0 引言

船舶轴系是船舶动力装置的重要组成部分，承担着将主机发出的功率传递给螺旋桨以及将螺旋桨产生的推力传递给船体的重要任务。在对一型 37 000 DWT 沥青船轴系的设计过程中，遇到了一个问题：其中间轴法兰过渡的原始设计是一个1/4圆弧，该情况下计算得到的扭振合成应力超过了瞬时运转的扭振许用应力，扭振计算无法获得通过。后采用三段式圆弧过渡形式，有效提高了扭振许用应力，扭振计算结果良好。鉴于轴系设计过程中，扭振合成应力超过许用限制的情况时有发生，且三段式圆弧过渡设计逐渐成为针对该问题的一种有效解决方法，有必要对法兰过渡形式与扭振计算结果之间的关系进行深入研究。

本文在轴系设计中引入有限元分析方法，以 Abaqus 为工具，通过有限元方法计算中间轴法兰过渡处的应力集中系数，分析应力集中系数对扭振计算的影响，进一步阐述有限元方法之于轴系设计的意义。Abaqus 是一套功能强大的工程模拟的有限元软件，其解决问题的范围从相对简单的线性分析到许多复杂的非线性问题。 它前处理过程简便，适合用于中间轴之类简单模型的有限元分析^[1]。

1 有限元分析计算 1.1 简化模型

轴系包括从曲轴动力输出端法兰到螺旋桨间的轴及轴承，37 000 DWT 沥青船轴系如图 1 所示，中间轴位于主机和尾轴之间，将轴系以及螺旋桨和主机都进行建模是不现实的，有必要合理简化模型。理论应力集中系数主要受几何形状和加载方式等因素影响^{[2, 3]}与转速、振动的关系不大，所以本文在简化模型时去除了中间轴之外的部件^[4]。同时因为理论应力集中系数受轴长度的影响很小，为了减小计算量，本文建模时将中间轴截断，只取一端进行建模分析^[5]。

简化后的模型如图 2 所示。该三段式圆弧过渡的各参数公式为^[6]：

${{{R}}_1} = 2.5{{D,}}\;\;\;\;\;\;\;\;{{\rm{\theta }}_1} = 5^\circ \,$

(1)

${{{R}}_2} = 0.65{{D,}}\;\;\;\;\;\;\;\;{{\rm{\theta }}_2} = 20^\circ \,$

(2)

${{{R}}_3} = 0.09{{D,}}\;\;\;\;\;\;\;\;{{\rm{\theta }}_3} = 65^\circ .$

(3)

式中：D 为中间轴的直径；R₁，R₂ 和 R₃ 为三段圆弧的半径，θ₁，θ₂ 和 θ₃ 为三段圆弧对应的圆心角。

1.2 生成三维模型，定义材料属性

图 2 是中间轴的二维平面模型，无法直接在 Abaqus 中进行计算，需先转化成三维模型。首先将中间轴的 CAD 文件导入 Abaqus，通过旋转生成三维部件；其次创建一个新的材料，设置材料的属性（包括杨氏模量、泊松比、屈服应力等）。本船中间轴的材料为合金钢，在软件中将材料设置成各向同性，杨氏模量为 206 GPa，泊松比为 0.26，屈服应力为 480 MPa。然后将该部件设置成均质实体，将材料属性赋予给该实体。

1.3 定义边界，施加载荷

生成三维模型之后需定义模型左右两端的边界，将法兰左端完全固定，限制所有的平动和转动；对轴右端不设任何约束，使其完全自由。将扭矩施加于轴右端，理论应力集中系数与载荷大小无关，本文将扭矩设置成 1 000 Nm，方向是沿着 Y 轴。Abaqus 在施加扭矩时无法直接通过施加到一个点而传递到整个面。因此先将右端截面的圆心和整个面耦合起来，再将 1 000 Nm 的扭矩施加到该圆心，使得圆心和整个截面的 6 个自由度都运动一致^[7]。

1.4 划分网格，分析计算

采用四面体网格对中间轴模型进行划分，四面体网格能施加于任何几何体，且可以快速、自动生成。划分网格后的模型如图 3 所示。

划分网格之后，即可建立作业进行计算。图 4 和图 5 分别是计算得到的单圆弧过渡和三段式圆弧过渡的切应力分布图。图 6 和图 7 分别是单圆弧过渡和三段式圆弧过渡的切应力分布剖面图。

计算结果表明，切应力是关于 Y 轴对称分布的。在同一个圆截面上，相同半径处的切应力大小相等，并且切应力随着半径的增大而增大，在轴的外沿切应力达到最大。在远离法兰的区域应力均匀分布；在过渡区域，出现了应力集中的现象，因此这个区域最容易被破坏。2 种过渡形式应力集中导致的最大应力都出现在过渡弧与轴相切的位置附近，进一步的数据分析表明，最大应力出现在相切位置之前。

三段式圆弧过渡设计产生的最大切应力为 1.121 05 × 10^-4 GPa，单圆弧过渡设计产生的最大切应力为 1.390 04 ×10^-4 GPa，三段式圆弧过渡设计明显降低了应力集中程度，有效减小了最大切应力。同时对于理论应力集中系数，它是最大局部应力与名义应力的比值，名义应力是未发生应力集中时的应力。

名义切应力的理论计算为：

$\text{nominal}\ \text{shear}\ \text{stress}=\frac{16M}{\pi {{D}^{3}}}$

(4)

式中：施加的扭矩 M = 1 000 Nm；中间轴轴径 D = 360 mm，代入上式得到名义切应力 nomina shear stress = 109 160 Pa。

应力集中系数 scf（stress concentration factor）计算如下：

三段式圆弧过渡

$\begin{align} & scf=\text{maximum}\ \text{shear}\ \text{stress}/\text{nominal}\ \text{shear}\ \text{stress}= \\ & 112105/109160=1.027; \\ \end{align}$

单圆弧过渡

$\begin{array}{*{35}{l}} scf=\text{maximum}\ \text{shear}\ \text{stress}/\text{nominal}\ \text{shear}\ \text{stress}= \\ \quad \quad \quad 139004/109160=1.273; \\ \end{array}$

与单圆弧过渡相比，三段式圆弧过渡将应力集中系数减小了近 20%，把应力集中降低到了相当小的程度。进一步的建模研究表明，三段式圆弧过渡的应力集中系数大小主要取决于与轴相切的那段弧的半径，也就是取决于 R₁ 的大小。在前 2 段弧过渡未出现明显突变的情况下，R₁ 越大，应力集中系数越小。目前，R₁ = 2.5 D 的设计已经足以获得理想的应力集中系数。对于单圆弧过渡形式，同样可以采取扩大过渡半径的方法来减小应力集中系数，但单圆弧的过渡半径受到法兰半径的限制，很难获得与三段式圆弧过渡那样好的效果。

2 扭振分析

中国船级社《钢质海船入级规范》中轴系振动与校中章节对中间轴的扭振许用应力做了如下规定：

持续运转（0 ＜ r ＜ 0.9）：

$\begin{align} & \left[ {{\tau }_{c}} \right]=\pm {{C}_{W}}{{C}_{K}}{{C}_{D}}\left( 3-2{{r}^{2}} \right)\text{N}/\text{m}{{\text{m}}^{2}}, \\ & (0.9r1.05): \\ \end{align}$

(5)

$1.38{{C}_{W}}{{C}_{K}}{{C}_{D}}\text{N}/\text{m}{{\text{m}}^{2}};$

(6)

瞬时运转（0 ＜ r ≤ 0.8）：

$\left[ {{\tau }_{t}} \right]=1.7\left[ {{\tau }_{c}} \right]/\sqrt{{{C}_{K}}}\ \text{N/m}{{\text{m}}^{2}}.$

式中：$r = n/{n_e}$；n 为中间轴转速；n_e 为额定转速；C_K 为形状系数。

C_W 为材料系数，${C_W} = \left( {{R_m} + 160} \right)/18$；

R_m 为轴材料的抗拉强度，本船中间轴的 R_m=800 MPa；

C_D 为尺度系数；${C_W} = 0.35 + 0.93{D^{ - 0.2}}$；D 的单位是 mm；

根据规范规定，对于三段式圆弧过渡（理论应力集中系数为 1.027，保守取值为 1.05）：

${C_K} = 1.45/scf = 1.45/1.05 = 1.38.$

单圆弧过渡的 C_K 计算并不采用以上公式，而是为了安全起见，将C_K 默认为 1.0^[8]。

式（5）~式（7）表明，持续运转和瞬时运转的扭振许用应力随着转速的增大而减小。另外，持续运转和瞬时运转的扭振许用应力都随着 C_K 的增大而增大，而 C_K 随着 scf 的减小而增大，这就意味着扭振许用应力是随着应力集中系数的减小而增大的。因此，对于 1 根已经成形的中间轴，其扭振许用应力只与转速相关；然而在设计阶段，可以在一定程度内通过改变法兰过渡的应力集中系数来控制扭振许用应力的大小。

图 8 为 37 000 DWT 沥青船采用单圆弧过渡的中间轴扭振计算结果。图 8 表明，单圆弧过渡的情况下，在 48 r/min 转速附近，计算得到的扭振合成应力超过了瞬时运转扭振许用应力，这是不允许的。

图 9 为 37 000 DWT 沥青船采用三段式圆弧过渡的中间轴扭振计算结果。图 9 表明，当采用三段式圆弧过渡之后，持续运转扭振许用应力提高了 38%，瞬时运转扭振许用应力提高了约 17%，2 条扭振许用应力曲线都往上移动了。因此，扭振合成应力的最大值被控制在瞬时运转扭振许用应力之内。转速为 47.6 r/min 时，扭振合成应力最大，且超过了持续运转扭振许用应力，这个转速的附近是转速禁区。转速禁区范围计算公式如下：

$\frac{{16{n_c}}}{{18 - {\lambda _c}}} \leqslant n \leqslant \frac{{\left( {18 - {\lambda _c}} \right){n_c}}}{{16}}.$

式中：n_c 为出现峰值应力时的转速，即 47.6 r/min；λ_c 为 n_c 的比值。

计算得到转速禁区在 43 r/min 与 52 r/min 之间，在转速禁区内应快速通过，不得持续运转。

综上所述，三段式圆弧过渡的设计通过降低应力集中系数提高了许用应力，有效地将扭振合成应力控制在许用范围之内，确保中间轴安全运转。三段式圆弧过渡设计避免了额外增设扭振减振器，降低了 37 000 DWT 沥青船的成本。

3 结语

本文将有限元分析方法应用于船舶轴系设计之中，计算了单圆弧过渡和三段式圆弧过渡的应力集中系数，详细分析了应力集中系数与扭振计算结果之间的关系。

有限元分析方法在船舶轴系设计中的应用，一方面便于直接检验校核轴系设计的合理性，另一方面有助于为复杂轴系设计提供解决方案。