0 引言

纵波速度是分析岩石特征的一项重要参数，岩石的纵波速度与孔隙度、岩石类型、黏土含量、颗粒的固结程度、孔隙流体类型、饱和程度、温度以及压力等很多因素有关，正是因为这些因素的综合作用，使得地震解释的结果常常是非唯一的(Christensen，1974；Ito and Tatsumi, 1995；Knight et al., 1998；施行觉等，1998；Dvorkin et al., 1999；Zharikov et al., 2000；Kitamura et al., 2006；King，2009；Korneev and Glubokovskikh, 2013；窦龑等，2015；熊晓军等，2015；Li et al., 2016).在这些影响因素中，岩石的饱和程度对岩石速度的影响一直是岩石物理研究的热点和难点，这是由于岩石本身是极其复杂的物质，当岩石中含有流体后用数学模型描述的难度也就大大增加，而地下的沉积岩中大部分都是含有黏土的泥质砂岩，当岩石中含有黏土后会使得饱和程度的影响变得更复杂.岩石在干燥与饱和流体(即完全饱和流体，本文提到的饱和流体都代表完全饱和流体)状态是描述岩石饱和程度的两种极值状态，因此研究泥质砂岩在这两种极值状态下纵波速度之间的关系，对于研究含流体饱和度对岩石声学属性的影响、储层的AVO分析、油气识别以及提高地震资料的解释精度等都具有重要意义.

Wyllie等(1956)研究了含水饱和度对砂岩纵波速度的影响，发现含水饱和度从100%变化到70%的过程中，砂岩的纵波速度表现出明显的下降趋势.Nur和Simmons(1969)在对低孔隙度的花岗岩样品研究时发现，当裂缝孔隙中饱和水后，岩石的纵波速度比干燥状态下的纵波速度升高了很多，最高增幅甚至达到了40%.Thill和Bur(1969)在研究中也发现了类似的现象，对于孔隙度很低的岩石其纵波速度在饱和流体后也可以产生很大的变化.Gregory(1976)研究了花岗岩在分别饱和油、气、水以及混合流体后对岩石纵波速度、密度、反射系数、弹性模量等参数的影响，发现饱和流体对岩石速度的影响按照样品的孔隙度范围进行分类时会表现出不同的规律，对于孔隙度比较小的样品，其饱和流体前后纵波速度差异最大，而孔隙度较大的样品其纵波速度差异很小，但这种分类对外部压力有很强的依赖性.王大兴等(2006)对苏里格地区的样品研究时也发现样品的物性不同，含水饱和度对样品纵波速度的影响程度也会不同.

上述研究都只关注了含流体饱和度对岩石纵波速度的影响，但并没有研究给出岩石在干燥与饱和流体状态下纵波速度之间的经验关系，而这种关系可能会在岩土工程以及石油勘探领域中发挥重要的作用.直到2007年Kahraman等给出了饱和流体后岩石的纵波速度与干燥状态下纵波速度之间的关系，并认为这两种速度间有较好的线性关系，但他指出这一线性关系容易受到岩石类型以及孔隙度等因素的影响.而对于泥质砂岩，除了这些因素的影响外，黏土含量的影响也是不容忽视的，这是因为泥质砂岩无论在干燥还是在饱和流体状态下，黏土含量都会对纵波速度产生影响.有关这方面的研究较少，Han等(Han et al., 1986；Han, 1987)在对80余块砂岩样品进行分析时，发现了除了孔隙度外，黏土含量对干燥以及饱和水状态下的砂岩纵波速度影响也很大.Klimentos(1991)对泥质砂岩样品的纵波速度研究时发现，当黏土含量增加时纵波速度会表现出下降的趋势，他还建立了纵波速度和孔隙度、黏土含量以及渗透率之间的经验关系，这些关系表明，渗透率对速度的影响是可以忽略的，但是黏土含量对速度的影响是必须要考虑的.Karakul和Ulusay(2013)研究了含水饱和度对泥质砂岩纵波速度以及强度属性的影响，发现岩石饱和流体后的纵波速度与干燥状态下纵波速度之间的速度差与岩石的孔隙度和黏土含量有关，进一步说明了孔隙度和黏土含量对泥质砂岩的纵波速度的共同影响.

尽管很多学者都研究了孔隙度和黏土含量对干燥以及饱和流体后岩石纵波速度的影响，但是还没有研究给出过泥质砂岩在饱和流体后纵波速度与干燥状态下纵波速度之间的关系.因此本文在前人研究的基础上，从Han等(Han et al., 1986；Han, 1987)公开发表的实验数据中，选取满足本次研究需要的实验数据，并且在实验室通过对准噶尔盆地实际样品测量得到一组不同围压条件下样品饱水前后的纵波速度数据以及一组相同围压条件下样品分别饱水和饱油后的纵波速度数据.在不考虑速度频散、衰减和各向异性情况下，分析了泥质砂岩在干燥与和饱和流体后纵波速度间简单线性关系的影响因素，然后利用多元线性回归分析方法建立了泥质砂岩饱和流体后纵波速度与干燥状态下纵波速度、孔隙度和黏土含量之间的关系.另外，为了研究黏土含量和孔隙度对泥质砂岩饱和流体前后纵波速度差的影响，本文首次提出了黏土含量与孔隙度比的概念(CPR)，发现CPR与纵波速度差之间有较好的正相关性.

1 影响纵波速度之间关系的因素

本文选取了一组已经公开发表的数据系列以及通过实验室测量得到的两组数据，从以下几个方面分析了泥质砂岩在干燥与饱和流体状态下纵波速度之间关系的影响因素.

1.1 固结程度

为了分析固结程度对泥质砂岩在干燥与饱和流体状态下纵波速度之间关系的影响，在Han等(1986)的实验数据中选用其中固结程度不同的两种泥质砂岩样品作为研究对象，一种是25块S砂岩选自采石场，且固结程度都很好，另一种是23块G砂岩选自墨西哥海湾近海岸，其中一些砂岩样品的固结程度比较差.这些泥质砂岩在干燥以及饱和流体状态下的纵波速度都是在围压为40 MPa时测量的，并且其他测量条件也都相同.

对两种泥质砂岩样品在干燥状态下的纵波速度和饱和水后的纵波速度进行简单的线性拟合，结果如图 1所示，对于S砂岩其干燥状态下的纵波速度与饱和水后的纵波速度之间有很好的线性关系，判定系数R²达到了0.97，而对于G砂岩其判定系数与S砂岩相比要低很多仅为0.68.分析认为造成这种差异的主要原因是固结程度的不同，G砂岩的固结程度差，而S砂岩的固结程度非常好，一般固结程度较差的岩石其颗粒间的接触比较松散，而且孔隙的类型复杂多变，当这样的孔隙中充满流体后会对波的传播产生较大的影响，进而影响了岩石在干燥状态下的纵波速度与饱和流体后纵波速度之间的关系(张万龙等，2015；王璞和吴国忱，2015).

1.2 流体性质

为了分析孔隙流体对泥质砂岩在干燥与饱和流体状态下纵波速度之间关系的影响，在实验室对取自准噶尔盆地准中地区的21块砂岩样品进行测量分析，对样品的矿物成分进行分析发现21块样品黏土含量分布在6%~19%，其黏土成分主要为高岭土和伊利石.样品的孔隙度分布在2.83%~21.59%，密度分布在2.03~2.62 g/cm³.在实验室利用抽真空饱和法对这21块泥质砂岩样品分别进行饱水和饱油处理，饱水处理所用水为去离子水，其目的是为了去除其他干扰，饱油处理所用油为煤油，煤油既可以作为石油的替代物同时其黏度较高又不易挥发，因此更便于饱和样品.利用RETS2000/120电液伺服岩石弹性模量测试系统在30 MPa围压下测量了干燥以及完全饱和流体状态下样品的纵波速度，根据Hornby(1998)的方法，计算出纵波的测量相对误差在0.9%以内.

对泥质砂岩分别饱水和饱油后的纵波速度与干燥状态下的纵波速度进行简单的线性拟合，结果如图 2所示，饱和水与饱和油这两种状态下判定系数R²都达到了0.83以上，这说明当泥质砂岩饱和这两种单一流体时其纵波速度与干燥状态下的纵波速度有较好的相关性，但前者的判定系数要高于后者，说明岩石饱和流体后的纵波速度与干燥状态下的纵波速度之间的关系会受到流体性质的影响.一般岩样中饱水或饱油会从两个方面影响纵波速度：一是岩石内部孔隙充满水或油会增大样品的有效体积模量，使波速增大；二是孔隙内充水或油会加大样品的密度值，使波速减小.由于油的黏滞系数比水大，密度比水小，相对而言，饱和油会使样品的有效弹性模量增加更显著，而密度增大效应则较弱(乔二伟等，2012)，也就是饱油条件下比饱水条件下样品纵波速度相对干燥时纵波速度变化的更显著，这就解释了为什么饱油状态下的判定系数要低于饱水状态下的判定系数，由此得出岩石饱和流体前后的纵波速度之间的关系与流体性质有着密切的联系.

1.3 围压

为了研究围压对泥质砂岩在干燥与饱和流体状态下纵波速度之间关系的影响，又对这21块样品在1 MPa、10 MPa和20 MPa围压下测量了干燥以及完全饱和水状态下样品的纵波速度.将21块样品在不同围压情况下测量的饱和水后的纵波速度与干燥状态下测量的纵波速度进行简单的线性分析，结果如图 3所示，从图中可以看出随着围压的升高，拟合的判定系数也越高，1 MPa围压下得到的判定系数与20 MPa围压下的判定系数相差0.048，这是因为随着围压的升高，岩样中的微裂隙和小孔隙逐渐的闭合，而这些微裂隙和小孔隙正是影响岩石速度变化的主要原因(尹帅等，2016)，当围压较低条件下流体进入这些微裂隙和小孔隙时会使岩样的速度发生显著的变化，所以此时得到的判定系数要低于高围压下得到的判定系数.另外，通过比较固结程度、孔隙流体性质和围压对泥质砂岩在干燥与饱和流体状态下纵波速度之间关系的影响程度可以看出，固结程度的影响最为明显.

2 多元线性回归分析 2.1 多元线性回归方程的建立

由前文的分析结果可知，泥质砂岩在干燥与饱和流体状态下纵波速度之间的简单线性关系容易受到固结程度、孔隙流体性质以及围压的影响，因此在利用这种简单线性关系预测泥质砂岩饱和流体后的纵波速度时会产生较大的误差.为了解决这一问题，本文尝试利用多元线性回归分析建立泥质砂岩在干燥与饱和流体状态下纵波速度之间的关系.在实际问题中，常会遇到含有多个自变量的问题，经常要同时考察多个自变量对一个因变量的相关关系和影响程度，而利用多元线性回归可以很好的考察多个自变量与一个因变量的依赖关系，因此，多元线性回归作为多元统计分析中的一个重要方法在不同领域受到了广泛应用(周晨等，2014).

先对G砂岩进行了两次二元回归分析，一次的自变量是干燥岩石纵波速度和黏土含量，另一次的自变量是干燥岩石纵波速度和孔隙度，结果如图 4所示，可以看出两次二元回归分析的结果都有较好的相关性，判定系数分别为0.86和0.95都要高于简单线性拟合得到的判定系数，表明除了干燥岩石纵波速度外，黏土含量和孔隙度对饱和水后岩石的纵波速度都有影响.

根据以上分析对饱和流体后岩石纵波速度进行了多元线性回归分析，建立泥质砂岩饱和流体后的纵波速度与干燥状态下的纵波速度、孔隙度以及黏土含量之间的关系，结果如表 1所示.把拟合结果绘制在图 5中，从图 5与图 1的对比可以看出，对于两种饱和水后的泥质砂岩纵波速度经过多元线性回归分析后，拟合的判定系数都有所提高，特别是G砂岩的判定系数提高了42.5%，两种样品间判定系数的差异也由原来的0.2887减小到现在的0.0207, 这说明利用多元线性回归分析方法能更准确的建立泥质砂岩饱和流体后的纵波速度与干燥状态下的纵波速度之间关系，而且能够有效的减小固结程度对两种纵波速度间简单线性关系的影响.

同样对30 MPa围压下饱水和饱油的两组数据分别进行多元线性回归分析，结果如表 2所示，把拟合的结果绘制在图 6中，对比图 6和图 2可以看出，经过多元线性回归分析后，两组数据拟合的判定系数与简单线性拟合的判定系数相比都明显的提高，而且两组数据的判定系数也很接近，这说明通过多元线性回归分析后，考虑了孔隙度和黏土含量，可以有效的减小孔隙流体的影响，进而使得拟合的效果有了很大改善.

最后对不同围压下测量的饱和水后泥质砂岩的纵波速度进行了多元线性回归分析，结果如表 3所示，将拟合结果绘制在图 7中，对比图 7和图 3可以看出，经过多元线性回归分析后，饱和水的泥质砂岩纵波速度拟合的判定系数比简单线性拟合的判定系数明显提高，而且不同围压下判定系数的差异也有所减小，由此可以得出利用多元线性回归分析不但可以减小围压对泥质砂岩在干燥与饱和流体状态下纵波速度之间关系的影响，还可以提高两种纵波速度间的相关性，也更有助于利用干燥状态下岩石的纵波速度估算饱和流体后的纵波速度.

2.2 F检验和T检验

多元回归分析模型建立之后要对模型进行检验，用来验证所建立模型的有效性，最常用的检验方法有拟合优度检验、F检验和T检验.拟合优度检验即前文给出的判定系数R²，拟合优度越大，自变量对因变量的解释程度越高，自变量引起的变动占总变动的百分比越高，但是只通过拟合优度来衡量一个多元回归模型的有效性是不够严谨的，因此还需要做F检验和T检验.F检验又叫方差齐性检验，它有两个功能：一是可以通过F检验来检验两个样本的方差是否有显著性差异，若有显著差异则可以直接进行T检验，如果没有则可以采用T’检验或变量变换等方法进行检验；二是可以检验方程的显著性，也就是所有自变量作为一个整体与因变量之间是否有显著的线性相关关系.

F变量的定义为

(1)

即F统计量服从以(n，n-k-1) 为自由度的F分布，其中n为选取数据的组数，k为回归方程的自由度，S_回代表各个观察值与样本均值之差的平方和，S_残代表总变差平方和中未被回归方程解释的部分.

T检验也叫变量显著性检验，通过T检验可以看出每个自变量对因变量的影响，如果某个自变量对因变量影响并不显著，应该将它从回归方程中剔除.

统计量T的定义为

(2)

其中为各变量系数的估计值，S_βj为各变量系数估计值的标准差.

对每个模型都进行了F检验结果如表 4所示，通过查F检验临界值表在显著度为95%的情况下可知，我们建立的7个模型F值均大于相对应的F表值，因此可以认为方程的各个自变量总体上对因变量的影响很显著.除了上文给出的判定系数来比较多元回归和简单回归方程的拟合效果外，标准误差也是衡量回归方程的一个重要参数，因此表 4中还给出了多元回归分析和简单回归分析中的标准误差，通过对比可以看出，经过多元回归分析后，标准误差都减小了30%以上，说明对于这些样品而言多元线性回归方程的代表性高于一元线性回归方程.

经过F检验还可以看到显著性P值都为0，说明两组样本方程没有显著性差异因此可以进行T检验，对所有模型进行了T检验，统计结果如表 5所示，设显著性水平为0.05，经过T检验后除了S砂岩中黏土含量的P值大于0.05外，其余模型中所有自变量的P值都小于0.05，说明这些回归系数在统计上都是显著的.分析S砂岩中黏土含量的回归系数在统计上没有显著性的原因可能与砂岩样品的黏土含量有关系，S砂岩的黏土含量平均值为8.88%，孔隙度的平均值为17.37%，孔隙度的平均值接近是黏土含量平均值的2倍，而对比了其他数据组可以发现黏土含量的平均值和孔隙度的平均值基本上相当，也就是说当一组样品中黏土含量的平均值和孔隙度的平均值差异较大时，两者只有一个因素对回归方程的贡献比较大，而另外一个变量的影响可能很小.

通过以上分析可以得知在建立多元回归模型之后要进行相应的检验，来验证模型的有效性以及参数的显著性，如果参数的回归系数在统计上是不显著的那么要把这一自变量去掉，然后重新对模型进行回归分析，进一步优化模型，这样得到的模型有效性才会更好.

2.3 与理论计算结果相比较

根据Gassmann理论(Gassmann，1951)，利用泥质砂岩在干燥状态下的纵波速度预测饱和流体后的纵波速度，Gassmann给出了估计饱和流体后岩石的纵波速度方程为

(3)

其中r和M的表达式为

(4)

(5)

式中：V_p是饱和流体岩石的纵波速度，K_b是干燥岩石的体积模量，G是干燥岩石的剪切模量，K_s是组成岩石的矿物的体积模量，K_f是孔隙流体的有效体积模量，n是孔隙度，ρ_sat是饱和岩石的密度.

对于部分饱和或者完全饱和情况，可以通过Voigt平均方程来计算流体的体积模量，公式为

(6)

式中：K_w是流体的体积模量，S_w是流体的饱和度，K_g是气体的体积模量.其中流体和气体的属性是根据Batzle和Wang(1992)给出的经验公式计算得出的.

岩石基质的体积模量是根据Voigt-Reuss-Hill公式计算得出的，矿物的体积模量参考了Mavko等(2009)的岩石物理手册.计算岩石基质的体积模量的公式为

(7)

式中：f_i是第i个介质的体积分数，M_i是第i个介质的弹性模量.

根据上述的Gassmann理论计算了三组数据中饱和流体后的岩石纵波速度，三组实验数据的预测结果如表 1、表 2和表 3中的第4列所示.通过对三组数据进行的线性回归分析以及Gassmann理论预测结果的比较可以看出，三组数据中表现出相同的规律，多元线性回归的判定系数最高，Gassmann理论预测的判定系数次之，而简单线性回归的判定系数最低.造成Gassmann理论预测结果不理想是因为该理论在应用时存在一定的适用条件，它适用于地震频率下的高孔隙度沉积岩，并且假设岩石是各向同性的、所有组成岩石矿物具有相同的体积模量和剪切模量、所有的孔隙都是连通的以及岩石完全饱和流体等条件(Mavko et al., 2009).在本研究中使用的样品都是在实验室高频条件下测量的，而且有些样品的致密程度比较高导致孔隙的连通性变差，这些原因都会导致理论预测结果与实际值有较大的误差.在实际应用中Gassmann理论的这些限制条件也很难全部满足的，所以应用效果并不是很理想.由以上结果可以得出，多元线性回归分析与Gassmann理论相比受到的限制条件比较少，且拟合结果的判定系数更高，因此利用多元回归分析不但可以更准确的建立泥质砂岩干燥与饱和流体状态下的纵波速度之间的关系，而且可以对Gassmann理论的预测结果进行校正和补充.

3 纵波速度差与黏土含量和孔隙度的关系

前文利用干燥状态下泥质砂岩的纵波速度与孔隙度以及黏土含量来拟合饱和流体后泥质砂岩的纵波速度，从拟合结果中可以判断出孔隙度和黏土含量对饱和流体前后泥质砂岩的纵波速度变化有较大的影响，因此有必要分析岩石饱和流体前后的纵波速度差(岩石完全饱和流体后的纵波速度与干燥状态下纵波速度之差)与孔隙度和黏土含量的关系.前人一般只单独分析了孔隙度和黏土含量分别与纵波速度差之间的关系，且相关性都不高，但很少有研究关注两者对纵波速度差的共同影响，本文首次提出了黏土含量与孔隙度比的概念，称之为CPR(Clay Porosity Ratio)，这一概念提出的重要意义在于可以把孔隙度和黏土含量这两个参数转变成一个参数，进而更好的表达这两个变量对岩石属性的共同影响，当CPR < 1时代表黏土含量小于孔隙度，当CPR>1时代表黏土含量大于孔隙度.

根据本文的三组数据，分别计算了CPR和泥质砂岩饱和流体前后的纵波速度差，并将两者的关系绘制成图，三组数据的结果如图 8、图 9、图 10中所示.分析图 8可以看出两种泥质砂岩的CPR都与纵波速度差之间有较好的线性关系，判定系数R²都达到了0.73以上，表现出的规律是随着CPR的增加，纵波速度差也逐渐增大.还可以看出在G砂岩中CPR的值都比较高，且CPR>1的样品数量也比较多，而在S砂岩中CPR的值都比较低，大部分样品的CPR都小于1，分析认为这可能是S砂岩拟合的判定系数要低于G砂岩的原因，所以初步认为当泥质砂岩的CPR较高，且CPR>1的样品较多时，利用CPR拟合泥质砂岩饱和流体前后纵波速度差的拟合效果会更好.

分析图 9可以看出，对于两种不同流体，泥质砂岩饱和每种流体前后纵波速度差都与CPR之间有很好的相关性，判定系数R²都达到了0.8以上，这表明CPR在预测岩石饱和流体前后纵波速度差异方面具有很大的潜力，但两个判定系数之间还有一定的差距，说明了孔隙流体性质的差异会对CPR的这种预测能力产生影响.从图 10中可以看出，CPR与泥质砂岩饱和水前后纵波速度差之间具有很好的相关性，而且两者的相关性还与围压有关系，随着围压的增加，判定系数也随之升高，同样可以看出当泥质砂岩的CPR升高时，纵波速度差也表现出增大的趋势.

通过分析以上三组数据中CPR与纵波速度差之间的规律可以看出，随着CPR的增大，纵波速度差都表现出增大的趋势，但这种关系还不够稳定，容易受到其他因素的影响，因此在实际应用前还需要更多的实际数据进行验证和解释.

4 结论 4.1

泥质砂岩饱和流体后的纵波速度与干燥状态下的纵波速度之间具有较好的相关性，但是这种相关性很容易受到岩石的固结程度、孔隙流体性质以及围压等因素的影响，其中固结程度的影响最为明显.

4.2

利用多元线性回归分析方法建立泥质砂岩饱和流体后的纵波速度与干燥状态下的纵波速度、孔隙度以及黏土含量之间的关系，与简单线性回归分析相比，其判定系数明显提高，标准误差明显减小，这种方法可以对Gassmann流体替换理论的预测结果进行校正和补充.在实际应用中，要对经验模型进行相应的检验，验证模型的有效性以及进一步优化模型.

4.3

本文首次提出了黏土含量与孔隙度比的概念(CPR)，通过研究发现CPR与岩石饱和流体前后纵波速度差之间具有很好的正相关性，CPR的提出为解释流体替换过程中岩石物理属性的变化情况提供了新的思路.但需要指出的是这种相关性还不够稳定，还需要更多的实际数据进行验证，因此在实际应用中应根据工区的岩石物理分析结果建立更准确的变化规律，而不能盲目套用.

致谢 感谢审稿专家提出的修改意见和编辑部的大力支持！