0 引言

无人机属于无人驾驶飞行器，其应用越来越广泛，特别是在军事和民用领域。这是因为无人机具有非常多的优点，比如隐蔽性好，具有很强的生命力^[1]。相比起传统的飞机，无人机的体积更加小，重量更加轻，无人机表面带来的反射更小，同时隐形涂料使其很难暴露^[2]。由于无人机无人驾驶，不会存在过载的问题；无人机造价低廉，出意外后损失较小，也不存在人员伤亡的损失，这更加有利于其应用在危险的作业环境当中；起降简单，飞行后易于操作。无人机可以采用传统飞机的起降方式，比如垂直起飞、空中投放和滑行起飞等；可以执行特殊任务。通过利用航速快、隐蔽性好和续航长等优点，无人机可以执行多种远程任务，包括监测、攻击和侦察等；军事价值高^[3]。

虽然无人机具有如此多的优点，但是由于其设计困难，目前仍然未被广泛使用。目前的无人机面临着被敌方入侵其系统的危险，使得其很容易被敌方控制；无人机在空中的飞行状态非常复杂，控制难度较大；无人机起降时对起降方式和跑道的要求较高，起降时与跑道之间的摩擦需要控制在合理范围内，以避免无人机失控。其中无人机的起降技术是目前亟需解决的一个问题^[4]。

随着无人机朝着大型化的方向发展，轮式起降方式的优点越来越突出。通过轮式起降，无人机受损的几率变得很低，其寿命大大延长。本文将通过对无人机的起降进行数学建模，同时研究其空中飞行的控制技术^[5]。

1 无人机起飞和降落过程建模 1.1 无人机起飞过程建模

本文将以国内某无人机为研究对象，其具有三点式起落架、前轮可操作及一个发动机。在建模之前，首先需要建立全面的坐标系，本文所建立的坐标系有：地面坐标系O_gx_gy_gz_g 、机体坐标系Oxyz、速度坐标系Ox_ay_az_a 、稳定坐标系Ox_sy_sz_s 。

在三轮着地滑跑阶段，无人机将受到空气动力、中立、引擎推力、起落架支撑力和阻力等作用力的作用^[6]。以O_gx_gy_gz_g 为参考，无人机的质心移动动力学方程为：

$m\frac{{{\rm d}{v_x}}}{{{\rm d}t}} = \sum {{F_x}} \Rightarrow \frac{{{\rm d}{v_x}}}{{{\rm d}t}} = {\frac{1}{m}_x}{{\text{，}}}$

(1)

$m\frac{{{\rm d}{v_y}}}{{{\rm d}t}} = \sum {{F_y}} \Rightarrow \frac{{{\rm d}{v_y}}}{{{\rm d}t}} = {\frac{1}{m}_y}{{\text{，}}}$

(2)

$m\frac{{{\rm d}{v_z}}}{{{\rm d}t}} = \sum {{F_z}} \Rightarrow \frac{{{\rm d}{v_z}}}{{{\rm d}t}} = {\frac{1}{m}_z}{{\text{。}}}$

(3)

若以Oxyz为参考，无人机相对于各个坐标轴的动力学方程为：

${I_x}\frac{{{\rm d}p}}{{{\rm d}t}} - {I_{sx}}(\frac{{{\rm d}r}}{{{\rm d}t}} + pq) - ({I_y} - {I_s})qr = \sum {{M_x}} {{\text{，}}}$

(4)

${I_y}\frac{{{\rm d}q}}{{{\rm d}t}} - {I_{sx}}({r^2} - {p^2}) - ({I_s} - {I_x})pr = \sum {{M_y}} {{\text{，}}}$

(5)

${I_s}\frac{{{\rm d}r}}{{{\rm d}t}} - {I_{sx}}(\frac{{{\rm d}p}}{{{\rm d}t}} - qr) - ({I_x} - {I_y})pq = \sum {{M_{\rm{s}}}} {{\text{。}}}$

(6)

1.2 无人机着陆过程建模

下面主要分析无人机从三轮完全着地到停止滑跑阶段的运动学方程。欧拉角的变化速率 ${[\mathop \varphi \limits^ \cdot \;\mathop \theta \limits^ \cdot \;\mathop \psi \limits^ \cdot ]^{\rm T}}$ 和 $\mathop w\limits^{\rm{ - }} = {[p\;q\;r]^{\rm T}}$ 的关系（ $\varphi = 0,\;\theta = 6$ ）：

$\begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} p\\ q\\ r \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} 1\;\;\;0\;\;\;\; - \sin \theta \\ 0\;\cos \varphi \;\;\;\sin \varphi \cos \theta \\ 0\; - \sin \varphi \;\cos \varphi \cos \theta \end{array} \right]\left[ \begin{array}{l} \mathop \varphi \limits^ \cdot \\ \mathop \theta \limits^ \cdot \\ \mathop \psi \limits^ \cdot \end{array} \right]=\\ \left[ \begin{array}{l} - \mathop \psi \limits^ \cdot \sin {\theta _s}\\ \;\;\;\;0\\ \mathop {\;\psi }\limits^ \cdot \cos {\theta _s} \end{array} \right]{{\text{。}}} \end{array}$

(7)

通过反演变换推导得：

$\mathop \varphi \limits^ \cdot = p + r \cdot \tan {\theta _{\rm{s}}} = 0{{\text{，}}}$

(8)

$\mathop \theta \limits^ \cdot = q = 0{{\text{，}}}$

(9)

$\mathop \psi \limits^ \cdot = r \cdot \sec {\theta _s}{{\text{。}}}$

(10)

设无人机在O_gx_gy_gz_g 上的分量为 ${\left[ {{v_x}\;{v_y}\;{v_{\rm{s}}}} \right]^{\rm T}}$ ，地速为 ${\left[ {\frac{{{\rm d}x}}{{{\rm d}t}}\;\frac{{{\rm d}y}}{{{\rm d}t}}\;\frac{{{\rm d}z}}{{{\rm d}t}}} \right]^{\rm T}}$ ，则两者关系有：

${\left[ {\frac{{{\rm d}x}}{{{\rm d}t}}\;\frac{{{\rm d}y}}{{{\rm d}t}}\;\frac{{{\rm d}z}}{{{\rm d}t}}} \right]^{\rm T}} = {\left[ {{v_x}\;{v_y}\;{v_{\rm{s}}}} \right]^{\rm T}}$

(11)

如果存在侧风，令风速矢量为 $\mathop {{v_w}}\limits^ - = {\left[ {{v_{wx}}\;{v_{wy}}\;{v_{{\rm{wz}}}}} \right]^{\rm T}}$ ，空速矢量为 $\mathop {{v_a}}\limits^ - = {\left[ {{v_{ax}}\;{v_{ay}}\;{v_{{\rm{az}}}}} \right]^{\rm T}}$ ，则

$\begin{array}{l} \mathop {{v_a}}\limits^ - = \mathop v\limits^ - - \mathop {{v_w}}\limits^ - = {M_{fg}}{[{v_x}\;{v_y}\;{v_{\rm{z}}}]^{\rm T}} - \\ {M_{fg}}{[{v_{wx}}\;{v_{wy}}\;{v_{wz}}]^{\rm T}} = {[{v_{ax}}\;{v_{ay}}\;{v_{az}}]^{\rm T}}{{\text{。}}} \end{array}$

(12)

所以

${v_a} = \sqrt {v_{ax}^2 + v_{ay}^2 + v_{a{\rm{z}}}^2} {{\text{，}}}$

(13)

$\alpha = \arctan \left( {\frac{{{v_{az}}}}{{{v_{zx}}}}} \right){{\text{，}}}$

(14)

$\beta = {\rm arc}{\rm{sin}}\left( {\frac{{{v_{ay}}}}{{{v_a}}}} \right){{\text{。}}}$

(15)

2 飞行动力学仿真系统 2.1 飞行动力学仿真系统组成

控制理论、信息处理技术及计算机技术等是系统仿真的理论基础，可以通过计算机或者设备对建立的模型进行分析实验。系统仿真一般分为3种：数学仿真、实物在回路中的仿真和人在回路中的仿真。对于本文的无人机起降采用的是半实物仿真。它既连接了飞行控制等传感器实物，同时也结合了飞行器飞行动力学数学模型等仿真模型。

本文建立的飞行实时仿真系统由4部分组成：仿真总控制台、仿真计算机、物理效应设备（仿真环境）和控制，制导，导航系统（实物）。仿真控制台控制仿真计算机部分去驱动物理效应设备，仿真计算机由各种数学模型组成，比如飞行动力学数学模型，物理效应设备包括三轴转台、动-静压模拟器、加速度模拟器、射频目标模拟器、红外目标模拟器和负载模拟器。物理效应设备接下来进一步驱动仿真平台的实物部分，比如各类传感器、导引头、系统计算机、执行机构和控制显示单元，驱动这些设备区获取实际数据，然后获得的数据将被传输给仿真计算机平台进行处理，如此循环下去。

飞行动力学系统是飞行实时系统的重要组成部分，直接影响飞行仿真系统的有效性。其主要作用是对飞机空气动力特性进行仿真，同时处理无人机6个自由度非线性运动方程等。通过将载油质量、紊流和风、标准大气、结冰、起落架力和力矩和气动力等参数传输给飞机六自由度运动方程，然后解6个方程得到控制变量。

在仿真前，需要对飞行动力学系统进行文件配置，主要有5个配置文件，都基于XML格式。配置文件的基本格式如下：

$ \begin{array}{l} < {\rm FDM}\_{\rm CONGIG}\;{\rm NAME} = "{\rm X} - 15"\;{\rm VERSION} = \!"1.40" > \\ \;\; < ! - - \\ \;\;\;\;\;\;{\rm C}{\rm{om}}{\rm ments}\;{\rm and}\;{\rm header}\;{\rm \inf} {\rm ormation}\\ \;\; - - > \\ \;\; < {\rm METRICS} > \\ \;\;\;\;...\\ \;\; < {\rm /METRICS} > \\ \;\; < {\rm UNDERCARRIAGE} > \\ \;\;\;\;...\\ \;\; < {\rm PROPULSION} > \\ \;\; < {\rm UNDERCARRIAGE} > \\ \;\;\;\;...\\ \;\; < {\rm /AERODYNAMICS} > \\ \;\; < {\rm OUTPUT} > \\ \;\;\;\;...\\ \;\;\; < {\rm OUTPUT} > \\ < {\rm FDM}\_{\rm CONFIG} > \end{array} $

(16)

其中，METRICS是指飞机的物理特性，比如飞机重心。例如对于X-15有：

$ \begin{array}{l} {\rm AC\_WINGAREA}\;\;\;\;200\\ {\rm AC\_WINGAREA}\;\;\;\;22.36\\ {\rm AC\_CGLOC}\;\;\;\;\;\;345.0\;\;\;0.0\;\;0.0\\ {\rm AC\_AERORP}\;\;\;\;\;345.4\;\;\;0.0\;\;0.0 \end{array} $

(17)

2.2 飞机六自由度运动方程的解算

本节主要介绍用欧拉法进行滚转运动及姿态的计算。由飞控理论可知，姿态角变化率和角速度分量之间存在如下关系：

$\mathop \varphi \limits^ \cdot = p + q\sin \varphi \tan \theta + r\cos \varphi \tan \theta {{\text{，}}} $

(18)

$\mathop \theta \limits^ \cdot = q\cos \varphi - r\sin \varphi {{\text{，}}}$

(19)

$\mathop \psi \limits^ \cdot = q\sin \varphi {\rm{sec}}\theta + r\cos \varphi \sec \theta {{\text{，}}}$

(20)

解方程组得：

${\rm{p}} = \mathop \varphi \limits^ \cdot - \mathop \psi \limits^ \cdot \sin \theta {{\text{，}}}$

(21)

${{q}} = \mathop \theta \limits^ \cdot \cos \varphi + \mathop \psi \limits^ \cdot \sin \varphi \cos \theta {{\text{，}}}$

(22)

${{r}} = - \mathop \theta \limits^ \cdot \sin \varphi + \mathop \psi \limits^ \cdot \cos \varphi \cos \theta {{\text{。}}}$

(23)

此种方法可以求解绝大多数情形，除非 $\theta = \pm {90^ \circ }$ ，但是此种情形很少存在。

3 结语

本文首先分析了无人机的发展前景，接着分析阻碍无人机被广泛使用的技术障碍，其中起降技术不完善是关键因素之一。然后本文对无人机起降过程进行了数学建模，并且分析了飞行动力学仿真系统，并介绍了求解六自由度中滚转运动及姿态的计算方法。