0 引言

随着油气田勘探及开发的进行，如何识别薄储层油气藏、隐蔽性油气藏等非常规油气藏变得越来越重要，但是由于受地震频带的限制，现有的地震数据分辨率有限，很难识别厚度小于5 m的薄储层.谱反演技术利用反射系数序列的偶分量和奇分量特征，与常规反演理论相比能够更好地识别薄层.前人对此进行了很多研究，Portniaguine和Castagna(2004)对谱反演问题进行了研究，并对比了最小L1范数、最小L2范数和稀疏脉冲约束几种算法；Puryear和Castagna(2008)、Chopra等(2006)对谱反演的基本公式进行了推导，当反射系数序列能够同时确定时，对其进行谱反演得到的稀疏反射系数可以有效地提高薄层分辨率；秦德文(2009)、陈科(2010)探讨了基于模拟退火算法的谱反演方法，并在其中对稀疏和非稀疏条件下的谱反演进行了讨论，结果表明在稀疏条件下谱反演的结果更准确；曹鉴华等(2013)将谱反演技术应用于叠后地震数据的分析中，并对处理前后的地震数据进行对比，谱反演处理后的数据具有更高的分辨率，可以清晰地识别出薄储层；刘万金等(2013)将利用谱反演方法得到的地震资料的反射系数与特定子波褶积得到提高分辨率后的数据体，再对其进行属性分析，得到了很好的效果；迟唤昭等(2015)对谱反演中子波提取的方法进行了讨论，结果表明相对于非时变子波，采用时变子波进行谱反演具有更高的分辨率；朱卫星等(2015)改进了模拟退火算法，提高了谱反演的速度，使谱反演具有更高的实用性；符伟和刘财(2015)对谱反演中的时间窗选取进行了讨论，提出了自动选择窗口长度的方法，在实际资料应用中取得了很好的效果.

前人的研究多集中在稀疏条件下的谱反演，但是在实际应用中很难提前知道哪里存在反射系数，哪里不存在反射系数，所以为了在非稀疏条件下获得更高的分辨率，本文将Moore-Penrose算法(尹钊和贾尚晖，2009；仝秋娟，2012；陈保周，2014；陈惠汝，2015)应用于谱反演领域，首先推导出矩阵形式的反射系数序列所满足的公式，由于已知条件的限制，求解该公式相当于求解一个病态线性方程组，而Moore-Penrose算法在求解线性方程组方面具有独特的优势.再利用模型验证本文方法的有效性，然后在模型中加入噪声验证本文方法的稳定性.最后将其应用于实际地震资料，并利用频谱分析工具进行分析对比(刘喜武等，2009；王宝江等，2012)，证明了其在拓展地震频谱、提高地震分辨率方面的优势，为后续薄储层的预测及研究提供高分辨率的地震数据.

1 基本原理 1.1 谱反演基本原理

反射系数序列可以分解为偶分量和奇分量，其中偶分量有利于检测薄层，奇分量不利于识别薄层(秦德文，2009；陈科，2010)，谱反演方法利用该原理，突出反射系数序列中的偶分量，弱化奇分量对于谱反演的影响，达到识别薄层提高分辨率的目的.

本文首先推导两层反射系数模型的谱反演目标函数，进而推广到N层地层.两层反射系数模型的示意图如图 1所示，该模型中包括两个反射系数界面，r₁为第一层反射系数，r₂为第二层反射系数，T为第一层与第二层之间的时间厚度.

当分析点位于第一层与第二层之间时，图 1中的反射系数表达式为

(1)

对式(1)进行傅立叶变换并化简可得：

(2)

利用欧拉公式，令t=0，偶分量r_e=(r₁+r₂)/2，奇分量r_o=(r₁-r₂)/2，再利用褶积公式可得：

(3)

式中S(f)为地震记录的傅立叶变换，W(f)为地震子波的傅立叶变换.上式即为两层地层模型的反射系数所满足的公式.

将其推广到N层地层，可得N层地层的反射系数所满足的公式为

(4)

将其写为矩阵形式为

(5)

求解上述矩阵，相当于求解两个病态线性方程组Am=b，本文利用Moore-Penrose算法求解上述方程组(尹钊和贾尚晖，2009；仝秋娟，2012；陈保周，2014；陈惠汝，2015)，且是在非稀疏条件下求得的，即假设反射系数序列上的每个点都存在反射系数.我们知道，偶分量有利于检测薄层，奇分量不利于识别薄层，在实际应用中可以偶分量和奇分量前面分别加上加权系数α_e和α_o，从而达到检测薄层提高分辨率的目的.

1.2 Moore-Penrose算法基本原理

Moore-Penrose广义逆矩阵的定义为：设A为任意的m×n阶矩阵，若存在n×m阶矩阵G满足以下4个条件(通常称为Moore-Penrose条件(丁学仁和蔡高厅，1988；张贤达，2004))中的一个或者多个，则称矩阵G为A的Moore-Penrose广义逆矩阵.4个条件为：(1)AGA=A；(2)GAG=G；(3)(GA)^H=GA；(4)(AG)^H= AG.本文中主要利用满足第一个条件或者满足第一、第三个条件的两类广义逆矩阵G，记作A_m^-，称为最小范数逆.对于任意一个矩阵A，其最小范数逆A_m^-总存在，当矩阵A行满秩，即R(A)=m，其最小范数逆为

(6)

由于Am= b是个病态线性方程组，所以其有无穷多个解, 利用最小范数逆A_m^-可以求得线性方程组Am=b的最小范数解，当解向量的2-范数||x||₂取得极小值时称为最小范数解，公式为

(7)

稀疏条件下的谱反演在实际应用中很难提前知道哪里存在反射系数，哪里不存在反射系数，所以为了在非稀疏条件下获得更高的分辨率，本文将Moore-Penrose算法应用于谱反演领域，用该方法求解上述推导的矩阵形式的反射系数所满足的公式.

2 实例分析

由公式(5)可以看出，提取的子波质量对于谱反演结果的准确性有很大的影响，借鉴于前人的研究，本文首先对地震数据进行开窗分段，再采用基于高阶统计量的统计性子波提取方法来提取时变子波(赵秋亮，2005；路荣亮，2007；戴永寿等，2008).

2.1 单道模型试算

为了验证本文方法的有效性，首先采用单道模型进行试算，单道模型的格式为：共1道，每道239个采样点，采样间隔2 ms，如图 2所示.图 2a为模型的初始反射系数；图 2b为模型的初始反射系数与30 Hz的Ricker子波褶积得到的初始地震记录；图 2c是对初始地震记录进行谱反演得到的数据；图 2d是谱反演前后的频谱分析.由图 2中红框中数据可以看出，初始地震记录中弱反射同相轴被掩盖，经过谱反演后，弱同相轴得以显示，从频谱分析中可以看出谱反演可以提高地震记录的频谱，这证明了本文方法的有效性，也验证了谱反演方法具有拓展地震频谱、提高地震分辨率的能力.

为了验证本文方法的稳定性，在初始地震记录中加入随机噪声，然后对加了噪声之后的地震资料进行谱反演，谱反演结果对比如图 3所示.图 3a为模型的初始反射系数；图 3b为模型的初始反射系数与30 Hz的Ricker子波褶积得到的初始地震记录；图 3c是随机噪声；图 3d是将随机噪声加到初始地震记录上得到的数据；图 3e为对加了随机噪声后的地震记录进行谱反演得到的数据.由图 3中红框中数据可以看出，加了噪声之后，谱反演所得到的数据的分辨率有所降低，但是仍然可以反演出被掩盖的弱同相轴，这说明了本文算法具有一定的稳定性.

2.2 二维模型试算

本文建立如图 4a所示的二维模型，共80道，每道239个采样点.由图 4b可以看出, 经过褶积之后，在地震剖面上，很多同相轴并没有显示出来，而是被淹没在几个大的同相轴中，由图 4c红框中的数据可以看出，谱反演提高了地震资料的分辨率，几条被掩盖的同相轴也显示了出来.

2.3 实际地震资料谱反演分析

本文选用小壕兔区块的实际地震资料进行谱反演分析，小壕兔区块位于鄂尔多斯盆地伊陕斜坡北部东段，该气田在上石炭统—下二叠统的太1段、太2段、山1段、山2段、盒1段、盒2段、盒3段和奥陶系风化壳、马5段等8个层位均获得工业气流.但是在该区马5段储层上部存在风化壳T9层，在地震记录上呈现强振幅特征，如图 5a和b中红线所示，该风化壳对下伏储层有很大影响，会掩盖下伏储层的的反射信息.谱反演结果分析如图 5所示，由图 5a中红框中资料可以看出，由于储层上部强反射的存在，在地震剖面上，储层的的反射信息被掩盖，成为弱信号，在经过谱反演之后，由图 5b可以看出部分马5段储层的同相轴得以显示.由原始地震数据的RMS属性可以看出，D93以及D92井的油气特性并不明显，这与连井剖面上的结果是一致的，经过谱反演后，D93以及D92区域显示出油气特性，与录井资料相吻合.由此可以得出结论，经过谱反演可以提高地震剖面的分辨率，为后续储层解释、评价提供了良好的数据基础.

3 结论

本文在前人研究的基础上，将Moore-Penrose算法应用于谱反演领域，并在模型资料以及实际地震资料中进行了应用，得到以下认识：

(1) 谱反演方法充分利用了偶分量有利于检测薄层，奇分量不利于识别薄层的特性，突出反射系数序列中的偶分量，弱化奇分量对于谱反演的影响，达到识别薄层提高分辨率的目的.

(2) 前人对于谱反演的研究多集中在稀疏条件下，但是在实际应用中很难提前知道哪里存在反射系数，哪里不存在反射系数，为了在非稀疏条件下获得更高的分辨率，所以本文利用Moore-Penrose算法求解矩阵形式的反射系数序列所满足的公式，由模型资料以及实际地震资料的结果分析可以看出，本文方法是有效的且具有实用性.

(3) 由公式的推导可以看出，提取的子波质量对于最终的反演结果有很大的影响，这就对提取子波的方法提出了很高的要求，所以在实际应用中要选取合适的提取子波的方法.

致谢 感谢审稿专家提出的修改意见和编辑部的大力支持！