地球物理学进展  2017, Vol. 32 Issue (2): 584-590   PDF    
标量波Laplace-Fourier域有限差分正演模拟方法
陈浩, 吴国忱, 李美娟     
中国石油大学 (华东) 地球科学与技术学院, 青岛 266580
摘要:正演是反演的基础,有效正确的正演差分格式可以保证反演结果的精度和效率.本文通过声波波动方程域间转换提出标量地震波Laplace-Fourier域数值模拟方法,并推导了同时引入衰减因子和频率的Laplace-Fourier域标量波方程的9点法有限差分格式和Laplace-Fourier域对应的加入PML(perfectly matched layer)吸收边界条件的差分格式,并通过模型试算验证了本文提出的Laplace-Fourier域正演方法的有效性和准确性,通过与时间域正演方法得到的地震记录比较,可以看出该方法能满足正演数值模拟的要求,为下一步进行Laplace-Fourier域标量波全波形反演奠定了基础.
关键词Laplace-Fourier域    有限差分    九点差分格式    数值模拟    PML边界条件    
Scalar wave forward modeling method in Laplace-Fourier domain using finite-difference method
CHEN Hao , WU Guo-chen , LI Mei-juan     
School of Geosciences, China University of Petroleum, Qingdao 266580, China
Abstract: Forward modeling is the basis of the inversion, the effective and correct of the forward difference scheme can ensure the accuracy and efficiency of the inversion results. Based on the transformation between time domain and Laplace-Fourier domain of acoustic wave equation, we came up with the scalar wave forward modeling method in Laplace-Fourier domain, and deduced the 9-point finite difference scheme of the scalar wave equation in Laplace-Fourier domain with the damping constants and the frequency, we also discussed the finite difference scheme that adding perfectly matched layer (PML) in Laplace-Fourier domain. It has been proved that the scalar wave forward modeling method in Laplace-Fourier domain using finite-difference method we proposed is effective and accurate by the numerical modeling test. Also, compared with the seismic record that obtained from the forward modeling method in time domain, it can be seen that this method can meet the requirements of the forward numerical simulation, and lay the foundation of the scalar wave full waveform inversion in Laplace-Fourier domain.
Key words: Laplace-Fourier domain     finite-difference     9-point finite difference scheme     numerical simulation     perfectly matched layer    
0 引言

正演模拟是地震勘探方法中非常重要的一项技术.地震正演模拟就是求取地震波在已知的地下地质模型中的传播规律, 包括传播时间、路径、能量等.通过模型正演, 可以正确认识地震波在复杂介质中传播的运动学和动力学特征, 准确地分析地下地质构造所产生的反射地震波场特征.在人工给定的地质模型中进行正演得到的规律能够增进人们对未知模型的认识, 从而有助于地质问题的解决.迄今为止, 地震波场数值模拟的理论基础主要有射线理论和波动方程理论, 射线理论主要刻画地震波在介质中传播的运动学属性如走时场、地震射线等;波动方程理论通过求解波动方程而描述地震波在介质中传播的动力学属性如能量衰减、全波型、相位、波阻抗界面等;基于波动方程理论的地震波场数值模拟方法主要有有限差分法、伪谱法、有限元法、谱元法、边界元法等.

有限差分法是偏微分方程的主要数值解法之一,在各种数值模拟方法中, 最早出现的就是有限差分法.有限差分法是一种最常用的正演模拟方法, 现已比较成熟, 正向提高精度的方向发展.20世纪70年代初, Alterman和Loewenthal (1970)首先将有限差分法应用于地震波动方程模拟中, 之后, Alford等 (1974)研究了有限差分法的精度, Virieux (1986)提出了稳定的二阶 (空间和时间) 弹性波有限差分格式, 它适用于任何泊松比的介质, Levander (1988)将Virieux的方法推广到空间四阶、时间二阶的情况.Crase (1990)则发展了精度可达任意阶的高阶交错网格法, 但其计算量和内存要求比低阶有限差分法大幅度增加.Magnier等 (1994)提出了最小网格有限差分法, 它能压制非最小网格的人为现象.周家纪和贺振华 (1994)用大网格快速差分算法模拟地震波的传播, 其空间网格可以取得很大, 达到每最短波长只需3个网格点, 大大缩短了计算时间.

Alterman等人实际上得到的是均匀介质弹性波数值解, 只在内界面运用了应力和位移连续的内边界条件, 使得波能通过弹性界面传播, 对于结构复杂和不规则的岩性层面, 必须使用适应非均匀介质模型的方法, 即自动满足内界面处应力和位移连续的有限差分格式. Boore (1972)提出了非均匀介质二阶弹性波有限差分方法, Kelly等 (1976)改进发展了这一方法.Madariaga (1976)提出了非均匀介质速度-应力弹性波方程组交错网格有限差分方法, Virieux (1984, 1986) 利用这一格式完成了对弹性介质的P-SV和SH波的速度-应力方程组的正演计算, 成为弹性波数值模拟的经典之作.Igel 等人 (1995, 1996) 实现了各向异性介质交错网格有限差分波传播模拟, 1996年他又在柱坐标和球坐标下实现了有限差分模拟.国内也有很多学者 (王秀明等, 2003王德利和何樵登, 2005) 将这一格式运用到波场模拟中, 揭示了波在地下传播的一些特性.为了适应地下介质多尺度非均匀性和不规则自由边界, 避免局部采样过疏或过密的问题, 后来又发展了一系列不规则网格的有限差分模拟 (Jastrama and Behle, 1992; Jastrama and Tessmer, 1994; Falk et al., 1996, 1998; 杨顶辉等, 1996张剑锋, 1998张剑锋和刘铁林,2000).Carcione和Tinivella (2001)一直致力于黏弹性、各向异性、孔隙多相流体介质地震波传播的研究和数值模拟, 他在2002年发表在Geophysics上的文章是对数值模拟技术现状很好的总结.

Tal-Ezar等 (1990)研究了线性黏弹性介质中地震波传播的数值模拟方法; Robertsson等 (1994)给出了黏弹性波有限差分模拟方法; Carcione和Helle (1999)提出了孔隙黏弹性介质中地震波传播的交错网格有限差分模拟方法.一般的有限差分地震模拟方法是基于笛卡儿坐标系中的规则网格, 在模拟复杂地质构造和复杂地质体的复杂界面时, 必然会出现弯曲边界, 在这种边界上必然会引起人为的虚假绕射波, 为了减弱这种虚假绕射, 就必须采用精细网格, 而这不仅会导致存储量的增加和计算量的加大, 而且会带来误差的积累.为此, 人们发展了基于可变网格和不规则网格的地震波数值模拟方法.Jastram和Tessmer (1994)提出了垂直间距可变网格的弹性波模拟方法; Opršal和Zahradník (1999)提出了非均匀介质弹性波的矩形不规则网格有限差分模拟方法; Nordstörm和Carpenter (2001)提出了曲线坐标下变形网格高阶有限差分法地震波数值模拟方法.随着地表复杂区地震勘探的发展, 起伏地表地震波数值模拟技术受到了越来越多的关注和重视.董良国等 (2000)运用高阶差分法, 通过交错网格技术, 对一阶速度-应力弹性波方程进行了数值求解, 并进行了算法稳定性分析.孙若昧等 (2000)采用多阶振型和有限差分联立的混合法, 模拟了1976年唐山地震所引起的北京西集-郎府地区的剪切波运动.Yang等 (2002)提出一种基于矢量和矩阵在二维各向异性介质中应用的快速有限差分方法, 并得到了稳定性方程.殷文等 (2006)采用25点优化差分算子, 再根据最优化理论求取的优化系数, 建立了频率空间域中弹性波方程的差分格式, 有效地克服了常规差分算子的数值频散.王一博和杨慧珠 (2006)采用紧支集正交小波基对空间域进行多尺度离散, 采用二阶精度有限差分算子对时域离散, 推导得到了多尺度有限差分方法正演模拟的递推公式, 并实现了相应的波传播过程的数值模拟.

地震数值模拟方法是对在地下各种介质中传播的地震波进行模拟,并对其传播过程进行分析的一种数值分析方法.高精度、高效率,低成本的数值分析方法,尤其受到大家的关注.地震数值模拟方法可以在时间域和频率域实现,相比而言,时间域正演精度高,但是由于其时间递推的思想,当时间采样点较多时,会产生误差累积,Taramola (1984)最早提出基于广义最小二乘反演理论的时间域全波形反演方法将时间域正演引入到波形反演中;而频率域正演是对空间域所有网格整体计算波场,误差会分配到各个网格点上,并且不同频率的系数矩阵相对独立,特别适合并行加速, 频率域正演模拟最初由Lysmer和Drake (1972)提出;进而Marfurt (1984)指出频域-空间域正演不存在稳定性问题,而且适合大量炮点的同时模拟;基于该思想,Pratt (1990)率先将频率域正演引入到波形反演中.

本文提出的Laplace-Fourier域正演与频率域正演较为接近,Laplace-Fourier域正演通过声波波动方程域间转换同时引入衰减因子σ和频率ω,而频率域正演只引入了频率;通常频率域波形反演由于地震低频信号缺失,难以恢复低频信号,从而使得反演结果的低频信息缺失或不准确;而当将同时引入衰减因子σ和频率ω的Laplace-Fourier域正演引入Laplace-Fourier域全波形反演中,其中衰减因子σ的引入能对频率谱进行改造,增强低频信号,有利于低频信息的恢复,频率ω的引入能实现多尺度反演.本文通过模型试算验证了本文提出的Laplace-Fourier域正演方法的有效性和准确性,通过与时间域正演方法得到的地震记录比较,可以看出该方法能满足正演数值模拟的要求,证明了其有效性和准确性,为下一步进行Laplace-Fourier域波形反演奠定了基础.

1 Laplace-Fourier域数值模拟方法原理 1.1 Laplace变换

古典傅里叶变换的无限绝对可积及狄利克雷条件在现实中往往难以满足,使其在实际应用中受到一定限制.拉普拉斯变换,可以看做一种带有衰减作用的特殊傅里叶变换,时间域的拉普拉斯变换可以表示为

(1)

式中:u为Heaviside函数;s=σ+iωσ为衰减常数;ω为频率;e-σt为指数衰减函数.物理学和工程技术中的大多数函数都能够满足拉普拉斯变换存在定理的条件,这为拉普拉斯变换的广泛应用提供了保障.

1.2 标量波隐式差分格式的构造

声波波动方程为

(2)

式中:U为波场函数;t为时间;v为速度;∇2为拉普拉斯算子;f为震源函数.

对上式两边同时做Laplace变换得到Laplace-Fourier域各向同性介质中的标量波方程为

(3)

式中:P(x, z, s) 为Laplace-Fourier域波场函数;s=σ+ωi;k=;∇2为速度;为拉普拉斯算子;F(x, z, s) 为Laplace-Fourier域震源函数.

本文采用9点法差分格式,利用差分法求解方程 (l) 的关键是对拉普拉斯算子构造合适的差分格式.通常采用十字交叉褶积算子代替拉普拉斯算子来构造差分格式, 但由此得到的差分格式精度低, 数值频散大.为此, Churl-Hyun等 (1996)将45°旋转坐标系和角度加权系数引人差分格式构造 (图 1).

图 1 9点法差分格式网格示意图 (a)0°方向上;(b)45°方向上;(c)0°和45°方向上的结合. Figure 1 9-point finite difference computational grid (a)0°orientation; (b)45°orientation; (c) The combination 0° orientation with 45° orientation.

9点法差分格式的构造主要包括三个方面:45°旋转坐标系, 平均质量加速项和优化系数 (Jo et al., 1996);9点法差分格式它将均匀各向同性介质中Laplace-Fourier域标量波动方程中拉普拉斯算子项∇2P表示成0°坐标系和45°坐标系下的加权,并将质量加速度项s2P/v2也用∇ P差分格式中对应点加权,用最优化方法寻找到最优加权系数,这样构造的最优9点格式在保证所需精度的前提下大大减少了一个波长内所需的剖分网格点数,从而减少了计算量.

首先对坐标系旋转45°,拉普拉斯算子用0°坐标系和45°坐标系表示为

(4)

式中:

对方程 (4) 使用二阶有限差分, 我们可以得到:

(5)

式中:Δ=Δxz为网格间距,Pm, n代表[xm, zn]=[x0+(m-1)∇x, z0+(n-1)Δz]处的波场值.

根据Marfurt (1984)的研究, 质量加速项s2P/v2可以表示为差分格式中9点的加权平均, 考虑到加权对称性并依据各点到中心点的距离划分, 可以得到:

(6)

式中:c+4d+4e=1

将 (5) 式和 (6) 式代入 (3) 式得九点法差分格式为

(7)

可以令:

则方程 (7) 可化简为

(8)
1.3 Laplace-Fourier域PML吸收边界条件

对于Laplace-Fourier域数值模拟, 边界条件的构造尤为重要, 由于每一个频率和衰减因子的数值模拟都包含了所有传播时间的波场信息, 如果边界条件构造得不合适, 就会产生较强的边界反射, 本文采用最佳匹配层 (PML) 吸收边界条件,它最初是由Berenger (1994)在电磁学中提出,其主要思想是在研究区域四周加上由幂函数或余弦函数组成的PML吸收层,使边界上传入吸收层的波随传播距离呈指数衰减,其衰减效果好,对于压制边界反射比旁轴近似的吸收边界条件要优越很多.我们从加入PML衰减项的波动方程出发,公式为

(9)

式中:UxUz表示位移函数,qxqz为质点速度,dx和dz为衰减系数,通常表示为

式中:f0是震源子波主频,a0是一常数,经验取值为1.79,LP是PML边界的厚度,li为到内部边界的区域.

将 (9) 式两边同时作Laplace变换得到加入PML衰减项的Laplace-Fourier域波动方程为

(10)

设不加PML边界条件的空间变量为和, 则同理可得相应的未加入PML衰减项的Laplace-Fourier域波动方程为

(11)

对比 (10) 式和 (11) 式可得, 引入匹配层后的空间偏微分算子可表示为

(12)

令: 则有:

(13)

将 (13) 式代入 (3) 式得得到匹配层声波波动方程为

(14)

由 (14) 式可按同样原理构造声波方程在匹配层的9点差分格式为

(15)

式中:

当波由内部区域过渡到匹配层时, 系数exez由1逐渐减小, 波场逐渐衰减.最后采用直接法求解有限差分方程得到不同频率不同衰减因子的波场值.

2 模型试算

为了验证Laplace-Fourier域有限差分法数值模拟是否满足正演模拟要求, 我们采用直接法求解旋转坐标系下的9点法有限差分格式对洼陷模型进行了声波方程模拟试验.

2.1 洼陷模型波场模拟

采用的速度模型网格为400×400, 空间采样间隔为Δxz=5 m,时间采样间隔为0.5 ms, 炮点位于 (500 m,0 m) 处, 检波器位于地表 (图 2a), 采用PML吸收边界条件,震源采用主频为30 Hz的Ricker子波,模拟的频率范围为1~50 Hz, 共计算了256个频率切片.从单频切片 (图 2b) 上可以看出, 地震波的传播规律得到了很好的反映,在介质的分界面上人射波、反射波和透射波清晰可见, 在入射波上产生的扰动是反射波与入射波相互干涉所致.从波场快照 (图 2C图 2d) 上可以看出, 利用反Laplace变换将地震数据变换到时间域, 波场特征保持良好,分界面处波前面出现了凸凹现象, 这是介质速度不同所致,采用的Laplace-Fourier域PML吸收边界条件效果良好,很好的压制了边界反射.

图 2 洼陷模型波场模拟 (a) 速度模型;(b)30 Hz稳态波场;(c)300 ms的波场快照;(d)400 ms的波场快照. Figure 2 Wavefield forward modeling of hollow model (a) Velocity model; (b)30 Hz monochromatic wavefield; (c) The snapshot at 300 ms; (d) The snapshot at 400 ms.

图 3为对洼陷模型分别采用本文的Laplace-Fourier域正演方法计算得到的地震记录 (图 3a) 和时间域正演方法计算得到的地震记录 (图 3b);可见, 两张地震记录的反射时间和同相轴基本一致, 效果相差无几,边界反射和频散也都得到了很好的压制.

图 3 洼陷模型正演记录 (a) 本文的Laplace-Fourier域正演方法得到的地震记录;(b) 时间域正演方法得到的地震记录. Figure 3 Forward modeling result of hollow model (a) The seismic record acquired by the forward modeling method that in Laplace-Fourier domain using finite-difference method; (b) The seismic record acquired by the forward modeling method in time domain.
3 结论

本文通过对时间域声波方程做Laplace变换得到Laplace-Fourier域标量波方程,并综合利用加权平均算子、平均加速度项和PML吸收边界条件三项技术,提出并推导了同时引入衰减因子和频率的Laplace-Fourier域标量波方程的9点法有限差分格式和对应的加入PML吸收边界条件的差分格式,并通过模型试算验证了本文提出的Laplace-Fourier域正演方法的有效性和准确性,通过与时间域正演方法得到的地震记录比较,可以看出该方法能满足正演数值模拟的要求,为下一步进行Laplace-Fourier域标量波全波形反演奠定了基础.

致谢 感谢审稿专家提出的修改意见和编辑部的大力支持!
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