0 引　言

随着SAR在海洋上的应用越来越广泛，SAR图像自动目标识别（Automatic Target Recognition，ATR）技术成为目前的热门研究方向。国内外对SAR ATR展开了广泛深入的研究。比较著名的如林肯实验室开发的基于模板的ATR系统^[1]，以及DARPA和AFRL共同资助的基于模型的MSTAR ATR系统等，它们通常将目标识别系统分为检测、鉴别和分类3个阶段^{[2 – 3]}。SAR图像特征提取是识别中的关键环节^[4]。如何有效地提取出目标特征就显得尤为重要。

本文采用核主成分分析（KPCA）^{[5 – 6]}与核Fisher判别分析（KFDA）^{[7 – 8]}相结合的方法，利用KPCA准则进行非线性特征提取，降低样本数据的维数，提取有利于分类的特征，然后将结合核Fisher判别分析法对降维后的样本数据进行分类，并通过实验证明本文方法的有效性。

1 理论与算法 1.1 核主成分分析

经典的主成分分析^{[9 – 10]}是一种线性算法，因此不能提取数据中的非线性结构特征，而在实际问题中非线性特征却广泛存在着。核主成分分析通过非线性变换将输入数据映射到高维特征空间，在高维空间中应用PCA方法进行分析。

设样本集 $X = \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_M}\} $ ，其中 ${x_k} \in {{{R}}^N}$ ，M为样本总数。设Φ是一个非线性映射，对应的高维空间映射形式为 ${x_k} \to \varPhi ({x_k})$ ，且满足 $\sum\limits_{k = 1}^M {\varPhi ({x_k})} = 0$ ，则该空间中的协方差矩阵为：

${{C}} = \frac{1}{M}\sum\limits_{j = 1}^M {\varPhi ({x_j})\varPhi {{({x_j})}^{\rm T}}}, $

(1)

对应的特征方程为：

$\lambda \nu = {{C}}\nu, $

(2)

其中v是高维空间中λ对应的特征向量。式（2）两边同时乘上 $\varPhi ({x_k})$ 有

$\lambda (\varPhi ({x_k})\nu ) = (\varPhi ({x_k})C\nu ),$

(3)

并且存在系数 ${{{\alpha }}_i}$ ，使

$\nu = \sum\limits_{i = 1}^M {{{{\alpha }}_i}\varPhi ({x_i})}, $

(4)

定义核矩阵

${{\mathop{ K}\nolimits} _{ij}} = k({x_i},{x_j}) = (\varPhi ({x_i}) \cdot \varPhi ({x_j})),$

(5)

式中： $i,j = 1,2,\; \cdots ,M$ ，k为核函数。

综合以上各式得

$M\lambda {{\alpha }} = {\mathop{ K}\nolimits} {{\alpha }},$

(6)

式中： $M\lambda $ 为K的特征值， ${{\alpha }} = {[{\alpha _1},{\alpha _2}, \cdots {\alpha _M}]^{\rm T}}$ 为相应的特征向量。对于样本在特征空间 ${V^r}$ 的投影为

$({\nu ^r}\varPhi (x)) = \sum\limits_{i = 1}^M {{{({{{\alpha }}_i})}^r}(\varPhi ({x_i}) \cdot \varPhi (x))}, $

(7)

用核函数代替内积

$({\nu ^r} \cdot \varPhi (x)) = \sum\limits_{i = 1}^M {{{({{{\alpha }}_i})}^r}{\mathop{\rm K}\nolimits} ({x_i},x)}{\text{。}} $

(8)

求解核矩阵K的特征值和特征向量。对求得的特征值进行降序排序，并对特征向量进行相应调整，对特征向量进行归一化得到 ${\alpha _1},{\alpha _2}, \cdots {\alpha _n}$ 。计算特征值累计贡献率 ${B_1},{B_2}, \cdots {B_n}$ ，设定提取效率p，如果 ${B_T} \geqslant p$ ，则提取t个主成分 ${\alpha _1},{\alpha _2}, \cdots {\alpha _t}$ 。计算样本X在提取的特征向量上的投影 ${\mathop{ Y}\nolimits} = { K} \cdot {{\alpha }}$ ，其中 ${{\alpha }} = ({\alpha _1},{\alpha _2}, \cdots {\alpha _t})$ 。投影Y即为原始数据经过KPCA降维后的数据。

1.2 核Fisher判别分析

类似于KPCA思想，核Fisher判别分析把数据非线性映射到高维特征空间，然后在特征空间中进行Fisher判别。

设Φ是一个非线性映射，对应特征空间为F，样本集合 $\{ {x_1},{x_2}, \cdots {x_N}\} $ 映射到空间F中的集合为 $\{ \varPhi ({x_1}), $ $\varPhi ({x_2}), \cdots \varPhi ({x_N})\} $ 。则F空间中第i类样本的均值为

${{m}}_i^\varPhi = \frac{1}{{{l_i}}}\sum\limits_{j = 1}^{{l_i}} {\varPhi (x_j^i)}, $

(9)

　　 F空间上类间离散度矩阵为

${{S}}_B^\varPhi = \frac{1}{{C(C - 1)}}\sum\limits_{i = 1}^C {\sum\limits_{j = 1}^C {({{m}}_i^\varPhi - {{m}}_j^\varPhi ){{({{m}}_i^\varPhi - {{m}}_j^\varPhi )}^{\rm T}}} }, $

(10)

　　 F空间上类内离散度矩阵为

${{S}}_W^\Phi = \frac{1}{C}\sum\limits_{i = 1}^C {\frac{1}{{{l_i}}}\sum\limits_{j = 1}^{{l_i}} {(\Phi ({x_j}) - {{m}}_i^\varPhi ){{(\Phi ({x_j}) - {{m}}_i^\varPhi )}^{\rm T}}} }, $

(11)

寻求一个最佳投影矢量w，使得 ${{S}}_B^\varPhi $ 与 ${{S}}_W^\varPhi $ 的比值最大，得到核Fisher准则函数

${{J}}(w) = \frac{{{{{w}}^{\rm T}}{{S}}_B^\varPhi {{w}}}}{{{{{w}}^{\rm T}}{{S}}_w^\varPhi {{w}}}},$

(12)

式中：C为类别数；l_i为第i类样本的总数 $l = \sum\limits_{i = 1}^C {{l_i}} $ 为样本总数。w可用F空间中的所有样本张成，即

${{w}} = \sum\limits_{i = 1}^l {{\alpha _i}\varPhi ({x_i})}, $

(13)

其中 ${\alpha _i}$ 为权系数。定义

$\begin{array}{c}{{{w}}^{\rm T}}{{m}}_i^\varPhi = \frac{1}{{{l_i}}}\sum\limits_{j = 1}^l {\sum\limits_{k = 1}^{{l_i}} {{\alpha _j}k({x_j},x_k^i)} }= \\ {\alpha ^{\rm T}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{{l_i}}}\sum\limits_{k = 1}^{{l_i}} {k({x_1},x_k^i)} }\\{\frac{1}{{{l_i}}}\sum\limits_{k = 1}^{{l_i}} {k({x_2},x_k^i)} }\\ \vdots \\{\frac{1}{{{l_i}}}\sum\limits_{k = 1}^{{l_i}} {k({x_l},x_k^i)} }\end{array}} \right] = {\alpha ^{\rm T}}{{{M}}_i},\end{array}$

(14)

式中 $k({x_j},x_k^i)$ 为核函数。则式（12）中

${{{w}}^{\rm T}}{{S}}_B^\varPhi {{w}} = {\alpha ^{\rm T}}{{M}}\alpha, $

(15)

${{{w}}^{\rm T}}{{S}}_W^\varPhi {{w}} = {\alpha ^{\rm T}}{{N}}\alpha, $

(16)

其中：

${{M}} = \frac{1}{{C(C - 1)}}\sum\limits_{i = 1}^C {\sum\limits_{j = 1}^C {({{{M}}_i} - {{{M}}_j}){{({{{M}}_i} - {{{M}}_j})}^{\rm T}}} }{\text{。}} $

(17)

${{N}} = \frac{1}{C}\sum\limits_{i = 1}^C {\frac{1}{{{l_i}}}\sum\limits_{j = 1}^{{l_i}} {({{{K}}_j} - {{{M}}_i}){{({{{K}}_j} - {{{M}}_i})}^{\rm T}}}, } $

(18)

${{{K}}_j} = (k({x_1},{x_j}),k({x_2},{x_j}), \cdots ,k({x_i},{x_j})),$

(19)

则在F空间中应用Fisher线性判别就是最大化：

$J(\alpha ) = \frac{{{\alpha ^{\rm T}}{{M}}\alpha }}{{{\alpha ^{\rm T}}{{N}}\alpha }},$

(20)

该式的解为 ${{{N}}^{ - 1}}{{M}}$ 最大特征值对应的特征向量。

2 算法思路及流程

将KPCA与KFDA两种方法结合可以充分利用2种方法各自的优点，消除了变量之间的信息叠加，提高了提取特征的稳定性。首先读入SAR舰船目标图像，将每幅图像数据展成一个列向量，然后对数据进行归一化处理，然后利用KPCA算法进行降维处理，最后采用KFDA方法对降维后的样本进行分类识别。本文采用的识别流程如图1所示。

3 实验结果及分析

实验中所用的SAR图像取自C波段RADARSAT-2卫星获取的实测SAR数据。图像方位向和距离向的分辨率都为3 m。所选用的舰船包括集装箱船、油船、军舰与散装货船各80幅，共320幅构成舰船库。图2展现了各类型舰船的光学图像及在RADARSAT-2数据中部分舰船类型的SAR图像。所有SAR图像目标切片大小均为100×100，在舰船库中选出每类舰船的前40幅图像共160幅作为训练图像，构成训练集，剩下的160幅图像作为测试样本。

在生成的舰船样本中，每幅图像按列相连构成10 000维列向量，通过主成分分析的方法可以将这些10 000维的样本特征向量降至k维。这样数据库中每一艘舰船样本都可以由一个k维的特征向量来表示，以作为后续分类所采用的特征。这些特征向量对应的图像很像舰船，在这里称之为“主成分船”。图3中比较了KPCA+KFDA和PCA+KFDA两种算法的特征维数变化对识别率的影响，随着特征子空间维数的升高，舰船图像的识别率也随之逐渐提高。在特征维数小于10的时候，识别率的变化率比较大，而在特征维数大于20以后趋于稳定。这里选定特征向量的维数为20维，20个主成分船如图4所示。

本文采用KPCA与KFDA相结合的方法，并与单独采用KFDA方法以及KFDA与PCA结合的方法做出比较，为体现识别效果，将识别率采用百分比的形式展现，即每类舰船能够正确分类识别出的数量/每类总的测试数量。识别率的比较如表1所示。

由表1可看出，将样本数据用PCA方法进行特征降维后再用KFDA方法判别得到的识别率比直接用KFDA方法判别的识别率提高了5%。本文采用KPCA与KFDA相结合的方法可以进一步提高了识别率，达到91.25%，是一种有效的SAR图像目标特征提取和目标识别的方法。

4 结　语

本文提出了一种基于KPCA+KFDA特征提取的SAR图像目标识别方法，有效结合了2种方法的优越性，用KPCA方法对样本数据进行特征降维，再用KFDA方法进行判别。通过实验仿真对本文方法进行了验证，结果表明KPCA+KFDA方法得到的舰船目标识别率比没有经过特征降维的KFDA方法提高将近9%，比PCA+KFDA方法提高了近4%，提高了舰船目标识别的精度。