0 引言

全球经济不断发展，陆上运输早已不堪重负，从而反过来影响了货物流通的效率^[1]。因此，水上运输成为了人们关注的重点，并且每年都投入巨大成本来开发水上运输技术，不仅有航道的开发，还有船舶设计和制造技术的开发^[2]。船舶运输行业的发展一定程度上缓解了全球运输业的效率拥塞问题。

经过多年的发展，船舶种类已经到了更新换代的时刻^[3]。具有高航速、经济性高、航速快和适航性好等优点的船舶已经成为人们的追求目标。因为高航速时阻力小、破舱稳定性高、甲板宽度大和适航性好等优点，目前五体船已受到广泛关注^[4]。作为高速多体船，其还具有优秀的耐波性。如图 1所示是五体船概念图。

但是，五体船的发展仍然不够完善，还有可以优化的空间。本文将基于多目标遗传算法，对五体船主尺度设计进行优化^[5]。

1 多目标问题和五体船主尺度优化问题 1.1 多目标问题

多目标优化是科学研究求解问题的重要方式之一。下面简单介绍一下多目标优化的数学描述。多标准问题是其另一种名称，相比于单目标的形式，多目标的形式更加复杂，一般描述如下：

$\left\{ \begin{array}{l} \min \;{f_1}({x_1},{x_2},...,{x_n}),\\ \;\;\;\;\;...\\ \min {f_r}({x_1},{x_2},...,{x_n}),\\ \max \;{f_{r + 1}}({x_1},{x_2},...,{x_n}),\\ \;\;\;\;\;...\\ \max \;{f_m}({x_1},{x_2},...,{x_n}),\\ {\rm{s.t.}}\;{g_i}(x) \geqslant 0,i = 1,2,...,p\\ \;\;\;{h_j}(x) = 0,j = 1,2,...,q \end{array} \right.$

(1)

其中，${f_i}(x),(i = 1,2,...,m)$是目标函数；${g_i}(x),{f_i}(x)$是约束函数；$x = {({x_1},{x_2},...,{x_m})^{\rm{T}}}$是n维设计变量；式（1）的可行域如下：

$\begin{array}{l} X = \{ x{\rm{|x}} \in {{\rm{R}}^{\rm{n}}},{g_i}(x) \leqslant 0,{h_j}(x) = 0,\\ i = 1,2,...,p,j = 1,2,...q\} 。 \end{array}$

(2)

考虑到不失一般性，可得如下标准模型;

$\left\{ \begin{array}{l} \min y = f(x) = {({f_1}(x),{f_2}(x),,...,{f_{\rm{m}}}(x))^{\rm{T}}},\\ s.t.\;{g_i}(x) \leqslant 0,i = 1,2,...,p。 \end{array} \right.$

(3)

其中，$x \!\!=\!\! ({x_1}, \!{x_2}, \! ... \! , \! {x_m}) \!\! \in\! \! {V_x} \subset {R^n}$和$y \!\! =\!\! ({y_1},{y_2}, \! ...\! , \!{y_m})\!\! \in \!\!{V_f} \subset {R^m}$分别为n维决策矢量和m维目标矢量，${V_{x}}$和${V_{f}}$分别为n维决策空间和m为目标空间。

1.2 五体船主尺度优化问题

船舶设计之初，首先需要设定的问题之一是主尺度问题，这决定着船舶的性能和经济性。简化后，这个问题可以看作是多目标优化问题。通过将影响五体船主尺度的各种因素当成自变量，并通过多目标问题求解的方式来得出最优解组合。对五体船模型进行分析时，可以看出影响其主尺度的因素有：水下船体最大宽度、甲板最大宽度、吃水、干舷和水下船体宽度等。实际当中，类似的因素非常多，如果都设为自变量，那么问题将变得十分复杂，不易于对关键因素的优化。因此，可以简化掉影响较小的因素。优化的方法如下：

方法1 设变量为n维向量$x = {[{x_1},{x_2},...,{x_n}]^{\rm{T}}}$。通过矩阵C将其转化成变量y，其中${x_{10}},{x_{20}},...,{x_{n0}},$分别是${X_0}$的分量值。

$y = Cx = \left[ \begin{array}{l} \frac{1}{{{x_{10}}}}\\ \;\;\;\frac{1}{{{x_{20}}}}\;\\ \;\;\;\;\;\;\;...\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{{{x_{n0}}}} \end{array} \right]\left[ \begin{array}{l} {x_1}\\ {x_2}\\ ...\\ {x_{n0}} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} \frac{{{x_1}}}{{{x_{10}}}}\\ \frac{{{x_2}}}{{{x_{20}}}}\\ ...\\ \frac{{{x_n}}}{{{x_{n0}}}} \end{array} \right]。$

(4)

此种方式跟初始设计点有关。

方法2 假设变量的上限和下限已知，比如${x_{il}}$和${x_{{iu}}}$分别为x的第i个变量的上下界，由此变换后对应的y的变量y_i如下：

${y_i} = \frac{{{x_i} - \frac{1}{2}({x_{iu}} - {x_{il}})}}{{{x_{iu}} - {x_{il}}}}。$

(5)

通过这种方式，可以明确地在已知范围内建立超立方体，相比于方法1，这种方法较好。

2 基于多目标遗传算法的五体船主尺度优化设计 2.1 NSGA-Ⅱ遗传算法仿真过程描述

本节将通过NSGA-Ⅱ算法来求解五体船主尺度的多目标优化问题，同时在Matlab下编写仿真程序^[6]。该算法的主要流程是：首先设置决策变量和目标函数，然后根据用户输入的种群规模、迭代次数和约束条件建立优化分析模型，接着根据设置的优化计算参数进行多目标优化的求解计算，最后保存和显示优化结果。本算法采用的多目标优化算法的数学模型如下：

$\left\{ \begin{array}{l} \min \;{f_1}({x_1},{x_2},...,{x_n}),\\ \min {f_2}({x_1},{x_2},...,{x_n}),\\ \;\;\;\;...\\ \max \;{f_m}({x_1},{x_2},...,{x_n}),\\ {\rm{s.t.}}\;{g_i}(x) \geqslant 0,\\ \;\;\;x = {({x_1},{x_2},...,{x_n})^{\rm{T}}} \in \Omega 。 \end{array} \right.$

(6)

其中，${f_i}(x),(i = 1,2,...,m)$为目标函数；${g_i}(x)({x_1},{x_2},...,{x_n})$为约束函数；n维决策函数为$x = {({x_1},{x_2},...,{x_n})^{\rm T}} \in \varOmega $，Ω为可行域。

2.2 程序测试

程序设计完成之后，必须通过测试才能知道其是否正确，同时还需要通过测试来确定程序的性能和效率。本小节将主要通过以下测试函数来测试程序。

1）测试函数Pareto

$\left\{ \begin{array}{l} \min {f_1}(x) = {x^2},\\ \min {f_2}(x) = {(x - 2)^2},\\ x \in [ - 5,7]。 \end{array}\right.$

(7)

种群规模设置为100，迭代次数为50，交叉概率选择0.9，得到的Pareto前沿图如图 2所示。

可以看出，即使采用很小的迭代次数和种群规模，也能够获得比较理想的Pareto前沿图。也就是说本文设计的程序具有可行性。

2）凹函数

模型为：

$\left\{ \begin{array}{l} \min {f_1}(x) = x_1^2 + x_2^2{^{1/8}},\\ \min {f_2}(x) = {\left( {{{\left( {{x_1} - 0.5} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - 0.5} \right)}^2}} \right)^{1/4}},\\ {x_1},{x_2} \in [ - 5,10]。 \end{array} \right.$

(8)

种群规模设置为100，迭代次数为50，交叉概率选择0.9，得到的Pareto前沿图如图 3所示。可以看出本文设计的程序对于凹函数的多目标优化问题，仍然非常高效，所的曲线非常顺滑。因此，本程序具有相当的可行性。

由上面2个测试函数的前沿图可以看出来，本文设计的仿真程序具有非常高的效率，且具有很好的可行性。因此，结论是：本文设计的仿真程序具有可行性，可以采用。

3 结语

本文结合多目标遗传算法充分分析了五体船主尺度优化的问题，并且设计的优化程序具有可行性，可以采用。