0 引言

舰船电力需求越来越高，迫切需求开发出一款性能稳定，故障率低的船舶电力系统，而在电力系统中，潮流分布常常对整个系统的效能有着非常大的影响^{[1 -3]}。因此本文的主要目标是建立电力系统的最优潮流模型，对其网络结构中的潮流分布和电能传输效率进行研究，从而建立其合理的潮流分布模型。本文从多个角度分析电力系统潮流模型中的非线性规划问题，并通过仿真对问题解的误差进行分析，仿真结果表明，本文提出的潮流优化算法已经达到较为优秀的水平。

1 电力系统最优潮流模型

船舶电力系统的最优潮流模型建立过程如下：

1）确定电力系统中所有发电机组的输出功率容量^[4]；

2）确定系统中用电设备的功率分布；

3）对电力网络分布结构进行建模。

通常所谓的电力系统潮流最优模型，主要是为了实现以下目标：在电力系统的网络结构已经确定的情况下，对每个用电设备的调度策略进行优化；下面建立电力系统的目标函数和约束方程^{[5 -6]}。

由矩阵表示的电力系统目标方程为：

$ f{(x)_{\min }} = \sum\limits_{i \in {S_G}} {\left( {{a_{2i}}P_{{G_i}}^2 + {a_{1i}}{P_{{G_i}}} + {a_{0i}}} \right)} = {F_{COST}}\text{。} $

(1)

式中a_i 为电力系统发电机组的消耗系数，注意（i=1，2，0）。

设计系统的潮流方程f（x）满足：

$ h(x) = {P_G} - {P_D} - e. * (Ge - Bf) - f. * (Gf - Be)\text{，} $

(2)

式（2）中的约束条件为：

$ g(x) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_p}}\\ {{g_v}} \end{array}} \right]\text{，} $

(3)

式中：g_p =p_GI ；I∈S_G ； ${g_v} = {e^{.2}} + {f^{.2}}$ 。

用矩阵表示为：

$ J(x) = h{(x)^T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\displaystyle\frac{{\partial P}}{{\partial {P_G}}}} & {\displaystyle\frac{{\partial P}}{{\partial e}}} & {\displaystyle\frac{{\partial P}}{{\partial f}}} \end{array}} \right]\text{，} $

(4)

上式中满足：

$ \begin{aligned} & \frac{{\partial {P_I}}}{{\partial {P_G}}} = {I_{{n_g}}},I \in {S_G} \text{，}\\ & \frac{{\partial P}}{{\partial e}} = - (EG + FB) - {D_{iag}}\left[ {Ge - Bf} \right] \text{，}\\ & \frac{{\partial P}}{{\partial f}} = - (EB + FG) + {D_{iag}}\left[ {Gf + Be} \right] \text{。} \end{aligned} $

(5)

对上述的目标函数求一阶偏导：

$ \nabla f(x) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\displaystyle\frac{{\partial f(x)}}{{\partial {P_G}}}}\\ \\ {\displaystyle\frac{{\partial f(x)}}{{\partial e}}}\\ \\ {\displaystyle\frac{{\partial f(x)}}{{\partial f}}} \end{array}} \right] \text{，} $

(6)

其中：

$ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{{\partial f(x)}}{{\partial {P_G}}} = 2{a_2}. * {P_G} + {a_1} \text{，}\\ \\ \displaystyle\frac{{\partial f(x)}}{{\partial e}} = 2\sum\limits_{} {G. * (\overline E } - \overline E ') \text{，}\\ \displaystyle\frac{{\partial f(x)}}{{\partial f}} = 2\sum\limits_{} {G. * (\overline F } - \overline F ') \text{。} \end{array} $

(7)

约束条件为：

$ \nabla g(x) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_{{N_g}}}} & 0 & 0\\ 0 & 0 & {\displaystyle\frac{{\partial {g_v}}}{{\partial e}}}\\ 0 & 0 & {\displaystyle\frac{{\partial {g_v}}}{{\partial f}}} \end{array}} \right] \text{，} $

(8)

其中：

$ \frac{{\partial {g_v}}}{{\partial e}} = 2Diag[e]\;\;\frac{{\partial {g_v}}}{{\partial f}} = 2Diag[f] \text{，} $

(9)

对潮流方程进行二阶偏导求解：

$ \begin{aligned} {\nabla ^2}h(x)y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & 0 & 0\\[10pt] 0 & {\displaystyle\frac{{{\partial ^2}h(x)}}{{\partial {e^2}}}y} & {\displaystyle\frac{{{\partial ^2}h(x)}}{{\partial e\partial f}}y}\\[10pt] 0 & {\displaystyle\frac{{{\partial ^2}h(x)}}{{\partial f\partial e}}y} & {\displaystyle\frac{{{\partial ^2}h(x)}}{{{\partial ^{}}{f^2}}}y} \end{array}} \right] \text{，} \end{aligned} $

(10)

其中满足：

$ \begin{aligned} \frac{{{\partial ^2}h(x)}}{{\partial {e^2}}}y = & \frac{{{\partial ^2}h(x)}}{{\partial {f^2}}}y =\\ & - \overline G .*\overline Y + \overline B .*\overline {{Y_N}} + ( - \overline G .*\overline Y + \overline B .*\overline {{Y_N}} )' \text{，}\\ \frac{{{\partial ^2}h(x)}}{{\partial e\partial f}}y = & \left( {\frac{{{\partial ^2}h(x)}}{{\partial f\partial e}}y} \right)' =\\ & (\overline B .*\overline Y + \overline G .*{\overline Y _N}) - (\overline B .*\overline Y + \overline G .*{\overline Y _N})' \text{，}\\ & \overline Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {y1} & \ldots & {y1}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {{y_N}} & \cdots & {{y_N}} \end{array}} \right] = y(1toN){I_N} \text{。} \end{aligned} $

(11)

2 潮流算法中非线性规划的求解

对电力系统的潮流方程进行非线性求解，从而可以得到一个具有约束条件的解，因此设计如下的数学模型：

$ \begin{aligned} & \min f(x)\;h(x) = 0\;\;\underline g \leqslant g(x) \leqslant \overline g \text{，}\\ & x \in {R^n},h(x) = \left[ {{h_1}(x), \cdots {h_m}(x)} \right]' \text{，}\\ & g(x) = \left[ {{g_1}(x) \cdots {g_r}(x)} \right]' \text{，}\\ & x \in {R^n},f:{R^n} \to R,h:{R^n} \to {R^m};y \in {R^m} \text{，} \end{aligned} $

(12)

通过拉格朗日进行变换：

$ \begin{aligned} L(x, & l,u,y,z,w,\overline z ,\overline z ) \equiv f(x) - {y^T}h(x) -\\ & {z^T}\left[ {g(x) - l - \underline g } \right] - {w^T}\left[ {g(x) + u - \overline g } \right] - \overline z 'l - \overline w 'u \text{。} \end{aligned} $

(13)

式中 $y \in {R^m},(z,w,\overline z ,\overline w ) \in {R^r}$ 为拉格朗日乘子。

通过最优方程的求导，得到：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\displaystyle\frac{{\partial L(x)}}{{\partial l}} = z - \overline z = 0\text{，}}\\[10pt] {\displaystyle\frac{{\partial L(x)}}{{\partial u}} = - w - \overline w = 0\text{，}} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overline z = z} \text{，}\\ {\overline w = - w} \text{。} \end{array}} \right. $

(14)

从而可以得到最优方程解为：

$ \begin{array}{l} \left\{ {\begin{aligned} & {{L_x} = \nabla f(x) - \nabla h(x)y - \nabla g(x)(z + w) = 0} \text{，}\\ & {{L_y} = h(x) = 0} \text{，}\\ & {{L_z} = g(x) - l - \underline g = 0} \text{，}\\ & {{L_w} = g(x) + u - \overline g = 0} \text{，} \end{aligned}} \right.\\ \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!\!{{L_l} = LZe = 0} \text{，}\\ \\ \!\!\!{{L_u} = UWe = 0} \text{。} \end{array}} \right. \end{array} $

(15)

式中： $\left( {l,u,z} \right) \! \geqslant 0, w \leqslant 0, y \ne 0, \left( {L,U,Z,W} \right) \in {R^{r \times r}}$ 为对角阵；L_x 为 $\frac{{\partial L}}{{\partial x}}$ ，同时满足 $e \equiv {\left[ {1,1, \cdots 1} \right]^{\text{T}}} \in {R^r}$ 。

3 算法仿真

建立船舶电力系统仿真环境，并就上文提出的算法性能进行仿真验证，由于潮流算法中的多数计算步骤都已经转化为线性方程的求导，因此节约了大量的仿真时间，同时该算法的综合性能得到了提高，稳定性也得到了改善。

如图 1所示为原始算法和潮流算法的误差仿真结果。当系统的不确定量缓慢增加后，系统的电压输出也会随之降低，当系统的不确定数超过20后，2种算法之间的仿真误差会随之增加；特别是当不确定数达到35以后，两者的误差值已经达到了0.03。从曲线的平滑程度看，潮流算法的整体误差范围更小，系统的稳定性也更好。

4 结语

本文重点研究了船舶电力系统中的潮流分布问题，建立了合理的状态模型，并通过对最优非线性方程组的求解，得到了误差范围可控的分布模型，具有一定的实用价值。