0 引言

随着海洋资源开发和海洋科学的不断发展，深海无人遥控潜水器（ROV）的应用越来越广泛，在深海作业过程中由于缆索断裂导致ROV丢失的现象时有发生。母船随海面波浪做升沉运动，在一定的海况条件下，导致缆索张紧松弛状态交替出现，从而产生瞬时张力过大的情况，因而分析导致缆索张力过大的参数空间对ROV安全作业十分有必要。在实际作业中，海浪具有随机性^[1]，同时，缆索在张紧松弛不同阶段的刚度以及ROV在2个方向运动时受到的流体阻力是非光滑的^[2]，目前对缆索动力响应的研究都没有涉及这两方面的因素，因而结论与实际偏差较大。

对缆索突变载荷的研究方面，Vassalos和Huang等^[3]深入分析了谐波激励下的缆索系统突变载荷，Tjavaras^[4]解释了波浪激励下缆索系统突变载荷出现的机理。Niedzwecki和Thampi^[5]基于单自由度模型对缆索系统的载荷进行了预估。Koh等^[6]基于改进的有限差分法对低张力缆的动力学行为进行了研究。Driscoll等^[7]对缆索系统在波浪激励下产生的突变载荷做了大量的工作。Hennessey等^[8]对低张力缆突变载荷进行了实验研究。

本文考虑表面随机波的激励以及缆索刚度、流体阻力的非连续变化，建立ROV作业系统的以为动力学方程，并做无因次分析，因为其强非线性的特点，因而通过数值方法进行求解，得到出现突变载荷的参数空间，对ROV作业中避开不利因素，保证安全作业起到指导意义。

1 缆索动力学模型 1.1 ROV作业系统运动模型

ROV作业系统，由母船、缆索和ROV三部分组成，如图 1所示。考虑ROV作业时缆索的动态响应，建立一维垂向运动方程，在缆索张紧阶段，ROV受到缆索的张力与非线性的流体阻力，在缆索松弛阶段，缆索张力为0。缆索上端与母船相连，受到波浪提供的激励项f，为便于分析，忽略缆索张力对母船运动的影响并假定母船运动与波浪运动一致。可以得到ROV作业时的运动方程：

$ m\ddot x + c\dot x|\dot x| + kx = w + kf\text{，} $

(1)

其中：

$ k = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{ES}}{L}\;\;\;x-f > 0}\text{，} \\ {0\;\;\;x-f \leqslant 0} \text{。} \end{array}} \right. $

式中：m包括ROV质量以及附加质量；x为相对于初始位置的位移，向下为正方向；c为非线性流体阻力系数；E，S和L分别为缆索的杨氏模量、横截面积及长度；w为ROV的水下重量；f为波浪的运动函数。

1.2 运动方程无因次化

为了便于分析缆索的张紧松弛状态，把缆索的伸缩量Y=x-f作为变量进行求解，并且对运动方程（1），引入下列无因次参数：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {y = \frac{Y}{{0.5H}},\;\;{y_s} = \frac{w}{{0.5HES/L}},\;\;\tau = \frac{{2\pi t}}{T},}\\ {{\omega _n} = \sqrt {\frac{{ES/L}}{m}} ,\;\;\eta = \frac{{2\pi }}{{T{\omega _n}}},\;\;\zeta = \frac{{ca\pi }}{{T\sqrt {mES/L} }}。} \end{array} $

得到运动方程无因次的形式：

$ \begin{aligned} \frac{{{{\rm d}^2}y}}{{{\rm d}{\tau ^2}}} + & \frac{{2\zeta }}{\eta }\left| {\frac{{{\rm d}y}}{{{\rm {\rm d}}\tau }} + \frac{1}{{0.5H}}\frac{{{\rm d}f}}{{d\tau }}} \right|(\frac{{{\rm d}y}}{{{\rm d}\tau }} + \frac{1}{{0.5H}}\frac{{df}}{{{\rm d}\tau }}) + \\ & \frac{1}{{{\eta ^2}}}y + \frac{{{{\rm d}^2}f}}{{0.5Hd{\tau ^2}}} = \frac{1}{{{\eta ^2}}}{y_s}\;\;\;\;\;\;y > 0\text{；} \end{aligned} $

(2)

$ \begin{aligned} \frac{{{{\rm d}^2}y}}{{{\rm d}{\tau ^2}}} + & \frac{{2\zeta }}{\eta }\left| {\frac{{{\rm d}y}}{{{\rm d}\tau }} + \frac{1}{{0.5H}}\frac{{{\rm d}f}}{{{\rm d}\tau }}} \right|(\frac{{dy}}{{{\rm d}\tau }} + \frac{1}{{0.5H}}\frac{{{\rm d}f}}{{{\rm d}\tau }}) + \\ & \frac{{{{\rm d}^2}f}}{{0.5H{\rm d}{\tau ^2}}} = \frac{1}{{{\eta ^2}}}{y_s}\;\;\;\;\;\;y \leqslant 0 \text{。} \end{aligned} $

(3)

式中：ζ为阻尼比，数值越大流体阻力越大；η为激励圆频率与固有圆频率之比；y_s为在静止状态下缆索的伸长量与波幅的比值。

2 随机波浪数值模拟

母船在波浪中运动，海浪运动具有随机性，可以看作平稳随机过程，由若干具有随机波幅、周期、相位的单元波叠加得到，可表示为：

$ f(t) = \sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}\cos ({\omega _i}t + {\varepsilon _i})} \text{。} $

(4)

式中：a_i和w_i分别为第i个单元谐波的波幅和圆频率；ε_i为第i个谐波的初相位，是均匀分布于0～2 π的随机变量。当单元谐波的频率增量Δω无限小时，单元谐波波幅可由海浪谱密度得出：

$ {a_i} = \sqrt {2S({\varpi _i})\Delta {\omega _i}} \text{。} $

(5)

其中S（ω）为海浪谱密度函数。根据长期的观测和理论研究，海浪谱密度有多种表达形式，本文采用双参数PM波谱，包含了波高和周期2个波浪参数，谱密度函数为：

$ S(\omega ) = \frac{{173H_{1/3}^2}}{{{\omega ^5}T_p^4}}\exp \left( {-\frac{{691}}{{{\omega ^4}T_p^4}}} \right)\text{。} $

(6)

式中：S（ω）为谱密度函数；H_1/3为1/3有义波高；T_p为波浪特征周期。

为便于分析计算，需要对随机波浪进行无因次化，单元谐波的频率用与特征频率的比值来表示为：

$ {\omega _i} = {k_i}\frac{{2{\rm{\pi }}}}{{{T_P}}}。 $

(7)

代入随机波浪表达式中，将式（4）和式（6）式合并到一起，并将时间变量改为无因次的τ得到无因次的波浪函数：

$ \bar f = \frac{f}{{0.5H}} = \sum\limits_{i = 1}^\infty {\sqrt {\frac{{173}}{{2k_i^5{{\rm{\pi }}^4}}}\exp \left( {\frac{{ - 691}}{{{{(2{\rm{\pi }})}^4}k_i^4}}} \right)\Delta \eta } \cos ({k_i}\tau + {\varepsilon _i})} 。 $

(8)

通过数值仿真可以得到时域历程图（见图 2）以及谱密度函数。

3 数值仿真 3.1 时域分析

运动方程为强非线性微分方程，无法通过解析方法求解，因此采用龙格库塔法进行求解。方程（2）与方程（3）中3个系数ζ，η和y_s分别为无因次的阻尼系数，频率比及初始相对伸长量。ζ=0.1，η=0.3，y_s=10时的缆索伸缩量及ROV相对位移的时域历程图如图 3所示，此时缆索的刚度相对较小，缆索的伸长量相对波幅很大，可以看出始终处于张紧的状态。并且ROV的振幅大约为1，与激励幅值十分接近。

3.2 频域分析

图 4为y_s=1和y_s=4时，不同的阻尼比和频率比下缆索张力的最大值与最小值的计算结果

可以看出，其他参数相同的情况下，阻尼越小，ROV响应幅值越大；缆索初始伸长量越大，离松弛状态越远，缆索相对更加安全。从频率比上看，最大张力出现了多个峰值，其中在η=1处有一固定峰值，出现与谐波激励类似的共振现象；在η=3处附近有另外一个峰值，且随着y_s的增大出现该峰值的频率有所后移。在η接近10时，y_max运动方程（2）和方程（3）中的激励项f取为谐波激励f=acos（wt），并用数值仿真得到的y_s=1和y_s=4的频域计算结果如图 5所示。

谐波激励下，缆索最大伸缩量的幅值在η大于2之后下降较快，而随机波浪下，要在η接近于10时才会明显下降。此外谐波激励下尽在y_s较小时y_max有多个峰值，张力大的频域范围相比随机波浪时小得多。

4 结语

通过建立一维ROV作业系统的运动方程，考虑随机波浪以及非线性流体阻力的作用，并对方程以及随机波无因次化，利用数值仿真对缆索张力的变化进行仿真，并与谐波激励下的仿真结果作对比，结果表明：

1）缆索的最大张力随阻尼的增大而减小，在随机波浪作用下，频域内最大张力有多个峰值，其中不管缆索多长，在固有频率附近的峰值十分明显；频率较大时，由于随机波浪中包含了不同频率的谐波成分，共同作用下，在很大的频率范围内最大张力保持较大的数值。

2）相比谐波激励，随机激励下缆索的最大张力在频域的分布更为分散，虽然峰值较小，但不安全的频率范围大得多，因此在真实海浪中作业时，为避开缆索张力大的频率增加了难度，为ROV作业系统设置补偿系统减小张力十分必要。