2017, Vol. 32
2. 法属波利尼西亚大学, 波利尼西亚 98709, 法国
2. Université de la Polynésie française, Polynesia 98709, French
433-Eros长轴达到34km，是一颗较大的近地小行星，它是Near Earth Asteroid Rendez_Vous(NEAR)探测器的探索目标之一(Yeomans et al., 1999).NEAR探测器在1998年12月临近Eros (Yeomans et al., 2000)，并于2000年2月14日进入了Eros的轨道，NEAR探测器经过一年的探测(2000—2001年)，探测得到了Eros表面的形状和重力数据.Eros表面的重力场(Miller et al., 2002)说明它密度分布较为均匀，约为2.67 g/cm3，Garmier的计算指出Eros表面存在轻微的布格重力异常(Garmier et al., 2002).
图 1是距离Eros表面为12 km的布格重力异常分布示意图，它能在一定程度上反映Eros的重力异常分布情况.从图 1来看，Eros表面分布有一些正的重力异常，末端边缘处存在明显的负重力异常现象.图 1是基于椭球谐函数模型绘制生成的，对于类似Eros这样的椭球形星体来说，相比通常的球谐函数来说它不会掩盖重力场短波信息(能反映小量级重力异常)，从而计算得到的重力力场分布情况更加精确(Garmier et al., 2001).从图 1中我们还能发现，Eros表面的布格异常既有正的也有负的，重力异常范围约为±0.5 mGal.其正的重力异常产生的一种可能是由较大直径天体撞击时压缩其表面物质所致(Garmier et al., 2001).在本文中，我们主要研究其表面末端边缘处负的重力异常，对Eros表面正的重力异常不予深入讨论.Geissler在研究243-Ida和其卫星上土壤层聚集效应时得到的结论认为：从全球角度来看Ida上低速的溅射物(V远小于逃逸速度Vescape)产生Ida全球均匀分布的土壤层，而能在轨道上停留一段较长时间(相对于行星的旋转周期而言)的许多高速的溅射物将会撞击在三轴椭球表面边缘外侧区域，从而在这些区域会产生大量聚集土壤(Geissler et al., 1996).
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图 1 Eros表面上空12 km高度处的布格异常图 Figure 1 Bouguer map of Eros: Values in mgal computed at an altitude of 12 km above the asteroid surface |
本文针对Eros表面边缘外侧区域处负的重力异常这一问题，借鉴Geissler的实验结论，发现Eros表面也存在类似于Ida行星的这种土壤不均匀堆积作用，且本文认为NEAR观测得到的负的布格重力异常正是由这种堆积作用所造成的(Garmier et al., 2001).文中首先建立了数学模型进行了模拟计算，并估计出有关Eros行星物理性质的参数(例如表面物质强度、表面土壤厚度等)的数值.基于这一工作，我们对Eros表面末端负的布格重力异常现象给出了较为合理的解释，同时也加深了对Eros行星的部分物理性质的理解.这一方法同样可以应用到其他的小行星，有望为我国小行星探测计划的科学任务提供参考.
1 模型和方法为验证Eros表面也存在土壤不均匀堆积作用，文中对Eros小行星进行了仿真计算.我们将整个过程分为了以下几步，每一步都使用严谨的数学模型来表述(计算流程图见图 2).(1)小天体撞击Eros过程，Eros表面的天体的撞击过程又可以细分为两个过程：①计算Eros生命历程中被太空天体撞击产生撞击坑的数量.②对Eros表面撞击坑进行撞击—挖掘—溅射过程建模；(2)溅射物轨道的计算；(3)土壤厚度的计算.经过这一系列的建模计算，我们可以较好的仿真天体撞击Eros行星产生溅射物直至在Eros上形成土壤层的过程，且能通过此过程进一步计算这些撞击坑在Eros上产生的负的布格异常的数值大小，从而与观测得到的数据结果进行对比分析，验证我们的假设.
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图 2 仿真模拟计算过程流程图 Figure 2 The flow chart of the simulating calculation |
在Eros表面被太空中天体撞击产生许多大小形状各异的撞击坑，我们先要确定撞击坑的数目和撞击天体的直径，这些量都是与所产生的溅射物总量密切相关的.本文参考了Greenberg计算Gaspra行星(Greenberg et al., 1994)和Ida行星(Greenberg et al., 1996)表面撞击坑数目的方法估算了Eros表面的陨石撞击产生撞击坑的数目.在位于主行星带的期间，Eros行星表面在直径D和D+dD之间的天体分布数目dN公式为(Chapman et al., 2002)：
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式(1)和(2)中天体最小直径为6 m的原因在于该模型缺乏小直径撞击天体的数据(Greenberg et al., 1996)(小天体难以被观测)，而最大直径限定为666 m的原因在于大的陨石撞击Eros可能会让它撕裂(Geissler et al., 1996).
1.2 撞击—挖掘—溅射过程根据上述的模型，我们估算了撞击天体的直径，现在要考虑的问题是太空一定直径天体撞到Eros表面上时，它们在其表面产生的陨坑的尺寸有多大，因为陨坑的尺寸与该陨坑溅射物的体积和溅射速度都密切相关.433-Eros是位于主行星带内一颗小行星，本文中认为它受到陨石撞击的速度为主行星带内撞击的平均速度5.3 km/s(Bottke et al., 1994).根据Housen和Holsapple关于量化撞击坑挖掘过程的文章(Housen, 1983; Holsapple and Schmidt, 1987)，我们使用量纲分析结合Z-model(Maxwell, 1973)来建模计算从撞击坑中飞溅物质的总量以及其溅射速度.量纲分析的方法认为撞击挖掘过程中涉及到的物理参数有：陨石的物质密度δ，撞击速度U，陨石半径a，行星表面的重力加速度，行星物质密度ρ，行星物质材料强度Y.从而陨坑的半径Rt能由下面一个函数(3)来表示，其主要思想是组合物理参数保持等式两边的量纲一致(Housen, 1983; Holsapple and Schmidt, 1987; Housen and Holsapple, 1990; Holsapple et al., 1999；Housen，2002).公式(3)为
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(3) |
显然，这种抽象函数无法用于具体求解，而满足量纲一致物理参数组合的数目较多，如何选择合适的组合是个需要考虑的问题.针对这一问题，Holsapple和Schmidt在1987年提出了点源解的想法，这个思想中有一个关键的假设，他们认为陨石的参数(其质量、速度或者说其携带的能量和动量)能被一个耦合的参数C表示(Holsapple and Schmidt, 1987)，公式为
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(4) |
其中μ和ν是与陨石本身物质属性相关耦合在一起的指数参数.这样，我们把(3)中6个参数缩减到4个.在撞击过程中，若撞击物能量较低(C较小)，转化为热能也相对较少，撞击时陨坑中挖掘物质保持其固态(熔融程度低)，则限制陨坑大小和溅射物速度的量主要是行星表面物质材料的强度，这种撞击过程被认为发生在强度区.反之，若撞击时释放大量的热量，撞击时陨坑中挖掘物质将变成熔融流质，此时陨坑的大小、溅射物的速度、挖掘物的量将主要取决于行星表面的重力大小，这就是所谓的发生在重力区的撞击(Nolan et al., 1996).综合上述考虑，把δ/ρ当成常数，我们可以推导分别得到强度区Y和重力区g的陨坑半径Rt的模型(公式(5)和(6))以及超过速度v的溅射物体积Ve模型(公式(7)和(8)).公式(5)~(8)为
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其中K1、K2、K3和K4均为比例常数，为经验数值.
在计算溅射物的轨道时，我们需要得到所有陨坑任意一块溅射物的体积和初始速度.在本文中，我们使用经验模型Z-model(Maxwell, 1973)来获得轨道初始状态信息，Z-model约束溅射物出射运动如图 3所示.在Z-model中，挖掘流的径向分速度(vr)以及切向分速度(vθ)与距离r的关系公式为
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图 3 Z-model中撞击挖掘溅射物出射运动示意图 Figure 3 Excavation flow in the kinematic Z-model |
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而在出射点位置为R处，溅射物以45°倾角离开行星表面，其速度大小计算公式为
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(10) |
而从撞击中心到出射点位置R处之间形成挖掘空间的体积可以通过求积分导出(Maxwell et al., 1975)，公式为
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(11) |
根据以上各式，结合Z=1/μ(Holsapple and Schmidt, 1987)，可分别导出强度区和重力区的α值为
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(12) |
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由于撞击—挖掘—溅射过程较为复杂，相对于真实的撞击情况而言，上述模型进行了简化.在上述模型中存在的比较明显的问题有：速度值计算结果偏大(根据Z-model，陨坑撞击点中心位置速度大小趋向无穷大，而且陨坑边缘处的速度并没有减到0)，就导致使用(7)式和(8)式计算溅射物体积也偏大，但是使用Z-model计算溅射物的体积值并没有受到影响(Z-model计算溅射物体积公式中无速度项)，其精度高于(7)和(8).文中Z值是未定的但是其范围为1.5~3.0(Housen et al., 1999)，而根据公式(11)Z取值应大于2.本文为证明Eros上溅射物聚集效应存在这一猜想，测试了Z取0.1为步长从2.1到3.0的值，并以Z取值为2.5为例对Eros上土壤层分布和物质强度进行了约束实验.
虽然这些模型都是一定程度上的近似，但是它们表述的规律与真实撞击过程是相符的.例如在强度区，从公式(5)和(10)可以看出，强度参数增大(紧密)，计算得到的陨坑尺寸变小，而溅射物的速度会增大；强度参数减小(疏松)，计算的陨坑尺寸变大，但是它的溅射物速度却很小.
1.3 溅射物轨道计算在知道了溅射物的体积和初速度后，仿真计算溅射物的轨道时，并非对整块溅射物进行处理，而是将单块的溅射物按照距陨坑中心的距离和出射方位两个维度分别将溅射物细分为10000块.若直接按照这种方法计算6~666 m范围内所有陨坑的溅射轨道，计算量将非常大(计算表明Eros上分布在6~666 m范围内陨石坑达到450000多个，此时轨道总数达4.5×1011).本文中只仿真计算了直径大于100 m的陨坑的溅射轨道，缩小范围进行计算量的简化(陨坑数目显著减少到156，轨道总数为1560000).
计算时，要使用龙格-库塔积分方法求每一小块飞溅物的轨道，以确定它的最终位置.使用这样的数学方法精确求解飞溅物的轨道，需要知道Eros的重力场模型信息.Eros的形状接近于一个三轴的椭球，半径分别为17 km、8 km、6 km，旋转周期为5.27 h(Miller et al., 2002).本文考虑到Eros的形状狭长，在计算溅射物轨道采用的重力场模型为25 km均匀质线模型，质线上均匀分布Eros的全部质量，Eros的重力场可表示为
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式中M为Eros的质量(6.6904×1015 kg来自于(Miller et al., 2002)，L是质线的长度(25 km)，而r1和r2分别为从p点到质线两个端点之间的距离.
1.4 土壤厚度的计算溅射物落到Eros表面(此处当成三轴椭球)时，产生了Eros表面的土壤，对于每一块落回的溅射物而言，距落地位置越远的位置上分布的土壤的厚度就要越小，仿真计算中采用了一个指数函数来表示堆积的土壤厚度，公式为
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(15) |
式中Hcum为堆积的土壤厚度，A是溅射物的总量，d是距离溅射物落点的距离，l是一个长度比例因子.
2 分析和讨论为了证实Eros表面存在溅射物聚集效应，就要先排除模型参数选取导致可能出现的巧合结果，所以先要证明Z和Eros表面物质强度Y取值组合对所得Eros表面物质堆积聚集效应只产生数量级的变化，而不影响聚集现象的存在.基于上述模型方法和表 2中参数，取Z从2.1到3.0以0.1为步长，取Y从1×105 Pa到1×107 Pa范围中19个值进行实验(19×10×1.56×106条轨道)，将Eros表面撞击坑产生的高速溅射物(轨道时间超过3 h)的堆积结果展示在图 4中.
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图 4 改变Z的和强度Y取值高速溅射物产生土壤分布图 Figure 4 The distribution of regolith produced by high-velocity with the adjustment of parameter Z and Y |
图 4中一共有178幅图(因全图较大，仅取其中10幅图在文中展示，全图见附件)，每幅图的纵坐标为纬度(-90°~90°)，横坐标为经度(-180°~180°)，图中红黄色区域表示堆积土壤较厚的区域，蓝色为较薄区域.我们能明显的看到无论参数如何调整，红黄色区域总是集中在Eros表面的边缘外侧，即Eros上高速溅射物也存在聚集堆积在其外侧边缘，通过这一实验可证实我们的猜想.
下面我们利用Eros上土壤堆积的这种聚集效应，基于其表面布格异常是由此种聚集效应产生这一假设，仍以上述Z参数和强度Y参数取值为基础，计算了Eros上各参数组合下产生的布格异常的区间，绘制成图 5.
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图 5 改变Z的取值(范围2.1~3.0)后布格异常区间随强度值的变化 Figure 5 The variation of Bouguer anomalies interval along with the adjustment of strength Y when we change the value of parameter Z |
从图 5a、5b可以看出符合观测结果区间分布在Y=8×105 Pa左右，此时在Z变化数值不大时对区间上下限数值变化幅度的影响很小，而Z取2.1和3.0时与2.5对比就相差较远.具体的变化体现为：在强度值Y不变的情况下Z值变大时，布格异常的区间缩短(异常范围变小)，且布格异常区间的下限值变大.从公式(11)可以看出来溅射物的体积与Z的取值是成正相关的，而计算结果表明Z增大时，布格异常区间幅度会有一定程度的减少，本文认为这种情况出现有两种可能性，一种可能性是Z变大时溅射物的速度(公式(10))显著变大，从而导致从Eros表面逃逸的溅射物变多，另外一种可能性是，溅射物的速度显著变小，从而导致Eros表面高速的溅射物变少，从而导致Eros表面溅射物的聚集效应变小，这样也能使布格异常范围变小.
在Z不变的情况下，随着强度值Y变大，布格异常区间范围显著的缩小，区间下限值显著变大.这与是与公式描述的现象十分符合的，因为根据强度区的模型公式(公式(12))强度值Y变大时会导致溅射物速度增加(公式(10))，同时，从溅射物的体积来看，Y增大时强度区撞击坑半径会变小(公式(5))，从而产生溅射物的体积变小(公式(11)).
我们从上述经过参数调整的模型中选出与观测结果最接近的几个候选模型，列在表 1中，表 1中的布格异常值是在25km高球面上计算得到.由表 1可以看出，无论我们仿真模型参数怎样变化，Eros表面的溅射物的聚集效应仍然是起作用的，这样我们就能证明溅射物堆积效应独立于我们模型参数选取情况而存在.而Eros溅射物的表面的这种溅射物聚集堆积效应又必然会导致它表面上布格重力异常的存在，从而我们可以通过观测布格重力异常的信号反过来在仿真模型中调整出与之相符合的参数，即根据Eros表面的布格重力异常信号可以对它表面的一些物理形态信息进行约束.
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表 1 与观测值相符合的模型参数结果 Table 1 The simulation results in line with the observation result |
下面本文基于上述模型及表 2参数(仅以Z=2.5为例)对该过程进行了Eros表面土壤分布情况和物质强度Y参数约束实验，实验选取了6种模型进行对照，其中1种是在撞击过程中采用引力区进行计算，另外5种均为强度区模型，设置了5组代表性的强度参数用于仿真，计算成果展示在表 3中.从表 3中我们能发现撞击模型中使用引力区后的计算结果与观测的布格异常值差别非常大，相差近30倍.而与观测结果最接近是强度区模型中强度参数取106 Pa的模型(NEAR探测得到多普勒数据处理得到的观测结果换算至半径25 km球面上(Garmier et al., 2002)的布格异常区间范围为(-0.33 mGal, 0.09 mGal)).
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表 2 仿真计算中用到的行星和撞击过程参数汇总 Table 2 The asteroid parameters and impact parameters used in the simulation |
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表 3 多种撞击模型产生的土壤层厚度以及进一步计算得到的布格异常值对比 Table 3 The regolith distribution calculated by different impact model and their further Bouguer anomalies interval |
为清楚表示发生布格异常的区域，我们将强度参数为Y=106 Pa的强度区模型的结果展示在图8中.由图8a展示的Eros表面分布的总的土壤层厚度可以发现Eros表面土壤层厚度的分布并不完全均匀.图8b中展示的是在停留轨道上超过3小时的高速溅射物落到Eros表面时形成的土壤层厚度.
从图 6a来看Eros表面在全球分布的土壤层的厚度是较为均匀的，仅仅是星球末端区域会出现聚集的现象，这与NEAR探测的重力信号结果相符(布格异常幅度较轻微，约为±0.5 mGal).在图 6b中，我们能清楚的看到这些高速溅射物偏向于堆积在Eros椭球体的边缘的位置(准确的说：Eros旋转时最靠近外侧的部分).在行星以一定速率旋转时，溅射物更容易堆积到这些的区域.若行星停止自转，这样的现象便会消失，这与Geissler的结论是完全吻合的(Geissler et al., 1996).
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图 6 表 2中第4种模型的模拟计算成果 (a) 156个撞击坑产生溅射物产生总的土壤厚度分布图(计算1.56×106条轨道)；(b)高速溅射物聚集效应产生土壤厚度分布(溅射物空中运动时间大于3 h视为高速溅射物)；(c)表 2第4种模型计算得到Eros表面布格异常分布图(延拓到25 km半径球面上的结果)；(d)Eros表面布格异常(延拓到25 km半径球面上结果). Figure 6 Simulation results for the fourth case in Table 2 (a) Total redeposition for ejectas computed for a population of 156 impactors(about 1.56×106 computed trajectories); (b) Redeposition of high velocity ejectas(at least 3 h in orbit); (c)Bouguer Anomalies(mgals) corresponding to case 4 in Table 2 and computed over a sphere of 25km radius; (d) Eros Bouguer anomalies over a sphere of 25km radius(Garmier and Barriot, 2002). |
溅射物从Eros表面离开后，部分将会以土壤层的方式落回到Eros表面，这个过程中，Eros表面的物质进行运动，形成其物质重新分布的现象.本文中对156个陨石坑产生的溅射物的轨道进行了仿真计算，计算结果表明Eros表面的物质重新分布有以下两种机制：
(1) 低速的溅射物堆积到全球，形成全球土壤层分布.
(2) 由于行星的旋转作用，高速的溅射物倾向于堆积在行星的最外侧边缘部分，形成这些区域的局部加厚的土壤层.
为了进一步验证这个计算结果与观测得到的重力数据是否吻合，本文中取土壤层的密度比Eros平均密度要小0.45 g·cm-3，即取值为2.22 g·cm-3(Garmier et al., 2001).以上述土壤层覆盖为条件进行计算，得出Eros表面的布格异常.我们把所有的各种情况下数值计算结果汇总列在表 2中，其中布格异常计算为在25 km半径球面上的计算结果.从表 3中看到强度参数为Y=106 Pa的强度区(第4个模型)，其布格异常幅度计算结果为-0.30 mGal，从数量上看与Eros的观测数据计算结果是吻合的，而根据图 6c(仿真建模计算得到的布格异常分布)和6d(重力数据计算得到的布格异常分布)的对比来看，仿真结果与观测数据的异常分布区域也是完全一致的.
3 结论本文的研究表明Eros行星上存在与Ida小行星类似的溅射物聚集效应，同时综合使用了多种模型对整个撞击过程进行准确的描述，使行星上的撞击过程与重力数据联系起来，约束估计得出小行星Eros上表面强度值和土壤分布的大致情况，同时也给NEAR探测所得重力信号中存在的疑问提供了合理的解释.而且在本文中我们首先想要证明的是，无论我们仿真模型的Z参数和物质强度Y参数怎样变化，Eros表面的溅射物的聚集堆积效应仍然是起作用的，这样我们就能证明溅射物堆积效应独立于我们模型参数选取情况而存在.在不同模型参数假设下，Eros表面的这种溅射物聚集堆积效应却必然会导致它表面上布格重力异常数值的变化.我们可以通过观测布格重力异常的信号反过来在仿真模型中调整出与之相符合的参数，从而根据Eros表面的布格重力异常信号约束Eros表面的一些物理形态参数.通过这一建模仿真工作，我们认为Eros上高速的溅射物将会聚集在其边缘处(见图 6b)，而计算结果表明，取模型中参数Z为2.5时，Eros全球表面覆盖着一层大约30 m厚度的土壤层，而其边缘外侧堆积了一层厚度大约50 m的土壤层，根据仿真模型对比试验来看，Eros表面物质强度值约为106 Pa.这一工作可以为其他类似小行星表面物理性质的研究，以及我国未来小行星探测计划科学目标的实施提供一定程度的参考.
致谢 感谢审稿专家提出的修改意见和编辑部的大力支持！| [] | Bottke W F Jr, Nolan M C, Greenberg R, et al. 1994. Velocity distributions among colliding asteroids[J]. Icarus, 107(2): 255–268. DOI:10.1006/icar.1994.1021 |
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