0 引言

瞬变电磁法是地球物理电磁法中应用较为广泛的一种勘探方法，具有对低阻体响应灵敏的特点。20世纪80年代，Sanfilipo和Hohmann首次通过时域积分方程法进行三维正演数值模拟（Sanfilipo et al，1985)；Newman和Hohmann首次提出利用频率域响应，求得时间域瞬变电磁响应（Newman et al，1988）；Endo和Noguchi通过算法，利用坐标变换方法解决了带地形模型的三维正演（Endo et al，2002）；2003年，王华军进行2.5维瞬变电磁有限单元法正演模拟（王华军等，2003）；2011年，李建慧利用矢量有限元法对瞬变电磁场的三维数值模拟进行研究（李建慧等，2011）。目前国内外对瞬变电磁法探测深度研究的论文较少，比较主流的观点有：1989年，Spies推导出频率域电磁场趋肤深度公式和时间域电磁场的扩散深度公式（Spies B R，1989）；2007年，王庆乙认为瞬变电磁法的探测深度取决于场源含有的低频成分，基频越低，探测越深（王庆乙，2007）；2009年，闫述等用时域有限差分、时频分析等方法，分析讨论了瞬变电磁测深的深度探测问题（闫述等，2009）；2012年，王善勋提出了瞬变电磁法探测深度主要受发射线框边长制约，其最佳探测深度与发射线圈边长二分之一相当的观点（王善勋等，2012）；2014年，薛国强得出了不同线圈边长瞬变电磁法对地探测的最小深度和最大深度计算公式（薛国强，2014）。比较一致的看法是磁矩决定探测深度，那么同等磁矩下，无论发射线圈边长多大，探测深度都应该相同，但现在没有该说法的可靠实例与论述，此为本研究出发点，探讨瞬变电磁法探测深度与线圈边长的关系。

1 瞬变电磁一次磁场

要了解瞬变电磁法的测深能力，首先需研究场源周围产生的一次磁场的分布特征，假设电流强度不变，发射回线边长分别为2a、2b，单位m。对于矩形线圈发射磁源而言，由毕奥莎伐定律（包乃利等，2014）可知，在地下任意一点产生的垂直磁场强度为

$ {B_z} = \left({{\mu _0}I/4\pi } \right) \times \left\{ \begin{array}{l} \frac{{b - x}}{{{{\left({b - x} \right)}^2} + {z^2}}} \times \left[ {\frac{{a + y}}{{\sqrt {{{\left({a + y} \right)}^2} + {{\left({b - x} \right)}^2} + {z^2}} }} + \frac{{a - y}}{{\sqrt {{{\left({a - y} \right)}^2} + {{\left({b - x} \right)}^2} + {z^2}} }}} \right] + \cdots \\ \frac{{a - y}}{{{{\left({a - y} \right)}^2} + {z^2}}} \times \left[ {\frac{{b + x}}{{\sqrt {{{\left({a - y} \right)}^2} + {{\left({b + x} \right)}^2} + {z^2}} }} + \frac{{b - x}}{{\sqrt {{{\left({a - y} \right)}^2} + {{\left({b - x} \right)}^2} + {z^2}} }}} \right] + \cdots \\ \frac{{b + x}}{{{{\left({b + x} \right)}^2} + {z^2}}} \times \left[ {\frac{{a + y}}{{\sqrt {{{\left({a + y} \right)}^2} + {{\left({b + x} \right)}^2} + {z^2}} }} + \frac{{a - y}}{{\sqrt {{{\left({a - y} \right)}^2} + {{\left({b + x} \right)}^2} + {z^2}} }}} \right] + \cdots \\ \frac{{a + y}}{{{{\left({a + y} \right)}^2} + {z^2}}} \times \left[ {\frac{{b + x}}{{\sqrt {{{\left({a + y} \right)}^2} + {{\left({b + x} \right)}^2} + {z^2}} }} + \frac{{b - x}}{{\sqrt {{{\left({a + y} \right)}^2} + {{\left({b - x} \right)}^2} + {z^2}} }}} \right] + \cdots \end{array} \right\} $

(1)

式中，B_z为垂直磁场强度，μ₀为真空磁导率，I为发射电流强度。

二次感应电磁场的大小取决于一次磁场的变化率，即关断时间相同，激发的一次磁场信号越强，则感应产生的二次电磁场信号越大，通过公式(1)，由一次磁场的信号强弱可推知有效探测深度与线圈边长的关系（图 1）。观测方式如下：①保持磁矩M不变，发射线圈边长L分别为10 m、60 m、110 m、160 m、210 m、260 m时，x=y=0，沿垂向方向，观测不同深度位置（Z分别为0 m、100 m、200 m、400 m、600 m）的一次磁场信号随发射线圈边长的变化；②保持磁矩M不变，深度Z分别为20 m、40 m、60 m、80 m、....、600 m时，x = y = 0，在地面观测不同线圈的一次磁场信号随深度的变化趋势。

图 1(a)给出不同深度位置一次磁场信号随线圈改变的变化关系。在该观测方式下，磁矩一定时，当观测深度逐渐增大至400 m后，一次磁场信号随发射线圈边长变化不大，且能量弱，此时能量大小与线圈边长无关，说明一定大小的线圈激发的一次磁场能量影响的探测深度有限。如图 1(b)所示，磁矩相同时，在地表浅层，不同大小的发射线圈激发的一次磁场信号不同，小线圈产生的能量大，衰减快；当达到300 m深度以上时，无论线圈大小如何，其一次磁场信号均相同，表明磁矩大小决定一次场的有效探测深度。

2 瞬变电磁法二次感应场响应

按照时间域的响应划分瞬变电磁法二次感应电压理论公式有晚期和全期公式，均匀半空间理论公式采用中心回线装置全期公式。求解水平层状介质瞬变电磁场，首先通过亥姆霍兹方程求解得到频域场，再通过傅里叶变换得到时间域瞬变电磁场。利用Guptasarma和Singh数值滤波算法和折线逼近法，从而对线圈激励产生的二次感应电压进行正演数值模拟并归一化。假设归一化信号衰减到1 nV/m²时，仪器能探测的最小信号作为阈值，该时刻对应的深度称为有效探测深度。

2.1 均匀半空间二次感应电压理论公式

地球物理学者Raab和Frisechknecht (Raab P et al，1985)导出TEM中心回线装置的二次感应电压表达式为

$ V\left(t \right) = \frac{{qI{\pi ^{3/2}}\rho }}{{{L^3}}}\left[ {3\phi \left(z \right) - \left({3z + 2{z^3}} \right)\frac{2}{{\sqrt \pi }}{\rm{exp}}\left({ - {z^2}} \right)} \right]\mu \left(t \right) $

(2)

式中，$\phi \left(z \right) = \int\limits_0^z {\frac{2}{{\sqrt \pi }}{\rm{exp}}\left({ - {t^2}} \right){\rm{d}}\mathit{t}} $，为概率积分。其归一化感应电动势为

$ V{\left(t \right)_{归}} = \frac{{V\left(t \right)}}{{qIN}} $

(3)

式中，q为接收线圈有效面积；I为发射电流强度；N为接受线圈匝数。L为发射线圈边长；ρ为电阻率；$z = \sqrt {2\pi } L/\tau $，为辅助参数其中$\tau = \sqrt {2\pi \rho t \times {{10}^{ - 7}}}, \mu \left(t \right) = 1$。

2.2 水平层状介质瞬变电磁场理论

利用傅里叶变换将频域电磁场转换到时间域，得各向同性水平层状介质中心回线装置形成的瞬变电磁场。

$ {H_z}\left(b \right) = {I_0}a\int\limits_0^\infty {\frac{{\lambda {Z^{\left(1 \right)}}}}{{{Z^{\left(1 \right)}} + {Z_0}}}{J_1}\left({\lambda a} \right){\rm{d}}\lambda } $

(4)

$ \frac{{\partial {B_z}\left(t \right)}}{{\partial t}} = \frac{4}{{\pi {\sigma _1}{\mu _0}{a^2}}}\int\limits_0^\infty {{\rm{Re}}\left[ {{H_z}\left(b \right)} \right]{\rm{cos}}} \left({bT} \right){\rm{d}}\mathit{b} $

(5)

$ \mathit{V}\left(t \right) = SN\frac{{\partial {B_z}\left(t \right)}}{{\partial t}} $

(6)

此处采用Guptasarma和Singh数值滤波算法和折线逼近法。其中，数值滤波计算公式(郭嵩巍，2010)如下

$ f\left(b \right) = \frac{1}{b}\sum\limits_{i = 1}^n {K\left({{\lambda _i}} \right){W_i}} $

(7)

$ {\lambda _i} = \frac{1}{r} \times {10^{\left[ {a + \left({i - 1} \right)s} \right]}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left({i = 1, 2, \cdots, n} \right) $

(8)

式中，λ_i为抽样点位置，W_i为加权系数，采用47点线性滤波系数。

采用折线逼近法计算，余弦变换公式为

$ f\left(t \right) = \int\limits_0^\infty {k\left(\omega \right){\rm{cos}}\left({\omega t} \right){\rm{d}}\omega \;\;\;\;\;\left({t > 0} \right)} $

(9)

作傅氏变换，得

$ f\left(t \right) = \frac{1}{{{t^2}}}\int\limits_0^\infty {k''\left(\omega \right){\rm{cos}}\left({\omega t} \right){\rm{d}}\omega } $

(10)

折线逼近法的思想是，假设R(ω)曲线是光滑的，利用一系列δ函数近似表示二阶导数k″(ω)，则

$ k''\left(\omega \right) \approx \sum\limits_{j = 0}^\infty {\frac{{k\left({{\omega _{j + 1}}} \right) - k\left({{\omega _j}} \right)}}{{{\omega _{j + 1}} - {\omega _j}}}} \left[ {\delta \left({\omega - {\omega _j}} \right) - \delta \left({\omega - {\omega _{j + 1}}} \right)} \right] $

(11)

代入式（10）、式（5），整理得

$ \frac{{\partial {B_z}\left(t \right)}}{{\partial t}} \approx \frac{2}{{\pi {t^2}}}\sum\limits_{j = 0}^\infty {\frac{{{\rm{Re}}\;\mathit{H}\left({{\omega _{j + 1}}} \right) - {\rm{Re}}\;\mathit{H}\left({{\omega _j}} \right)}}{{{\omega _{j + 1}} - {\omega _j}}}} \left[ {{\rm{cos}}\left({{\omega _j}t} \right) - {\rm{cos}}\left({{\omega _{j + 1}}t} \right)} \right] $

(12)

2.3 解析解与数值解对比

采用中心回线装置瞬变电磁法均匀半空间的理论公式对数值结果进行验证。在水平两层介质下，发射磁矩保持不变，发射线圈边长L=100 m，I=10 A，电阻率ρ₁=100Ω·m，ρ₂=100Ω·m，h₁=400m，观测时间范围从10^-7—10^-2 s，采样点数n = 50，观测二次感应电压解析解与数值解随时间的变化规律。

从图 2给出的发射线圈边长为100 m的二次感应电压解析解曲线与数值解曲线形态可知，拟合效果较好，表明该数值模拟方法正确并可行。

2.4 正演模型实例

（1）模型1（图 3）。均匀半空间，磁矩M不变，线圈边长L₁=50 m，L₂=100 m，L₃=200 m，电阻率ρ = 100 Ω·m，线圈匝数N = 1，观测时间范围10^-4—10^-2 s，采样点数n=50，在地表观测不同大小发射线圈产生的归一化二次感应电压随时间的变化规律，见图 4。

由图 4中曲线形态可知，在均匀半空间中心回线装置、相同磁矩、单匝线圈条件下，探测深度与线圈边长无关，即M磁矩大小决定探测深度大小。也就是说，通过加大发射电流，小线圈也能够达到大线圈的探测深度。

（2）模型2。水平两层介质模型，发射线圈边长L₁ = 100 m，L₂ = 30 m，电阻率ρ₁= 100 Ω·m，ρ₂= 100 Ω·m不同的两层模型参数为：h₁为200 m、400 m、600 m，观测时间范围10^-7—10^-2 s，采样点数n = 100，观测边长100 m的线圈探测深度极限。

图 5(a)显示，磁矩相同，发射线圈边长L₁=100 m，在不同埋深低阻的归一化二次感应电压分布，可见在水平两层（h₁=200 m）低阻介质中产生的归一化二次感应电压曲线与在均匀半空间的曲线有所不同，尾支出现上翘拐点（图 6），说明100 m线圈能够探测到200 m深度以内的低阻层；图 5(b)显示，发射磁矩不同，L₂=30 m线圈产生的归一化感应电压曲线并未出现尾支上翘拐点现象，表明不能探测到400 m深的低阻层，故线圈边长存在一个极限探测深度（图 6）。

（3）模型3。水平三层介质模型，发射磁矩相同，ρ₁= 100 Ω·m，ρ₂= 10 Ω·m，ρ₃= 100 Ω·m，埋深h₁范围为50—100 m，h₂分别为5 m、20 m、100 m，线圈匝数相同、发射线圈大小分别为50 m、100 m、200 m时，观测产生的归一化感应电动势衰减曲线。

如图 7所示，在相同发射磁矩条件下，当发射线圈边长不同时，低阻层埋深不同所表现的归一化二次感应电动势的尾支曲线拐点深度也不同，与低阻层厚度也有一定关系。随低阻层埋深加大，同一线圈边长存在最大探测极限深度。根据图 6给出的线性拟合式可知，瞬变电磁法中心回线装置的探测深度可能与发射线圈边长2倍相当。

3 结论

通过对瞬变电磁法探测深度正演模拟得到以下结论。

（1）一次磁场能量影响的探测深度极限与线圈边长无关，与发射磁矩大小有关，发射磁矩决定了二次感应磁场探测深度的有效分布范围。

（2）二次感应场的强度与发射磁矩大小有关，磁矩大小决定瞬变电磁法探测深度的大小，与线圈边长无关。根据磁矩理论公式可推知，通过加大发射电流，小线圈也能够达到大线圈的探测深度。增加线圈匝数，也能达到同样效果，从侧面验证了矿井多匝数小回线装置理论的正确性。

（3）层状介质模型表明，当线圈匝数相等时，在同样发射磁矩条件下，瞬变电磁法中心回线装置的探测深度可能与发射线圈边长2倍相当，为野外物探工作人员提供了施工布置与定量解释的参考依据。