2. 中国科学院大学, 北京 100049
2. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China
绕射波和反射波是地震数据中最重要的两个组成部分,由于反射波中包含了大部分地底下的信息,所以大部分的地震数据处理都集中在解决对反射波的处理和成像等问题上 (黄洪泽,1977).但是随着油气田勘探与开发的深入, 缝洞型油气藏的探测逐渐引起了大家的广泛关注,由于绕射波的产生源自于地下存在着的很多小尺度地质体,例如小断点、尖灭点、断层以及裂缝等,所以对绕射波的提取和成像变得越来越重要.
目前提取出地震数据中绕射信息主要有两种途径,第一种是在对地震数据进行叠加前,先从数据中提取出绕射波,然后对绕射波单独成像,但是这种方法由于计算对象本身的一些性质,存在着很多无法解决的问题.由于在地震数据进行叠加之前,包含了太多的信息,在对其进行提取的过程中,由于绕射波能量很小,本身就不容易使其与噪声分离,所以在处理的过程中,很容易引入大量噪声,降低了信噪比.同时由于处理的信息过多,提取效率也会大打折扣.通过前人研究发现 (赵惊涛等,2011),虽然在地震处理过程中,叠加处理会对绕射波场产生一定的压制作用,但是叠后数据中仍然存在着很多有效的绕射信息.目前叠后提取绕射波信息有四种常见的方式,分别是中值滤波技术绕射波信息提取方法、局部平面波分解技术绕射信息提取方法 (Taner and Fomel, 2006;黄建平等,2012)、优势倾角滤波技术绕射波信息提取方法 (Landa et al., 2008;刘太臣等,2014) 和主成分分析技术绕射波信息提取方法 (Hemon and Mace, 1978; 王权海和苗放,2011).其中,PCA方法提取绕射波信息较为成熟、有效,但是由于PCA算法本身的缺陷,这种正交变换不能有效检测出数据中的非线性模式,因此对于地震数据中弯曲的同相轴和倾斜的同相轴,单独使用PCA方法不能有效地检测出来.
KPCA方法本质上来说是传统PCA方法的一种非线性推广,这种方法能有效的捕捉到数据中的非线性特征,因此在特征抽取、人脸识别以及图像处理等领域收到广泛的研究和应用 (Kim et al., 2001; Koutsogiannis and Soraghan, 2002).但是前人还没有将这种方法应用到地震数据处理方面上.因此,本文提出利用改进的基于核的PCA算法,即KPCA方法来对叠后地震数据中的绕射波信息进行提取.
本文首先结合PCA方法 (Jolliffe, 2002) 与核方法,引入了KPCA方法 (Schölkopf et al., 1998),在前人使用PCA方法成功提取了叠后地震数据的绕射波信息的基础上,探究应用KPCA方法分离绕射波的可行性,通过理论推导验证其可操作性后,使用正演地震模型和实际地震数据资料进行实验,首先是对庞大的地震数据资料进行建模,将其分割成足够小的数据体之后依次沿着设定好的步长对小数据体进行KPCA处理,最后再使用从地震数据体的修正核矩阵中提取出来的特征向量与修正核矩阵重构出所想要提取出来的绕射波信息.最后将得出的结果与使用传统PCA方法提取出来的绕射波信息进行对比,得出的提取结果相比于传统PCA方法得出的结果具有更高的分辨率、断点识别更加清晰,能更好的提取地震数据中的绕射波信息.
同时,本文还对使用不同核函数的KPCA方法进行了实验和比较,分别是高斯径向核函数和线性核函数这两种应用最为广泛的核函数,最终选择出最佳的应用于绕射波提取的KPCA方法.
1 方法原理 1.1 核方法核方法是一系列先进性数据处理技术的总称,其共同特点是这些数据处理方法都应用了核映射.核函数方法的基本原理是通过非线性函数把输入空间映射到高维空间 (Vapnik, 1998),在特征控件中进行数据处理,其关键在于通过引入核函数,把非线性变换后的特征空间内积运算转换为原始空间的核函数计算,从而大大简化了计算量 (齐智峰,2013).
从具体操作过程上看,核方法首先采用了非线性映射将原始数据由数据空间映射到特征空间,进而在特征空间进行对应的线性操作,由于采用了非线性映射,且这种非线性映射往往是比较复杂的,从而大大增加了非线性数据的处理能力.
从本质上讲,核方法实现了数据空间、特征空间、和类别空间之间的非线性变换.设xi和xj是数据空间中的样本点,数据空间到特征空间的映射函数为Φ,核函数的基础是实现向量的内积变换, 公式为
(1) |
通常,非线性变换函数Φ(·) 相当复杂,而运算过程中实际用到的核函数K (·, ·) 则相对简单的多.
对于核函数必须满足Mercer条件:对于任意给定的对称函数K(xi, xj),它是某个特征空间中的内积运算的充要条件是对于任意的不恒为0的函数g(x) 满足:
(2) |
式 (2) 给出了函数成为核函数的充要条件.
考虑到核方法的基础是实现一种由输入空间到特征空间的非线性映射,假设输入空间数据为xi∈RdL(i=1, 2, ..., N),对任意对称、连续且满足Mercer条件的函数K(xi, xj),存在一个Hilbert空间H,对映射Φ:RdL→H有
(3) |
式中dF是H空间的维度.本文选取的核函数分别为:
线性核函数:K(x, xi)=x·xi;
高斯径向基函数 (RBF) 核函数:K(x, xi)= exp
KPCA算法的本质就是通过线性映射Φ将数据样本X={x1, x2, …, xn}映射到特征空间F上.即φ:x∈X→φ(x)∈F(其中称φ(x) 为x对应的核样本),然后再对数据集φ(X)={φ(x1), φ(x2), ..., φ(xn)}进行PCA.
在前文已经讨论过了数据中心化的问题,在这里假设数据核样本满足中心化的条件,即满足 (4) 式:
(4) |
然后根据式 (5) 求出其协方差矩阵C为
(5) |
(5) 式求解出矩阵C的特征值λ1, …, λn和其对应的特征向量v1, …, vn∈F.
然后根据再生核理论,存在一组系数αi(i=1, 2, …, n) 满足:
(6) |
然后根据式 (7) 定义一个n×n的核矩阵Ki, j,同时满足:
(7) |
(8) |
其中α =(α1, α2, …αn)T,因为为了求得系数,问题的关键就在于特征值分解核矩阵K.
设λ1, …, λk>0(k≤n) 为式 (8) 前k个特征值,其对应的特征向量为α1, α2, …, αk,根据式 (6) 可以求出特征空间F中的主轴方向v1, v2, …, vk的表达式.
另外,为归一化主轴方向vk,需要αk满足λk(ak)TαK=1.考虑到式 (4) 的假设,我们需要对核矩阵K按照式 (9) 进行修正处理换,得到K为
(9) |
其中,In为n×n矩阵,且 (In)i, j=
根据式 (6) 可以知道,对于任意一个地震数据样本x, 它在F中的第K个主分量为
(10) |
其中
提取绕射波信息的数据主体是地震数据,由于地震数据十分庞大,并且所有类型的主成分分析算法本身都会涉及到了对矩阵求解特征值的问题,所以直接对地震数据本身处理运算量太大,运算时间太长.因此本文在具体操作之前,首先要利用所提供的地震数据构建数据样本模型 (Reshef and Landa, 2009).
2.1.1 地震数据体模型扩充对于一般的地震数据都会包含线数,每一线的道数,每一道的样点数这三部分信息.本文具体建模的过程主要分为2步,以一下一组地震数据为例.
假设有一组地震数据:
1) 有N条测线.
2) 每条线有M个地震道.
3) 每一道有L个采样数据.
首先将要进行提取绕射波的地震数据看作一个N×M×L的一个三维数组,如图 1。因为为了将大型的地震数据分解成一个个小的数据体,本文在下一步的工作中要引入滑动时窗,即人为的设定一个边上有2K+1个点的立方体点阵,从地震数据模型的一个顶点开始,沿着设定好的步长s,逐个从大的地震数据模型上取下来小的地震数据立方体点阵,然后对其进行二维数组转换,使其可以被提取特征值和特征向量,进行KPCA算法的实现.所以为了使边界上的地震数据可以得到处理,需要人为的将这个三维数组进行扩展,将所有边界扩充半个滑动时窗的宽度,假设选取的滑动时窗宽度为2K+1,最终会得到一个 (N+2K)×(M+2K)×(L+2K) 三维数组.
构建好地震数据模型之后,将得到的三维数组进行边界值填充,即依次沿着三个维度对地震数据体使用边界值对其进行填充,将补充的部分分别按照顺序赋值为地震数据的边界值, 具体步骤如图 2至图 4.
通过对地震体进行扩充,我们得到了一个三维矩阵,实际上来说是一个 (N+2K)×(M+2K)×(L+2K) 的三维点阵.我们因为引入了滑动时窗,所以沿着设定好的步长s,从数据体顶点开始,对地震数据体进行扫描,每次扫描便得到一个 (1+2K)×(1+2K)×(1+2K) 的三维数组,也可以说是一个三维点阵,但是由于地震数据之间的相干性,我们又不能直接使用小的立方体点阵进行KPCA处理,所以在此之前还要进行最后一步.
2.1.3 将立方体点阵转化成KPCA可处理的二维矩阵我们假设一个立方体点阵,每条边上有2K+1个点,其中2K=2a+2b(a, b都是大于等于1的正整数).首先给出两个假设结论:
假设1:假设已知一个各边分别都由2a+2b+1个点组成的一个立方体点阵,如果我们想在这个点阵中取出各边由2a+1个点组成的立方体点阵,那么通过计算可以知道,一共有 (2b+1)3种不同的选取方式.
假设2:如果在假设1的基础上,我们想使选取出来的每一个新的边由2a+1个点组成的点阵都包含了原点阵的中心点,通过计算和推理我们可以得出结论b≤a.
在之前假设的前提下,我们在 (2a+2b+1)×(2a+2b+1)×(2a+2b+1) 的三维数组中,对其中心点处的地震数据进行主成分分析.所以我们有 (2b+1)3种不同的选取方案使选取出的点阵中包含中心点数据,每一个点阵中又包含了 (2a+1)3个采样点.所以为了对中心点的地震数据进行PCA或者KPCA,那么 (2b+1)3可以看作中心点地震数据的样本维数d,(2a+1)3可以看作中心点地震数据的样本个数M.
所以转换之后的d×M二维矩阵可以直接使用PCA和KPCA进行主成分分析提取.这种选取方式的本质就是在一个 (2a+2b+1)×(2a+2b+1)×(2a+2b+1) 的立方体点阵,为了建立起中心点出的地震数据和周围数据的关系,我们可以将数据按照 (2a+1)×(2a+1)×(2a+1) 的立方体点阵进行分割,其中要满足假设2,即b≤a.由于前提确保了每一个小的点阵中都包含了中心点,所以每一种分割出来的点阵都相当于对于中心点地震数据模型的一个样本维度,而每一个点阵中所有点地震数据点,又相当于这组数据模型的一个样本,所以在对其进行主成分分析的过程,本质上就是使用少数P个 (2a+1)×(2a+1)×(2a+1) 的立方体点阵代表整个 (2a+2b+1)×(2a+2b+1)×(2a+2b+1) 的立方体点阵,从而达到提取出主成分和次成分的目的.
由于无论是PCA还是KPCA这类主成分分析法中都涉及到了矩阵求取特征值和特征向量的运算,而矩阵特征值和特征向量运算的时间复杂度是n^3.所以选择适当的参数对于提高计算机运算速度,降低运算时间有着重大的意义,同时这对于此方法能否应用在实际的地震数据中起到了关键性的作用.
2.2 使用基于核的PCA方法提取绕射波信息的步骤使用KPCA方法提取绕射波信息,前期的处理与PCA方法一样,在进行地震数据样品模型的构造之后,作用于d×M二维地震数据矩阵上.
使用KPCA提取绕射波信息的具体操作如下:
1) 将地震数据的三维数组转换成一个d个指标 (每个指标有M个样品) 的地震数据二维矩阵A公式为
2) 计算核矩阵,先选定核函数中的参数,然后根据式 (7),计算核矩阵K,公式为:
3) 再通过式 (1.9) 得到修正核矩阵K.
4) 运用Jacobi迭代方法计算K的特征值λ1, …, λM,和其对应的特征向量v1, …, vM.
5) 将特征值按照降序排列λ′1>…>λ′M,对应特征向量进行相应调整得到v′1, …, v′M,然后通过施密特正交化方法单位正交化特征向量,得到a1, …, aM.
6) 然后根据绕射波在地震数据中能量所占的比率,估计特征值的贡献率,提取出前p个主成分a1, …, ap.
7) 最后计算已修正的核矩阵K在提取的特征向量上的投影,所得的矩阵即为提取后的地震数据.
3 模型数据分析为了检验KPCA在绕射波提取方面的效果,本文通过正演运算,构造出碳酸盐溶洞构造模型 (舒梦珵,2014),然后分别使用PCA、KPCA这两种主成分分析法对地震数据中的绕射波信息进行提取,其中,在使用KPCA技术提取的时候,本文选取了两种不同的核函数,分别是高斯径向核函数和线性核函数,在计算高斯径向核函数是本文选取的宽度参数为1000.
3.1 溶洞模型空间尺寸分析本文首先对绕射波对溶洞模型不同的空间尺度响应进行分析,通过使用正演算法构建出不同空间尺度,即不同宽度的额溶洞模型,使用三种方法对这个正演的地震数据进行处理,提取出其叠后的绕射信息并且成像,分析这三种方法对于这类溶洞结构在不同的空间尺度上的分辨能力.
模型的主要参数如下:P波速度为2 km/s;子波频率为25 Hz;子波波长为80 m;溶洞深度为1 km.本节选取了6种不同空间尺度的溶洞正演模型,其中溶洞宽度分别为2λ,λ,λ/2,λ/4,λ/8,λ/16.
通过分析图 5至图 8可以得出,当溶洞的宽度为λ/2时,使用PCA方法和KPCA方法提取的绕射波都可以清晰地分辨出溶洞的边界位置,并且通过仔细观察图 9至图 11,可以得出,使用基于两种不同核函数的KPCA方法提取出来的绕射波的空间分辨率比使用普通PCA提取出来的绕射波要高,边界点识别更加清晰,而且当溶洞宽度为λ/4时,仍可以分辨出溶洞的边界位置,但是PCA方法提取出的绕射波已经无法对其进行识别.
但当溶洞宽度小于等于λ/8时,使用PCA方法和KPCA方法提取出的绕射波都只能分辨出溶洞的空间位置而不能分辨其边界位置,绕射波从边缘绕射特征变成了点绕射特征.
同时,通过对两种使用不同核函数的KPCA方法得出的实验结果进行比对,可以发现其对绕射波信息的提取效果基本相同,因此在对地震数据中绕射波提取方面,这两种基于这两种核函数的KPCA方法提取效果并没有什么差别.
因此得出结论,相对于PCA方法,使用KPCA可以识别出水平宽度更小的溶洞模型.
3.2 溶洞模型埋藏深度分析本节探索这三种不同的绕射波提取方法在不同埋藏深度及横向宽度的溶洞正演模型中的响应,从而分析三种方法对这些模型的分辨能力.下图构建了一个不同深度溶洞模型的偏移剖面,其中模型的横向宽度和反射系数随着埋藏深度的增加而减少.
这个模型的主要参数为:纵波速度为2 km/s; 子波主频为25 Hz; 波长为80 m, 溶洞垂向间隔为100 m, 溶洞面反射系数从上至下为1.0至0.3.
通过分析图 12至图 15,可以直观的看到对于溶洞垂向分布的模型,当溶洞宽度为λ时,使用PCA方法和KPCA方法提取出的绕射波都可以分辨出溶洞的边界,并且使用KPCA方法提取的绕射波,边界点识别的更加清晰,分辨率更高.但当溶洞宽度小于λ时,如图 16所示,使用PCA方法提取出的绕射波已经无法分辨出溶洞的边界,绕射波也从边缘绕射特征变成了点绕射特征,而使用KPCA方法提取出的绕射波仍然可以清晰地识别出溶洞的边界位置.
通过本节对于正演模式数据进行分析和实验,不难发现使用KPCA方法提取出来的绕射波信息相对于PCA方法提取出的绕射波,其优点在于绕射分辨率和分辨能力更强,显示出来的地下缝洞结构更加清晰.并且通过对使用基于高斯径向核函数和线性核函数这两种不同核函数的KPCA方法的实验结果进行分析后,可以发现其对绕射波信息的提取效果基本相同.
4 实例用来验证KPCA方法提取绕射波信息的例子是来自于墨西哥湾数据库的一段叠后的地震数据 (Fomel, 2002; Claerbout, 2005; Fomel et al., 2007),从图 13a中看到由地下不规则裂缝产生的绕射波信息经过倾角时差校正后被保存在叠加的地震道里,但是因为受到强烈的反射波数据干扰,几乎无法把其中的绕射波同相轴分辨出来.图 13b、c、d分别展示了使用PCA、KPCA (核函数为高斯径向核函数,宽度参数为1000)、KPCA (核函数为线性核函数) 三种主成分分析技术提取出来的绕射波信息的示意图.通过观察最终的处理结果,可以从中看出来,三种方法都可以顺利地从地震数据中把绕射波和反射波分离.
并且,从图中可以很明显的看出来,KPCA方法提取的绕射波信息能够更加清晰地描述断层分布和形态.同时,较高地分辨率也能够更好地刻画地下小构造,例如小断点、尖灭点、断层和裂缝等地质体.
5 结论 5.1由于KPCA方法可提供的特征数目和输入样本的数目是相等的,而PCA的特征数目仅为输入样本的维度.所以使用KPCA来提取地震数据中的信息,最大的优势就是可以最大程度地提取指标信息.通过建立各种溶洞的正演模型,并且应用这两种方法提取绕射波信息,通过比较和分析提取结果,可以看出KPCA在提取绕射波信息方面能够提供更加精细的绕射波信息,所提取出来的绕射波分辨率更高,绕射波所显示出来的剖面更加清晰.
5.2同时由于KPCA算法的核心是把低维度的非线性数据映射到高维空间,使之成为线性的数据,然后在高维空间中再使用PCA方法对其降维,所以对于普通PCA不能检测出来的数据中的非线性模式,例如弯曲的同相轴,以及倾斜的界面或者倾斜的同相轴,KPCA方法都可以对其进行处理.
5.3由于KPCA这种方法是基于样本的,计算所需要的时间和内存与输入空间的维数无关,所以在保持数据体维度不变的情况下,缩小数据体的样本数,在保持提取效果基本不变的基础上,可以适当的提高程序运算的时间效率,并且适当的缩短时窗移动的步长也可以弥补缩小样本数所带来的损失.
5.4本文通过分析绕射波提取在地震勘探的重大意义,详细说明了目前比较热门的针对于叠后地震数据绕射信息提取的几种方法,经过反复比较和讨论后选取了PCA方法提取地震数据中的绕射波信息进行研究.通过查阅文献和分析,发现了PCA方法自身的一些理论上的缺陷,即无法提取出样本中非线性的成分,所带来的结果就是针对一些弯曲的同相轴使用PCA方法不能有效的提取出全部的绕射波信息.因此为解决这一问题,我们选取KPCA方法对绕射信息进行提取,通过理论推导和模型实验,我们最终成功的完善了此种方法,使之前的疑问得到了顺利的解决.KPCA方法确实在绕射信息提取的过程中可以更准确的确认出绕射波信息,同时还提高了数据的信噪比,尤其对于一些弯曲的同相轴,有着更高的垂直水分辨率.
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