调整其取值范围，对6个特征值取对数。

3）极坐标转换。将图像转换到极坐标空间中，得到极坐标下的图像 ${f_{normal}}\left( {r,\theta } \right)$ 。

4）图像离散化。假设图像的尺寸为N×N，选取适当的角度间隔 $\Delta \theta = \displaystyle\frac{{2\pi }}{N}$ ，则角度积分变为：

${S_q}\left( r \right) = \frac{1}{N}\sum\limits_{m = 0}^{N - 1} {{f_{normal}}\left( {r,m} \right){e^{ - j2\pi mq/N}}} ,q = 0,1,...N{\text{。}}$

(10)

将得到的 ${S_q}\left( r \right)$ 利用三次B样条小波函数在径向区域（0≤r≤1）内提取小波特征，得到的小波矩特征量为

$ \left\| {{F_{m,n,q}}} \right\| = \left\| {\frac{1}{N}\sum\limits_{r = 0}^1 {\sum\limits_{m = 0}^{N - 1} {{f_{normal}}\left( {r,m} \right){e^{ - j2\pi mq/N}}{\psi _{m,n}}\left( r \right)r} } } \right\|, \!\!$

(11)

${\psi _{m,n}}\left( r \right) = \frac{{4{a^{\tau + 1}}}}{{\sqrt {2\pi \left( {\tau + 1} \right)} }}{\sigma _\omega }\cos \left( {2\pi {f_0}\left( {2r - 1} \right)} \right){e^{\left( { - \frac{{{{\left( {2r - 1} \right)}^2}}}{{2\sigma _\omega ^2\left( {\tau + 1} \right)}}} \right)}}{\text{。}}$

(12)

式中，τ为B样条小波的阶次，τ=3；f₀为调制系数，令f₀=0.409 177； $\sigma _\omega ^2$ 为离差量，令 $\sigma _\omega ^2 = 0.561\;145$ ；a为常量，令a=0.697 066。通过尺度因子m和平移因子n的不断更新，小波函数 ${\psi _{m,n}}\left( r \right)$ 可以遍历整个相位空间。

2.2 特征选择

如果将特征直接进行组合，则特征维数较多，数据量较大，会影响舰船识别的时间和精度。特征选择的目的是选择鲁棒性好、稳定性高的特征向量^[7]。本文采用均值与标准差的比值作为特征评价函数，用符号表示为μ/σ。若μ/σ值越小，即不同类型舰船的特征值之间的差异越大，则该特征稳定性能越好；反之，该特征稳定性能越差。

然而，如果采用随机算法依次将每个特征遍历筛选，那么运算量相当巨大，时间上无法承受^[7]。所以本文采用μ/σ的总均值J作为特征选择标准，保留评价函数值低于J的特征，舍弃评价函数值高于J的特征。J的计算公式如下：

$J = \sum\limits_{i = 1}^N {\frac{{{\mu _i}}}{{N{\sigma _i}}}} {\text{。}}$

(13)

表1所示是依次选取5幅、10幅舰船训练样本，然后分别使用式（11）提取小波矩数据，其中F₀₀₀～F₂₀₂表示不同尺度因子和平移因子在相位空间[0，2π]中的不同频率分量特征。第2列和第3列的数据分别代表不同图像数量下小波矩的均值，最后一列数据表示从这15幅图像中小波矩的均值与标准差的比值，即μ/σ。与表1类似，表2提取的是仿射不变矩数据，其中I₁～I₆表示不同阶数的矩。

为方便后续特征选择，先将表1和表2中最后一列的实验数据分别按从小到大的顺序进行排序，即按小波矩和仿射不变矩的特征性能从优到差的顺序排序，排序结果分别为：

$\begin{aligned}& \left( {{I_6},{I_3},{I_4},{I_2},{I_5},{I_1}} \right),\\[3pt]& \left( {{F_{220}},{F_{002}},{F_{202}},{F_{200}},{F_{210}},{F_{000}},{F_{100}},{F_{010}},{F_{110}}} \right),\end{aligned}$

再将表1和表2中最后一列的实验数据代入式（13）中，分别计算出小波矩和仿射不变矩的特征评价函数的总均值J₁=20.748 3，J₂=21.889 7。最后将表1和表2中各个特征的μ/σ分别与总均值J₁和J₂进行比较，得到选择后的特征如下：

$\begin{aligned}& \left( {{F_{220}},{F_{002}},{F_{202}},{F_{200}}} \right),\\[3pt]& \left( {{I_6},{I_3},{I_4},{I_2}} \right){\text{。}}\end{aligned}$

2.3 特征融合

若将选择后的小波矩和仿射不变矩直接组合在一起，得到一组合特征W，由于2种不同的特征之间存在差异，这会影响特征的鲁棒性和准确性。其中，组合特征的结果如下：

$W = \left( {{F_{220}},{F_{002}},{F_{202}},{F_{200}},{I_6},{I_3},{I_4},{I_2}} \right){\text{。}}$

为消除组合特征之间的差异度，需要对组合特征W进行归一化处理，从而实现不同特征的融合。其中，归一化的公式如下^[7]：

$W = \frac{{{W_i} - \min \left( W \right)}}{{\max \left( W \right) - \min \left( W \right)}}{\text{。}}$

(14)

最后，将组合特征W代入式（14）进行归一化，进而实现特征融合。

3 基于组合矩特征的舰船型号识别

与传统统计学相比，统计学习理论是一种专门研究小样本情况下机器学习规律的理论，它克服了神经网络分类和传统统计分类方法的许多缺点，具有较高的泛化性能^[9]。支持向量机作为一种基于统计学习理论的机器学习方法，它不仅具有优秀的小样本学习能力，而且较好地解决了非线性、高维度、局部极小值等问题^[9]。SVM算法流程如图1所示。

SVM做分类预测时需要调节相关的参数（主要是惩罚参数c和核函数参数g）才能得到比较理想的预测分类准确率^[12]。本文采用启发式算法的参数寻优——遗传算法（GA）参数寻优，其优化算法流程如图2所示。

这里，选择RBF核函数作为SVM的核函数^[12]；由于SVM的性能受惩罚因子c和RBF参数g影响，所以采用遗传算法优化c和g。设置遗传算法的种群大小N=20，遗传代数G=100，交叉概率P_c=0.4，变异概率P_m=0.01，由于GA的适应度函数是在交叉验证意义下的准确率，所以设置交叉验证的参数v=3。

4 实验仿真与结果分析 4.1 样本构造

采用5种舰船进行实验，其图像如图3所示。先经过分割和二值化操作得到5类舰船的二值图像，再利用Matlab对二值图像进行旋转、平移、比例缩放和错切综合变换，原始图像的大小为128×128。每种舰船共20幅图像，5种舰船共100幅样本，根据实验要求将100幅样本划分为训练样本集和测试样本集。

4.2 实验仿真与结果分析

采用“一对一（one-versus-one）”方法设计SVM来处理多分类问题，因此利用LibSVM工具箱完成实验所有分类任务。

实验1：对同一目标从不同拍摄角度进行拍摄，如图4所示。分别提取它们的组合矩，其组合特征见表3。

对于同一目标的不同视角图像，由表3可知，小波矩的参数也会相应发生变化，但仿射不变矩对这种目标形变不敏感，因此采用小波矩与仿射不变矩组合成新的特征向量来进行图像目标特征提取，可提高识别的精度。

实验2：比较小波矩、仿射不变矩和本文的组合矩对识别精度的影响。在每种舰船的10幅样本中随机选择10幅作为训练集，训练集中共有50个样本，剩余的50个样本作为测试集，分别采用小波矩、仿射不变矩和组合矩提取目标特征，利用LibSVM进行分类，实验的识别准确率见表4。

实验结果表明，小波矩的识别率较低，组合矩比小波矩和仿射不变矩有更好的识别精度。

实验3：样本图像库与实验2相同，改变训练集中样本大小，观察训练集较小时对识别效果的影响。分别从每种舰船样本集中随机选择5，6，7，8，9和10个样本放入训练集中，即训练集样本数为25，30，35，40，45和50；剩余的样本作为测试集。采用小波矩和仿射不变矩结合的方法提取样本特征，利用SVM对样本进行训练和分类，其识别率如图5所示。

在训练样本较小时，对舰船目标的形状特征描述不够准确，因此识别率较低；随着训练样本的增大，对不同类型舰船的描述越来越准确，类与类之间的分界越来越精确，因此识别率呈上升趋势。从图5可以看出，在训练样本集大小为25，测试样本为75时，采用小波矩的方法只能得到80%的识别率，仿射不变矩也仅能正确识别出85.33%的舰船目标，而本文方法仍能获得88%识别精度；在训练样本集大小从25增加到50时，组合矩的识别率波动也比小波矩和仿射不变矩小。这表明，在训练样本较小时，组合矩仍能获得很好的识别效果，且识别效果比较稳定。

实验4：讨论SVM不同参数（c&g）设置对分类结果的影响。根据GA的最优解确定c、g的变化范围，令c在[70，130]间以20为单位变化，g在[0，1.5]间以0.3为单位变化。如表5所示，其中横向坐标为g值变化，纵向坐标为c值变化，表格数据项为识别准确率。

实验结果表明，当g=0时，识别率接近于0，此时处于过学习状态，SVM几乎没有学习推广能力，这说明神经网络等传统学习方法的经验风险最小化原则不能保证好的推广能力。随着g增大，识别率迅速提高，说明SVM的推广能力在增强。当g达到某个值后，识别率又开始降低，这说明RBF和SVM的学习推广能力随g增大经历了低高低的变化过程，而惩罚因子c对识别率的影响相对较小。此外，当c=110，g=0.9时识别率达到最大值96%，这正是GA得到的最优解。

5 结　语

本文针对仅采用单一的小波矩目标提取方法，对因拍摄视角问题产生变形的目标识别率不高等问题，提出了利用小波矩和仿射不变矩特征融合的新的矩特征来提取目标特征的方法。该方法利用特征均值与标准差的比值选择出鲁棒性好、稳定性高的特征向量，并通过归一化的方法消除2种不同特征之间的差异度，从而实现特征的融合。同时，它有效结合了小波矩和仿射不变矩各自的优势，充分发挥了小波矩对形状相似目标的区分能力和仿射不变矩对仿射形变目标的辨别能力，使得目标的正确识别率大大提高。实验结果表明，本文所采用的方法比小波矩和仿射不变矩具有更高的识别准确率，在目标处于不同的拍摄角度和小样本下仍能获得较高的识别精度，并且表现比较稳定。因此，本文方法对舰船型号具有很好的识别效果。