0 引言

震级是表征地震强弱的相对量度。Richter (1935)根据美国加州的地震观测资料，提出利用短周期地震波资料确定的近震震级标度M_L。在此基础上，Gutenberg (1945)提出面波震级标度M_S，利用周期为20 s的面波振幅确定地震大小，还提出使用浅源地震P、PP和S波振幅确定的体波震级标度m_b。M_L、M_S、m_b震级是目前常用震级标度，使用范围不同，一般采用面波震级M_S测定破坏性地震大小，采用近震震级M_L测定中小地震大小。

对于同一个地震，根据不同震级标度测定的震级存在差异，不利于公众对地震的理解(陈运泰等，2004)。基于地震矩与面波震级的关系，Kanamori (1977)提出矩震级的概念，Hanks等(1979)给出矩震级定义式：M_W = 2/3lgM₀ -10.7，式中M₀为地震矩，单位dyne·cm。矩震级的提出，较好解决了面波震级等已有震级标度存在的问题，该震级基于具有明确物理意义的地震矩，能反映地震破裂规模，且对于大震和小震均有定义，也不会产生震级饱和现象(陈培善等，1991)。

Kanamori (1977)根据能量与面波震级、能量与地震矩的关系，推导了地震矩与面波震级的关系式：lgM₀ = 1.5M_S +16.1。该关系式与Purcaru等(1978)根据实际资料给出的经验关系基本一致，但只适用于5.0—7.5级地震。Wells等(1994)的研究表明，在5.7＜M_S ≤8.0范围，面波震级M_S与矩震级M_W无系统偏差，对于5.7级以下或8.0级以上地震，面波震级M_S略小于矩震级M_W。Das等(2011)利用NEIC和GCMT的全球地震目录，计算面波震级到矩震级的转换公式。陈培善等(1989)使用1981—1983年全球约800个地震的面波震级和地震矩资料，按4个震级档分别给出地震矩与面波震级的关系，显示在6.4＜M_S ≤ 7.8范围，面波震级M_S与矩震级M_W基本一致。钟羽云等(2004)利用中国大陆1977—2001年发生的107次M ≥ 5.0地震资料，研究不同断层性质地震的地震矩与面波震级的关系。陈宏峰等(2014)利用2008年以来中国地震台网86个5.3级以上地震资料，统计矩震级M_W与面波震级M_S的经验关系。

考虑到我国地震台网测定的面波震级与国外存在一定差异(刘瑞丰等，2006)，国外关于面波震级与矩震级关系的研究成果，在我国应用时需要论证其适用性。国内相关研究由于5级以下和6.5级以上地震样本较少，所得面波震级与矩震级关系的应用范围受到限制；另外，一些研究未给出统计关系的标准差，不利于量化计算结果的不确定性。

为建立适用于中国及邻区的面波震级与矩震级的统计关系，拟利用1990—2016年中国地震台网地震目录给定的面波震级和全球矩心矩张量(GCMT)项目提供的相应矩震级数据，使用分段加权最小二乘法，统计得到面波震级与矩震级的经验关系式，并给出相应标准差。

1 地震资料

在研究中使用2类震级数据：面波震级和矩震级。其中，面波震级数据来自中国地震台网地震目录。该目录提供中国范围内地震震级数据，包括2种面波震级M_S和M_S7数据，分别采用SK中长周期地震仪和763型长周期地震仪的记录来确定震级大小。由于使用763型长周期地震仪记录确定的面波震级(M_S7)与世界标准台网(WWSSN)的结果基本一致(刘瑞丰等，2006)，而且我国763型长周期地震台网在20世纪80年代后期才建成并投入使用，故研究中使用1990—2016年的M_S7震级数据。

因中国地震台网中心测定的地震矩震级与全球矩心矩张量(GCMT)项目发布结果基本一致(陈宏峰等，2014)，故研究所用矩震级来自全球矩心矩张量(GCMT)项目数据。

从中国地震台网目录和GCMT矩震级目录中，挑选1990—2016年同时具有M_S7震级和矩震级数据的地震，共得到860次M_S7≥4.5浅源地震数据，其中：4.5—4.9级地震314次，5.0—5.9级地震419次，6.0—6.9级地震115次，7.0—7.9级地震10次，8.0—8.5级地震2次。

2 加权最小二乘法

最小二乘法是一种数学优化技术，通过求解残差平方和的极值问题，寻找数据的最佳函数匹配，基本原理如下：设随机变量y与一组(k个)变量(x₁，…，x_k)服从关系式

$ y = {\beta _0} + {\beta _1}{x_1} + {\beta _2}{x_2} + \ldots + {\beta _k}{x_k} + \varepsilon $

式中，(β₀，β₁，β₂，…，β_k)为未知参数，ε为随机项，服从正态分布N(0，σ²)。如果有n次测量结果(y_i，x_i1，x_i2，…，x_ik)，且i = 1，…，n，则

$ {y_i} = \sum\limits_{j = 0}^k {{\beta _j}{x_{ij}} + {\varepsilon _i}} $

式中，(β₀，β₁，β₂，…，β_k)为未知参数；ε_i ≈ N(0，σ²)且E(ε_i，ε_j)= 0(i≠j；i，j=1，…，n)，x_i0 =1(i = 1，…，n)。

残差平方和Q为

$ Q = \sum\limits_{i = 0}^n {{{\left[ {{y_i} - \left({{\beta _0} + {\beta _1}{x_{i1}} + \ldots + {\beta _k}{x_{ik}}} \right)} \right]}^2}} $

最小二乘法即寻找(β₀，β₁，β₂，…，β_k)的最优估计值，使得Q达到最小值。根据微积分的极值求法，可得到以下线性方程组

$ \frac{{\partial Q}}{{\partial {\beta _0}}} = - 2\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{y_i} - \left({{\beta _0} + {\beta _1}{x_{i1}} + \ldots + {\beta _k}{x_{ik}}} \right)} \right]} = 0 $

$ \frac{{\partial Q}}{{\partial {\beta _1}}} = - 2\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{y_i} - \left({{\beta _0} + {\beta _1}{x_{i1}} + \ldots + {\beta _k}{x_{ik}}} \right)} \right]} {x_{i1}} = 0 $

$ \frac{{\partial Q}}{{\partial {\beta _k}}} = - 2\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{y_i} - \left({{\beta _0} + {\beta _1}{x_{i1}} + \ldots + {\beta _k}{x_{ik}}} \right)} \right]} {x_{ik}} = 0 $

求解该线性方程组，即可得到(β₀，β₁，β₂，…，β_k)的最小二乘估计值，从而确定统计关系式。

本研究中小震级样本量远多于大地震，如果直接使用最小二乘法进行统计回归，则使统计关系式受控于小震级样本，以致在高震级处偏差较大。为解决此问题，拟采用按震级档进行加权的最小二乘法进行统计分析，使各震级档的样本对统计偏差的贡献率基本一致。

加权最小二乘法的思路：首先对原模型进行加权，使之成为一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。具体做法是考虑对残差平方和的贡献率，为每个样本赋予不同权重w_i，则残差平方和Q由下式求得。

$ Q = \sum\limits_{i = 0}^n {{w_i}} {\left[ {{y_i} - \left({{\beta _0} + {\beta _1}{x_{i1}} + \ldots + {\beta _k}{x_{ki}}} \right)} \right]^2} $

上式等同于统计样本为$ \left({w_i^{1/2}{y_i}, w_i^{1/2}{x_{i1}}, w_i^{1/2}{x_{i2}}, \cdots, w_i^{1/2}{x_{ik}}} \right) $的情况，同时x_i0由1变为$ {w_i^{1/2}} $，i =1，…，n。按常规最小二乘法进行统计回归分析，即可得到未知参数(β₀，β₁，β₂，…，β_k)。

考虑各震级档地震样本数量差别较大，拟按4.5—4.9级、5.0—5.9级、6.0—6.9级、7.0级以上4个地震分档进行加权，权重分别取1/314、1/419、1/115、1/12使每个分档样本对残差平方和贡献率一致，故各档权重取其样本量倒数。

3 统计结果及残差分析

一般认为，矩震级与面波震级二者线性相关，符合以下关系式

$ {M_{\rm{W}}} = a{M_{{\rm{S7}}}} + b $

式中，M_W为矩震级，M_S7为面波震级，a和b为待定参数。

采用上述线性关系式，使用按震级档加权的加权最小二乘法，对中国地震台网面波震级与矩震级数据进行回归分析，得到统计关系式、相应的均方差及相关系数如下

$ {M_{\rm{W}}} = 0.805{M_{{\rm{S7}}}} + 1.154\;\;\;\;\sigma = 0.16\;\;\;\;r = 0.95 $

式中，σ为标准差，r为相关系数。

图 1显示所得到的统计关系和统计样本(图中圆点)，图中以不同颜色代表样本点处的样本量n。整体而言，回归直线体现了矩震级与面波震级的线性关系，在5—7级范围内，统计样本点较均匀地分布在回归直线两侧，但回归直线稍偏离样本密集的中间带。尤其是对于5.0级以下和7.5级以上地震，统计样本主要分布在回归直线上方，表现出单侧偏离的特点，由统计残差(观测值减预测值)分布(图 2)可知，该现象更为明显，表明在所选地震震级范围(4.0—8.5级)内，线性关系不能完全体现矩震级与面波震级的相关性。

为体现震级范围内矩震级与面波震级的关系，使用二次函数关系式作为新的统计关系式

$ {M_{\rm{W}}} = aM_{{\rm{S7}}}^2 + b{M_{{\rm{S7}}}} + c $

式中，M_W为矩震级，M_S7为面波震级，a、b和c为待定参数。

采用该关系式，使用加权最小二乘法对数据进行回归分析，得到新的统计关系式、均方差及相关系数。

$ {M_{\rm{W}}} = 0.082M_{{\rm{S7}}}^2 - 0.201M_{{\rm{S7}}}^{} + 4.145\;\;\;\;\sigma = 0.14\;\;\;\;r = 0.96 $

式中，σ为标准差，r为相关系数。

新的统计关系曲线(图中曲线)与统计样本(图中圆点)的拟合程度关系见图 3，图中以不同颜色代表该点处的样本量n，可以看出，统计曲线基本位于数据点密集的中线上，较好体现了统计样本的整体变化趋势。在震级统计范围内，样本基本均匀分布在统计曲线两侧。从残差分布(图 4)可知，残差基本均匀分布在0值线上下，说明在震级范围内统计关系式具有较好的无偏性。

本研究与陈培善等(1989)、Das等(2011)和陈宏峰等(2014)的统计关系对比见图 5。由图 5可见，陈培善等(1989)和Das等(2011)的统计关系较为一致，特别在M_W 8.0以下，统计曲线主要位于该统计样本上界，相对偏高；陈宏峰等(2014)的统计关系直线靠近统计样本下界，因为使用基于SK地震仪记录的M_S震级数据，该震级比M_S7震级约高0.2级(刘瑞丰等，2006；翟璐媛等，2015)。本文给出的统计曲线基本位于样本分布密集中线上，表明样本数据与中国地震台网实际地震资料较为相符。

4 结论

综上所述，可以得到以下结论。

(1) 使用加权最小二乘法，给出中国地震台网面波震级M_S7与矩震级的线性关系式和二次函数关系式，分析2种关系式的残差分布，认为二次函数关系式具有较好的无偏性，更能体现中国地震台网面波震级与矩震级的对应关系。

(2) 陈培善等(1989)和Das等(2011)的统计关系结果相近，很大程度上在于二者均使用全球地震资料，面波震级与M_S7震级相近(刘瑞丰等，2006)，所得统计关系曲线在震级为4.0—8.0时与本研究给出的曲线基本保持平行，震级整体约高0.2，可能反映了中国地震台网面波震级与矩震级关系的区域特征。

(3) 陈宏峰等(2014)的统计结果相对偏小，是因为使用基于SK中长周期地震仪记录的面波震级M_S。考虑到该震级与M_S7震级存在偏差(刘瑞丰等，2006；翟璐媛等，2015)，认为其所得统计关系与本研究结果反映了同一内在规律。

(4) 在地震定量分析中，矩震级已逐渐取代面波震级等震级标度。对于中国及邻区4级以上地震，全球矩心矩张量(GCMT)项目发布的矩震级数据并不完整。对于此类无矩震级数据的地震，若测定M_S7震级，可直接使用本研究给出的统计关系式，进行M_S7震级到矩震级的转换；若仅测定M_S震级，可参考翟璐媛等(2015)关于M_S与M_S7震级的统计关系式，将M_S震级转换为M_S7震级后，使用本研究关系式计算地震矩震级。