0 引言

在强震发生前普遍存在地震活动频度增强与平静现象（梅世蓉等，1997；陆远忠等，1997）。在国外，许多大地震发生前观测到显著的地震平静现象（Wiemer et al，1994；Wyss et al，1996, 1998；Katsumata et al，1999；Huang et al，2001, 2002；Sobolev et al，2002），如1995年1月日本神户7.2级地震（Huang et al，2001；Sobolev et al，2002）。在国内，2008年汶川8.0级地震前也观测到明显的地震平静现象（薛艳等，2009；高立新等，2010；苏有锦等，2010）。Ohtake和Kisslinger曾利用地震前的平静现象分别对1978年11月墨西哥瓦哈卡7.8级和1986年7月安德烈亚诺群岛7.7级地震进行预测（Ohtake et al，1977；Kisslinger，1988），结果发现，无论是震级大小、时间还是发生地点，均与预测结果大致相符，证明了地震平静作为真正前兆的有效性（戴志阳等，2006）。

国内学者针对不同地区地震平静的预测意义开展了多项研究（苏鸾声，1996；平建军等，2001；王筱荣，2008；王筱荣等，2010；苏有锦等，2010；郑先进等，2010）。例如：苏鸾声（1996）研究了中国大陆5级以上地震平静时间与7级以上大震的关系；王俊国等（2004）研究了华北地区5级地震平静对6级以上地震的预测意义；苏有锦等（2010）研究了2008年汶川8.0级地震前川滇地区6级以上地震平静异常的显著性和重现性。除了上述研究工作外，作为常见的地震活动性异常，地震平静在地震局日常震情跟踪工作中也经常作为判定地震趋势的一项重要依据。目前为止，无论是研究还是日常工作，在分析一个地区的地震平静时，大多未对平静异常阈值的选取做统计学上的说明，无法判断其在统计学上是否具有显著性。因此，有必要建立具有统计学意义的地震显著平静阈值估算方法。

本文将基于统计学，尝试建立确定地震显著平静阈值的方法，并将该方法分别应用于中国大陆及川滇地区、新疆地区和华北地区，估算典型区域不同起始震级的地震显著平静阈值，为地震平静异常的判定标准提供统计学依据，为地震平静异常预测分析服务。

1 研究方法及资料选取 1.1 研究方法

一般认为地震的发生可近似为泊松过程，相应地，地震发生的时间间隔近似服从指数分布，其概率密度函数可表示为

$ f(t) = \lambda {{\rm e}^{ - \lambda t}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (t \ge 0) $

(1)

式中，λ为地震强度，即单位时间内地震发生次数。式（1）对应的概率分布函数可表示为

$ P(T \le t) = 1 - {{\rm e}^{ - \lambda t}}\ \ \ \ \ \ \ \ (t \ge 0) $

(2)

式（2）描述了发震时间间隔T小于等于t的概率，发震时间间隔T大于t的概率可表示为

$ P(T＞t) = {{\rm e}^{ - \lambda t}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (t \ge 0) $

(3)

取P = 0.05，得λt = 2.9957≈3，t ≈3/λ，也就是说，在0.05的显著水平下，地震显著平静的阈值为3/λ。由式（1）可知，地震平均间隔时间μ = 1/λ，则λ=1/μ，因此，在0.05的显著水平下，平静阈值可表示为

$ {T_{\rm S}} = 3\mu $

(4)

根据式（4），若地震平均间隔时间μ已知，即可求出显著平静阈值。μ可根据地震间隔时间的样本均值$\bar T = ({T_1} + {T_2} + \ldots + {T_n})/n$，由中心极限定理进行估计，当样本数n足够大时，$(\bar T - \mu )/(\sigma /\sqrt n )$近似服从标准正态分布，即

$ \frac{{\bar T - \mu }}{{\sigma /\sqrt n }} \sim N(0,1) $

(5)

式中，μ为地震间隔时间均值，σ为地震间隔时间标准差。对于指数分布，有σ = 1/ λ = μ，则式（5）可进一步简化为

$ \frac{{\bar T - \mu }}{{\mu /\sqrt n }}\sim N(0,1) $

(6)

在95%信度下，μ满足如下不等式

$ \left| {\frac{{\bar T - \mu }}{{\mu /\sqrt n }}} \right| \le 1.96 $

(7)

进而解得

$ \frac{{\bar T}}{{1 + 1.96/\sqrt n }} \le \mu \le \frac{{\bar T}}{{1 - 1.96/\sqrt n }} $

(8)

根据式（8）即可由样本均值T估计95%信度下地震平均间隔时间μ的置信区间，进而由式（4）得到0.05显著水平下平静阈值的范围。

1.2 资料选取

本研究使用的地震目录来源于《中国历史强震目录》（公元前23世纪—公元1911年）和《中国近代地震目录》（公元1912—1990年）（中国地震局震害防御司, 1995, 1999）及中国地震台网测定的中国及邻区5.0级以上地震目录（1990—2018年）。

2 中国大陆中强震平静显著性分析

根据黄玮琼等（1994a，b）的研究结果，中国大陆7级以上地震目录自1900年以来基本完备，6级以上地震目录自1923年以来基本完备，5级以上地震目录自1950年以来基本完备。因此，选取1923—2018年中国大陆6级以上地震、1950—2018年5级以上地震进行统计分析。按不删除和删除余震2种方式，分别统计地震平均间隔时间及相应间隔时间样本数，由式（8）和式（4）计算中国大陆不同起始震级下地震显著平静阈值范围，结果见表 1。

2.1 7级地震平静显著性分析

在地震预报实践中经常使用7级地震平静背景进行地震活动大形势分析，那么中国大陆7级地震平静多长时间才算显著呢？据统计，1900—2018年中国大陆及邻区共发生7级以上浅源地震73次，对应72个地震时间间隔，即样本数n为72，平均发震间隔T为583天。据式（8）可得，μ的95%置信区间为[474，758]天，据式（4）计算，可得0.05显著水平下中国大陆7级地震显著平静阈值T_s的范围为[1 422，2 274]天，即3.9—6.2年。若采用扩散链法（李闽峰，2002）进行成丛性剔除，则7级以上浅源地震共64次，对应63个地震时间间隔（样本数），平均发震间隔为667天，显著平静阈值T_s的范围为[1605，2658]天，即4.4—7.3年。自2017年8月8日九寨沟7.0级地震发生，截至2019年10月15日，中国大陆7级以上地震平静时间798天（约2.2年），据上述统计分析结果，当前中国大陆7级地震平静时间在0.05显著水平和95%信度下并不显著，进入显著平静的最早时间为2021年6月30日。

2.2 6级地震平静显著性分析

1923—2018年中国大陆及邻区发生6级以上浅源地震403次，对应402个地震时间间隔（样本数），平均发震间隔为87天。由（8）式得μ的95%置信区间为[79，96]天，根据（4）式计算得0.05显著水平下中国大陆6级地震显著平静阈值T_s的范围为[237，288]天，即7.9—9.6个月。若采用扩散链法（李闽峰，2002）进行成丛性剔除，则共得到325次6级以上地震，对应324个地震时间间隔（样本数），平均发震间隔为108天，相应显著平静阈值T_s的范围为[291，363]天，即9.7—12个月。

2.3 5级地震平静显著性分析

1950—2018年中国大陆及邻区发生5级以上浅源1 650次，对应1 649个地震时间间隔（样本数），平均发震间隔为15.3天，在0.05的显著水平下，中国大陆5级地震平静阈值T_s的95%置信区间为[44，48]天。若采用扩散链法（李闽峰，2002）进行成丛性剔除，则得到地震1 132次，发震时间间隔样本数为1 131，平均发震间隔为22天，5级地震显著平静阈值T_s的范围约为[62，70]天。苏鸾声（1996）在研究中国大陆5级地震平静与7级地震的关系时，采用3个月作为中国大陆5级地震平静的阈值，高于文中去余震后5级地震显著平静阈值上限，该阈值在统计学意义上具有显著性。

3 中国部分地区中强地震平静显著性分析

川滇、新疆和华北地区是中国大陆地震活动较为显著的区域，在地震预报实践中备受关注。下文分别分析此3个区域的中强地震显著平静阈值。

3.1 川滇地区

川滇地区（21°—34°N，97°—106°E）自1900年以来6级以上地震记录基本完备（黄玮琼等，1994b；苏有锦等, 2001a, 2001b），5级以上地震完备的起始时间约为1930年（黄玮琼等，1994b）。因此，5级以上地震的统计时段可取为1930—2018年，6级以上地震的统计时段可取为1900—2018年。分不同起始震级，按不删除余震和删除余震2种方式，分别统计地震间隔时间样本数和平均间隔时间，按式（8）和式（4），计算得到地震显著平静阈值范围，结果见表 2。

由表 2可知，不删除余震，在95%信度下，川滇地区6级地震平静的0.05显著水平的阈值范围为[756，1 047]天，即2.1—2.9年；5.5级地震显著平静的阈值范围为[315，399]天，即10.4—13.1个月；5.0级地震显著平静的阈值范围为[150，177]天，即5.0—5.9个月。采用C—S法进行余震删除后，川滇地区6级地震显著平静的阈值范围为[888，1 272]天，即2.4—3.5年；5.5级地震显著平静的阈值范围为[438，582]天，即14.4—19.1个月；5.0级地震显著平静的阈值范围为[210，255]天，即7—8.5个月。苏有锦等（2010）在总结2008年汶川8.0级地震前川滇地区6级以上地震平静异常时，采用C—S法删除余震后，以3年为阈值回顾了1900年以来该地区6级以上地震平静的历史情况，并分析了其与后续6.5级以上地震的对应关系，据此分析文中得到的6级地震显著平静阈值范围，认为该阈值在统计学意义上具有合理性。

3.2 新疆地区

新疆地区5级、6级地震记录完备的起始时间分别为1937年、1923年（黄玮琼等，1994b）。因此，5级以上地震的统计时段取为1937—2018年，6级以上地震的统计时段取为1923—2018年。分不同起始震级，按不删除余震和删除余震2种方式，分别统计地震间隔时间样本数和平均间隔时间，按式（8）和式（4），计算得到地震显著平静阈值范围，结果见表 3。由表 3可知，不删除余震，在95%信度下，新疆地区6级地震平静在0.05的显著水平下，阈值范围为[957，1464]天，即2.6—4.0年；5.5级地震显著平静的阈值范围为[459，609]天，即15—20个月；5.0级地震显著平静的阈值范围为[195，237]天，即6.4—7.8个月。采用C—S法删除余震后，新疆地区6级地震显著平静的阈值范围为[1 182，1 905]天，即3.2—5.2年；5.5级地震显著平静的阈值范围为[588，834]天，即19—27个月；5.0级地震显著平静的阈值范围为[255，318]天，即8.5—10.5个月。

3.3 华北地区

华北地区研究范围为（34°—42°N，108°—124°E）。根据黄玮琼等（1994a）对华北地区地震资料完整性的研究，自1484年以来，华北地区5级以上地震基本完整。马宗晋等（1982）认为，公元1000年以来华北地区存在第1（1000年—1068年）、第2（1029—1368年）、第3（1484—1730年）、第4（1815年—）等4个地震活动期，并将持续二、三百年的活动期中存在的二、三十年尺度的低层次地震活动韵律称为地震幕。因此，选取华北地区1815—2018年中强地震（震源深度≤70 km）进行地震平静显著性的统计学分析。分不同起始震级，按不删除余震和删除余震2种方式，分别统计地震间隔时间样本数和平均间隔时间，按式（8）和式（4），计算得到显著平静阈值范围，结果见表 4。由表 4可知，不删除余震，华北地区当前活动期6级地震显著平静的阈值范围为[4 287，|8 532]天，即11.7—23.4年；5.5级地震显著平静的阈值范围为[2 115，3 324]，即5.8—9.1年；5.0级地震显著平静的阈值范围为[1 215，1 656]，即3.3—4.5年。采用C—S法删除余震后，6级地震显著平静的阈值范围为[5 547，12 474]天，即15.2—34.2年；5.5级地震显著平静的阈值范围为[2 853，4 878]，即7.8—13.4年；5.0级地震显著平静的阈值范围为[1 884，2 796]，即5.2—7.7年。

4 讨论

在震情分析实践中，通常用均值加标准差的某个倍数作为地震平静在统计上的显著阈值，其前提条件是，假定地震间隔时间符合正态分布。文中使用的方法则是建立在地震的发生可近似为泊松过程这一假设上，相应地，地震发生的间隔时间近似服从指数分布。事实表明，指数分布可比正态分布更好地描述地震间隔时间的分布。因此，文中选取平静阈值的方法相对合理。

由于统计时段中发生的地震仅为地震时间序列中的一段样本，因此地震间隔时间的样本均值并不能等同于总体均值，而是根据中心极限定理以总体均值为中心呈正态分布。因此，只能得到地震平均间隔时间的置信区间而不是固定数值，将导致显著平静阈值对应某一信度的一个区间。

（1）显著平静阈值置信区间的相对跨度受样本数影响。由式（4）知，μ的相对范围代表了显著平静阈值T_s的相对范围。将式（8）变形，得μ的相对分布范围（相对归一）。

$ \frac{1}{{1 + 1.96/\sqrt n }} \le \frac{\mu }{{\bar T}} \le \frac{1}{{1 - 1.96/\sqrt n }} $

(9)

图 1给出μ的相对范围随样本数n的变化，可见随着样本数的增加，μ/T的范围越来越窄。表 5列举了一些具体样本数下μ的相对范围，可见在样本数较小时，μ/T的不确定性较大，这是因为，当样本较少时，对总体的反映较差。

（2）中小地震的发生受大震的余震活动影响较大。例如，1950—2018年中国大陆及邻区发生5级以上地震1 650次，采用扩散链法删除余震后剩余地震1 133次，减少约31%。因此，在研究中小地震的显著平静阈值时采用删除余震后的目录更为合理。

5 结论

本文从统计学角度提出确定地震显著平静阈值的方法，并将该方法分别应用于中国大陆及川滇、新疆和华北地区，选取不同的起始震级，在0.05的显著水平下，估算地震显著平静阈值的95%置信区间，可以得到以下结果：①中国大陆：7级地震显著平静的阈值范围为3.9—6.2年，6级地震显著平静的阈值范围为7.9—9.6个月，5级地震显著平静阈值范围为62—70天（删除余震）；②川滇地区：6级地震显著平静的阈值范围为2.1—2.9年，5级地震显著平静的阈值范围为210—255天（删除余震）；③新疆地区：6级地震显著平静的阈值范围为2.6—4.0年，5级地震显著平静的阈值范围为255— 318天（删除余震）；④华北地区：当前活动期6级地震显著平静的阈值范围为11.7—23.4年，5级地震显著平静的阈值范围为5.2—7.7年（删除余震）。