0 引言

建立数学模型是分析系统性能、控制器设计及系统仿真的关键。船舶运动数学模型一般可由理论推导、系统辨识、实船试验等方法获得^[1-6]。船舶运动数学模型是否有较高的精度一切以是否与实船试验结果符合较好为标准, 实船试验费用太昂贵, 数字仿真试验不直观。本文希望以 Matlab 电路系统工具箱中的电路元件搭建一个系统, 来实现软件半物理仿真, 其数学方程与推导的船舶运动数学方程相同。文献^[1]介绍了一种电路网络的快速建模方法, 本文将其反过来使用, 即将数学模型变成电路网络, 使之等效于船舶 Nomoto 模型。Nomoto 模型虽然是一种最简单的船舶运动数学模型, 但因其参数只有 2 个且物理意义明显, 故在船舶操纵性能预报和线性控制器设计等方面仍然具有较好的应用价值。相对地, 以日本学派为代表的船舶运动分离型数学模型和以欧美学派为代表的整体型船舶运动数学模型因参数众多, 且大部分参数求取使用回归公式或经验公式, 对于新型船舶或大型船舶, 其模型的精度并不能保证。故本文研究使 Nomoto 模型形象化仍然具有较好的实用价值。

1 等效电路

式(1) 给出了从舵角输入 δ 到船首向输出 ψ 的传递函数形式 Nomoto 数学模型 G(s), 式中 K 和 T 在航海领域中分别称为旋回性指数和追随性指数。

$G{\rm{(}}s{\rm{)}} = \frac{\psi }{\delta } = \frac{K}{{s(Ts + 1) }}\text{, }$

(1)

观察式(1) 可知它由比例、积分和一阶惯性 3 个环节组成。比例和积分环节的实现需要放大器元件, 而一阶惯性环节可由一阶 RC 网络实现。将文献^[1]中使用电路网络法获得传递函数数学模型理解透彻后, 可反过来使用该方法, 将传递函数的数学模型变成电路网络, 图 1 给出了式(1) 最后的实现电路。

由文献^[1]给出的快速推导传递函数数学模型方法, 该电路由 3 个有效节点组成, 有 1 个放大器元件, 分母中除了含放大器元件回路项外, 其他项都可省略, 得到数学模型的过程如下：

$\begin{aligned} \frac{{{V_{\rm{3}}}}}{{{V_i}}}= & \frac{{\frac{1}{{{R_1}}}\frac{1}{{{R_2}}}(-A)}}{{s{C_{\rm{2}}}A{\rm{(}}\frac{1}{{{R_{\rm{1}}}}} + \frac{1}{{{R_{\rm{2}}}}} + s{C_{\rm{1}}}{\rm{)}}}}= \\ & \frac{{{\rm{ }}-\frac{{\rm{1}}}{{{C_2}}}}}{{s{\rm{(}}{R_2} + {R_{\rm{1}}} + s{R_2}{R_{\rm{1}}}{C_{\rm{1}}}{\rm{)}}}}= \\ & \textstyle\frac{{{\rm{ }}-\textstyle\frac{{\rm{1}}}{{{C_2}{\rm{(}}{R_2} + {R_{\rm{1}}}{\rm{)}}}}}}{{s{\rm{(}}\textstyle\frac{{{R_2}{R_{\rm{1}}}{C_{\rm{1}}}}}{{{R_2} + {R_{\rm{1}}}}}s + {\rm{1) }}}}= \\ & \frac{K}{{s(Ts + 1) }}\text{, } \end{aligned}\qquad$

(2)

式中：$K = -\displaystyle\frac{{\rm{1}}}{{{C_2}{\rm{(}}{R_2} + {R_{\rm{1}}}{\rm{)}}}}$; $T = \frac{{{R_2}{R_1}{C_1}}}{{{R_2} + {R_1}}}$。

为了简化, 令 R₁ = R₂, 则

$K = -\frac{1}{{2{R_1}{C_2}}}T = \frac{{{R_{\rm{1}}}{C_1}}}{{\rm{2}}}\text{。}$

(3)

以大连海事大学教学科研实习船“育鲲”为例, 其船舶两柱间长为 105 m, 船宽 18 m, 吃水 5.4 m, 排水体积 5 735.5 m³, 实验航速 15 kn(设计航速 16.7 kn), 方形系数为 0.559 5, 舵叶面积 11.46 m², 理论计算 K = -0.28 s^-1, T = 71.84 s。船舶实际回转时都有速度下降, 30°舵角回转实验时船舶转一圈速度可降为初始速度的 48%, 而使用电路网络实现的船舶模型难以实现回转时的速度下降, 但可进行相应的影响折算^[7-10]。海上试验时速度下降、水深变浅等影响折合成对 K, T 的改变, 都是减小 K、增大 T, 使船舶的旋回和操纵性能下降。进行 30°舵角海上旋回试验时, 其影响最终折合为 K = -0.167 s^-1, T = 115.8 s, 则由式(3) 可设：R₁ = R₂ =1 200 Ω, C₁ = 0.193 F, C₂ = 0.0025 F。

2 仿真实验

使用 Matlab 2010b 的 Powerlib 电路系统工具箱进行仿真。在 Powerlib 工具箱中不存在放大器元件, 如图 2 所示利用电阻元件、电压测量元件、Gain 增益元件、可控电压源元件和 Powergui 元件构建一个放大器元件^[11], 全选后单击鼠标右键选择“create subsystem”进行封装, 再单击右键选择“Mask subsystem”, 在弹出的图 3 ~ 图 5 窗口中按所示设置好各参数。注意图 3 绘制放大器元件形状的 3 根线时, 使用 Plot 函数时如 plot([0 0], [-1 1]), 绘制直线的 2 个坐标点是横坐标放在一个向量里、纵坐标放在一个向量里, 即 2 个坐标点实际为(0, -1) 和(0, 1) 。另外图 2 中元件的变量名要与图 4 中的变量名设为一致。图 6给出最后的使用电路元件进行 30°舵角回转的仿真实验框图, 图中最右侧的 Gain 元件用于弧度变角度的转换。船舶位置是根据仿真得出的船首向角 ψ、初始航速 u = 15 kn 使用 $x = \int u \cos \psi {\rm{d}}t, y = \int u \sin \psi {\rm{d}}t$ 计算得出。图 7 给出了电路仿真结果与实船试验结果的比较, 图 7 中稍高一些的曲线为实船试验曲线, 稍低一些的曲线为电路等效 Nomoto 模型仿真曲线, 船舶的横纵坐标都除了船长 L。

为了方便分析, 定义了式(4) 所示的曲线符合度。使用曲线符合度的概念可以较好地说明仿真曲线与实船试验曲线的符合程度。

${\rm{符合度}}{\rm{ = }}\frac{{\min \left( {{\rm{仿真战术直径, 实船战术直径}}} \right)}}{{\max \left( {仿真战术直径, 实船战术直径} \right)}} \times 100\% $

(4)

由图 7 可知, 仿真时横向战术直径 3.5 L, 实船 3.35 L; 仿真时纵向战术直径 2.8 L, 实船 3.6 L, 横向纵向平均符合度为 86.8%。因为进行了速度和水深影响的折合, 其精度比 Nomoto 模型本身的精度稍高。Nomoto 模型的优点是形式简单、只有 2 个参数且物理意义明显, 但精度不高是其不足。如果 Nomoto 模型与实船试验的结果曲线符合度能达到 90%以上, 反而难以让人相信。

3 另外一种解法

深入研究发现, Nomoto 模型的电路实现方法并不唯一, 图 8 给出了式(1) 另外一种实现电路。

由文献^[1]给出的快速推导传递函数数学模型方法, 该电路由 5 个有效节点组成, 有 2 个放大器元件, 分母中除了相互独立的 2 个放大器元件回路项外, 其他项都可省略, 得到数学模型的过程如下：

$\begin{array}{l} \frac{{{V_{\rm{2}}}}}{{{V_i}}} = \frac{{\frac{1}{{{R_1}}}( - A)\frac{1}{{{R_2}}}\frac{1}{{{R_3}}}( - A)}}{{s{C_1}( - A)\frac{1}{{{R_4}}}( - A)(\frac{1}{{{R_2}}} + \frac{1}{{{R_3}}} + s{C_2}) + s{C_2}\frac{1}{{{R_2}}}( - A)\frac{1}{{{R_4}}}( - A)}}\\ = \frac{{{R_4}/{R_1}}}{{s{C_1}({R_2} + {R_3} + s{R_2}{R_3}{C_2}) + s{C_2}{R_3}}} = \\ \frac{{\frac{{{R_4}}}{{{R_1}[{C_1}({R_2} + {R_3}) + {C_2}{R_3}]}}}}{{s[\frac{{{R_2}{R_3}{C_1}{C_2}}}{{{C_1}({R_2} + {R_3}) + {C_2}{R_3}}}s + 1]}} = \\ \frac{K}{{s(Ts + 1)}} \end{array}$

(5)

式中：

$\begin{aligned} K = & \frac{{{R_4}}}{{{R_1}[{C_1}{\rm{(}}{R_2} + {R_3}{\rm{)}} + {C_2}{R_3}]}}\text{, }\\ T = & \frac{{{R_2}{R_3}{C_1}{C_2}}}{{{C_1}{\rm{(}}{R_2} + {R_3}{\rm{)}} + {C_2}{R_3}}}\text{。} \end{aligned}$

为了简化, 令 R₂ = R₃, C₁ = C₂, 则

$K = \frac{{{R_4}}}{{3{R_1}{R_2}{C_1}}}, \, \, T = \frac{{{R_2}{C_1}}}{{\rm{3}}}, \, \, K = \frac{{{R_4}}}{{{\rm{9}}{R_1}T}}\text{。}$

更进一步, 令 R₄ = R₂ 且 C₁ =1F, 则

$K = \frac{{\rm{1}}}{{3{R_1}}}, T = \frac{{{R_2}}}{{\rm{3}}}\text{。}$

(6)

这样, 任意船舶的等效数学模型的旋回性指数 K 唯一由电阻 R₁ 确定, 追随性指数 T 唯一由电阻 R₂ 确定, 等效模型的构建变得更为简单。

设 R₁ = 2 Ω, R₂ = 347.4 Ω, 即可得到与图 7 相同的仿真结果。

4 结语

本文给出了 2 种船舶 Nomoto 模型的电路网络实现形式, 从理论上推导出的数学模型与 Nomoto 模型相同, 使用 Matlab 仿真验证了其与实船试验结果符合度为 86.8%。如果船舶 Nomoto 模型的 K, T 指数不做速度等影响的折合, 则模型精度只能达到约 75%。下一步计划真正使用电路、电容和放大器元件搭建成电路板, 然后使用仪器测量输出电压, 进行相关的物理实验, 结果将更直观。本研究使用电路软件仿真船舶模型, 为进一步的半物理仿真打下理论基础。