0 引言

船舶的运动控制一直都是船舶系统中的重中之重，尤其在复杂的海洋环境中，要实现对船舶的航迹控制，必须对控制系统中的各种不确定因素做到非常精确的把握^[1-3]。因此本文对船舶运动奇异系统的工作原理进行了研究，并设计了相应的控制器，从内部的稳定度控制和非线性跟踪2个方面对此系统的鲁棒性能展开深入的研究。

1 船舶运动奇异系统控制器的设计

本文设计的系统控制器，满足如下的奇异系统：

$ \begin{array}{l} \mathop E\nolimits_{\sigma (t)} \dot x(t) = \mathop A\nolimits_{\sigma (t)} x(t),\\ x(0) = \mathop x\nolimits_0 。 \end{array} $

(1)

上述系统的初始值为$x(t) \in \mathop R\nolimits^n ,\mathop x\nolimits_0 \in \mathop R\nolimits^n $，并且满足系统转换规则：

$ \sigma (t):\mathop R\nolimits^ + \to \{ 1,2,...,p\} , $

(2)

上述的转换规则表示的是分段且连续的函数，p为系统交换模式的数量，并且满足i∈{1，2，…，p}，E_i和A_i为转换规则中的常数矩阵。

假设运动系统中的阶数表示为E_i=r≤n，采用（E_i，A_i）为第i个子系统的控制状态。设系统的转换常数t_i，满足

$ \begin{array}{l} 0{\rm{ = }}\mathop t\nolimits_0 < \mathop t\nolimits_1 < \ldots < \mathop t\nolimits_i < \mathop t\nolimits_{i + 1} < \ldots ,\\ \sigma (t) = \mathop \sigma \nolimits_i ,t \in [\mathop t\nolimits_i ,\mathop t\nolimits_{i + 1} ),\mathop \sigma \nolimits_i \in \{ 1,2,...,p\} 。 \end{array} $

(3)

注意到，σ（t）的平均停留时间为τ_a，若存在正数N₀，需要使N_σ（τ，t）满足

$ \mathop N\nolimits_\sigma (\tau ,t) \leqslant \mathop N\nolimits_0 + \frac{{t- \tau }}{{\mathop \tau \nolimits_a }},t \geqslant \tau \geqslant 0, $

(4)

式中N₀为系统的最佳约束距离。

对于系统中的每个i∈{1，2，...，p}，船舶运动奇异系统（E_i，A_i）需要满足2个条件：

1）奇异系统中的行列式（sE_i-A_i）非0；

2）在行列式sE_i-A_i中的多项式与E_i的秩相等。但是，在船舶运动奇异系统中，由于鲁棒性的要求，奇异系统（E_i，A_i）一般为无脉冲的常规控制信号^[4]。

对于控制信号矩阵|E_i|=r≤n，系统中必然存在非奇异矩阵M_i和N_i，令（E_i，A_i）的分解形式满足如下形式：

$ \begin{array}{l} \mathop {\mathit{\boldsymbol{M}}}\nolimits_i \mathop {\mathit{\boldsymbol{E}}}\nolimits_i \mathop {\mathit{\boldsymbol{N}}}\nolimits_i = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop I\nolimits_r } & 0\\ 0 & 0 \end{array}} \right] = :\bar {\mathit{\boldsymbol{E}}},\\[10pt] \mathop {\mathit{\boldsymbol{M}}}\nolimits_i \mathop {\mathit{\boldsymbol{A}}}\nolimits_i \mathop {\mathit{\boldsymbol{N}}}\nolimits_i = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop A\nolimits_{11} (i)} & {\mathop A\nolimits_{12} (i)}\\ {\mathop A\nolimits_{21} (i)} & {\mathop A\nolimits_{22} (i)} \end{array}} \right] = :\mathop {\bar {\mathit{\boldsymbol{A}}}}\nolimits_i 。\\[10pt] \mathop A\nolimits_{22} (i) \in \mathop R\nolimits^{(n- r) \times (n- r)} \end{array} $

(5)

上述的船舶运动奇异系统中，每个部分的转换都是分段且光滑的，因此，在奇异系统中，并不会出现所谓的狄拉克脉冲^[5-6]。

假设系统的状态转换方程为：

$ \bar x(t) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\bar x}\nolimits_1 (t)}\\ {\mathop {\bar x}\nolimits_2 (t)} \end{array}} \right] = \mathop N\nolimits_{\mathop \sigma \nolimits_i }^{- 1} x(t),t \in [\mathop t\nolimits_i ,\mathop t\nolimits_{i + 1} ), $

(6)

坐标系统下变换为新的形式为：

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{{\bar{\dot{x}}}_1}\left( t \right)= {\rm{ }}{A_{11}}(\sigma (t)){{\bar x}_1}(t) + {\rm{ }}{A_{12}}(\sigma (t)){{\bar x}_2}(t)},\\ {0 = {\rm{ }}{A_{21}}(\sigma (t)){{\bar x}_1}(t) + {\rm{ }}{A_{22}}(\sigma (t)){{\bar x}_2}(t)}。 \end{array} $

(7)

建立新的鲁棒时滞系统：

$ \begin{array}{*{20}{l}} {dx\left( t \right)\!=\![{A_0}x(t) \!+\!{A_1}x(t- \tau )\!+\!{B_0}u(t)\!+\!{G_0}v(t)]dt\!+\!}\\ {[{A_2}x(t)\!+\!{A_3}x(t- \tau )\!+\!{B_1}u(t)\!+\!{G_1}v(t)]d\omega (t)},\\ {z(t)\!=\!Cx(t)\!+\!Du(t)}。 \end{array} $

(8)

得到状态反馈控制器状态方程为：

$ u(t) = Kx(t)。 $

(9)

2 系统鲁棒H∞稳定性分析与仿真 2.1 内外部的稳定度计算

船舶运动系统的奇异系统，其控制器表达式为

$ u(t) = Kx(t), $

(10)

上述的控制器方向在系统的内部随机稳定，此时若v（t）=0，则可能存在某个维数的矩阵X > 0，S > 0，Y满足：

$ \left[\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_0}X \!+\! XA_0^{\rm{T}} \!+\! {B_0}Y \!+\! {Y^{\rm{T}}}B_0^{\rm{T}} \!+\! S} \,\,\,\,\, {{A_1}X} \,\,\,\,\, {XA_2^{\rm{T}} \!+\! {Y^{\rm{T}}}B_1^{\rm{T}}}\\[4pt] \quad\quad{XA_1^{\rm{T}}} \quad \quad\quad\quad\quad\quad{- S}\quad\quad {XA_3^{\rm{T}}}\\[3pt] {{A_2}X + {B_1}Y}\quad\quad\quad\quad\quad {{A_3}X} \quad\quad{- X} \end{array}}\!\! \right] < 0。 $

(11)

此时的系统也是随机稳定的。

通常，会采用变换矩阵K=YX^-1对系统运动的状态反馈控制器进行变换。

2.2 控制器仿真

设计反馈控制器方程为：

$ \tau = \alpha (\dot \theta ,\theta ,\xi ), $

(12)

在运动奇异闭环系统中满足：

1）当输入系统的随机扰动处于合理范围内时，此时具备了鲁棒稳定性。

2）对于运动的位置指令θ_d，船舶的预测跟踪误差为

$ e(t) = \theta- {\theta _d}, $

(13)

并且逐渐接近0。

因此，设计变量参数j_i与d_i，随上述的奇异系统进行非线性补偿：

$ \tau = J(\theta ){\rm{u}} + f(\theta ,\dot \theta ) + D\dot \theta , $

(14)

式中，${\mathit{\boldsymbol{u}}} = {[{u_1}\;\;{u_2}]^{\rm{T}}}$表示系统的输入信号矩阵。代入式（14）可以得到：

$ \ddot \theta = {\mathit{\boldsymbol{u}}} $

(15)

为了能够对运动轨迹进行精确的跟踪，同时误差控制在合理范围内，对系统的状态变量进行优化，得到：

$ x = {[{\dot \theta _1}\;\;{\dot \theta _2}\;\;{\theta _1}\;\;{\theta _2}]^{\rm{T}}}, $

(16)

变换后的状态方程为：

$ \dot x = {\mathit{\boldsymbol{A}}}x + {\mathit{\boldsymbol{B}}}u。 $

(17)

为了克服在建模过程中引入的干扰信号，需要在奇异系统中加入一定的时滞补偿，其输入量的方程表示为：

$ dx(t)\!=\![{\mathit{\boldsymbol{A}}}x(t)\!+\!{{\mathit{\boldsymbol{A}}}_1}x(t- 1)\!+\!{\mathit{\boldsymbol{B}}}u(t)]dt\!+\!{{\mathit{\boldsymbol{A}}}_2}x(t)d\omega (t), $

(18)

仿真时，设计了如下2个子系统进行验证：

$ \begin{array}{l} \mathop {\mathit{\boldsymbol{E}}}\nolimits_1 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}} \right],\mathop {\mathit{\boldsymbol{A}}}\nolimits_1 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2 & 1 & 4\\ {- 1} & {- 1} & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{array}} \right],\\ \mathop {\mathit{\boldsymbol{E}}}\nolimits_2 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}} \right],\mathop {\mathit{\boldsymbol{A}}}\nolimits_1 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {- 1} & 2 & 0\\ {- 4} & {- 1} & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{array}} \right]。 \end{array} $

(19)

假设子系统（E₁，A₁）是不稳定的，而子系统（E₂，A₂）是稳定的，都满足：

$ \mathop \lambda \nolimits_1 = \mathop \lambda \nolimits^U = 1\;\;且\;\;\mathop \lambda \nolimits_2 = \mathop \lambda \nolimits^S =- 0.9, $

(20)

则可以断定$(\mathop E\nolimits_i ,\mathop A\nolimits_i- \mathop \lambda \nolimits_i \mathop E\nolimits_i ),(i = 1,2)$为稳定的。

当设置参数满足λ=0.5，λ^*=0.65，发现转换条件

$ \frac{{\mathop T\nolimits^S (0,t)}}{{\mathop T\nolimits^U (0,t)}} \geqslant \frac{{\mathop \lambda \nolimits^U + \mathop \lambda \nolimits^* }}{{- \mathop \lambda \nolimits^S- \mathop \lambda \nolimits^* }} = 5.7。 $

(21)

上述的x₁，x₂状态响应如图 1所示，而加入了干扰信号的x₁，x₂，x₃状态响应如图 2所示。

3 结语

船舶运动控制系统的复杂度决定了其必须具备极高的稳定度，只有这样才会满足人们对航行安全的需求，本文基于奇异系统的控制器，具备了良好的鲁棒H_∞性质，仿真结果也满足要求。