为克服单站纯方位目标运动分析(TMA)的可观测性，观测站平台需要进行有目的的机动，考虑到观测站在机动过程中易于暴露自己，甚至丢失目标，因此保持已有运动方向不变，寻找解决系统的可观测性方法，进而估计目标要素，一直是研究者探索的问题。增加独立于方位的频率信息是一种解决问题的思路，此时不需要观测站机动^[1]。本文只研究单观测站情形下的目标要素解算问题。在如何利用方位和频率信息进行目标运动要素估计方面，已有成果^{[2, 3]}主要是利用 TMA 的伪线性估计器作为初始解，然后结合方位和频率的非线性观测模型，利用非线性最优化算法对匀速直线运动目标进行无源定位。文献[2, 3]做法的共同点是将方位和频率的残差统一处理，利用非线性最优化算法进行目标要素估计，这种做法增加了目标状态变量的维数，计算量大，不利于工程的实现，此外目标状态变量维数的增加，加重了算法中矩阵的复共线性，矩阵的可逆性减弱，计算结果易受到舍入误差的影响。文献[4, 5]将观测方程转化为伪线性方程，利用最小二乘法把方位、线谱频移信息融合在一个滤波器中滤波，进行目标运动分析。但是目标状态变量的处理方法与上述相同，带来的问题是状态转移矩阵和测量矩阵为多维，矩阵的可逆性减弱。不同于上述文献做法，文献[6]将方位和频率2个观测量，分别建立滤波器，然后利用融合的方法，建立了新的 TMA 方法，这种独立处理信息的方法由于每一个系统的状态变量维数减少，系统可观测性增强，利于目标要素估计的收敛，但文献[6]在频率滤波器中利用了近似处理方法，在实际中，当线谱频率较大时，会带来较大误差。

利用文献[6]思想，不同于其算法，基于目标和观测站均作匀速直线运动时，可以估计相对速度与距离比的事实^{[7, 8]}，以及多普勒频移可以估计目标相对速度(没有近似处理)的事实，建立一种新的滤波算法，讨论不同情形下滤波算法的性能，并通过海试数据验证方法的可行性。

以下研究的问题总假设目标和观测站作匀速直线运动，利用单观测站获得的方位和多普勒频移信息，估计目标要素。两者的基本相对态势如图 1所示。

图 1 观测站和目标相对态势 Fig. 1 Relative scenario of observer and target

设 f_s 为目标的辐射频率，f_rt 为 t 时刻的接受频率，c 为声速，V_w和V_m 分别为观测器和目标的速度，V 为目标相对速度，C_w和C_m分别为观测器和目标的航向，$\Delta {{F}_{0t}}\overset{\Delta }{\mathop{=}}\,{{F}_{t}}-{{F}_{0}}$ 为 t 时刻与 t₀ 时刻的方位差，X₀和X_t 分别为初始时刻 t₀及t 时刻的目标舷角，D₀为目标初始距离。结合图 1，有接收频率

注意到${X_t} = {X_0} + \Delta {F_{0t}}$，式(1)转化为

式中：θ₁ = V cos X₀，θ₂ = V sin X₀，f_ri，i = 0，1，$\cdots $，n 为t₀，t₁，$\cdots $，t_n 时刻的接受频率，则由式(2)知

进一步有

式中${y_{i0}} = \displaystyle\frac{{{f_{ri}}}}{{{f_{r0}}}}$，整理式(4)得

利用最小二乘法得到参数的估计满足方程组：

其中：

$ \begin{array}{*{35}{l}} \begin{align} & A=\left( \begin{matrix} \frac{\cos \Delta {{F}_{01}}-{{y}_{10}}}{c} & -\frac{\sin \Delta {{F}_{01}}}{c} \\ [8pt]\frac{\cos \Delta {{F}_{02}}-{{y}_{20}}}{c} & -\frac{\sin \Delta {{F}_{02}}}{c} \\ [8pt]\cdots & \cdots \\ [8pt]\frac{\cos \Delta {{F}_{0n}}-{{y}_{n0}}}{c} & -\frac{\sin \Delta {{F}_{0n}}}{c} \\ \end{matrix} \right)\text{;} \\ & \theta =\left( \begin{matrix} {{\theta }_{1}} \\ {{\theta }_{2}} \\ \end{matrix} \right) \\ \end{align} \\ y=\left( \begin{matrix} {{y}_{10}}-1 \\ {{y}_{20}}-1 \\ \vdots \\ {{y}_{n0}}-1 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{array} $

当系数矩阵为满秩矩阵时，参数的估计为

于是得到目标舷角满足：

目标相对速度为：

利用相对运动规律，可得目标速度为

目标航向满足：

式(6)是否存在唯一解，只需要验证其中的 A 矩阵是列满秩矩阵即可，进一步只需要验证 A 矩阵前 2 行组合的子矩阵是 2 阶满秩矩阵即可。

结合式(4)，因为

$ \begin{array}{*{35}{l}} \left( \cos \Delta {{F}_{01}}-{{y}_{10}} \right)\sin \Delta {{F}_{02}}-\left( \cos \Delta {{F}_{02}}-{{y}_{20}} \right)\sin \Delta {{F}_{01}}= \\ \left( \cos \Delta {{F}_{01}}-\frac{{{f}_{r1}}}{{{f}_{r0}}} \right)\sin \Delta {{F}_{02}}-\left( \cos \Delta {{F}_{02}}-\frac{{{f}_{r2}}}{{{f}_{r0}}} \right)\sin \Delta {{F}_{01}}= \\ \sin \left( \Delta {{F}_{02}}-\Delta {{F}_{01}} \right)+\frac{{{f}_{r2}}}{{{f}_{r0}}}\sin \Delta {{F}_{01}}-\frac{{{f}_{r1}}}{{{f}_{r0}}}\sin \Delta {{F}_{02}}= \\ \sin \left( \Delta {{F}_{02}}-\Delta {{F}_{01}} \right)+ \\ \frac{c\left( \sin \Delta {{F}_{01}}-\sin \Delta {{F}_{02}} \right)+V\cos {{X}_{0}}\sin \left( \Delta {{F}_{01}}-\Delta {{F}_{02}} \right)}{c+V\cos {{X}_{0}}}= \\ \frac{c\left[ \sin \left( \Delta {{F}_{02}}-\Delta {{F}_{01}} \right)+\sin \Delta {{F}_{01}}-\sin \Delta {{F}_{02}} \right]}{c+V\cos {{X}_{0}}}= \\ \frac{4c\sin \frac{\Delta {{F}_{02}}-\Delta {{F}_{01}}}{2}\sin \Delta {{F}_{02}}\sin \Delta {{F}_{01}}}{c+V\cos {{X}_{0}}} \\ \end{array} $

可见，当目标和观测器不是相向或相离运动时，A 矩阵是列满秩矩阵，此时式(6)存在唯一解，即系统可观测。

利用上述记号，并设 V_x和V_y 分别为目标相对于观测站速度 V 的 x 轴和y 轴分量。当输入目标方位F_k 时，目标方位 F_k 与 D₀，V_x，V_y 的关系或测量模型为^{[7, 8, 9]}

$ \Leftrightarrow \sin ({{F}_{k}}-{{F}_{0}})=({{t}_{k}}-{{t}_{0}})\cos {{F}_{k}}\cdot \frac{{{V}_{x}}}{{{D}_{0}}}-({{t}_{k}}-{{t}_{0}})\sin {{F}_{k}}\cdot \frac{{{V}_{y}}}{{{D}_{0}}} $

上述式(12)左边式子可看作为观测值，利用最小二乘法可得到相对参数 $\frac{{{V_x}}}{{{D_0}}}$和$\frac{{{V_y}}}{{{D_0}}}$ 的估计满足下列方程组：

其中

$ {{B}^{\text{T}}}B=\left( \begin{matrix} \begin{align} & \sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left( {{t}_{i}}-{{t}_{0}} \right)}^{2}}{{\cos }^{2}}{{F}_{i}}}-\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left( {{t}_{i}}-{{t}_{0}} \right)}^{2}}\cos {{F}_{i}}}\sin {{F}_{i}} \\ & -\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left( {{t}_{i}}-{{t}_{0}} \right)}^{2}}\cos {{F}_{i}}}\sin {{F}_{i}}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left( {{t}_{i}}-{{t}_{0}} \right)}^{2}}{{\sin }^{2}}{{F}_{i}}} \\ \end{align} \\ \end{matrix} \right) $

$ \begin{gathered} \Theta = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{V_x}}}{{{D_0}}}\frac{{{V_y}}}{{{D_0}}}} \end{array}} \right){\text{,}} \hfill \\ {B^{\text{T}}}Y = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{t_i} - {t_0}} \right)\cos {F_i}\sin ({F_i} - {F_0})} - \hfill \\ \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{t_i} - {t_0}} \right)\sin {F_i}\sin ({F_i} - {F_0})} \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right) \hfill \\ \end{gathered} $

可见，B^TB 为满秩矩阵，系统可测，从而得到参数 Θ 的最小二乘估计为

式中$\displaystyle\frac{V}{{{D_0}}}$的估计为$\sqrt {\displaystyle\frac{{V_x^2}}{{D_0^2}} + \displaystyle\frac{{V_y^2}}{{D_0^2}}} $。

结合上述两节的内容，基于目标方位和多普勒频移信息，估计目标要素的算法为：

1)利用式(14)，估计第 n 时刻目标相对速度距离比；

2)利用式(7)，估计第 n 时刻参数 θ₁，θ₂；

3)利用式(10)和式(11)，估计目标速度和航向；

4)利用步骤 1 和步骤 3 得到的参数，估计和参数间的关系，估计目标初始距离。

仿真条件见表 1，其中初始距离选择了远距离和近距离2种情况。为验证方法的可行性和有效性，下面从仿真和试验2个方面对上述方法进行验证。

表 1(Tab.1)

表 1 目标和观测器运动要素 Tab.1 The motion elements of target and observer 声速/m·s -1 初始距离/n mile 目标速度/kn 目标航向/(°) 观测器速度/kn 观测器航向/(°) 发射频率/Hz 1 540 5 20 120 6 60 1 500

表 1 目标和观测器运动要素 Tab.1 The motion elements of target and observer

仿真条件见表 1，其中初始距离选择远距离和近距离2种情况。

图 2 和图 3 分别给出了初始距离 50 链，方位误差为0，多普勒频移误差为 0.1 Hz和0.3 Hz条件下的仿真结果。结果显示，随着多普勒频移误差的增大，收敛时间增长，时间都在 10 min以内。

图 2 方位误差为0，多普勒频移误差为0.1 Hz的解算结果 Fig. 2 Results with zero error of bearing and 0.1 Hz error of Doppler frequency shift

图 3 方位误差为0，多普勒频移误差为0.3 Hz的解算结果 Fig. 3 Results with zero error of bearing and 0.3 Hz error of Doppler frequency shift

图 4 给出方位误差为 0.1°，0.3°，0.5°，多普勒频移误差为 0 Hz 条件下的仿真结果。结果显示，目标要素的估计收敛时间少于 10 min，方位误差的大小影响收敛时间。

图 4 方位误差为0.1°，0.3°，0.5°，多普勒频移误差为0 Hz的解算结果 Fig. 4 Results with 0.1°，0.3°，0.5° error of bearing and 0 Hz error of Doppler frequency shift

图 5 显示了当存在多普勒频移误差时，与图 4 相比，目标要素的估计收敛时间均增大，目标航向的收敛时间小于 10 min。进一步增大多普勒频移误差，收敛的时间进一步增大。由此看出，多普勒频移误差对目标要素的估计较为敏感。

图 5 不同距离下方位误差为0.1°，0.3°，0.5°，多普勒频移误差为0.1 Hz的解算结果 Fig. 5 Results with 0.1°，0.3°，0.5° error of bearing and 0.1 Hz error of Doppler frequency shif

目标航向 340°，目标速度 15 kn，观测器运动要素以及波束域的目标音频信号的 LOFAR 谱图以及提取的线谱特征见图 6，其中 LOFAR 谱图采用 Welch 方法作时频分析得到。图 7 为上述算法解算的结果，从结果看，利用多普勒频移，在该态势下，目标速度和航向 5 min内收敛，目标初始距离的收敛时间多于5 min。

图 6 观测器航向、速度和多普勒线谱频移 Fig. 6 Time series of observer course, velocity and Doppler measurement frequency shift

图 7 目标航向、速度和初始距离估计 Fig. 7 The estimated results of target course, velocity and original distance

本文利用目标方位和线谱多普勒频移，通过建立2个独立的伪线性滤波器，给出了一种估计目标要素的方法。根据理论分析、数值仿真和海试数据验证，可以得到以下结论：

1)具有声吶设备的观测平台，可以不需要平台机动，能够得到一定精度的目标要素估计；

2)近距离目标与远距离目标相比，多普勒频移变化大，估计精度高；

3)方位误差和多普勒频移误差越大，估计收敛时间越长，目标航向的估计收敛时间短；

4)线谱频率的测量精度对参数估计结果影响显著，建立更先进的频率估计方法是进一步研究的方向之一。