2017, Vol. 32
2. 内蒙古工业大学理学院, 呼和浩特 010051
3. 内蒙古农业大学理学院, 呼和浩特 010021
2. College of Sciences, Inner Mongolia University of Technology, Hohhot 010051, China
3. College of Science, Inner Mongolia Agriculture University, Hohhot 010021, China
Rossby波因具有稳定的大振幅孤立波的特征，因此对于地球大尺度大气及海洋运动有着重要的意义.数学上由一组闭合偏微分方程组所描述，主要包括运动学方程、动力学方程及状态方程等.通过多种数学处理方法，主要包括理论推导、数值模拟、诊断分析等对大气运动进行研究是非常必要的，对定性理解大气运动的动力学物理意义以及定量的实际预报等有着一定的指导意义.对于对于中高纬地区，国内外学者(Long, 1964; Benney, 1966; Wadati, 1973; Redekopp, 1977; Redekopp and Weidman, 1978; Charney and Straus, 1980; Ono, 1981; Pedlosky, 1981; Luo and Ji, 1989；刘式适和谭本馗, 1992；罗德海, 1995; Luo and Li, 2000; Luo, 2005a, b; Yang et al., 2008a, b; 宋健和杨联贵, 2010; 宋健和赖俊峰, 2010; 宋健等, 2011, 2012, 2013)等进行了理论研究，指出基本流的切变效应、beta效应、地形强迫、地形缓变效应、耗散和热外源以及行星波与天气波的相互作用等都是诱导或者加强大气运动中孤立波发生的影响因子，黎爱兵等(2012)通过数值方法研究表明非均匀纬向基本流是大气长波发生调整的一个重要机制.上述大部分对于中高纬地区的研究是基于准地转假设，通过准地转位涡守恒方程研究上述问题的前提条件是小Rossby数，这一条件对于中高纬大气是基本成立的.
同样热带大气的运动与全球大气的变化有着密切的关系，因此对于近赤道地区的研究是非常有意义的. Matsuno (1966)早期研究了beta平面意义下的赤道大气运动，解释了相应的线性波动问题. Boyd(1980, 1983)利用基本方程组导出了描述赤道大气波动的Korteweg de-Vries (KdV)、modified-Korteweg de-Vries (mKdV)、Schrodinger等非线性方程，讨论了赤道非线性Rossby波，但是并没有讨论基本流以及地形等因子对赤道波动的影响.李麦村等(李麦村和薛纪善, 1984；Li, 1987)利用赤道基本方程组讨论了热带大气运动的Rossby孤波，指出热带大气中存在非地转的Rossby孤波，他们既不同于中高纬度的准地转Rossby孤波，也不同于热带大气中的线性波，他们可以用KdV方程或mKdV方程来描述，通过分析表明一般情况下它受到基本气流切变的影响，但也可以存在于没有基本气流的情况下.赵强等(赵强等, 2000; 赵强和刘式适, 2001)利用准地转位涡方程推导出含有基本流切变效应的赤道大气波动振幅所满足的非线性KdV, Schrodinger方程，说明赤道大气中Rossby波与切变基本气流的非线性相互作用，可以使大气中形成Rossby孤立子以及包络孤立子，而且这种孤立波是并不需要长波近似条件的频散波，它可以解释赤道大气中西移Modons最后通过能量频散而崩溃消失.宋健等(2010)通过准地转位涡方程研究了切变纬向流作用下具有beta效应的赤道包络Rossby孤立波，指出即使没有切变基本流的作用，beta效应仍然可以诱导赤道孤立波.陈华等(2005)考虑了经向风应力和纬向风应力联合作用下热带大洋的响应问题.指出一阶的经向风应力或具有辐合辐散的经向风应力对最后的速度场和位势场造成影响.巢纪平和徐昭(2008)讨论了热带扰动对于赤道Rossby波动的稳定性影响，指出在大洋西部，由于向极流从而导致不稳定，而大洋东部，则是向赤道流，扰动具有稳定性.值得注意的是准地转位涡守恒方程是基于小Rossby数假设，而赤道地区这一条件并非容易满足，因此数学上直接用中高纬准地转位涡方程的特殊情况来研究赤道地区大气运动有一定的误差.
根据已有的对于中高纬理论模型的讨论，我们知道地形对于中高纬大气Rossby波有着重要的影响，因此我们有必要进一步讨论地形对于近赤道大气运动的影响.但是对于赤道地区地形作用的研究为数有限，赵强(1997)利用正交模方法研究了具有地形强迫的赤道线性波动问题.本文从基本方程组出发，考虑切变基本纬向流，通过弱非线性方法，从理论上导出波动所满足的非线性方程，结果表明地形也是产生赤道非线性孤立波的重要因素.
1 方程的推导 1.1 控制方程与边界条件我们考虑赤道β平面近似下，浅水模式的大气运动基本方程组为
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(1) |
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(2) |
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(3) |
其中，Φ=ϕ－ghB=ϕ′+gH0－ghB=gh′+gH0－ghB，H0为静止大气的高度，h′为扰动高度，hB为底地形，由如上方程组确定的模式为大气浅水模式.
考虑到近赤道地区，我们将边界条件设定为
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(4) |
对于赤道问题，我们引入如下的无量纲尺度
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(5) |
其中c0是重力波的特征速度，
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(6) |
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(7) |
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(8) |
由于地形相对于大气层厚度而言是小量，不妨设
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(9) |
ε表征地形小形态比.且考虑到赤道地区东西方向的充分发展以及周期性，我们主要考虑沿着纬向方向的地形变化对于赤道非线性波动的影响.故进一步假设
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(10) |
将(9)、(10) 代入无量纲方程组(6)、(7)、(8) 中，可得
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(11) |
考虑基本流效应、地形效应.令
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(12) |
将(12) 式代入方程组(11) 中，同时略去“’”，则可得到
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(13) |
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(14) |
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(15) |
考虑到大气运动的时空多尺度性, 引入多重尺度，作Gardner-Morikawa变换，公式为
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(16) |
将(16) 分别代入(13)、(14)、(15) 式可得
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(17) |
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(18) |
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(19) |
由于非线性问题的本质, 引入摄动展开，令
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(20) |
将(20) 式分别代入(17)、(18)、(19)，可得到各级近似方程.
最低阶近似：
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(21) |
为赤道半地转近似，刻画了基本流的特征，但是不同于中高纬地区的地转关系.
一级近似:
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(22) |
二级近似:
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(23) |
方程组(22) 的解设为
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(24) |
将式(24) 代入式(22)，得
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(25) |
对于方程组(25)，消去
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(26) |
第一式与第三式得到
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(27) |
整理方程(27) 得到
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(28) |
将方程(28) 与方程(26) 整理得
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(29) |
其中A1(y)、A2(y)为
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(30) |
方程(29) 是关于
将
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(31) |
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(32) |
方程(31)、(32) 消元得到
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(33) |
其中C*是关于方程处理的非齐次部分，具体推导过程见附录.
(33) 式的齐次部分与(29) 相同，根据解得有界性或非共振性，右端应满足条件为
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(34) |
其中
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(35) |
其中：
|
方程(35) 为带有地形效应的非线性发展方程，称为推广的KdV方程，其中系数e4表征地形效应，显然，在无地形时，hB=0，则e4=0，方程(35) 退化为李麦村(1984) Rossby波的KdV方程.在hB(y)≠0时，此时e4也有可能为零，同时通过e4项说明地形的作用是通过地形与波以及流相互作用共同决定.
2 KdV方程的周期波解及孤立波解对于推广的KdV方程，我们利用Jacobi椭圆函数展开法(Liu et al., 2001)求周期波解及孤立波解.方程(35) 可以变形为
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(36) |
其中
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(37) |
由Jacobi椭圆函数展开法，A(X)可以表示为椭圆函数snX的级数形式，公式为
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(38) |
考虑到非线性项与最高阶导数项的平衡，须满足n=2，即
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(39) |
利用椭圆函数性质
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解得
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(40) |
从而有周期解
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(41) |
当m=1时，对应的孤立波解为
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(42) |
特别地，当满足c1－γ－4βk2=0时，孤立波解变为
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(43) |
显然，上述的周期波解及孤立波解均表明地形对于赤道非线性波动的影响.
3 结论与讨论 3.1介于赤道非地转因素，我们没有采用类似于中高纬地区的准地转位涡守恒方程理论，而是通过大气基本方程组探究近赤道地区大气运动.发现存在赤道Rossby孤波，可以用KdV方程来描述，这是一种非线性波动，通过非线性方程及周期波解或者孤立子解表征它受到基本气流切变的影响，同时也受到地形的影响，数学理论上说明地形在赤道大气的运动中有移频作用，当然也说明地形与波流的相互作用是不可忽视的.
3.2同时我们注意到，传统的基于准地转理论的中高纬地区研究中忽略了地球旋转效应Coriolis力水平分量的作用，但是对于近赤道地区大气运动的影响尤为重要, 因此，也是近赤道大气问题的一个不同之处，我们将在另文中考虑这一因素的影响.
附录1 有关方程组(25) 消元推导过程
将式(25) 的第一式关于y求导与第二式相减，得到
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(26) |
再将第一式乘以(u－c)与式第三式相减，得到
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(27) |
整理方程(27)，则得到
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(28) |
将方程(28) 代入方程(26) 整理为
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(29') |
简记为
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(29") |
其中
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附录2 关于二阶方程的处理
记方程(31)(32) 右端非齐次项为A*、B*，公式为
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由方程(32) 可以求得
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(33') |
继续整理得
|
(33") |
其中
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(33"') |
由方程(33″)与(29″)为同其次特征值问题，为了保证解得有界性或者非共振性，(33″)右端须满足公式为
|
(34) |
将A*、B*带入如上方程可得
|
(35) |
此为文章中的KdV形式.
致谢 感谢审稿专家提出的宝贵意见和编辑部的大力支持！| [] | Benney D J. 1966. Long non-linear waves in fluid flows[J]. Studies in Applied Mathematics, 45(1-4): 52–63. |
| [] | Boyd J P. 1980. Equatorial solitary waves. Part Ⅰ:Rossby solitons[J]. Journal of Physical Oceanography, 10(11): 1699–1717. DOI:10.1175/1520-0485(1980)010<1699:ESWPIR>2.0.CO;2 |
| [] | Boyd J P. 1983. Equatorial solitary waves. Part 2:Envelope solitons[J]. Journal of Physical Oceanography, 13(3): 428–449. DOI:10.1175/1520-0485(1983)013<0428:ESWPES>2.0.CO;2 |
| [] | Chao J P, Xu Z. 2008. The behavior of tropical disturbance in large-scale meridional flow[J]. Chinese J. Geophys., 51(6): 1657–1662. DOI:10.3321/j.issn:0001-5733.2008.06.005 |
| [] | Charney J G, Straus D M. 1980. Form-drag instability, multiple equilibria and propagating planetary waves in baroclinic, orographically forced, planetary wave systems[J]. Journal of the Atmospheric Sciences, 37(6): 1157–1176. DOI:10.1175/1520-0469(1980)037<1157:FDIMEA>2.0.CO;2 |
| [] | Chen H, Wang Z G, Liu S K, et al. 2005. Synchronous response of tropical ocean to meridional and zonal wind stress[J]. Chinese J. Geophys., 48(5): 985–991. DOI:10.3321/j.issn:0001-5733.2005.05.003 |
| [] | Li A B, Zhang L F, Zhang L, et al. 2012. The effects of zonal non-uniform basic flow on adjustment of atmospheric long-wave[J]. Chinese J. Geophys., 55(4): 1104–1113. DOI:10.6038/j.issn.0001-5733.2012.04.005 |
| [] | Li M C, Xue J S. 1984. Solitary Rossby waves of tropical atmospheric motion[J]. Acta Meteorologica Sinica, 42(3): 259–268. |
| [] | Li M C. 1987. Equatorial solitary waves of tropical atmospheric motion in shear flow[J]. Advances in Atmospheric Sciences, 4(2): 125–136. DOI:10.1007/BF02677059 |
| [] | Liu S K, Fu Z T, Liu S D, et al. 2001. Jacobi elliptic function expansion method and periodic wave solutions of nonlinear wave equations[J]. Physics Letters A, 289(1-2): 69–74. DOI:10.1016/S0375-9601(01)00580-1 |
| [] | Liu S K, Tan B K. 1992. Rossby waves with the change of β[J]. Appl. Math. Mech., 13(1): 35–44. |
| [] | Long R R. 1964. Solitary waves in the westerlies[J]. Journal of the Atmospheric Sciences, 21(2): 197–200. DOI:10.1175/1520-0469(1964)021<0197:SWITW>2.0.CO;2 |
| [] | Luo D H. 2005a. A barotropic envelope Rossby soliton model for block-eddy interaction. Part Ⅰ:Effect of topography[J]. Journal of the Atmospheric Sciences, 62(1): 5–21. DOI:10.1175/1186.1 |
| [] | Luo D H. 2005b. A barotropic envelope Rossby soliton model for block-eddy interaction. Part Ⅳ:Block activity and its linkage with a sheared environment[J]. Journal of the Atmospheric Sciences, 62(11): 3860–3884. DOI:10.1175/JAS3581.1 |
| [] | Luo D H. 1995. Solitary Rossby waves with the beta parameter and dipole blocking[J]. Quarterly Journal of Applied Meteorology, 6(2): 220–227. |
| [] | Luo D H, Ji L R. 1989. A theory of blocking formation in the atmosphere[J]. Science in China (Series B), 33(3): 323–333. |
| [] | Luo D H, Li J P. 2000. Barotropic interaction between planetary-and synoptic-scale waves during the life cycles of blockings[J]. Advances in Atmospheric Sciences, 17(4): 649–670. DOI:10.1007/s00376-000-0026-5 |
| [] | Matsuno T. 1966. Quasi-geostrophic motions in the equatorial area[J]. Journal of the Meteorological Society of Japan Serirs Ⅱ, 44(1): 25–43. DOI:10.2151/jmsj1965.44.1_25 |
| [] | Ono H. 1981. Algebraic Rossby wave soliton[J]. Journal of the Physical Society of Japan, 50(8): 2757–2761. DOI:10.1143/JPSJ.50.2757 |
| [] | Pedlosky J. 1981. Resonant topographic waves in barotropic and baroclinic flows[J]. Journal of the Atmospheric Sciences, 38(12): 2626–2641. DOI:10.1175/1520-0469(1981)038<2626:RTWIBA>2.0.CO;2 |
| [] | Redekopp L G. 1977. On the theory of solitary Rossby waves[J]. Journal of Fluid Mechanics, 82(4): 725–745. DOI:10.1017/S0022112077000950 |
| [] | Redekopp L G, Weidman P D. 1978. Solitary Rossby waves in zonal shear flows and their interactions[J]. Journal of the Atmospheric Sciences, 35(5): 790–804. DOI:10.1175/1520-0469(1978)035<0790:SRWIZS>2.0.CO;2 |
| [] | Song J, Jiang N, Yang L G. 2011. Equatorial Rossby envelope solitary waves with β effect in a shear flow[J]. Acta Physica Sinica, 60(2): 024701. |
| [] | Song J, Liu Q S, Yang L G. 2013. Algebraic solitary Rossby waves excited slowly changing topography and beta effect[J]. Progress in Geophys., 28(4): 1684–1688. DOI:10.6038/pg20130407 |
| [] | Song J, Lai J F. 2010. Forced solitary Rossby wave with beta effect and topography effect in barotropic flows[J]. Acta Physica Sinica, 59(7): 4756–4760. |
| [] | Song J, Yang L G, Liu Q S. 2012. Solitary Rossby waves with beta effect and topography effect in a barotropic atmospheric model[J]. Progress in Geophys., 27(2): 393–397. DOI:10.6038/j.issn.1004-2903.2012.02.001 |
| [] | Song J, Yang L G. 2010. Force solitary Rossby waves with beta effect and topography effect in stratified flows[J]. Acta Physica Sinica, 59(5): 3309–3314. |
| [] | Wadati M. 1973. The modified Korteweg-de Vries equation[J]. Journal of the Physical Society of Japan, 34(5): 1289–1296. DOI:10.1143/JPSJ.34.1289 |
| [] | Yang L G, Song J, Da C J, et al. 2008a. KdV equation for the amplitude of solitary Rossby waves in barotropic fluids[J]. Pacific Journal of Applied Mathematics, 1(3): 317–328. |
| [] | Yang L G, Song J, Da C J, et al. 2008b. mKdV equation for the amplitude of solitary Rossby waves in stratified fluids[J]. Pacific Journal of Applied Mathematics, 1(3): 329–343. |
| [] | Zhao Q. 1997. The influence of orography on the ultra-long Rossby waves in the tropical atmosphere[J]. Journal of Tropical Meteorology, 13(2): 140–145. |
| [] | Zhao Q, Liu S D, Liu S K. 2000. Nonlinear equatorial Rossby long waves in a shear flow[J]. Chinese J. Geophys., 43(6): 746–753. DOI:10.3321/j.issn:0001-5733.2000.06.003 |
| [] | Zhao Q, Liu S K. 2001. Equatorial Rossby envelope solitary waves in a mean zonal flow with shear[J]. Chinese Journal of Atmospheric Sciences, 25(1): 133–141. |
| [] | 巢纪平, 徐昭. 2008. 热带扰动在大尺度经圈中的行为[J]. 地球物理学报, 51(6): 1657–1662. DOI:10.3321/j.issn:0001-5733.2008.06.005 |
| [] | 陈华, 王彰贵, 刘式适, 等. 2005. 热带大洋对纬向和经向风应力的联合响应[J]. 地球物理学报, 48(5): 985–991. DOI:10.3321/j.issn:0001-5733.2005.05.003 |
| [] | 黎爱兵, 张立凤, 张亮, 等. 2012. 纬向非均匀基流对大气长波调整的作用[J]. 地球物理学报, 55(4): 1104–1113. DOI:10.6038/j.issn.0001-5733.2012.04.005 |
| [] | 李麦村, 薛纪善. 1984. 热带大气运动的Rossby孤波[J]. 气象学报, 42(3): 259–268. DOI:10.11676/qxxb1984.031 |
| [] | 刘式适, 谭本馗. 1992. 考虑β变化下的Rossby波[J]. 应用数学和力学, 13(1): 35–44. |
| [] | 罗德海. 1995. 考虑β随纬度变化下的Rossby孤立波与偶极子阻塞[J]. 应用气象学报, 6(2): 220–227. |
| [] | 宋健, 姜楠, 杨联贵. 2011. 切变基本纬向流中β效应的赤道Rossby孤立波包[J]. 物理学报, 60(2): 024701. |
| [] | 宋健, 刘全生, 杨联贵. 2013. 缓变地形下β效应的Rossby代数孤立波[J]. 地球物理学进展, 28(4): 1684–1688. DOI:10.6038/pg20130407 |
| [] | 宋健, 赖俊峰. 2010. 正压流体中具有β效应与地形效应的强迫Rossby孤立波[J]. 物理学报, 59(7): 4756–4760. DOI:10.7498/aps.59.4756 |
| [] | 宋健, 杨联贵, 刘全生. 2012. 正压大气模式下具有β效应与地形效应的Rossby孤立波[J]. 地球物理学进展, 27(2): 393–397. DOI:10.6038/j.issn.1004-2903.2012.02.001 |
| [] | 宋健, 杨联贵. 2010. 层结流体中具有β效应与地形效应的强迫Rossby孤立波[J]. 物理学报, 59(5): 3309–3314. DOI:10.7498/aps.59.3309 |
| [] | 赵强. 1997. 地形对热带大气超长尺度Rossby波动的影响[J]. 热带气象学报, 13(2): 140–145. |
| [] | 赵强, 刘式达, 刘式适. 2000. 切变基本纬向流中非线性赤道Rossby长波[J]. 地球物理学报, 43(6): 746–753. DOI:10.3321/j.issn:0001-5733.2000.06.003 |
| [] | 赵强, 刘式适. 2001. 切变基本纬向流中赤道Rossby包络孤立波[J]. 大气科学, 25(1): 133–141. |