0 引言

地下管线是城市公共基础设施的重要组成部分，为城市输送养料，与人民的生产生活密切相关.随着城市的高速发展，对地下管线的需求也在增加，为了对城市地下管线更有效的管理与统筹，开展管网数据库的建设及地下管线探测技术的深入研究势在必行(王学海，2006).

经过几十年的发展，地下管线探测方法已有许多种，如：电磁感应法(史伟，2015)、管线探测仪(王明星等，1997)、磁梯度法(王水强等，2005)、高密度电阻率(杜良法和李先军，2007)、瞬态瑞雷面波(杨兴其等，2000)、地震映像法(肖顺等，2014)、探地雷达(GPR)(张鹏等，2015)、综合物探法(王勇和王永，2011).这些不同的方法从不同的物性差异着手，建立了一套成熟的理论方法和工作体系，但各有优缺点.在众多的探测方法中，GPR具有高精确、高分辨率、无损性等独特的优势，它只要目标管线与周围介质间存在介电常数的差异，就能开展GPR探测，既可以探测金属管线也可以探测非金属管线(曾昭发等，2010).考虑到实际管线探测环境条件的复杂性，给雷达探测及解释工作带来了诸多困难，为此，本文应用时域有限差分法(FDTD)开展了GPR正演，并通过数值模拟探讨了管线的埋深与间距、管道内不同物质与雷达探测效果的关系，总结了不同管状体在雷达正演剖面的图像特征，有助于雷达资料的判断和解释.

1 时域有限差分法原理 1.1 差分方程的导出

FDTD进行GPR数值模拟时，需要从Maxwell旋度方程出发(Yee，1966)，在无源区域两个旋度方程可表示为(葛德彪和闫玉波，2005)：

(1)

式(1) 中：E为电场强度(A/m); H为磁场强度(A/m); ε为介电常数(F/m); μ为磁导率(H/m); σ_e为电导率(S/m); σ_m为等效磁阻率(ω/m).

二维情况下Maxwell方程组可分裂为相互独立的两组方程，分别为横磁波TM与横电波TE，GPR模拟过程中常采用TM波，它只有E_z，H_x和H_y三个分量，其方程组表示为

(2)

采用图 1所示的Yee氏网格模型(Yee，1966)对模拟区域进行离散，利用中心差商代替微商，把连续变量离散化.同时设模型中Yee氏网格的尺寸分别为Δx和Δy，Δt为时间步长，红色的网格节点为电场值E_z，它垂直平面向里，半网格点上的黑色箭头分别表示磁场H_x、H_y，将每个节点进行编号，若E_z位于(i, j)点，以及时刻t=(n+1)Δt，则H_x对应于(i, j+1/2) 点及t=(n+1/2)Δt时刻，H_y对应于(i+1/2, j)点及t=(n+1/2)Δt时刻，可推导出二维空间GPR正演TM波的FDTD方程为

(3)

(4)

(5)

式(3)~(5) 中的电磁参数中标号m的取值与其式中右端电场或磁场分量的空间位置相同，式中

(6)

(7)

(8)

(9)

1.2 数值频散及CFL(Courant-Friedrich-Levy)稳定性条件

应用FDTD法开展GPR数值模拟时，由于差分近似导致电磁波的相速度随波长、传播方向及变量离散化的情况而发生变化，因而在传播空间出现频散.这种频散是由网格尺寸和离散数值效应引起的虚假频散现象，不属于物理频散，通常称之为数值频散.数值频散现象可以通过选取足够小空间和时间的步长进行压制.但小的步长必然需要大的计算时间.Taflove (1995)证明了空间步长间隔须满足：

(10)

式(10) 中，Δs=min(Δx, Δy)，为离散空间间隔，λ_min为介质空间中电磁波的最小波长.此外，FDTD的计算中是以差分代替微分，按时间步递进计算电磁场的变化，只有离散后差分方程的解是收敛和稳定的，这种代替才有意义.据Taflove和Brodwin(1975)的研究结果，要求时间变量步长Δt与空间变量步长Δx和Δy之间必须满足如下条件，公式为

(11)

式(11) 中的为介质的电磁波速度.否则将出现数值不稳定性.即当空间步长选定后，为了使计算是稳定的，时间步长的选取所受到的限制.如果采用正方形网格，则Δx=Δy=Δs，GPR的2D数值稳定条件(11) 简化为

(12)

2 管线探测中GPR探测影响因素分析 2.1 管线不同的埋深与间距分析

雷达波在地下传播过程中，对地下目标物体的反射及绕射性能受许多因素的影响，其中地下媒质的特性参数、雷达波的频率、媒质的含水性都影响着雷达波的探测效果.为了提高管线的雷达探测精度，下面应用FDTD算法开展管线埋深、间距，管线内不同物质的电磁散射特性及GPR波形特征的正演，为工程实测雷达图像解译提供理论支持.

图 2a为间距不同、埋深不同的金属管状异常体在同一背景介质中的模型.模拟区域长与宽为2.5 m×2.0 m，背景介质的电导率为0.01 S/m，相对介电常数为6.0.在(0.4 m, 0.5 m)、(0.8 m, 0.5 m)、(1.5 m, 0.75 m)、(2.0 m, 0.75 m)位置处各有个半径0.15 m的金属管状异常体，图 2a左上方两个金属管状异常体间距为0.1 m，右下方两个金属管状异常体间距为0.2 m.采用FDTD法对这个模型进行正演，边界条件采用单轴各向异性完全匹配层边界条件(Gedney，1996；肖明顺等，2008；冯德山等，2010).源为400 MHz的Ricker子波，空间步长为0.005 m，时间步长为0.1 ns，时窗长度为24 ns，第一道雷达数据发射天线位于0.0 m，接收天线位于0.0 m，收发天线同步移动，每隔0.025 m采集一道雷达数据，总共采集了100道雷达数据，UPML设为8个网格.

图 2b中可见，管状球体的上界面能够清楚地被分辨出来，埋深浅一点的两个金属管异常正演图中电磁波能量强一些，图像更加清晰，虽然他们间距较小，但是GPR依然可以清晰的分辨出两个管道的位置，埋深深一点的两个金属管异常体正演图中电磁波能量稍弱，但是依然可以清晰的辨认出两个异常体的位置.该正演实例说明：异常体的埋深对GPR管线探测是一个重要的影响因素；在异常体间距较短情况下，依然可以辨别异常体位置，说明GPR对管线探测识别能力很强.

2.2 管道内不同物质分析

图 3a为两个PVC管内部装有不同物质的异常体在同一背景介质中的模型.模拟区域长与宽为1.5 m×1.5 m，背景介质的电导率为0.01 S/m，相对介电常数为6.0.在(0.60 m, 075 m)、(1.05 m, 0.75 m)位置处各有个半径为0.15 m的PVC管，管壁厚度为0.025 m，左边PVC管内部充满水，右边PVC管内部无物质，只有空气.其他参数同上例，每隔0.005 m采集一道雷达数据，总共采集了300道雷达数据.

图 3b中可见，含水的PVC管电位与雷达波的电位相反，PVC管的上界面可以清晰的被检测到，由于水的相对介电常数较高，导致电磁波在探测到含水的PVC管道时发生强烈的反射；而内部为空气的PVC管道与雷达波的电位相同，GPR波传播至PVC管道时，由于管道为空的，雷达波同样会出现双曲线绕射波，且弧形双曲线下还会出现多次反射波，多次反射波的间距与管径成明显的正比关系，通过它能较好地推断PVC管的管径.由此可见：GPR探测城市地下管道时，管道内部物质的成分直接影响到探测的雷达波形.

2.3 不同材质管线模型分析

建立图 4a所示的含有不同管线模型，模型区域为4.0 m×2.0 m，网格为800×400，模拟区域的背景介质相对介电常数为6.0，电导率为0.01 S/m，在位于(0.75 m, 1.00 m)、(1.50 m, 1.00 m)、(2.25 m, 1.00 m)、(3.00 m, 1.00 m)位置处分别是含水空洞、空洞、PVC管道、金属管道截面圆心.它们的半径均为0.25 m，介质的相对介电常数分别为81.0、1.0、1.4、50.0，电导率依次为0.001、0、0.005、5，FDTD法模拟参数设置同上例.

通过图 4b中不同材质管线与空洞GPR正演剖面图可以发现：在含水空洞、空洞、PVC管、金属管都同时存在于同一埋深的条件下，含水空洞和金属管的电磁波相位与空洞和PVC管电磁波相位相反，这是由于含水空洞和金属管的相对介电常数与电导率都高于空洞和PVC管，金属管弧形曲线反射最明显，能量最强，这是由于金属管的介电常数与背景介质的介电常数相差较大，形成了强电磁波反射面所致；空洞异常体双曲线弧形亦较明显，弧形双曲线的顶部能有较指示空洞的上顶面；而PVC管的双曲线弧形反射在雷达剖面中也明显可见，但它的反射最弱，正常情况下PVC管弧形双曲线下还会出现多次反射波，多次反射波的间距与管径成明显的正比关系，通过它能较好地推断PVC管的管径.

3 地下管线GPR探测实例

武广高铁浏阳河隧道位于湖南省长沙市东部，自北向南贯穿整个长沙市，隧道全长10.1 km，开挖断面达到160 km²，被列为武广客专线上的重点控制工程，浏阳河隧道是目前我国首座穿越大河的高速铁路隧道，它填补了我国高速铁路穿越城市、穿越河流和大跨度等多项空白.而武广高铁浏阳河隧道施工完后，需要在路基中间增加导水沟，这需要切割已建好的水泥路基，但由于路基下0.5 m左右深度埋有不同的地下管线和电缆，需要查明管线的具体位置.工程实测中采用美国GSSI公司的SIR-3000型探地雷达仪、900 MHz天线，时窗长度设置为18 ns，可达探测深度为1 m左右.测线与路基平行，由于线路不长，故采用点测方法进行，点距为0.05 m，即每米20个点.

图 5为浏阳河隧道中某段雷达探测成果wiggle图.如图 5中红色虚框中所示，在测线6 m范围内共有6根通迅电缆管线，其形状为向下开口的双曲线弧形，该弧形反射信号为地下管线的反射，反射波能量较强，并且有多次波存在，但双曲线的弧顶准确地指示出了管线的最顶部的位置，尽管双曲线弧形两翼跨度较大，较管线的实际大小要大得多，但双曲线弧形还是准确地指示了6根管线的具体位置与顶部埋深，可为工程施工提供依据.

4 结论 4.1

应用探地雷达进行实际管线探测中，如何对所得雷达图像进行恰当准确的解释是方法应用能否成功的关键.利用FDTD开展探地雷达典型地下管线模型正演，有助于了解不同管线的雷达反射图像特征，判断出管线材质、管线中充填物质和管径大小，有效指导实际雷达管线探测，提高地下管线探测精度.

4.2

探地雷达正演模拟表明：GPR探测城市地下管道时，管道内部物质的成分直接影响到探测的雷达波形，如果管道内含水则更有利于雷达探测.异常体的埋深对GPR管线探测是一个重要的影响因素；在异常体间距较短情况下，依然可以辨别异常体位置，说明GPR对管线探测识别能力很强.此外，金属管线和非金属管线的雷达反射波图像不同，可据此判断出管线材质.

致谢 感谢审稿专家提出的修改意见和编辑部的大力支持！