0 引言

地壳岩石面应变与剪应变可采用钻孔法进行相对连续测量，使用的主流仪器是分量式应变仪，一般安装在井下几十米至300 m深的基岩中，国内孔径一般采用130 mm，国外为178 mm，探头钢筒用膨胀水泥(或改性的普通水泥)与岩石耦合(焊接)，保证应力与位移在边界上连续.2003年美国开始实施板块边界观测计划(PBO)(张宝红, 2004, 2010；刘序俨等，2014)，选用澳大利亚地震学家Gladwin新研制的四分量应变仪(Roeloffs，2010)，相继沿圣安德烈斯断层和阿拉斯加南部地区建立了85个钻孔应变台站，获得一批观测资料，并在PBO网站上与各国科学家共享(http://pboweb.unavco.org).该种仪器是原有三分量(互成60°排列)应变仪的改进产品，为了自检需要，它又添加了一个分量元件，定位方向与第2个元件成90°.中国有三种自行研制的四分量应变仪，型号分别为YRY-4(池顺良等，2007)、RZB-2(3)(欧阳祖熙等，2009)和SKZ-1(2)，其各分量元件均互成45°呈米字型排列，2007年以后在地震重点监测区共建有60余个测点.由于应变需在岩石、水泥和仪器钢筒等三层介质中传递，故与无孔岩石不同，观测系统存在附加应变场，测得的面应变与剪应变并不等于钻孔围岩的真实应变，分别需要一个传递系数与之关联，所以分析外加应变向探头的传递过程很有必要.目前，国内外在与之相关的钻孔耦合系数方面已做了一些研究工作(潘立宙，1981；Gladwin and Hart, 1985；陈沅俊和杨修信，1990；邱泽华等，2005；Roeloffs，2010；张凌空和牛安福，2013)，但仅限于平面应力的情况，三维应力没有涉及，而应变传递系数的概念更未形成.在前人工作的基础上，本文重点解决的问题是：推导平面应力作用下岩石面应变与剪应变传递系数的计算公式，并分析各项影响因素.考虑到井孔还往往受到轴向应力的作用，会引起面应变传递系数的改变(剪应变不变)，故又引入应力比和修正系数两项新参数，进一步给出三维应力作用下面应变传递系数的计算公式，并讨论公式的适用范围和与平面应力作用下的关系.最后，给出地壳岩石面应变与剪应变的计算公式.这对国内外日益深入的钻孔应变观测研究，将产生积极的推动作用，对仪器设计、安装参数的优化也能提供帮助.

1 钻孔应变观测的力学模型

应变由应力引起，地应力的形成主要与地球的各种动力运动过程有关，其中，构造应力场和自重应力场为现今地应力场的主要组成部分.实测资料表明(侯公羽，2011)，几乎所有地区均有两个主应力位于水平或接近水平的平面内，实测垂直应力基本等于上覆岩层的重量，水平应力普遍大于垂直应力，其重要性也远远超过垂直应力.地应力是时间和空间的函数，对于确定的测点，则只与时间有关.国内应变仪安装孔大多在40~60 m深，国外一般在100~300 m，上覆岩石在井底产生的垂直应力和侧向水平应力能够计算.由于应变仪测量的是岩石相对应变变化，即某一时刻的测值减去初始值，而非绝对应变，故岩石重力对观测的影响实际上已被消除，可不必考虑, 我们关心的是变化的应力引起的应变.

无论何种型号的应变仪，其工作原理皆相同.因为构造应力是以水平应力为主，在大多数情况下为了研究问题方便，往往进行简化计算，即假定钻孔所处介质近似为各向同性弹性体，遵从虎克定律，且井口及井底对传感器的影响可以忽略，钻孔方向与垂直应力(σ₃)方向一致，并认为σ₃=0.设有一块无限大的岩石平板，在无穷远处承受两项均匀水平拉应力，即最大、最小主应力为σ₁、σ₂，最大、最小主应变为ε₁、ε₂，平板中有一半径为r₃的井孔，安置其中的应变仪钢筒内半径为r₁，外半径为r₂，通过水泥与岩石耦合，以此保证应力和位移分量在边界上连续，因而钻孔的实际情况为三层复合双衬套结构(图 1).设钢筒、水泥、岩石的弹性模量和泊松比分别为E₁、μ₁、E₂、μ₂、E₃、μ₃.θ为正北方向与任一孔径相对变化测量元件之间的夹角，ϕ为正北方向与最大主应力之间的夹角，规定由北起算顺时针旋转角度为正，逆时针为负.则钢筒内壁在θ方向上的径向应变为(邱泽华等，2005):

(1)

式中A、B是与钻孔各层材料的弹性参数和半径都有关的常数，统称为耦合系数，其详细计算公式，笔者根据双衬套理论(潘立宙，1981；欧阳祖熙和张宗润，1988；陈沅俊和杨修信，1990)已做了严格推导(张凌空和牛安福，2013)，并且与Gladwin(1985)教授建立双环模型、用复变函数法解算的结果完全一致，(1) 式构成了分量式钻孔应变观测的理论基础.

需要说明的是，真实的无孔岩石(假定其内部有一个圆柱体)在θ方向上的径向应变并不是(1) 式，而应为(王仁，1979):

(2)

这是因为岩石应变不能直接进行观测，必须经过钻孔、取出岩芯、放入探头后才能测量，故人为形成了一个显著的附加应力、应变场，导致观测模型比实际模型复杂很多.一般情况下A＞1/2，B＞1，故S_θ≠L，且S_θ与L的比值不为常数，这表明应变仪各分量测值并不代表同方向岩石的应变，或者说S_θ的物理意义不明确，直观上将观测固体潮曲线与理论值比较就能看出显著差异，所以无法求解岩石向应变仪各分量元件的传递系数，由于理解上有一定困难, 这一点需要特别注意.

虽然应变仪各分量元件不具备记录同方向岩石应变的功能，但各分量测值经线性组合得到的面应变与剪应变，却可以反映岩石的应变变化，它们之间的数值虽不相等但成倍数关系, 即能由传递系数相关联，将面应变与剪应变测值分别除以该组系数就得到平面应力作用下地壳岩石的实际应变量.显然，求解该组系数至关重要.

2 平面应力作用下面应变与剪应变的计算 2.1 钻孔应变仪记录到的面应变与剪应变

对于国产四分量钻孔应变仪，从正北方向开始向右旋转，如果设第一个元件的角度为θ，则第二、第三、第四个元件角度依次增大45°，即元件一、三和二、四分别相互垂直，根据(1) 式，四个元件的应变值可以各自写为(张凌空和牛安福，2013):

(3)

(4)

(5)

(6)

进一步可推导出:

(7)

(8)

(9)

ε_m为应变仪钢筒内壁记录到的面应变，S₁+S₃和S₂+S₄是平面应变场两个不变的基本量，反映出理论上任意两个互相垂直的测量元件记录到的面应变都相等，因而将(7) 式定为四分量应变仪的自检条件.(8)、(9) 式表示两组相互垂直的元件测值之差，称为剪应变.

2.2 空孔岩石的面应变与剪应变

对于空孔岩石，θ方向的径向位移为(王仁，1979)：

(10)

则θ方向的径向应变为

(11)

根据弹性力学有：

(12)

(13)

代入上式可得：

令A₀=1/(1-μ₃)，B₀=2/(1+μ₃)，则(11) 式可以写为

(14)

四个方向的应变值可以各自写为

运用上述分析方法可知其面应变为

(15)

一对剪应变为

(16)

(17)

将(14) 式与(1) 式比较可知，若要保证S_θ=ε₀，则必须同时保证A= A₀，B=B₀，两个条件同时满足一般是不可能的，故不会有S_θ=ε₀，且S_θ/ε₀不是常数，表明应变仪各分量测值不代表同方向空孔岩石的应变.

2.3 无孔岩石的面应变与剪应变

前已述及，对于无孔岩石，假定其内部有一个圆柱体，则θ方向的径向应变为(王仁，1979)：

同理有：

(18)

(19)

(20)

L_m、L_J1、L_j2分别为无孔岩石的面应变和剪应变.

比较(18)、(15) 和(7) 式可知，三个面应变(L_m、ε_m0、ε_m)均为ε₁+ε₂的函数，且互为倍数关系，表明其变化特征一致，观测面应变(ε_m)可以代表岩石面应变(L_m)，它们之间仅差一个传递系数.同样，两组剪应变(L_J1、ε_j01、ε_j1或L_j2、ε_j02、ε_j2)分别是(ε₁-ε₂)cos2(θ-ϕ)或-(ε₁-ε₂)sin2(θ-ϕ)的函数，观测剪应变亦可以代表岩石剪应变，二者之间仍通过传递系数关联.

3 平面应力作用下面应变与剪应变传递系数的计算 3.1 面应变传递系数的计算

将(7) 式÷(18) 式，得到钢筒内壁面应变(ε_m)与无孔岩石面应变(L_m)之比为

(21)

β_m即为地下岩石向应变仪钢筒内壁的面应变传递系数，有ε_m =β_mL_m.已知(张凌空和牛安福，2013)：

(22)

其中x₄是与观测系统各项参数都有关的一个量，有：

(23)

各系数分别为

前已述及，(22) 式与Gladwin等(1985)用复变函数法解算的结果完全一致.

再来分析一下岩石面应变的传递过程.根据(15)、(18) 式有：

η₁为空孔岩石面应变与无孔岩石面应变之比，表示外围岩石向空孔内壁的面应变传递系数，它只与μ₃有关.根据(7)、(15) 式又有：

(24)

η₂为钢筒内壁面应变与空孔岩石面应变之比，表示岩石空孔向应变仪钢筒内壁的面应变传递系数.故：

(25)

可知β_m由η₁和η₂共同决定，是这一对面应变传递系数的乘积.

还有一个需要查清的问题.已知面应变观测力学模型为(张凌空等，2012)：

(26)

其中，k是表征该模型的一个重要参数，有：

(27)

根据(22) 式，得：

(28)

再代入(24) 式，可知k=η₂.这一结果表明，k的物理意义是岩石空孔向应变仪钢筒内壁的面应变传递系数.

3.2 剪应变传递系数的计算

将(8)÷(19) 式、(9)÷(20) 式，得到钢筒内壁剪应变(ε_j1或ε_j2)与无孔岩石剪应变(L_J1或L_j2)之比均为

(29)

β_j即为地下岩石向钢筒内壁的剪应变传递系数，分别有ε_j1=β_jL_J1，ε_j2=β_jL_j2.前已述及，张凌空和牛安福(2013)已给出了耦合系数B的完整计算公式，由于表述太过复杂、繁琐，本文不方便引用，请读者查看原文.

分析一下岩石剪应变的传递过程.(29) 式又可写为

(30)

或

(31)

根据(16)、(19) 式可得：

(32)

f₁₁表示地下岩石向空孔岩石内壁的剪应变传递系数，它只与μ₃有关.

根据(8)、(16) 式可得：

(33)

f₁₂表示空孔岩石向钢筒内壁的剪应变传递系数，它与B有关.β_j由f₁₁和f₁₂共同决定，是这一对剪应变传递系数的乘积.

同理可得：

β_j同时也是f₂₁和f₂₂这一对剪应变传递系数的乘积.由此可见，尽管剪应变与测量元件的方向有关，但传递系数与之无关，且为一常数.

对于国外三分量或四分量应变仪，同样可以证明有β_m=2A、β_j=2B成立.由于A、B只与观测系统本身有关，而与外加应力大小无关，故β_m、β_j亦然，两传递系数又统称为井孔耦合系数或响应因子(张凌空和牛安福，2013).

4 地壳岩石的面应变与剪应变

传递系数(β_m、β_j)可通过理论计算(公式(21)、(29))得出，将观测面应变(ε_m)与剪应变(ε_j1、ε_j2)分别除以β_m、β_j，就得到地壳岩石的真实应变量L_m和L_J1或L_j2(L_m =ε_m/β_m，L_J1=ε_j1/β_j，L_j2=ε_j2/β_j)，从而可实现不同台站之间观测数据的可比性.

5 平面应力作用下面应变传递系数的影响机制 5.1 与岩石弹性参数的关系

以国内目前应用较多的YRY-4型分量式应变仪观测孔为例，其技术参数分别为r₁=51.5 mm，r₂=53.5 mm，r₃=65 mm，E₁=19.6×10¹⁰ Pa，μ₁=0.3，E₂=3×10¹⁰ Pa，μ₂=0.25，将其带入(21) 式，可作出β_m随岩石和水泥弹性参数变化的曲线.取E₂=3×10¹⁰ Pa，μ₂=0.25，即当水泥弹性参数为定值时，β_m随岩石弹性参数(E₃、μ₃)的增加而增大，并且E₃取值越高，μ₃的影响越明显(图 2a)，β_m取值范围在1.112~3.374.

5.2 与水泥弹性参数的关系

取E₃=5×10¹⁰ Pa，μ₃=0.25，即当岩石弹性参数为定值时，β_m随水泥弹性模量E₂和泊松系数μ₂的增加而增大，但当E₂＞2.1×10¹⁰ Pa后，曲线出现拐点、转折下降(图 2b).与岩石比较，水泥的影响小很多.

5.3 与钢筒内半径(r₁)或壁厚(n)的关系

保持钻孔和钢筒外半径(r₃、r₂)不变，β_m随r₁增加或钢筒壁厚(n)变薄而增大，变化率大约为0.149/mm(图 2c).

6 平面应力作用下剪应变传递系数的影响机制 6.1 与岩石弹性参数的关系

将前面给出的YRY-4型应变仪钻孔技术参数带入(29) 式，取E₂=3×10¹⁰ Pa，μ₂=0.25，即当水泥弹性参数为定值时，β_j随岩石弹性模量(E₃)的增加而增大，随泊松系数(μ₃)的增加而减小, 并且E₃取值越高，μ₃的影响就越明显(图 3a).这一变化规律与β_m有些类似，但μ₃影响相反，量值略小，β_j取值范围在2.239~3.778.

6.2 与水泥弹性参数的关系

取E₃=5×10¹⁰ Pa，μ₃=0.25，即当岩石弹性参数为定值时，β_j随水泥弹性模量E₂和泊松系数μ₂的增加而减小(图 3b)，但影响量值比岩石小.

6.3 与钢筒内半径(r₁)或壁厚(n)的关系

保持钻孔和钢筒外半径(r₃、r₂)不变，β_j随r₁增加或钢筒壁厚(n)变薄而增大，变化率大约为0.042/mm(图 3c), 影响程度明显比β_m弱.

7 三维空间应力作用下面应变的传递系数

如果钻孔存在轴向应力(σ₃)，由弹性力学可知，在三维空间应力作用下无孔岩石的应力、应变关系有：

其剪应变为

面应变为

(34)

显然，σ₃在垂直平面内均引起了相同的线应变(-μ₃σ₃/E₃)，故剪应变不受其影响，仍与平面应力作用下相同，β_j=2B仍然适用，但面应变产生了响应，并且有所消弱.

根据(26) 式，考虑到σ₃影响，应变仪钢筒内壁记录到的面应变应修正为

(35)

由(34) 式、(35) 式，面应变传递系数改为

令η=(σ₁+σ₂)/σ₃，表示面应力与垂直应力之比，简称应力比，则：

(36)

将(28) 式代入上式可得：

(37)

该式表明在三维空间应力作用下，岩石面应变的传递系数β_m3不仅与2A有关，还与应力比η有关.只要给出应力表达式或应力比，就可以解得任意时刻的β_m3.

再令τ=(1-μ₃)(η-μ₃)/[(1-μ₃)η-2μ₃)], 又有：

根据(21) 式，可知：

(38)

由前面分析可知，β_m为平面应力作用下地壳岩石向应变仪钢筒内壁的面应变传递系数，它只与观测系统本身有关，为一常量(β_m=2A)，而τ称为β_m的修正系数，即当钻孔轴向应力σ₃的存在时，面应变传递系数β_m需要用τ来修正.

目前，全世界地应力实测结果得出(侯公羽，2011)：(σ₁+σ₂)/(2σ₃)一般为0.5~5.0，故η取值范围在1.0~10.0.对于确定的钻孔和应变仪，观测系统的各项参数均为定值，因而2A为常数，取E₃=5×10¹⁰ Pa，μ₃=0.25，可以做出β_m3和τ与η的关系曲线.图 4显示β_m3的变化规律与τ相同，二者都随η的增加而衰减，曲线在η=2附近出现拐点，当η＜2时β_m3、τ均快速下降，当η＞2以后曲线下降速率骤然变缓，τ逐渐趋于1，β_m3逐渐趋于2.493(β_m=2.493).图 4还显示，当η＞3以后β_m3、τ已分别接近一条水平直线，故τ≈1，β_m3≈β_m，表明如果面应力大于垂直应力3倍以上，可以近似将σ₃视作0，三维应力可简化为平面应力处理.

据统计(侯公羽，2011)，中国有32%的地区η＜1.6，40%的地区η=1.6~2.4，28%的地区η＞2.4；美国有18%的地区η＜1.6，41%的地区η=1.6~2.4，41%的地区η＞2.4.可知中、美两国分别有72%和59%的地区η＜3, 这时τ不为1, τ=1.45~2.25，故很多时候垂直应力σ₃对β_m3的影响不可忽视，这时面应变传递系数应修正为β_m3=τβ_m=2Aτ，地壳岩石的真实应变量改为L_m=ε_m/β_m3=ε_m/(τβ_m)，显然小于τ=1时的情形.

8 结论 8.1

面应变是应变仪各分量测值的加组合，与测量元件的方向和组合方式均无关，为不变量，剪应变则为任意两个分量测值的减租合，与元件的方向密切相关.面应变传递系数(β_m)为应变仪探头钢筒内壁面应变与无孔岩石面应变之比，剪应变传递系数(β_j)为钢筒内壁剪应变与无孔岩石剪应变之比，在平面应力作用下分别有β_m= 2A，β_j =2B，A、B是与钻孔、岩石、水泥和钢筒等各层材料的半径、弹性模量及泊松系数都有关的常数，故β_m、β_j只与观测系统本身有关，而与外加应力大小无关.

8.2

在平面应力作用下岩石面应变与剪应变向应变仪钢筒内壁的传递过程，可分别表述为：β_m=η₁η₂，η₁为外围岩石向钻孔内壁的面应变传递系数，η₂为钻孔向应变仪钢筒内壁的面应变传递系数，β_m为二者的乘积.其中η₂ =k，k为钢筒内壁面应变与空孔岩石面应变之比，是表征面应变观测力学模型的一个关键参数.另有β_j = f₁₁ f₁₂，f₁₁表示外围岩石向钻孔内壁的剪应变传递系数，f₁₂表示钻孔向钢筒内壁的剪应变传递系数，β_j为二者的乘积.

8.3

钻孔应变仪各分量测值既不代表同方向岩石的应变，也不代表同方向岩石空孔的应变，表明其物理意义不明确，欲求解各分量的传递系数无法实现.但经线性组合得到的观测面应变(ε_m)与岩石真实面应变(L_m)之间的关系有ε_m =β_mL_m，观测剪应变(ε_j1)与岩石真实剪应变(L_J1)之间的关系有ε_j1=β_jL_J1，通过观测值(ε_m、ε_j1)和求解两个传递系数(β_m、β_j)，就可以获知地壳岩石的实际面应变(L_m=ε_m/β_m)与剪应变(L_J1=ε_j1/β_j).

8.4

在平面应力作用下，β_m取值范围一般在1.112~3.374；β_m随岩石弹性参数(E₃、μ₃)的增加而增大；当E₂＜2.1×10¹⁰ Pa时，β_m随水泥弹性参数(E₃、μ₃)的增加而增大，E₂＞2.1×10¹⁰ Pa以后曲线转折下降；β_m随钢筒内半径(r₁)增加或壁厚(n)变薄而增大.β_j取值范围一般在2.239~3.778；β_j随岩石弹性模量(E₃)的增加而增大，随岩石泊松系数(μ₃)的增加而减小；β_j随水泥弹性参数(E₂、μ₂)的增加而减小，并且当E₂＞2.1×10¹⁰ Pa后，有速率减缓趋势；β_j随钢筒内半径(r₁)增加或钢筒壁厚(n)变薄而增大.与岩石比较，β_m、β_j均受水泥的影响较小.因β_m＞1，β_j＞2，故观测系统产生的附加应变场对岩石外加应变有放大效应，且β_j比β_m显著.

8.5

如果钻孔存在轴向应力σ₃，则各分量应变都会受到相同影响，导致面应变发生改变，而剪应变不变.在三维空间应力作用下，岩石剪应变传递系数仍为β_j=2B，面应变传递系数则变为β_m3=τβ_m，其中τ为β_m的修正系数，它与应力比η有关.当η＞3时，τ≈1，三维应力可简化为平面应力处理，β_m3≈β_m.但据侯公羽统计(2011)，中、美两国大约有72%和59%的地区η＜3，τ不为1，这时垂直应力σ₃对β_m3的影响就不可忽略.

9 讨论 9.1

β_m、β_j的确定，让各测点的面应变或剪应变数据相互比较成为可能，也有助于进一步确定地壳应变场的最大主应变、最小主应变及方向，为资料的深入研究创造条件.但由于我们基础工作做得不够，没有对钻孔岩芯的弹性参数进行普遍测定，导致这项工作目前还不能实现.

9.2

在实际观测中，除少数台站(如甘肃高台井)外，大多数场地基岩并非均匀完整、各向同性，探头与孔壁的耦合也可能不尽完善，这些都会导致理论值与实际值存在一定误差.

9.3

钻孔孔径很小(130或178 mm)，测量的只是某一点的应变值，它究竟能代表多大范围的地应变变化，尚需深入研究.事实上地应力状态复杂、多变，要想比较准确地掌握某一地区的地应变，应该有足够数量的观测点，再借助数理统计等方法描绘出该地区地应变场的状态.

致谢 本研究曾得到苏恺之和邱泽华研究员建设性的支持、帮助，在此谨致诚挚谢意.