地球物理学进展  2017, Vol. 32 Issue (4): 1721-1727   PDF    
TI介质射线追踪及其高斯束成像应用
张敏1, 李振春1, 刘强1, 张凯1, 韩文功2, 徐文才3     
1. 中国石油大学(华东)地球科学与技术学院, 青岛 266580
2. 中石化地球物理公司, 北京 100029
3. 同济大学海洋与地球科学学院, 上海 200092
摘要:射线追踪是一种高频近似前提下快速有效的波场近似计算方法,传统的基于弹性参数的各向异性介质运动学和动力学射线追踪方程,求解过程中需要处理Christoffel方程的特征值问题,因而计算效率比较低.为了解决这一问题,本文通过引入相速度和群速度,对运动学和动力学追踪方程进行修改和简化,有效地提高了各向异性介质射线追踪算法的计算效率.另外,我们将该算法应用到各向异性偏移中,实现了共炮域TI介质高斯束叠前深度偏移方法.VTI介质Hess模型和TTI介质洼陷模型的试算结果说明了该方法的正确性和有效性.
关键词各向异性射线追踪    运动学    动力学    相速度    群速度    高斯束    
Ray tracing in TI media and its application of Gaussian beam migration
ZHANG Min1 , LI Zhen-chun1 , LIU Qiang1 , ZHANG Kai1 , HAN Wen-gong2 , XU Wen-cai3     
1. School of Geosciences, China University of Petroleum, Qingdao 266580, China
2. Geophysical Corporation, SINOPEC, Beijing 100029, China
3. School of Ocean and Earth Science, Tongji University, Shanghai 200092, China
Abstract: The Ray tracing is an efficient technique of calculating the wave-field under the condition of high frequency approximation. The traditional kinematic and dynamic ray tracing equations in anisotropic media are formulated in terms of elastic parameters, which require solving the eigenvalue problem of Christoffel equation. Alkhalifah(1995) put forward a post-stack Gaussian beam migration method in anisotropic media based on the classical kinematic and dynamic ray tracing equations. However, it also brings approximately 40% additional computational cost in comparison with the isotropic Gaussian beam migration. Therefore, the classical anisotropic ray tracing method is actually not suitable for Gaussian beam migration due to its low efficiency. To overcome these issue, Zhu et al (2005) reformulated the ray tracing systems in terms of phase velocity. In this paper, we modified and simplified the kinematic and dynamic ray tracing equations on the basis of phase velocity and group velocity, which could enhance the computational efficiency of the anisotropic ray tracing algorithm. Furthermore, our proposed method has also been utilized in prestack Gaussian beam depth migration in common-shot domain for anisotropic TI media. Finally, the numerical experiments on Hess model in VTI media and the simple subsag model in TTI media have demonstrated the higher computational accuracy and efficiency of the proposed method compared to the traditional algorithm.
Key words: anisotropic ray tracing     kinematic     dynamic     phase velocity     group velocity     Gaussian beam    
0 引言

地球介质是广泛存在波动各向异性的(吴国忱,2006),然而,传统的地球物理学研究主要是假设地球介质为完全弹性和各向同性,忽略各向异性会引起反射波不能正确归位、绕射波不能完全收敛、能量不聚焦等问题,进而导致成像精度不准确(Thomsen,1986段鹏飞等,2013段新意等,2014).随着地球物理技术和计算机技术的发展以及实际生产对地震数据处理提出的更高要求,地震各向异性研究成为目前的发展趋势和热点方向,因此,射线追踪技术也已经由各向同性介质逐渐推广到各向异性介质.

Červený(1972)射线追踪技术在地震正演模拟和成像中占有重要的地位.国外对各向异性介质射线追踪的研究比较早.Červený(1972, 1989, 2001)推导了基于弹性参数的各向异性介质运动学射线追踪方程,但该方程的计算十分耗时,并且求解过程中需要确定介质的弹性参数.随后,Hanyga(1986)通过修改动力学射线追踪方程,实现了各向异性VTI介质中动力学射线追踪,但该方程以弹性参数形式表示,使得射线追踪的计算更为复杂.后来,Zhu等(2005, 2007)以相速度形式构建了各向异性TI介质中运动学和动力学射线追踪方程,提高了算法的计算效率.近年来,国内学者对各向异性介质射线追踪也进行了不少研究,但主要集中在运动学射线追踪方面,并且主要将其应用在正演模拟及射线类偏移中.孟庆生等(2002)研究了均匀TI介质中P波及SV波的射线规律; 李建国等(2010)用经典的试射法实现了VTI介质射线追踪.李勤(2011)对VTI介质多波射线追踪进行研究,并实现了各向异性VTI介质正演模拟.后来,段鹏飞等(2013)研究了TI介质运动学和动力学射线追踪,并将其应用到高斯束偏移中.

高斯束偏移作为一种改进的射线类偏移方法,不仅具有Kirchhoff等射线类方法的较高计算效率,还具有接近于波动方程偏移方法的成像精度的多方面优势(岳玉波等,2010李振春等,2010岳玉波,2011郭朝斌等,2011蔡杰雄等,2012徐少波等,2014),因此,高斯束偏移方法近年来备受人们关注.目前,各向异性高斯束偏移成像研究主要集中在对观测系统适应性更强的共炮域和角度域.段新意等(2014)韩建光等(2015)通过修改运动学和动力学追踪方程,实现了各向异性VTI介质共炮域高斯束叠前深度偏移.随后,张凯等(2015)提出了基于格林函数的角度域各向异性高斯束逆时偏移方法.然而他们应用的是传统的基于弹性参数的各向异性介质射线追踪算法,存在计算效率比较低的问题.

本文在前人研究的基础上,通过引入相速度和群速度,对各向异性TI介质运动学和动力学追踪方程进行修改和简化,改进了Zhu等(2005, 2007)研究的各向异性TI介质的运动学和动力学追踪算法,并将其应用到高斯束叠前深度偏移中,实现了共炮域各向异性TI介质的高斯束偏移.通过VTI介质Hess模型和TTI介质洼陷模型试算,说明了本文所研究方法的准确性和有效性.

1 各向异性TI介质射线追踪

各向异性运动学和动力学射线追踪是实现各向异性高斯束偏移的关键.传统的各向异性射线追踪是基于Červený(1972)Hanyga(1986)推导的追踪方程实现的,其计算过程较为复杂.本文根据Zhu等(2005)关于广义各向异性介质中射线追踪理论的研究,修改和简化了各向异性介质运动学和动力学射线追踪方程.

1.1 TI介质运动学射线追踪方法

本文研究的是非均匀各向异性介质中弹性波的传播规律,Červený(1972)已经推导出各向异性介质中的运动学射线追踪方程组,本文仅简要给出其推导过程,其频率域的波动方程为

(1)

式中,ukuj为位移,cijkl为介质弹性参数,ρ为密度,ω为角频率,i,j,k,l取为1, 2, 3.在零阶射线方法中,式(1) 所示的方程的近似解可以表示为:uk(xiω)=Uk(xi)eiωτ(xi).其中,Uk(xi)和τ(xi)分别为射线的振幅和走时.将上述解代入到式(1) 中,当ω→∞时,可得到Christoffel方程(2) 为

(2)

式中,Γjk=aijklpipl为Christoffel矩阵,aijkl=cijkl/ρ为密度归一化弹性参数,pi=∂τ/∂xi为射线参数的分量.与式(2) 相对应的特征值问题中的特征值满足关系式(3),公式为

(3)

可以将式(2) 转换为式(4) 为

(4)

式中,gk为归一化特征向量(也称为极化矢量),m=1时,表示qP波.式(4) 两边同乘以gj,假设gkgk=1,可以得到式(5) 为

(5)

对于走时函数τ(xi),式(4) 所示的方程是一个非线性一阶偏微分方程,使用Hamiltonian方程H(xipi)=(G(xipi)-1)/2,可以求解该程函方程,进而得到运动学射线追踪方程(6) 为

(6a)
(6b)

式(6) 所示方程中右边的函数十分复杂,导致计算耗时较大,进而影响计算效率.并且计算时需要在每一步射线追踪中求解特征值问题,这就要求确定地下介质的弹性参数.因而,上述追踪方程在应用时具有一定局限性.

研究表明绝大多数沉积岩满足弱各向异性条件假设,实际地震数据处理中常用Thomsen参数表征各向异性.为此,Zhu等(2005)推导出基于相速度的各向异性介质运动学追踪方程,该追踪方程以群速度和相速度表示,形式简单,而且提高了计算效率.Červený(2001)给出了沿xi方向传播中的群速度表达式(7) 为

(7)

将式(7) 代入式(6a)可得到(8) 式为

(8)

式中,Vi为群速度关于空间坐标的导数.

由于式(5) 中特征值G和其偏导数∂G/∂xi都是pi的二阶齐次方程.可以得到v2=G(xini),并且有

(9)

式中,ni为单位慢度矢量,v=v(xini)为相速度.

本文根据Tsvankin(2001)推导VTI介质相速度的思路,进一步推导了TTI介质中的相速度表达式(10),详细过程见附录A,公式(10) 为

(10)

式中,vp0为垂直速度,εδ为各向异性参数,θ为相速度角, ν为对称轴与垂直方向的夹角.

将式(9) 代入到式(6b)中并联立式(8),可以得到基于相速度的运动学射线追踪方程(11) 为

(11a)
(11b)

其中,群速度Vi可通过相速度计算得到.

对比上式可以得知,本文采用的基于相速度的射线追踪方程形式更为简单,避免了式(6) 所示的基于弹性参数的射线追踪方程的复杂计算,计算耗时更小,可以较好的提高计算效率;并且不再需要在每一步射线追踪中求解特征值问题,较好的提高计算精度.

1.2 TI介质动力学射线追踪方法

Červený(1972)首次提出笛卡尔坐标系下各向异性介质的动力学射线追踪方程,后来,又推导了射线中心坐标系下各向同性介质的动力学射线追踪方程(Červený,1981).对于各向异性介质来说,射线中心坐标系下的动力学射线追踪方程更为复杂,因为此时的射线中心坐标系不再是正交的.所以,在计算过程中需要引入一个参量来处理这种非正交性(Alkhalifah,1995).如式(12) 所示,Hanyga(1986)推导了一种射线中心坐标系下的各向异性介质中动力学射线追踪方程为

(12)

其中,SNF是程函方程中关于npn的导数.它们可表示为

(13)

式中,Gm=aijklpiplgjgk为Christoffel方程(Γjk-Gmδjk)gk=0的特征值,它分别表示3种不同类型波的程函方程:m=1时表示qP波,m=2时表示qSV波,m=3时表示qSH波.

由式(12) 和式(13) 可知,基于弹性参数的各向异性介质动力学射线追踪方程的计算更为复杂,而且存在与基于弹性参数的各向异性介质运动学射线追踪方程同样的问题.因此,基于弹性参数的各向异性介质动力学射线追踪计算效率也比较低,而且不适用于实际地震资料的处理.

针对Hanyga(1986)推导的动力学射线追踪方程中存在的计算效率和适用性方面的问题.Zhu等(2005, 2007)推导了基于相速度的各向异性介质动力学射线追踪方程,本文将直接给出其在射线中心坐标系下的表达式为

(14)

其中,相应的系数为

(15)

式中,yMyN为射线中心坐标系下的坐标;qM=∂τ/∂yMVN是射线中心坐标系中群速度矢量V的分量.

与基于弹性参数形式的追踪方程相比,式(14) 和(15) 所示的动力学射线追踪方程更为简单,它不需要计算式(6) 右边的复杂函数,也不需要求解特征值问题,只需要计算简单的相速度和群速度的偏导数,因而具有较高的计算效率和计算精度.

由于式(15) 的计算仍然很复杂,为更好的提高计算效率.本文提出一种简化近似方法,基本思路为在保证成像精度的前提下,对动力学射线追踪的系数进行近似,只在传播方向上考虑各向异性影响,即将式(15) 所示的系数做如下简化:

(16)
2 高斯束叠前深度偏移

高斯束偏移成像方法也是基于地震波场Φ(rω)满足如下标量波动方程的假设,公式为

(17)

式中,v(r)为地下介质中点r处速度,Φ(rω)为地震波场.该波场的值由一个有界积分确定,公式为

(18)

式中,r′=(x′,0) 为地表z′=0处接收点的位置.格林函数G(rr′,ω)表示点r′处的震源在点r处的地震响应.

Hill(2001)的研究可知,格林函数G(rr′,ω)的高频近似解为

(19)

式中,uGB(rr′,p′;ω)为震源点r′处激发的高斯束,矢量p′表示射线的方向.

式(19) 要求射线中心的初始点与震源点保持一致,因此,当射线束中心不在震源点r′而在其附近的r0处时,需要在积分中插入一个相移因子来补偿此影响,故格林函数表达式变为

(20)

通过Nowack等(2003)Gray(2005)的研究,得到共炮域高斯束叠前深度偏移的成像公式为

(21)

式中,x为地下成像点,xs为震源位置,pd表示束中心处的射线参数,D(Lxspdω)为高斯时窗的局部倾斜叠加,系数C为一个与束中心网格相关的常数,U(xxsLpω)为共炮域的高斯束成像算子.

最后对所有炮的成像值Is叠加,即可得到最终的成像结果.

3 模型试算

采用国际标准各向异性VTI介质Hess模型和TTI介质洼陷模型对本文提出的各向异性TI介质共炮域高斯束叠前深度偏移方法进行试算.

3.1 各向异性Hess模型

为了验证本文所用方法对复杂模型的有效性和适应性,利用国际标准的SEG/VTI介质二维Hess模型进行试算.该模型采用各向异性VTI介质有限差分正演模拟方法进行正演模拟,该模型的参数如下:网格大小为3617×1500,纵横向网格间隔为6.096 m(20 ft);合成数据共720炮,炮间距为30.480 m(100 ft);道间隔为12.192 m(40 ft);采样时间为7.992 s,采样点数为1332,时间采样间隔6 ms.该模型采用左边放炮的方式.图 1中分别给出了SEG/VTI二维Hess模型的参数场,模型中存在各向异性岩层包围的高速盐丘和断层等构造.

图 1 各向异性VTI Hess模型 (a)vp; (b)ε; (c)δ. Figure 1 Anisotropic Hess model (a)vp; (b)ε; (c)δ.

图 2a2b2c分别为采用各向同性、zhu等人和本文研究的各向异性共炮域高斯束偏移成像的结果.若不考虑各向异性参数的影响,各向同性高斯束偏移得到的成像剖面(图 2a)中存在严重的成像噪声干扰,同相轴不够清晰,连续性不好,成像位置不准确,成像精度不足;采用Zhu等人的方法可以使反射波归位准确,改善成像剖面(图 2b)的质量,但存在保幅性不够理想的问题;而采用本文研究的方法得到的成像剖面(图 2c)中同相轴更加清晰,连续性增强,成像位置更加准确,断层、高速盐丘等构造得到很好的成像.为了更加清晰的对比两个成像剖面,将图 2矩形框的部分进行局部放大显示,得到如图 3所示的结果.

图 2 Hess模型偏移结果 (a)各向同性;(b)各向异性VTI(Zhu等);(c)各向异性VTI(本文). Figure 2 Imaging result of migration of Hess model (a) Isotropic; (b) Anisotropic VTI(Zhu); (c) Anisotropic VTI(this paper).

图 3 Hess模型局部放大成像图 (a)各向同性;(b)各向异性VTI(Zhu等);(c)各向异性VTI(本文). Figure 3 Partial enlargement of Hess migration results (a) Isotropic; (b) Anisotropic VTI(Zhu); (c) Anisotropic VTI(this paper).

对比图 3a3b3c可以发现,利用各向同性共炮域高斯束偏移(图 3a)得到的结果中存在反射波不能准确归位,绕射波不能完全收敛,同相轴能量不完全聚焦和成像噪声较大的问题,整体剖面成像质量比较差.采用Zhu等人的各向异性介质共炮域高斯束偏移方法得到的结果(图 3b)可以使反射波能够准确归位,提高成像剖面的质量,但同相轴连续性不够理想.采用本文研究的各向异性介质高斯束偏移方法(图 3c)得到的成像结果,反射波能够更准确归位,绕射波得到更好地收敛,更清晰地刻画出高速异常体及尖灭等构造,整体成像剖面质量明显提升.但是浅层部分由于受噪声影响,成像质量不够理想,可以考虑通过去噪处理进一步改善成像质量.

通过VTI介质Hess模型试算的结果表明,本文所研究的应用简化各向异性运动学和动力学射线追踪进行共炮域高斯束叠前深度偏移成像的方法,对复杂各向异性VTI介质地下构造具有良好的适应性.同各向同性以及Zhu等人的各向异性介质成像方法相比,本文所研究的方法可以获得更加准确的成像结果.

3.2 TTI介质洼陷模型

利用如图 4所示的各向异性TTI介质洼陷模型进行偏移成像试算.本文采用各向异性TTI介质有限差分正演模拟方法进行正演模拟,模型网格大小为1801×301,纵横向网格间隔为10 m×10 m;采样时间为4 s,采样间隔为1 ms;采用中间放炮的方式,每炮301道接收,道间隔为10 m,炮间隔为60 m,共251炮.本文分别采用共炮域各向同性和各向异性高斯束偏移方法,对得到的各向异性TTI介质正演模拟地震数据进行成像测试,得到的结果分别如图 5a5b所示.

图 4 各向异性TTI洼陷模型 (a)vp; (b)ε; (c)δ; (d)ν. Figure 4 Anisotropic sub-sag model in TTI media (a)vp; (b)ε; (c)δ; (d)ν.

图 5 洼陷模型偏移成像结果 (a)各向同性; (b)各向异性TTI(Zhu等人); (c)各向异性TTI(本文). Figure 5 Imaging result of migration of sub-sag model (a)Isotropic; (b)Anisotropic TTI(Zhu); (c)Anisotropic TTI(this paper).

对比图 5a5b5c,若不考虑各向异性参数,和倾斜角度的影响,各向同性共炮域高斯束偏移(图 5a)不能使反射波准确归位,同相轴出现凹陷下拉的现象(图中红色线表示洼陷速度场反射面位置);并且,底部同相轴出现了上翘的假象(图中红色矩形框所示区域).而Zhu等人和本文研究的各向异性共炮域高斯束偏移(图 5b5c)中绕射波得到很好的收敛,反射波归位更准确,总体成像质量明显提高,由于该模型相对简单,本文研究的方法同Zhu等人的方法得到的结果相比,二者仅仅在同相轴振幅能量上存在差异.各向异性TTI介质洼陷模型试算的结果验证了本文方法对TTI介质的有效性和正确性.

4 结论 4.1

本文通过引入相速度和群速度,修改了各向异性TI介质运动学和动力学射线追踪方程.计算过程中应用改进的简化思路后,同Zhu等(2005)的方法相比,在保证成像精度的前提下,计算效率进一步提高10%左右;而且该方法不需要在每一步都计算特征问题的时间调和解,也在一定程度上提高了计算精度.因此,同基于传统的弹性参数的各向异性射线追踪方法相比,本文所采用的算法在计算效率和计算精度方面都具有更大的优势.另外,本文将该追踪算法应用到高斯束偏移中,实现了各向异性TI介质的共炮域高斯束偏移.通过各向异性VTI介质Hess模型以及TTI介质洼陷模型试算,进一步说明了本文研究方法的正确性和有效性.

4.2

本文目前研究的方法仍存在绕射波收敛不够完全,覆盖次数少的区域特别是浅层成像质量不高等问题.此后将做进一步研究,优化算法,提高成像质量.

附录A TTI介质的相速度

VTI与TTI介质中射线追踪方程具有相同的形式,但是具体计算过程中二者用到相速度表达式是不同的.由Tsvankin(2001)的研究,可知VTI介质相速度满足式(A-1),公式为

(A-1)

式中,“+”对应qP波,“-”对应qSV波,θ为相角,.

拟声波条件下,有vs0=0,可以得到VTI介质中相速度的表达式(A-2) 为

(A-2)

根据Tsvankin(2001)的研究思路,下面将推导TTI介质中相速度的表达式.TTI介质相速度满足式(A-3),公式为

(A-3)

式中,ν为对称轴与垂直方向的夹角.

拟声波条件下,将式(A-3) 以Taylor级数形式展开,舍弃各向异性参数εδ的二次项,可以得到式(A-3) 为

(A-4)

x比较小时,有,可以得到式(A-5) 所示的TTI介质相速度表达式(A-5) 为

(A-5)
致谢 感谢审稿专家提出的修改意见和编辑部的大力支持!
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