0 引　言

在研究环肋圆柱壳总稳定性过程中，有的研究学者认为，当肋骨尺寸增大到一定程度后，继续增大肋骨尺寸，并不能显著提高圆柱壳的总稳定性，而增设纵骨才能有效提高其总稳定性^{[1 –4]}。进一步的研究还表明^{[4 –5]}，在通常情况下，加设纵骨对圆柱壳总稳定的影响不明显，只有在壳体短、壳板薄、直径大的情况下才有效。加设纵骨对通常情况下的圆柱壳总稳定性影响不明显，未必对肋间壳板稳定性也影响不明显。有研究表明^[6]，通常情况下，加设纵骨可能是提高壳板稳定性更好的方法，因此需要深入研究纵骨对环肋圆柱壳肋间壳板稳定性的影响。

1 肋间壳板稳定性计算公式

用能量法可以推导出环肋圆柱壳在轴向和横向压力联合作用下的总稳定性方程^[7]：

$\begin{split}\\[-12pt]& {T_1}{m^2}\alpha _1^2 + {T_2}\left( {{n^2} - 1} \right) = \frac{D}{{{R^2}}}{\left( {{m^2}\alpha _1^2 + {n^2} - 1} \right)^2} + \\& \quad \quad \quad \quad \frac{{Et{m^4}\alpha _1^4}}{{{{\left( {{m^2}\alpha _1^2 + {n^2}} \right)}^2}}} + \frac{{EI}}{{{R^2}l}}{\left( {{n^2} - 1} \right)^2}\text{。}\end{split}$

(1)

式中符号含义与文献[7]相同。

根据文献[5]的结论可以导出纵横加筋圆柱壳在轴向和横向压力联合作用下的总稳定性方程：

$\begin{split}\\[-12pt]& {T_1}{m^2}\alpha _1^2 + {T_2}\left( {{n^2} - 1} \right) = \frac{D}{{{R^2}}}{\left( {{m^2}\alpha _1^2 + {n^2} - 1} \right)^2} + \\& \quad \quad \quad \quad \frac{{Et{m^4}\alpha _1^4}}{{{{\left( {{m^2}\alpha _1^2 + {n^2}} \right)}^2}}} + \frac{{EI}}{{{R^2}l}}{\left( {{n^2} - 1} \right)^2} + \frac{{EJ{m^4}\alpha _1^4}}{{{R^2}b}}\text{。}\end{split}$

(2)

式中： J 为计及带板的纵骨惯性矩； b 为纵骨间距。

参考文献[8]，类似推导公式。可以求得，仅受轴向均匀压力作用下，环肋圆柱壳肋间壳板失稳临界压力公式和纵横加筋圆柱壳肋间壳板失稳临界压力公式为：

$P_E^{(1)} \!= \!\frac{2}{{{m^2}{\alpha ^2}}}\left[ {\frac{D}{{{R^3}}}{{\left( {{m^2}{\alpha ^2} + {n^2} - 1} \right)}^2} + \frac{{Et{m^4}{\alpha ^4}}}{{R{{\left( {{m^2}{\alpha ^2}\! +\! {n^2}} \right)}^2}}}} \right]\text{，}$

(3)

$\begin{split}\\[-12pt] P_{EL}^{(1)} = & \frac{2}{{{m^2}{\alpha ^2}}}\Biggr[ {\frac{D}{{{R^3}}}{{\left( {{m^2}{\alpha ^2} + {n^2} - 1} \right)}^2} + } \\[5pt]& \left. {\frac{{Et{m^4}{\alpha ^4}}}{{R{{\left( {{m^2}{\alpha ^2} + {n^2}} \right)}^2}}} + \frac{{EJ{m^4}{\alpha ^4}}}{{{R^3}b}}} \right]\text{。}\end{split}$

(4)

仅受横向均匀压力作用下，环肋圆柱壳肋间壳板失稳临界压力公式和纵横加筋圆柱壳肋间壳板失稳临界压力公式为：

$P_E^{(2)}\! = \!\frac{1}{{{n^2} - 1}}\left[ {\frac{D}{{{R^3}}}{{\left( {{m^2}{\alpha ^2} + {n^2} - 1} \right)}^2} \!+\! \frac{{Et{m^4}{\alpha ^4}}}{{R{{\left( {{m^2}{\alpha ^2} + {n^2}} \right)}^2}}}} \right]\text{，}$

(5)

$\begin{split}\\[-12pt] P_{EL}^{(2)} = & \frac{1}{{{n^2} - 1}} \Biggr[ {\frac{D}{{{R^3}}}{{\left( {{m^2}{\alpha ^2} + {n^2} - 1} \right)}^2} + } \\[5pt]& \left. {\frac{{Et{m^4}{\alpha ^4}}}{{R{{\left( {{m^2}{\alpha ^2} + {n^2}} \right)}^2}}} + \frac{{EJ{m^4}{\alpha ^4}}}{{{R^3}b}}} \right]\text{。}\end{split}$

(6)

向均匀压力作用下，环肋圆柱壳肋间壳板失稳临界压力公式和纵横加筋圆柱壳肋间壳板失稳临界压力公式为：

$\begin{split}\\[-12pt] {P_E} = & \frac{1}{{0.5{m^2}{\alpha ^2} + {n^2} - 1}}\times \\& \left[ {\frac{D}{{{R^3}}}{{\left( {{m^2}{\alpha ^2} + {n^2} - 1} \right)}^2} + \frac{{Et{m^4}{\alpha ^4}}}{{R{{\left( {{m^2}{\alpha ^2} \!+\! {n^2}} \right)}^2}}}} \right]\text{，}\end{split}$

(7)

$\begin{split}\\[-12pt] {P_{EL}} = & \frac{1}{{0.5{m^2}{\alpha ^2} + {n^2} - 1}}\Biggr[ {\frac{D}{{{R^3}}}{{\left( {{m^2}{\alpha ^2} + {n^2} - 1} \right)}^2} + } \\[5pt]& \left. {\frac{{Et{m^4}{\alpha ^4}}}{{R{{\left( {{m^2}{\alpha ^2} + {n^2}} \right)}^2}}} + \frac{{EJ{m^4}{\alpha ^4}}}{{{R^3}b}}} \right]\text{。}\end{split}$

(8)

引入参数 $\gamma = 100\;t/R$ ， $\eta = {10^6}J/({R^3}b)$ ，则式（5）～式（10）都可以用 $\gamma $ 和 $\eta $ 表达，此处仅列出式（9）和式（10）的表达式，其余可作类似推导。

$\begin{split}\\[-12pt] {P_E} = & \frac{{E \times {{10}^{ - 6}}}}{{0.5{m^2}{\alpha ^2} + {n^2} - 1}}\times\\[5pt]& \left[ {\frac{{{\gamma ^3}}}{{12(1 - {\mu ^2})}}{{\left( {{m^2}{\alpha ^2} + {n^2} - 1} \right)}^2}\! + \!\frac{{\gamma {m^4}{\alpha ^4} \times {{10}^4}}}{{{{\left( {{m^2}{\alpha ^2} + {n^2}} \right)}^2}}}} \right]\text{，}\end{split}$

(9)

$\begin{split}\\[-12pt]{P_{EL}} = & \frac{{E \times {{10}^{ - 6}}}}{{0.5{m^2}{\alpha ^2} + {n^2} - 1}}\times\\& \left[ {\frac{{{\gamma ^3}}}{{12(1 - {\mu ^2})}}{{\left( {{m^2}{\alpha ^2}\! +\! {n^2} - 1} \right)}^2} \!+\! \frac{{\gamma {m^4}{\alpha ^4} \times {{10}^4}}}{{{{\left( {{m^2}{\alpha ^2} + {n^2}} \right)}^2}}} + \eta {m^4}{\alpha ^4}} \right]\text{。}\end{split}$

(10)

2 纵向失稳半波数和周向失稳波数的变化

取 $10\; \leqslant \;\alpha \; \leqslant \;20$ ，并在 $\alpha $ 取值范围内取一系列的离散值，计算式（9）中的纵向失稳半波数 m 和周向失稳波数 n，计算结果如表 1所示。

对式（10）中的 $\alpha $ 取上述一样的离散值， $\eta $ 则在 $1\; \leqslant \;\eta \; \leqslant \;10$ 内取离散值，分别计算式（10）的纵向失稳波数 m 和周向失稳波数 n，计算结果列于表 2。

从表 1可看出，环肋圆柱壳壳板失稳时，纵向失稳半波数 m = 1，周向失稳波数 n>10，且随着 $\alpha $ 值的增大而缓慢增大。从表 2则可看出，纵横加筋圆柱壳肋间壳板失稳纵向失稳半波数 m = 1，周向失稳波数 n>10，但随着 $\alpha $ 或 $\eta $ 值的增大而迅速增大。

3 肋间壳板失稳临界压力曲线图

根据式（9）、式（10）和相应式（3）～式（6）的变换式，编制计算机程序，可以绘制环肋圆柱壳肋间壳板失稳临界压力 ${P_E}$ 与 $\alpha $ 的曲线 ${P_E}$ - $\alpha $ 曲线和纵横加筋圆柱壳肋间壳板失稳临界压力曲线 ${P_{EL}}$ - $\alpha $ 曲线、 ${P_{EL}}$ - $\eta $ 曲线。相应的仅轴向受压肋间壳板失稳临界压力曲线 $P_E^{(1)}$ - $\alpha $ ， $P_{EL}^{(1)}$ - $\alpha $ 和 $P_E^{(1)}$ - $\eta $ 与仅横向受压肋间壳板失稳临界压力曲线 $P_E^{(2)}$ - $\alpha $ ， $P_{EL}^{(2)}$ - $\alpha $ 和 $P_E^{(2)}$ - $\eta $ 也一同绘制在相应的图中。

图 1为 ${P_E}$ - $\alpha $ 曲线、 $P_E^{(1)}$ - $\alpha $ 曲线和 $P_E^{(2)}$ - $\alpha $ 曲线。

图 2是 $\eta $ =1，3，5，7，9 时的 ${P_{EL}}$ - $\alpha $ 曲线， $P_{EL}^{(1)}$ - $\alpha $ 曲线和 $P_{EL}^{(2)}$ - $\alpha $ 曲线。

图 2是 $\alpha $ =10，12，14，16，18，20 时的 ${P_{EL}}$ - $\eta $ 曲线、 $P_{EL}^{(1)}$ - $\eta $ 曲线和 $P_{EL}^{(2)}$ - $\eta $ 曲线。

由图 1可看出， ${P_E}$ 随 $\alpha $ 的增大而增大，即 ${P_E}$ 随肋距 l 的减小而增大。 $\alpha < 21$ 时， ${P_E} < P_E^{(2)} < P_E^{(1)}$ ，若 $\alpha > 21$ ，则 ${P_E} < P_E^{(1)} < P_E^{(2)}$ 。

由图 2得知， ${P_{EL}} < P_{EL}^{(2)} < P_{EL}^{(1)}$ ，同样 ${P_{EL}}$ 随 $\alpha $ 的增大而增大， $\eta $ 越大则增长率越快。

图 3表明， $P_{EL}^{(1)}$ 、 $P_{EL}^{(2)}$ 和 ${P_{EL}}$ 几乎都是随 $\eta $ 线性增加， $P_{EL}^{(1)}$ 增长率很大，明显大于 ${P_{EL}}$ 的增长率； ${P_{EL}}$ 与 $P_{EL}^{(2)}$ 基本相同，数值也非常接近。 $\alpha $ 增大， ${P_{EL}}$ 的增长率亦增大。 $\eta $ 取值越大， ${P_{EL}}$ 与 $P_{EL}^{(1)}$ 差距也越大，这意味着纵横加筋圆柱壳的肋间壳板稳定性取决于其横向刚度。加设纵骨后，圆柱壳的纵向刚度明显提高，纵向稳定性则提高，表现为 $P_{EL}^{(1)}$ 显著提高；相对于纵向刚度而言，加设纵骨对横向高度的提高作用非常有限，所以，增大纵骨规格或减小纵骨间距，即增大 $\eta $ ， $P_{EL}^{(2)}$ 增加不明显。

将图 1与图 2 ~ 图 3比较可以发现，环肋圆柱壳加纵骨后，其肋间壳板稳定性明显提高。这一点也可以从表 1和表 2的对比中得到印证。以 $\alpha = 10$ 为例， $\eta $ = 1 提高 171%， $\eta $ = 3 则提高 349%…… $\eta $ 值越大，提高百分率越大。同样，纵骨尺寸不变，间距不变，即 $\eta $ 不变， $\alpha $ 变大则临界压力提高百分率也增大。

4 有限元计算验证

式（7）或式（9）已经是成熟可靠的公式，不必做有限元计算验证。纵横加筋圆柱壳肋间壳板失稳临界压力计算式（8）或式（10）则处于研究讨论阶段，公式本身的准确性和上述计算方法的准确性尚不明确，需要用有限元计算来验证。

根据第3节中的基本数据， $\alpha = 10$ ， $\eta $ 分别取 1，3，5，7 和 9，建立有限元模型。圆柱壳壳板采用曲壳单元，纵骨则采用梁单元。边界条件是两端节点都约束径向位移和周向位移，其中一端除此外，还要约束轴向位移；载荷为在未施加轴向位移约束的一端施加线载荷，壳面上施加面载荷。

边界条件：

${u_r} = {u_\theta } = {u_z} = 0(z = 0)\text{，}$

(11)

${u_r} = {u_\theta } = 0(z = l)\text{。}$

(12)

计算中均匀外压 $p = 1{\rm{ Pa}}$ ，直接施加于柱壳几何面上，而施加于 z = l 位置的圆周线上的载荷为 pR/2。

有限元计算结果列于表 3。

从表 3的对比可看出，公式计算的误差在 15% 范围以内，具有一定的可靠性。

5 结　语

1）环肋圆柱壳肋间壳板失稳时，纵向失稳半波数 m = 1，周向失稳波数 n>10。加设纵骨后成为纵横加筋圆柱壳，肋间失稳时，纵向失稳波数 m = 1，周向失稳波数 n>10，且 n 比环肋圆柱壳的大。纵骨尺寸越大，即 $\eta $ 越大，则 n 越大。

2）环肋圆柱壳失稳临界压力 ${P_E}$ 随着肋距l的减小（ $\alpha $ 的增大）而增大。仅纵向受压时，肋间壳板失稳临界压力在 $\alpha $ 增大过程中，先保持不变，当 $\alpha $ 增大到 21 以后，其数值开始逐渐增大。

3）纵横加筋圆柱壳肋间失稳临界压力 ${P_{EL}}$ 随肋距的减小（ $\alpha $ 的增大）而增大。当 $\alpha $ 保持固定时，临界压力 ${P_{EL}}$ 随纵骨尺寸的增大，间距的减小（ $\eta $ 的增大）而增加，且 $\eta $ 越大，失稳临界压力越取决于圆柱壳的横向刚度。

4）环肋圆柱壳加设纵骨后，其肋间失稳临界压力明显提高， $\alpha $ 越大的情况下，其提高的效果越明显。这种提高更表现在加与不加纵骨，加纵骨则肋间壳板失稳临界压力立刻升高，这一点表现出与环肋圆柱壳总稳定性相同的性质；不同的是肋间壳板失稳临界压力随 $\eta $ 的增大持续缓慢增大，而总失稳临界压力则随 $\eta $ 的增大先增大，在增大到一个定值后保持不变。

5）式（8）或式（10）计算结果与有限元计算结果相比，误差在 15% 以内，数据的变化趋势二者相同。