0 引言

地球分为地壳、地幔和地核3部分，地壳与地幔的分界面叫莫霍面，地幔与地核的分界面叫古登堡面。我国陆地下莫霍面总体呈西边厚东边薄的趋势，西部地区莫霍面最深部位可以达到70 km，而东部平原及沿海地区平均深度30 km左右。莫霍面在我国陆表下呈倾斜状，文中称为倾斜界面。当传播路径较短时，受地球曲率的影响较小，通常将地球表面及各层界面看作平层界面，此为理想化界面。

地球内部的物理形态不一，地震波的表现也不一样，由震源发出，经过界面反射后的波是反射波，记录较好的反射波是经莫霍界面反射的PMP波、SMS波。地震波及其走时曲线对地震监测和地震勘探具有重要意义。通过研究倾斜界面反射地震波走时以及不同深度地震波的走时曲线，可以计算震源深度，更好地研究地震波性质及其在地壳中的速度分布。

由于地球内介质分布复杂，地震波在传播过程中会遇到各种介质界面，波在各层中速度变化也不一样，一般波速随着深度的增加而逐渐递增。从传播路径角度，地震波走时是地震波从震源传播到观测点所用的时间。描述地震波走时规律的核心是走时方程，其表达了地震波走时与地震波传播路径之间的关系。地震波的速度随着深度的变化而变化。莫霍面是高速间断面，当地震波传播到该界面时，波射线会出现曲率加大现象，走时曲线出现回折圈。针对倾斜界面地震波传播的走时曲线和传播特性等，可采用多种方法进行研究（孙章庆等，2010），正演是其中的有效途径。本文根据不同震中距、不同倾角地震波在平层界面和倾斜界面的走时曲线，来分析地震波传播特点。

1 计算公式

基于射线理论，采用地震波动方程，分别对平层界面与倾斜界面反射波进行数值模拟。

1.1 平层界面反射波

赵爱华等（2006）假设莫霍面深度为H，震源深度为h和震中距为Δ（图 1），根据初等几何知识，可知反射波走时为

$ {t_{{\rm{PmP, SmS}}}} = \frac{{\sqrt {{\mathit{\Delta} ^2} + {{(2H - h)}^2}} }}{v} $

假设地壳厚度为30 km，震源深度为8 km，SMS波速度为3 km/s，PMP波速度可按Possion体计算，则可采用以下程序模拟平层界面反射波走时。

h=8;H=30;vs=3;vp=vs*sqrt(3); x=0:1:200;

tpmp=sqrt(x.*x+(2*H-h)*(2*H-h))/vp; tsms=sqrt(x.*x+(2*H-h)*(2*H-h))/vs;

tpa=x/vp; tsa=x/vs; plot(x, tpmp, 'b', x, tsms, 'r', )

xlabel('震中距/km') ylabel('走时/s')

set(gca, 'box, "on') ylim([0 70])

legend('PMP波', 'SMS波, "location', 'NorthWest')

1.2 倾斜界面反射波

若2种均匀介质的分界面与地平面夹角为ω，震源在地表，与斜面距离为h，以倾斜界面为对称线，找到震源A点的对称点A′，则AE=A′E，根据反射定律，要求A′ED在一条直线上（图 2），因此，反射总路径AE+ED=A′D（万永革，2016）。

由于界面CD与倾斜界面平行，在三角形ACD中，∠ACD为直角，∠BAD=90°±ω（负号表示地震波上行，正号表示地震波下行），则在三角形AA′D中，根据余弦定理，有

$ \begin{array}{l} A'D = \sqrt {A'A + {\rm{ }}A{D^2}{\rm{ - 2 }}A{\rm{ '}}A \cdot AD \cdot \cos \left({\angle BAD} \right){\rm{ }}} {\rm{ = }}\\ \sqrt {4{h^2} + {\mathit{\Delta} ^2} - 4h\Delta \cos \left({90^\circ \pm \omega } \right)} = \sqrt {4{h^2} + {\mathit{\Delta} ^2} \pm 4h\Delta \sin \omega } \end{array} $

则倾斜界面PMP波、SMS波走时为

$ t = \frac{{A'D}}{{{v_1}}} = \frac{{\sqrt {4{h^2} + {\Delta ^2} \pm 4h\mathit{\Delta} \sin \omega } }}{{{v_1}}} $

式中，负号表示地震波上行，正号表示地震波下行。

2 走时计算

震源深度相同而界面倾斜角度不同（5°、10°、15°、20°）时，分别在地震波上行和下行2种情况下计算倾斜界面和平层界面的地震波走时，绘制PMP波、SMS波在2种界面的走时曲线。

2.1 地震波上行

假设震源深度h = 30 km，PMP波速度为5 km/s，地震波上行，当界面倾斜角度分别为5°、10°、15°、20°时，或者倾斜界面倾角为30°和60°，分别计算倾斜界面和平层界面时的地震波走时。

（1）设震中距为0-60 km，当界面倾斜角度分别为5°、10°、15°、20°时，利用Matlab程序，编程绘制PMP波、SMS波走时曲线，见图 3。

Matlab程序如下。

h=30;vs=3;vp=vs*sqrt(3);w=5; x=0:1:60;（w=10, w=15, w=20）tpmp=sqrt(x.*x+4*h*h-4*h*x*sind(w))/vp; tsms=sqrt(x.*x+4*h*h-4*h*x*sind(w))/vs;

thpmp=sqrt(x.*x+4*h*h)/vp; thsms=sqrt(x.*x+4*h*h)/vs;

plot(x, tpmp, 'b-.', x, tsms, 'r:', x, thpmp, 'b', x, thsms, 'r')

xlabel('震中距/km') ylabel('走时/s') set(gca, 'box', 'on') grid on;

legend('倾斜PMP波走时', '倾斜SMS波走时', '平面PMP波走时', '平面SMS波走时', 'location', 'NorthWest')

由图 3可见，地震波上行时，当震中距为0-60 km时，平层界面中PMP、SMS走时随震中距增大而增大，倾角增大时走时变化不大；倾斜界面中PMP、SMS走时随震中距增大而减小，倾角增大时走时减小。2种界面斜率均随倾角增大而减小（匡斌，2005）。因此，倾斜界面地震波上行时，反射波走时公式可化为

$ t = \frac{{\sqrt {\mathit{\Delta}\left({\mathit{\Delta} - 4h \sin \omega } \right) + 4{h^2}} }}{{{v_1}}} $

当Δ＜4hsinω时，括号中为负值，则震中距增大，导致分子值减小，PMP波、SMS波走时随震中距增大而减小。

（2）假设震中距为0-200 km，倾斜界面倾角为30°和60°，利用Matlab程序，编程绘制地震波上行时的PMP波、SMS波走时曲线，见图 4。

Matlab程序如下。

h=30;vs=3;vp=vs*sqrt(3);w=30; x=0:1:200;

tpmp=sqrt(x.*x+4*h*h-4*h*x*sind(w))/vp; tsmp=sqrt(x.*x+4*h*h-4*h*x*sind(w))/vs;

thpmp=sqrt(x.*x+4*h*h)/vp; thsms=sqrt(x.*x+4*h*h)/vs;

plot(x, tpmp, 'b-.', x, tsms, 'r:', x, thpmp, 'b', x, thsms, 'r')

xlabel('震中距/km') ylabel('走时/s') set(gca, 'box', 'on') grid on;

legend('倾斜PMP波走时', '倾斜SMS波走时', '平面PMP波走时', '平面SMS波走时', 'location', 'NorthWest')

由图 4可见，在震中距在0-200 km时，平层界面的PMP、SMS波随着震中距和倾角的增加，走时曲线基本平行向前且斜率基本相同；倾斜界面中，当倾角不断增加时，地震波走时会随着震中距增加而减小，相同时间内随着倾斜界面倾角的增大，地震波传播的距离减小。

2.2 地震波下行

假设震源深度h = 30 km，PMP波速度为5 km/s，地震波下行，当界面倾斜角度分别为5°、10°、15°、20°时，或者倾斜界面倾角为30°和60°，分别计算倾斜界面和平层界面时的地震波走时。

假设震中距为0-60 km，当界面倾斜角度分别为5°、10°、15°、20°时，利用Matlab程序，编程绘制PMP波、SMS波走时曲线，见图 5。

Matlab程序如下。

h=30;vs=3;vp=vs*sqrt(3);w=5; x=0:1:60;（w=10, w=15.w=20）

tpmp=sqrt(x.*x+4*h*h+4*h*x*sind(w))/vp; tsms=sqrt(x.*x+4*h*h+4*h*x*sind(w))/vs;

thpmp=sqrt(x.*x+4*h*h)/vp; thsms=sqrt(x.*x+4*h*h)/vs;

plot(x, tpmp, 'b-.', x, tsms, 'r:', x, thpmp, 'b', x, thsms, 'r')

xlabel('震中距/km') ylabel('走时/s') set(gca, 'box', 'on') grid on;

legend('倾斜PMP波走时', '倾斜SMS波走时', '平面PMP波走时', '平面SMS波走时', 'location', 'NorthWest')

由图 5可见，地震波下行时，震中距为0-60 km，平层界面中PMP、SMS走时随着震中距增大而增大，倾角增大时走时变化不大；倾斜界面中PMP、SMS走时随着震中距增大而增大，倾角增大时走时减小。倾斜界面地震波走时曲线比平层界面地震波走时曲线传播距离小（潘纪顺等，2006）。2种界面斜率均随倾角增大而减小。

假设震中距为0-200 km，倾斜界面倾角为30°和60°，利用Matlab程序，编程绘制地震波下行时的PMP波、SMS波走时曲线，见图 6。

Matlab程序如下。

h=30;vs=3;vp=vs*sqrt(3);w=30; x=0:1:200;

tpmp=sqrt(x.*x+4*h*h+4*h*x*sind(w))/vp; tsms=sqrt(x.*x+4*h*h+4*h*x*sind(w))/vs;

thpmp=sqrt(x.*x+4*h*h)/vp; thsms=sqrt(x.*x+4*h*h)/vs;

plot(x, tpmp, 'b-.', x, tsms, 'r:', x, thpmp, 'b', x, thsms, 'r')

xlabel('震中距/km') ylabel('走时/s') set(gca, 'box', 'on') grid on;

legend('倾斜PMP波走时', '倾斜SMS波走时', '平面PMP波走时', '平面SMS波走时', 'location', 'NorthWest')

由图 6可见，震中距为0-200 km，平层界面的PMP、SMS波随着震中距和倾角的增加，走时曲线基本平行向前且斜率基本相同；倾斜界面中，当倾角不断增加时，地震波走时会随着震中距增加而增大，相同时间内随着倾斜界面倾角的增大，地震波传播的距离反而减小。

2.3 小结

由倾斜界面和平层界面中地震波上行和下行的走时曲线可知，在倾斜界面和平层界面中，随震中距和倾角的增大，反射波走时曲线呈平行向前传播，斜率越来越接近。

3 结论

通过对比倾斜界面和平层界面PMP、SMP波走时曲线，发现2种界面地震波走时不同，且倾斜界面的倾角对地震波走时有较大影响。在平层界面中，无论上行还是下行地震波，反射波走时随震中距增大而增大，倾角增大时走时变化不大。在倾斜界面中，地震波上行或者下行时，走时随倾角增大而减小。地震波在倾斜界面和平层界面反射，随震中距和倾角的增大，反射波走时曲线斜率越来越小，最后平行向前传播。因此，根据地震波走时曲线可以判断地震波在何种界面传播，并可判断倾斜界面的倾角大小。