0 引言

现代对航空母舰和舰载机的研究设计已经成为一种具有前沿高新技术的系统性工程^[1-2]。一个国家依靠航空母舰可在距离国土很远的地方进行军事震慑甚至是军事作战。航空母舰具有很多的作用，比如制海和制空权、空中侦察和登陆作战等^[3]。可以说，航空母舰是一个国家不可缺少的强力武器，同时是国际军事较量的重要依托。

舰载机的研制及其起降技术是航空母舰的核心指标之一。为了使舰载机能够平稳起降，必须对航母的运动进行精确的预报。航母在海上航行的环境和状况非常复杂，因此需要详细研究航母在海洋中航行的一般性和特殊性^[4]。一般需要从6个自由度对其进行运动分析，包括纵荡、横摇、垂荡、摇艏、纵摇和横荡。通过对这6个自由度的运动预报，可以为驾驶系统提供未来几秒内航母可能的运动姿势。从而可为舰载机的飞行员提供起降信息。除了为舰载机提供起降信息外，舰船运动预报还可提高导弹的发射精准性^[5]。

但实际中的海洋环境非常复杂，随时随地都可能发生变化。这就导致舰船在六个自由度上的运动具有不可测性，也即存在非线性。从而很难仅仅通过以往获取的运动数据预测舰船短期内的运动状态。本文将通过灰色系统理论中的拓扑预测方法对舰船进行运动预报。

1 灰色系统理论和拓扑预测法 1.1 灰色系统理论

灰色系统理论是一种研究少量数据不确定性的理论，并且专门是指灰色不确定性数据。其研究的对象一般具有“部分信息已知，部分信息未知”的特点，并且具有小样本特性^[6]。灰色系统理论可以通过研究分析部分数据实现指导现实世界工程的目的。灰色系统理论的基本原理包括默承认原理、默否认原理、信息认知原理、解的非唯一性原理、最少信息原理、信息优先原理和差异信息原理等。主要内容包括灰色关联分析、灰色GM模型和灰色理论预测。

灰色系统理论的核心是灰色GM模型，通过GM模型可以生成数据分析所需要的函数和灰色微分方程，这两者分别是动态模型的基础和核心。灰色系统理论处理灰色数据的指导思想不是寻找这些数据之间的规律性，而是通过建立模型将这些数据整理成具有一定规律满足一特定需求的数据。

累加生成和累减生成是数据处理的2种方式。前者是指将数列X所有的数据依次累加，最后得到一个新的数列，也即累加生成数列。记起始数列：

$ {X^{(0)}} = ({X^{(0)}}(1),{X^{(0)}}(2),...,{X^{(0)}}({n})), $

(1)

累加生成数列为：

$ {X^{(1)}} = ({X^{(1)}}(1),{X^{(1)}}(2),...,{X^{(1)}}({n})), $

(2)

则2个数列之间满足：

$ {X^{(1)}}(k) = \sum\limits_{i = 1}^k {{X^{(0)}}} (i)。 $

(3)

其中k=1，2，…，n。

累加生成的逆变换就累减生成，假设原始数列为：

$ {X^{(1)}} = ({X^{(1)}}(1),{X^{(1)}}(2),...,{X^{(1)}}({n})), $

(4)

经过累减生成的数列为：

$ {X^{(1)}} = ({X^{(0)}}(1),{X^{(0)}}(2),...,{X^{(0)}}({n})), $

(5)

则

$ \left\{ \begin{array}{l} {X^{(0)}}(1) = {X^{(1)}}(1)\\ {X^{(0)}}(k) = {X^{(1)}}(k) - {X^{(1)}}(k - 1)。 \end{array} \right. $

(6)

其中k=2，3，…，n。

1.2 拓扑预测法

“接近”是拓扑的基本概念，灰色拓扑是指利用这个思想制定特定的阈值，以此将数据切割成不同部分。图形预测是拓扑预测的基本形式。进行灰色拓扑预测时，通常是对一个GM（1，1）模型群进行分析和预测，其中每个模型对应一个设置好的阈值。

首先，在直角坐标系中，对给定的原始数列通过连接（k，X^（0）（k））各点得到1条X^（0）的折线，记为X，接着按特定需求选定N个阈值ξ（i=1，2，…，n），令$\min {X^{(0)}} \leqslant {\xi _i} \leqslant \max {X^{(0)}}$，$\min {X^{(0)}} = \min \{ {X^{(0)}}(k)\} $，$\max {X^{(0)}} = \max \{ {X^{(0)}}(k)\} $。

ξ_i都与X有p_i + 1个交点，记第1个交点的横坐标为$X_{{\xi _i}}^{(0)}(q)$（q=1，2，…，p_i），从而可以得出由所有交点的横坐标所组成的数列：

$ X_{{\xi _i}}^{(0)}:X_{{\xi _i}}^{(0)} = (X_{{\xi _i}}^{(0)}(1),X_{{\xi _i}}^{(0)}(2),...,X_{{\xi _i}}^{(0)}({p_i})), $

(7)

对任意$X_{{\xi _i}}^{(0)}$（i=1，2，…，n），建立相应的模型GM（1，1）：

$ \frac{{{\rm{d}}X_{{\xi _I}}^{(1)}}}{{{\rm{d}}t}} + {a_i}X_{{\xi _I}}^{(1)} = {u_i},i = 1,2,...,n, $

(8)

相应的响应函数也记为$X_\xi ^{(1)}$离散预测数列：

$ X_{{\xi _I}}^{(1)}(k + 1) = (X_{{\xi _I}}^{(1)}(1) - \frac{{{u_i}}}{{{a_i}}}){e^{ - {a_i}k}} + \frac{{{u_i}}}{{{a_i}}}。 $

(9)

其中i=1，2，…，n。

最后进行数据的还原，GM（1，1）模型得到的数列需经式（9）进行逆变换，以此得到原始数列。

2 舰船运动的拓扑模型及数据实验 2.1 拓扑模型

建模过程如下：

1）选取适当的阈值。阈值大小依据舰船纵摇角度决定；

2）求交点横坐标。ξ_i与纵摇角度数据构成折线X的交点；

3）ξ_i与X有n组交点，每个横坐标值减去第一个交点横坐标值，从而有n组相对横坐标，记为$X_{{\xi _i}}^{(0)}$（i=1，2，…，n），以此建立GM（1，1）模型群；

4）通过模型可以得到相应的预测序列；

5）还原所得的所有预测序列；

6）根据以上获得的序列可以知道纵摇角度数据下的时刻预测点；

7）进行预测值与真实值的误差校验。

2.2 数据实验

以下针对纵摇角度数列在t=472和t=526时间段建立拓扑模型。表 1列出了纵摇角度数列${X^{(0)}} = ({X^{(0)}}(472),{X^{(0)}}(473),...,{X^{(0)}}(526))$的数值。

通过t=472~514时刻段的数据来预测t=515~526之间的数据。根据拓扑模型建模可知，序列${X^{(0)}} = ({X^{(0)}}(472),{X^{(0)}}(473),...,{X^{(0)}}(54))$中max和min值依次为$M = \max {X^{(0)}}(i) = 1.98$，$m = \min {X^{(0)}}(i) = - 3.101$，i=472，743，…，514。表 2为所取的14个阈值。

阈值与原始数据X^（0）交点横坐标如图 1所示。

通过计算可以得到各交点到原点的相对横坐标值，以及建立14个对应的GM（1，1）模型和相应的响应函数。最后得到预测值与真实值之间的相对误差如表 3所示。

最后经过残差计算可得平均残差和平均相对误差值分别为0.119 4和15.05%，可以看出模型预测很精准。

3 结语

本文首次提出应用灰色系统理论进行舰船运动预报的研究，从多个角度对纵摇角度进行深入预测。预测结果都在一定的误差范围内，具有一定的可行性和有效性。