0 引 言

空泡（亦称空化）是一种由于液体局部压力低于汽化压力而产生的液体汽化现象，它包括气穴（或者是气泡）的形成和溃灭^[1]。空泡一般产生于螺旋桨、水翼和舵上，造成较为严重的水动力损失、噪声、剥蚀和振动等结果^[2-3]。因此，研究空泡现象对于水动力研究至关重要。

片空泡作为一种主要的空泡形式，对升力的损失有着重要影响。同时，片空泡周期性的脱落还导致了流动的不稳定性，片空泡的溃灭也造成了振动和噪声等现象^[4]。尽管试验观测在空泡的研究中依然有着不可取代的作用，但随着计算能力的飞跃式进步，通过数值计算的方式研究空泡现象得到越来越多人的认可。数值计算能提供试验难以测量的流场细节，方便学者进行深入研究。无论是试验观测还是数值模拟，尺度效应都是不可避免的问题。对实尺度的初始空泡数进行预报时，一般会先测量计算出尺寸较小模型的初始空泡数，再利用尺度效应公式推导出实尺度的初始空泡数。试验中模型尺度的雷诺数远小于实尺度，在模型尺度与实尺度的尺度换算中，尺度效应的影响不可忽略。

本文以翼剖面为 NACA0009 翼型的扭曲水翼为研究对象，通过建立在 LES 湍流模型上的 Zwart et al 空泡模型计算一定空泡数下的流动状态，并与实验值进行对比。在此基础上，分别计算出不同尺寸和速度下的初始空泡数，分析速度和尺寸变化对片初始空泡数的影响，回归出相应的函数曲线，提出新的片空泡尺度效应公式。

1 数值方法 1.1 LES 湍流模型

湍流流动中包含着各种尺度的湍流结构，大尺度涡主要指尺寸大于平均流动（注：剪切层厚度）的湍流结构。与大尺度涡相比，小尺度涡主要起着耗散湍流能量的作用。基于该基本现象，LES 使用直接数值求解的方法计算大尺度涡，建立模型求解小尺度涡。模型中分离大小尺度涡的分界尺度称为过滤尺度，用 ∆ 表示。它相较于普通的 RANS 模型要求更细致的网格分布和更多的计算资源^[5]。

进行大涡模拟一般有以下 3 个步骤：首先将流动的物理量分解为可解尺度和不可解尺度，常用的方法为低通过滤；其次，要给出大尺度涡的控制方程；最后，还需要小尺度脉动对大尺度脉动的封闭模型。

LES 的控制方程为：

$ \frac{{\partial \overline {{u_i}} }}{{\partial t}} + \frac{{\partial \overline {{u_i}{u_j}} }}{{{x_i}}} =-\frac{1}{\rho }\frac{{\partial \overline p }}{{\partial {x_i}}} + \nu \frac{{{\partial ^2}\overline {{u_i}} }}{{\partial {x_i}\partial {x_j}}} + \frac{{\partial \overline {{\tau _{ij}}} }}{{\partial {x_j}}}, $

(1)

其中 $\overline {{\tau _{ij}}} = (\overline {{u_i}} \overline {{u_j}}-\overline {{u_i}{u_j}} )$，$\overline {{\tau _{ij}}} $ 为亚网格应力，亚网格应力是指过滤后的小尺度湍流脉动和大尺度涡之间的能量耗散与传输。亚网格应力的表示形式为：

$ \overline {{\tau _{ij}}} = {L_{ij}} + {C_{ij}} + {R_{ij}}, $

(2)

其中L_ij，C_ij 和R_ij 分别为：

$ {L_{ij}} = (\overline {{u_i}} \overline {{u_j}}-\overline {\overline {{u_i}} \overline {{u_j}} } ), $

(3)

$ {C_{ij}} = (\overline {\overline {{u_i}} u_j^{''}}-\overline {\overline {{u_j}} u_i^{''}} ), $

(4)

$ {R_{ij}} =-\overline {u_i^{''}u_j^{''}} {\text {。}} $

(5)

式中：L_ij 为 Leonard 应力，表示大尺度涡之间的相互作用；C_ij 为交互应力，表示大尺度涡和小尺度涡之间的相互作用；R_ij 为亚网格雷诺应力，表示小尺度涡之间的相互作用。

1.2 Zwart et al 空泡模型

通过假设系统内所有气泡具有相同的尺寸，Zwart 提出使用气泡密度（n）来计算整个单位体积内汽液相间质量传输率（R），单个气泡的质量传输率为：

$ R = n \times \left( {4\pi R_B^2{\rho _v}\frac{{D{R_B}}}{{Dt}}} \right), $

(6)

代入n 的值，可以得到净质量传输的表达式：

$ R = \frac{{3\alpha {\rho _v}}}{{{R_B}}}\sqrt {\frac{2}{3}\frac{{{P_B}-P}}{{{\rho _l}}}}, $

(7)

从式（1）可以得到，单位体积内的质量传输率仅仅与气相密度（ρ_v）有关，在该模型中，R 与液相以及混合密度无关。最终的空泡模型如下：

当P ≤P_v 时：

$ {R_e} = {F_{vap}}\frac{{3{\alpha _{nuc}}(1-{\alpha _v}){\rho _v}}}{{{R_B}}}\sqrt {\frac{2}{3}\frac{{{P_B}-P}}{{{\rho _l}}}}\text{，} $

(8)

当P ＞P_v 时：

$ {R_c} = {F_{cond}}\frac{{3{\alpha _v}{\alpha _v}{\rho _v}}}{{{R_B}}}\sqrt {\frac{2}{3}\frac{{{P_B}-P}}{{{\rho _l}}}} {\text {。}} $

(9)

式中：R_B = 10^-6 m 为气泡半径；α_nuc = 5 × 10^-4 为气核体积分数 ；F_vap = 50 为汽化系数；F_cond = 0.01 为凝结系数 。

2 计算模型和网格划分

计算模型为矩形翼的扭曲水翼，弦长 0.15 m，展长 0.3 m，剖面为 NACA0009 翼型，其中，攻角α（$\overline z$）为关于无因次距离 $\overline z$ 的三次多项式函数，具体表达式为：

$ \alpha (\overline z ) = {\alpha _{\max }}\left( {2{{\left| {\overline z } \right|}^3}-3{{\overline z }^2} + 1} \right) + {\alpha _{wall}}{\text {。}} $

(10)

其中 $\overline z$ =z/c 为沿展长方向的无因次距离，并满足 $\overline z$ = [-1，1]，α_max = 11°，α_wall =-2°。为与试验条件保持一致，设置来流入口处距离水翼为 3 倍弦长，出口处距离水翼 2 倍弦长。由于水翼左右对称，为节省计算资源，只计算水翼的一半即可。具体模型如图 1 所示。

根据计算域的几何形状，主要使用 O-H 型网格对计算域进行整体网格划分，第 1 层网格尺度y⁺ 在 1-30 之间，网格数量为 700 万。图 2 所示为 LES 模型的网格划分。

3 水翼空泡模拟

为与试验条件保持一致，设定空泡数为 1.07，出口处压力设置为 29 484 Pa，使用建立在 LES 湍流模型上的 Zwart et al 空泡模型计算水翼流场。图 3 给出了一个周期内片空泡生成和脱落的 CFD 计算结果和试验结果^[6]。CFD 显示结果为α_V = 0.1 的等值面。其中，α_V 为蒸汽体积分数。

如图 3 所示，LES 湍流模型的计算结果与实验结果吻合较好，不仅能模拟出空泡形成的准确区域，还清楚完整显示了片空泡的脱落过程，包括初次脱落、二次脱落及空泡雾化等具体细节。这显示了 LES 湍流模型在模拟空泡方面的显著优势。片空泡的脱落周期分以下几个步骤：

1）第 1 阶段（图 3（a）和图 3（b））。此时片空泡以达到最大尺寸，空泡边线处出现许多微小气泡（由于网格密度的问题，CFD 模拟中不能捕捉到该气泡），同时，在片空泡的尾端处已出现小范围空隙，该空隙在 LES 计算结果中也有清楚的显示。

2）第 2 阶段（图 3（c）~图 3（f））。此时由于回射流的影响，完整的片空泡被逐渐分割开来，尾端小块的空泡开始聚集起来并发生初次脱落。一般认为回射流位于气穴下方，在空泡体积未达到最大时便已出现，是导致空泡脱落的重要原因^[7]。脱落的空泡因压力原因逐渐稀释变为雾状空泡并慢慢消失。

3）第 3 阶段（图 3（g）~图 3（j）。当初次脱落完成后，附着片空泡在尾端的左右两侧开始发生二次脱落，脱落过程与初次脱落相似，但脱落的空泡体积较小。在二次脱落完成以后，片空泡的体积开始逐渐增大，开始进入下一脱落周期。

4 片空泡尺度效应研究 4.1 速度影响研究

一般研究认为，同一尺寸模型在保证空泡数不变的情况下改变来流速度，应该有相同的空泡形态：随着流速的改变，空泡发展的面积没有明显的变化^[8]。表 1 给出了不同来流速度下水翼初始空泡数的大小。从中分析发现，不同来流速度下初始片空泡数σ 的变化幅度小于 2%，且初始片空泡数与来流速度的相关性较差。虽然来流速度的变化显著的影响着片空泡生成的临界压力值，但从总体上来说，空泡数保持在一个相对稳定的范围内，可以得出结论：来流速度对初始片空泡数基本无影响。这也进一步印证了经典空泡理论的相关结论（注：在这里认为总蒸汽体积分数V_vap 介于 1.2 × 10^-8～1.4 × 10^-8 时空泡处于初生状态）。V_vap 的表达式为：

$ {V_{vap}} = \sum\limits_{i = 1}^N {{\alpha _i}} {V_i}{\text {。}} $

(11)

4.2 尺寸影响研究

一般来讲，尺寸差异带来的影响是尺度效应研究的主要内容。与速度影响相同，随着尺度增大，空泡发展的绝对面积越大。因此，为保证水翼处于空泡初生状态，在增大尺寸的同时，必须同时提高环境压力，也就是增大初始空泡数。对于不同尺寸的空泡初生状态，可以从以下 2 个标准进行判断：一是设定总蒸汽体积分数V_vap 为一定值；二是设定V_vap 为随着尺度变化的变量。标准 1 只考虑了环境中水蒸汽含量，认为水蒸汽含量达到一定便判定空泡初始；标准 2 则认为在判定空泡初始时，各尺寸应具有相同的空泡发展情况。图 4 给出了不同尺寸在 2 个标准下下水翼初始空泡数的大小。

使用 Matlab 对离散点作曲线回归，得到相应的函数表达式，其中x 为三维水翼的弦长：

$ {\sigma _i} = a \cdot {e^{bx}} + c \cdot {e^{dx}}{\text {。}} $

(12)

a，b，c，d 的具体值如表 2 所示。

图 4 显示了模型尺度对初始片空泡数的影响。从中分析发现，标准 1 下，初始片空泡数的变化幅度较大（介于 1.9～2.8 之间），且随尺度增大呈相关变化；而标准 2 下尺度变化对初始片空泡数有影响，但影响较小（介于 2.43～2.56 之间）。从以上分析可以得出结论，除对产生水蒸汽的含量有较高要求的领域外，尺寸的改变对片空泡的形成和发展有影响，但该影响并不大。图 5 显示了在相同空泡数，不同尺寸下三维水翼片空泡的计算结果。从中可发现，三维水翼空泡发展的相对面积有差别，但该差别很小，这也印证了标准 2 的计算结果：在片空泡具有相同发展面积的情况下，各尺寸模型的空泡数相差不大。从对图 5 的分析中也可进一步得出结论：不同尺寸下片空泡发展的相对面积相差不大，也可以说明片空泡的尺度效应影响较小。

在对初始片空泡数尺度效应公式的运用中，当涉及的具体工况对产生水蒸汽的含量有较高要求时，建议采用标准 1 的尺度效应公式；除此之外，建议使用标准 2 的尺度效应公式。

5 结 语

本文应用 LES 模型计算了翼剖面为 NACA0009 翼型的扭曲水翼片空泡，并研究了来流速度和模型尺寸对片空泡初生和发展的影响，得到了以下结论：

1）LES 湍流模型的计算结果与实验结果吻合较好，不仅能模拟出空泡形成的准确区域，还清楚完整的显示了片空泡的脱落过程，包括初次脱落、二次脱落以及空泡雾化等具体细节。

2）虽然来流速度的变化显著的影响着片空泡生成的临界压力值，但从总体上来说，空泡数保持在一个相对稳定的范围内，可以得出结论：来流速度对初始片空泡数基本无影响。

3）除对产生水蒸汽的含量有较高要求的领域外，尺寸的改变对片空泡的形成和发展有影响，但该影响并不大。总的来说，片空泡的尺度效应影响较小。