0 引言

水下滑翔机是将浮标技术与水下自主航行器技术相结合的产物，具有成本低、噪声小、自主性强，维护费用低、重复利用率高、操作简单、对母船依赖性小及可实现编队协同作业等优点。水下滑翔机外形大多为类鱼雷的流线型，此外形适合远程高速运行，其转向半径大，机动性能较差，运动不够灵活。然而在实际应用过程往往要求水下滑翔机具有灵活的机动性能，这样有利于水下滑翔机及时纠正航行，改变位置，便于水下作业和军事打击侦察。另外类鱼雷型水下滑翔机在坐地观测和侦查时容易受到海底洋流的干扰，特别是垂直于机身方向的洋流。

碟形水下滑翔机的机身与机翼紧密连接在一起，形成类飞碟的流线型，其具有全向运动特性因此具有极高的灵活性，并且该种外形具有在同一水层运动良好的水动力特性，对于各方向来流阻力较小，具有良好的抗洋流干扰能力。同时球形耐压舱能够承受更高的水压，封闭且一体化的外观令碟形水下滑翔机的隐蔽性和可靠性更高。采用极坐标式变质心姿态调节机构来调整滑翔机的姿态，空间利用率大大提高。在坐地观测和侦查时，碟形水下滑翔机中心对称的外形对于各方向来流阻力较小，具有更好的抗洋流干扰能力。

碟形水下滑翔机通过改变自身重心相对于浮心的位置来调节水下姿态，利用碟形柔性固定翼将净浮力转换为前进驱动力从而实现锯齿状的下潜上浮滑翔路径，滑翔过程中通过改变横滚姿态实现转向。碟形滑翔机采用球形耐压舱体和流线型碟形固定翼设计，利用极坐标式姿态调节机构调节其姿态角，利用液压浮力调节系统控制其净浮力，采用GPS和捷联组合导航系统进行综合定位，利用声呐和铱星与水下基站、水面母船和岸基进行通信。

2003年，美国Webb研发公司（WRC）研发了具有坐底测量功能的碟形水下滑翔机Discus^[1]，（见图 1）。它的海底海流阻力较小，具有很好的坐底稳定性，可以作为传感器平台实现长时间海底坐底测量。日本九州大学应用力学研究所开发了碟形水下滑翔机BOOMERANG和LUNA^[2-3]，（见图 2和图 3）。它可以实现休眠状态地坐底观测，功耗大大降低。本文对自设计的碟形水下滑翔机原理样机进行原理建模和仿真，证实碟形水下滑翔机的可行性。

1 碟形水下滑翔机数学模型

碟形水下滑翔机在设计过程中需要建立水动力学模型，得到水动力学仿真结果，以预测碟形水下滑翔机的运动轨迹和分析其运动特征。下面分析水下滑翔机在运动中的定常运动状态，并根据其特征建立碟形水下滑翔机原理样机的动力学模型。

对于恒定浮力、内部质量块位置固定的水下滑翔机，在SE（3）构造空间下，通过Frenet-Serret方程可以证明水下滑翔机的定常运动状态为无旋直线运动和竖直螺旋运动^[4]。

碟形水下滑翔机原理样机设计外形如图 4所示。水下滑翔机可认为是4个具有独立自由度质量块的组合，分别为姿态质量块、补偿质量块、压载质量块和固定质量块。参考文献[5]中的水动力模型示意图，图 5标出了碟形水下滑翔机原理样机姿态质量块、压载质量块和固定质量块的位置。补偿质量块依据总体重量重心确定，在定常运动状态下，忽略压载质量块重心的微小变化，所有质量块保持相对静止状态，水下滑翔机可认为是六自由度单刚体模型。

1.1 坐标系

参考文献[5]，除惯性坐标系（静坐标系）O-ijk以外，在碟形水下滑翔机上建立以浮心为原点的体坐标系（动坐标系），2个坐标系之间的转换由旋转矩阵R描述，由欧拉角（偏航角φ-俯仰角θ-翻滚角ψ）表示的旋转矩阵R描述从体坐标系到惯性坐标系转换的过程^[6]。R的表达式为

$ \boldsymbol{R} = \left( \begin{array}{l} {cos}\psi \cos \theta - \sin \psi \cos \varphi + \cos \psi \sin \theta \sin \varphi \\ \sin \psi \sin \varphi + \cos \psi \sin \theta \cos \varphi \\ \sin \psi \cos \theta \cos \psi \cos \varphi + \sin \psi \sin \theta \sin \varphi \\ - \cos \psi \sin \varphi + \sin \psi \sin \theta \cos \varphi \\ - \sin \theta \cos \theta \sin \varphi \cos \theta \cos \varphi \end{array} \right)\text{。} $

(1)

在惯性坐标系下，定义滑翔机的位置矢径为$b={\left[{x, y, z} \right]{\rm ^T}}$，姿态矢径为$S={\left[{\varphi, \theta, \psi } \right]{\rm ^T}}$；在体坐标系下，定义速度$v={\left[{{v_1}, {v_2}, {v_3}} \right]{\rm ^T}}$，定义角速度$\varOmega={\left[{{\varOmega _1}, {\varOmega _2}, {\varOmega _3}} \right]{\rm ^T}}$。用操作符∧代表叉乘操作，即$\hat xy=x \times y$，则有^[7]

$ \begin{gathered} \dot b = Rv\text{，} \hfill \\ \dot R = R\hat \varOmega \hfill\text{，} \ \end{gathered} $

(2)

式（2）式经转化可得到

$ \begin{array}{l} \dot S = \Lambda \mathit{\Omega}, \\ \Lambda = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{\rm{tan}}\theta {\rm{sin}}\varphi }&{{\rm{tan}}\theta {\rm{cos}}\varphi }\\ 0&{{\rm{cos}}\varphi }&{ - {\rm{sin}}\varphi }\\ 0&{{\rm{sin}}\varphi /{\rm{cos}}\theta }&{{\rm{cos}}\varphi /{\rm{cos}}\theta } \end{array}} \right)。 \end{array} $

(3)

1.2 运动分析

水下滑翔器的总质量为：

$ {m_v} = {m_h} + {m_w} + {m_a} + {m_m}\text{。} $

式中：${m_h}$为固定质量，包括耐压壳体、控制系统等非运动部件质量，在体坐标系下其质心为${r_h}$；${m_b}$为压载质量块，即浮力驱动系统，这里认为其质量不变，并忽略其质心的变化，在体坐标系下其质心为${r_b}$；${m_w}$为补偿质量块，设计阶段调整该质量块位置使水下滑翔机在初始状态下重心在浮心正下方一定距离${h_0}$，然后使其固定，在体坐标系下其质心为${r_w}$；${m_a}$为姿态质量块，用于调节滑翔机姿态（俯仰角和横滚角），配合浮力调节系统实现水下三维定常滑翔运动，定义固连于姿态质量块所在圆盘平面上的极坐标系，圆盘中心为极点，极轴为质量块初始方向，旋转角度由上向下看逆时针为正，则姿态质量块在此极坐标系下的位置可表示为（r，δ），其中r为姿态质量块距极点的距离，$r={r_0} + {x_m}$。${r_0}$为姿态质量块距极点的初始距离，${x_m}$为姿态质量块相对于初始位置的移动距离，δ为姿态质量块逆时针旋转角度，其范围为$\left[{-{\rm{\pi }}, \; {\rm{\pi }} } \right]$。经极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换得到体坐标系下姿态质量块的质心：式中${r_{a1}}=r{\rm cos}\delta $；${r_{a2}}=r{\rm sin}\delta $；${r_a}={\left[{{r_{a1}}, {r_{a2}}, {r_{a3}}} \right]^{\rm T}}$。

在体坐标系下，水下滑翔器的质心${r_v}$和惯性矩${J_v}$为

$ \begin{array}{l} {r_v} = \frac{{{m_h}{r_h} + {m_w}{r_w} + {m_b}{r_b} + {m_{\rm{a}}}{r_{\rm{a}}}}}{{{m_h} + {m_w} + {m_b} + {m_a}}}{\rm{, }}\\ {J_v} = {J_h} - {m_w}\widehat {{r_w}}\widehat {{r_w}} - {m_b}\widehat {{r_b}}\widehat {{r_b}} - {m_a}\widehat {{r_{\rm{a}}}}\widehat {{r_{\rm{a}}}} \end{array} $

(4)

式中：${J_h}$为固定质量的惯性矩；${r_{v3}}$为初始状态；${h_0}$为初始稳心高度；定义J为单位矩阵；${M_f}$为附加质量阵；${J_f}$为惯性质量阵；${D_f}$为交叉项。

由于机体为回转体，在低攻角下可假设机翼对机体的影响只有升力和阻力，则有${M_f}, \; {J_f}$为对角阵，${D_f}=0$。另外，定义$M={m_v}J + {M_f}$，$J={J_v} + {J_f}$。滑翔机受到的合外力为f，合外力矩为τ。令$I=\left({\begin{array}{*{20}{c}} M & { -{m_v}\hat {{r_v}}} \\ {{m_v}\hat {{r_v}}} & J \end{array}} \right)$，

参考文献[5]可得到：

$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot v}\\ \mathit{{\dot \Omega }} \end{array}} \right) = {I^{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {Mv + mv\Omega \times {r_v}} \right) \times \Omega + {R^{\rm{T}}}f}\\ {\left( {J\Omega + {m_v}{r_v} \times v} \right) \times \Omega + }\\ {\left( {Mv + mv\Omega \times {r_v}} \right) \times v + {R^T}\tau } \end{array}} \right). $

(5)

1.3 受力分析

在体坐标系下，滑翔机受净重力${F_{gra}}$、水动力${F_{hyd}}$、重力矩${T_{gra}}$和水动力矩${T_{hyd}}$的作用，因此合外力F与合外力矩T分别为:

$ \begin{array}{l} F = {R^{\rm{T}}}f = {F_{gra}} + {F_{hyd}}{\rm{, }}\\ T = {R^{\rm{T}}}\tau = {T_{gra}} + {T_{hyd}}。 \end{array} $

(6)

水动力^[8-9]主要包括升力D，阻力L和侧滑力SF；水动力矩^[10]包括翻滚力矩${T_{D{L_1}}}$，俯仰力矩${T_{D{L_2}}}$和转向力矩${T_{D{L_3}}}$。水下滑翔机在惯性坐标系下受到的净重力$G={m_0}g$为重力与浮力之差，重力矩通过重力与重心矢径的叉乘计算得到。

$ \begin{aligned} {F_{hyd}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - D} \\ {SF} \\ { - L} \end{array}} \right) = & \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {K_{D0}} - {K_D}{\alpha ^2}} \\ {{K_\beta }\beta } \\ { - {K_{L0}} - {K_L}\alpha } \end{array}} \right){\left\| v \right\|^2}\text{，} \\ {T_{hyd}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{T_{D{L_1}}}} \\ {{T_{D{L_2}}}} \\ {{T_{D{L_3}}}} \end{array}} \right) = & \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{K_{MR}}\beta + {K_{q1}}{\varOmega _1}} \\ {{K_{M0}} + {K_M}\alpha } \\ {{K_{MY}}\beta + {K_{q3}}{\varOmega _3}} \end{array}} \right){\left\| v \right\|^2} +\\ & \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {{K_{q2}}{\Omega _2}} \\ 0 \end{array}} \right) \hfill \text{，}\\ {F_{gra}} =& {m_0}g{R{\rm ^T}}k \hfill\text{，} \\ {T_{gra}} =& {m_v}g\hat {{r_v}}{R{\rm ^T}}k \hfill\text{。} \\ \end{aligned} $

(7)

式中：α为攻角，$\alpha=\arctan \left({{v_3}/{v_1}} \right)$；β为侧滑角，$\beta=\arcsin \left({{v_2}/v} \right)$；$k={\left[{0\; 0\; 1} \right]{\rm ^T}}$；其余为水下滑翔机的水动力系数。

将式（7）代入式（5）后可得：

$ \begin{aligned}{l} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot v}\\ {\dot \Omega } \end{array}} \right) = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} M & {amp; - {m_v}\widehat {{r_v}}}\\ {{m_v}\widehat {{r_v}}} & {amp;J} \end{array}} \right)^{ - 1}}\times \quad \quad \quad \quad\\ \left(\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {Mv + {m_v}\Omega \times {r_v}} \right) \times \Omega + {F_{gra}} + {F_{hyd}}}\\ \begin{array}{l} \left( {J\Omega + {m_v}{r_v} \times v} \right) \times \Omega + \\ \left( {Mv + {m_v}\Omega \times {r_v}} \right) \times v + {T_{gra}} + {T_{hyd}} \end{array} \end{array}}\!\!\! \right)\text{。} \end{aligned} $

(8)

结合式（2）和式（3），可得到描述水下滑翔机三维定常运动的偏微分方程组为

$ \left\{\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot b = Rv}\text{，} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \; \; \;\\ {\dot S = \Lambda \Omega }\text{，} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \; \; \;\\ \!\!\!\!\!\! {\left(\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot v} \\ {\dot \Omega } \end{array}}\!\! \right) \!=\! {I^{ - 1}}\left(\!\! \!{\begin{array}{*{20}{c}} {\left(\! {Mv + {m_v}\Omega \times {r_v}} \! \right) \times \Omega \! +\! F} \qquad \qquad \qquad \; \; \; \; \; \, \\ \!\!\!\!\!\!\!\! {\left( \! {J\Omega \!\!+ \!\!{m_v}{r_v} \times v} \! \right) \times \Omega \!\!+\!\! \left( {Mv \!\!+ \!\!{m_v}\Omega \!\!\times\!\! {r_v}} \right) \times v \!\!+\!\! T} \end{array}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\right)\text{。} } \end{array}} \right. $

(9)

2 运动仿真

碟形水下滑翔机原理样机的设计参数如表 1所示，水动力系数参照LUNA^[2]的水动力数据，利用四阶Runge—Kutta算法解三维定常运动偏微分方程组，设定初始条件和时间范围，初始RPY角为$\left({10^\circ, 10^\circ, 10^\circ } \right)$，初始线速度为$\left({0, 0, -0.005} \right)$，初始角速度为$\left({0, 0, 0} \right)$。控制姿态质量块向前移动${x_m}=35\; {\text{mm}}$，姿态质量块旋转角度$\delta=0^\circ $，净重力为向下${m_0}=0.25\; {\text{kg}}$。直线定常运动仿真结果如图 7至图 9所示。

控制姿态质量块向前移动${x_m}=35\; {\text{mm}}$，净重力为向下${m_0}=0.25\; {\text{kg}}$，在滑翔100 s之后控制姿态质量块向右旋转角度$\delta=15^\circ $。得到直线滑翔过程中转向运动的仿真结果如图 10~图 12所示。

3 结语

碟形水下滑翔机的机身与机翼紧密连接在一起形成类飞碟的流线型，具有全向运动特性，具有极高的灵活性，另外其中心对称的外形结构对于各方向来流阻力较小，具有良好的抗洋流干扰能力。本文针对自设计的碟形水下滑翔机原理样机，建立了三维定常运动过程的数学模型并进行了数值仿真。仿真结果证明了碟形水下滑翔机原理样机的工作原理和可行性。