0 引言

由于微地震波能量极其微弱，很容易被周围的环境噪声所湮没，如何提高微地震信号的信噪比，清晰地识别出P波、S波，一直是微地震研究的热点、重点和难点.陷频滤波噪声压制方法，简单有效，但也具有很多缺点：离散化过程中会使信号部分失真，去噪声同时可能会导致部分信息的缺失，陷频滤波器在频域有一定宽度，不可避免的会对原始数据带来明显的边界效应.频率域噪声压制方法，简单有效，缺点是单频噪声识别困难，压制参数的设置困难，单频干扰存在精度问题.正-余弦函数逼近噪声压制法，这很好的实现单频干扰消除，但是对微地震信号的弱信号的提取效果不明显.宋维琪等(2013)根据微地震资料的特点，提出了微地震弱信号提取方法的研究.但是在微地震信号噪声压制过程中，不可避免的会造成部分信息的缺失，为解决这些问题，本文提出了一种基于压缩感知理论(Candes and Romberg, 2006；Candes and Tao, 2006；Donoho，2006；Tsaig and Donoho, 2006；Candes and Wakin, 2008)(Compressed Sensing或者Compressive Sampling，简称CS)的微地震资料噪声压制的方法.

压缩感知理论信号采集突破了传统采样的不足，利用变空间描述信号，直接采集包含数据全部信息的压缩数据，将信号的采样变成信息的采样，需要使用原始信号时，可以通过一个优化问题从压缩数据中恢复得到.在满足信号可以压缩和系统与观测系统不相关两大条件下，从低分辨率观测中恢复出高分辨信号.对微地震信号进行稀疏和重构，恢复了信号中缺失的部分信息，得到了明显的波场分离特征信息，并对噪声起到了很好的压制作用，在实际微地震资料的测试中，压制了微地震资料中的噪声，提高了微地震资料的信噪比，更清晰的突出了信号中的P波、S波，便于初至信号的提取，对后续的处理与解释工作提供了更为精确的数据信息.

1 压缩感知基础理论(CS理论)

压缩感知理论作为一个新的采样理论，采用非自适应线性投影来保持信号的原始结构，利用信号的稀疏特性，在远小于Nyquist采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，通过非线性重建算法完备重建信号.压缩感知理论流程(Donoho，2006; Wadayama，2010；戴琼海等，2011)主要包括三步：第一步，信号的稀疏化(Le Pennec and Mallat, 2005)表示；第二步，观测矩阵的设计；第三步，信号的重构(Zhou，2010).

1.1 信号的稀疏化表示

信号的稀疏化是是压缩感知理论的一个重要前提和理论基础，并且直接影响着信号感知的效率.如果长度为N的信号x中只有K(K≪N)个元素不为0，则称信号是稀疏的，且其稀疏度为K.那么将N维实信号x∈R^N×1在某组正交基{ψ_i}_i=1^N(ψ_i为N维列向量)下进行展开，即：

(1)

其中展开系数θ_i≤x, ψ_i≥ψ_i^Tx，写成矩阵形式可以得到：

(2)

这里ψ=[ψ_1, ψ_2, …, ψ_N]∈R^N×N为正交基矩阵(满足ψψ^T=ψ^Tψ=I)，展开系数向量θ=[θ₁, θ₂, …θ_N]^T，这就是信号的稀疏化表示过程.

当信号x在某个基ψ上仅有K个非零系数(或远大于零的系数)a_k时，称ψ为信号x的稀疏基.合理的选择稀疏基，使得信号的稀疏系数个数尽可能少，不仅有利于提高信号的采集速度，而且有利于减少存储、传输信号所占用的资源.常用的稀疏基有:正(余)弦基、小波基、chirplet基以及curvelet基等.

1.2 观测矩阵的设计

假设系数向量是K-稀疏的，即其中非零系数的个数K≪N，那么采用另一个与正交基ψ不相关的观测矩阵ϕ：M×N(M≪N)(这里ϕ的每一行可以看作是一个传感器，它与系数相乘，获取了信号的部分信息)，对信号x执行一个压缩观测，公式为

(3)

就可以得到M个线性观测矩阵y∈R^M，这些线性投影中包含了重构信号x的足够信息.

从y中恢复x是一个解线性方程组的问题，但从方程(3) 上看这是一个超定方程，存在无穷多个解，将(2) 带入式(3) CS信息算子A^CS=ϕψ，可以得到：

(4)

这样使得信号重构成为可能，通过求解一个非线性优化问题就能从观测y、观测矩阵ϕ和矩阵ψ中可以很好的重建信号x.

观测矩阵的设计是压缩感知的关键，观测矩阵设计中的两个关键内容就是观测波形和采样方式，设计的主要原则是：① 观测波形在理论上的最优性能，即A^CS要具有良好的性质；② 观测波形的普适性；③ 实用性，包括快速计算、低存储量、硬件易实现等.在满足重构条件下，选择合适的观测方式和重建算法，仅需要K+1次观测就可将N维空间的K-稀疏信号精确地重建.

1.3 信号的重构

信号的重构是压缩感知的核心，压缩感知信号的重构可以实现从低分辨观测中恢复出高分辨信号.压缩感知信号重建是要满足一定条件：① 信号在ψ下具有稀疏性或可压缩性，即信号需要在变换空间下的展开系数足够的稀疏；② 系统与观测系统不相关.由统计理论和组合优化理论可知：在满足重构条件时，通过选择合适的观测方式和重建算法，仅需要K+1次观测就可将N维空间的K-稀疏信号精确地重建.在满足压缩感知信号重建条件下，通过公式：

(5)

获得一个唯一确定的解，即稀疏系数向量θ，就可以得到信号x=ψθ.在求取稀疏系数时θ有个可能的非零项的组合，这是一个NP-hard的非凸优化问题.在信号重构中研究工作者提出了l₀范数下的凸化压缩感知框架、l_p(0＜p＜1) 范数下(Davies and Gribonval，2009)的凸化压缩感知框架、l₁范数下的凸化压缩感知框架等重构的方法，并在实际应用中取得了一定的效果.

本文采用的是由Donoho等人提出l₁范数下的凸化压缩感知恢复，将式(5) 的非凸的优化目标用l₁范数代替，表达式为

(6)

这就将式(5) 的优化问题变成了一个凸优化问题，可以方便地转化为线性规划问题求解.

2 压缩感知理论微地震资料噪声压制 2.1 微地震信号的稀疏化

压缩感知理论(Baraniuk et al，2010)应用前提条件是信号具有可稀疏性，微地震信号是可稀疏信号，满足压缩感知稀疏重建条件.对于一个微地震信号s(t)，其可以表示成一系列不同稀疏基函数之和，表示为

(7)

其中A_k(t)表示系数，ψ(t)为基函数.

2.2 微地震信号稀疏基函数库函数建立

(1) 高斯混合模型稀疏基函数

一般对微地震信号是基于高斯模型假设进行统计分析和处理的，但是本文研究发现基于单一的高斯信号分析的微地震信号重建在实际中广泛存在信息缺失问题，为了尽量重建逼近原信号，研究采用高斯函数、高斯函数导数函数及高斯函数的组合函数，作为微地震信号重建的稀疏基函数，建立高斯基函数系列库函数作为稀疏基字典库函数.

高斯基函数为

(8)

导数高斯基函数为

(9)

混合非高斯函数为

(10)

高斯函数的形状是由参数b、c确定，不同参数组合后的高斯函数合成了非高斯函数.本文测试研究把高斯函数、非高斯函数作为微地震信号稀疏基函数，并在实际地震资料测试中取得了较好的结果.

(2) 不同基函数处理结果分析

采用不同基函数进行处理后发现：仅用高斯基函数进行处理，在原始资料基础上，P波、S波波场分离效果较好，如图 1中的(a)、(b)所示.图 1中(c)为利用混合高斯基函数处理结果，比较图 1中的(b)、(c)发现(c)的上半部分多了一些有用信息.图 1中(d)对比(a)可以看出重构出了很多缺失的有用信息，混合高斯基函数比单一的高斯基函数具有更强的揭示信息能力，说明了信号重建过程中基函数研究的重要性.

2.3 测量矩阵的设计

目前，一般测量矩阵设计为随机高斯矩阵，这样设计虽然满足了有限等距性质(RIP性质)如：矩阵的非奇异性.但是，研究发现，这样设计的测量矩阵，在计算过程中，极易出现解结果的振荡现象.

为了得到稳定解，采用如下设计方法：根据信噪比较强的微地震记录，求取有效微地震事件脉冲函数；根据求取的脉冲函数组成测量矩阵，为了确保矩阵非奇异，把不同列的脉冲函数进行一定延迟；最后再对该矩阵基础上加一小的随机扰动量.

2.4 数据规则化和均衡化处理

数据的规则化预处理不同于归一化预处理，对于三分量微地震记录，如果对各个分量单独进行归一化处理，改变了数据的相对大小关系，影响最大的是方位角计算.因此采用三分量总体归一化方法对数进行规则化，计算公式为

(11)

均衡化处理是在数据规则化基础上进行的，压缩感知算法牵涉多个多次矩阵的计算，组成矩阵的数据大小关系对计算结果有一定的影响，因此为了实现目标信号得到更好的揭示需要在数据规则化之后进行均衡化，计算公式为

(12)

(13)

2.5 稀疏化参数K的选取问题

K取值大小决定了处理结果是观测信号恢复还是源信号重建，当K=M=N时，实现的是观测信号的恢复，包括源信号和噪声信号.而当K＜M＜N时，实现的是源信号的重建和噪声的压制.信号较规则，则k取较小的值可以实现源信号的重建，如高斯对称信号，k取3个点就可以重建该高斯信号，信号较复杂，则k取较大的值才能较好实现源信号重建.分析发现，相互干涉的叠加信号，如果各个单源信号相对简单，则通过k取较小的值，可以实现源信号的分离和重建.微地震观测信号是震源子波、地层传播效应、接收检波器响应及各种噪声的叠加结果，对于同一个微地震事件，其震源子波是相同的.考虑三分量检波器接收的朝向响应效应，各个分量记录振幅不同，但是相位是相同的(被检波器接收)，硬链接多级检波器朝向也是相同的，也即，各级检波器能够观测到或对微地震信号具有一定的敏感性.震源子波在各级检波器相位是相同的.这为K取值大小的选取提供了计算停止准则.图 2中是K值不同下的处理结果，可以发现不同K值不同时，处理结果差异较大，当K取某个合适的数值时，各个分量相位基本一致.

2.6 信号重建

微地震资料处理压制噪声过程中关键问题要保证初至凸显处理.但是一般情况下微地震的初至信息相对较弱.如果采用大窗口采样数据进行处理，压缩感知组成相对较大的矩阵，在此大矩阵中，数值较大的数据极易湮没数值较小的数据，因此初至信号较弱时，这时也容易被湮没.为了解决此问题，本文提出局部压缩感知和区域压缩感知联合处理方法，首先以较小的滑动窗口建立信号样本向量，通过压缩感知方法重建(Wadayama，2010；Gholami，2014；Yin et al., 2014)滑动点信号；然后取以上处理后的信号，以较大的固定窗口进行压缩感知方法重建固定窗口信号.通过处理，压制了局部均匀化和区域均匀化噪声，增强了弱微地震有效信号.

根据提出的压缩感知重建信号的方法，图 3为各种不同情况的处理结果，图 3中(a)为原始微地震记录，(b)为对整道长度数据进行处理的结果，从(b)中的结果看到，凸显了初至附近信噪比较大的信号，其后信号出现较大程度的衰减.(c)为滑动小窗口处理结果，得到了明显的波场分离特征信息，但是同时也出现了噪声.图(d)为对(c)结果再利用固定大窗口处理结果，经过处理后，噪声得到了压制.

3 实际应用

压缩感知理论框架，对不同的信号特征具有不同的设计方法，本研究针对微地震信号的噪声压制和波场分离进行了实际应用方法的研究设计，通过一系列的研究，形成了有效的微地震处理方法.为了进一步论证方法的有效性，对两个不同地区的微地震资料进行处理，处理结果如图 4、图 5.对比图 4中(a)、(b)可以发现原始资料上部的噪声得到了很好的压制，有用信号中夹杂的干扰信号也得到了一定的压制，凸显了初至信号；在图 5中，对C地区的资料处理也可以发现上部区域的噪声得到了很好的压制，初至信号得到了凸显，有利于初至信号的拾取，为后续工作提供了更为精准的数据.在实际资料应用中，本文研究的基于压缩感知理论的微地震资料噪声和波场分离方法，在区域噪声压制方面有很好的实践效果，对夹杂在有用信号中的干扰噪声也具有一定的压制作用，提高了微地震资料的信噪比，凸显了初至信号，有利于初至波的拾取，在不同地区的资料的测试中，都具有很好的处理结果，说明该方法具有广泛的适用性.

4 结论 4.1

本文研究的基于压缩感知框架理论的微地震资料噪声压制方法，能够压制局部均匀化和区域均匀化噪声，增强弱微地震的有效信号.单一的高斯信号分析的微地震信号重建在实际中广泛存在信息缺失问题，在信号重建中为了更逼近源信号，研究采用高斯函数、高斯函数导数函数及高斯函数的组合函数，作为微地震信号重建的稀疏基函数，混合高斯基函数比单一的高斯基函数具有更强的揭示信息能力.

4.2

为了确保矩阵非奇异，得到稳定解，测量矩阵选取确定高斯函数矩阵，在该矩阵基础上加一小的随机扰动量，如果相互干涉的叠加信号，各个单源信号相对简单，那么通过k取较小的值，可以实现源信号的分离和重建.本文所提出的重建方法，凸显初至信号(微地震的有用信号)，得到了明显的波场分离特征信息，噪声得到了压制.

致谢 感谢审稿专家提出的修改意见和编辑部的大力支持！