0 引言

卫星重力梯度测量 (SGG) 是恢复高阶静态地球重力场最有效的手段之一，其采用差分加速度的测量原理，通过搭载于卫星上的核心载荷——重力梯度仪直接测量轨道高处重力加速度的一阶导，即重力梯度张量，来获取全球高阶重力场信息.2009年，ESA发射了人类第一颗基于卫星重力梯度测量技术模式的GOCE卫星 (ESA，1999；Silvestrin，2005；Floberghagen et al., 2011)，在以前卫卫跟踪模式 (SST) 的基础上，GOCE将全球重力场探测的空间分辨率提升至100 km (200阶) 左右.

SGG测量精度目前主要受限于核心载荷静电重力梯度仪的测量噪声.要提高SGG精度，首先要发展更高精度的星载重力梯度仪.GOCE卫星上的静电重力梯度仪由六个高精度静电加速度计组成，该静电重力梯度仪的噪声主要取决于静电加速度计的测量分辨率.对于GOCE而言，静电重力梯度仪的设计分辨率为6 mE/Hz^1/2(While et al., 2006；Drinkwater et al., 2007；Bortoluzzi et al., 2010；Siemes et al., 2012)(1E=10^-9/s²)，在0.5 m的测量基线长度下，每个加速度计对应的测量分辨率为2×10^-12m/s²/Hz^1/2，该指标目前主要依赖于加速度计探头的机械热噪声和动态范围的设计.一方面，若改进静电加速度计敏感探头以及动态范围的设计，则静电重力梯度仪的测量分辨率可望进一步提升.另一方面，可发展其他类型的高精度重力测量载荷.因此，挖掘静电重力梯度仪的极限测量精度以及考虑新型的星载重力梯度仪对于提升SGG测量精度具有重要意义.

在该背景下，本文首先从静电重力梯度仪的工作原理与静电控制特性出发，分析静电式重力梯度仪测量精度的根本受限因素，探讨该类型重力梯度仪的极限测量精度；其次，给出未来星载重力梯度仪的发展建议，对于完善50~100 km空间分辨率的全球重力场模型提供另一种可能的技术途径.

1 星载重力梯度仪测量原理

星载重力梯度仪是卫星重力梯度测量的关键载荷，以GOCE卫星为例，其搭载的是静电式的重力梯度仪，静电重力梯度仪由三对相距0.5m的高精度静电加速度计沿卫星质心对称放置组合而成，三对静电加速度计相互正交，构成三轴的静电重力梯度仪，如图 1所示.

对于每个静电加速度计而言，它主要由机械敏感探头 (惯性检验质量、电容极板)、电容位移传感和静电反馈控制电路等部分组成.检验质量与电容极板的相对运动会被电容位移检测电路获取，随后通过控制电路给出反馈电压组合，施加到相应的电容极板上，通过反馈电压产生静电力将检验质量拉回到其平衡位置，如图 2所示.

每个静电加速度计测量的是悬浮的检验质量与卫星框架之间的相对加速度，其输出用施加在检验质量上的反馈电压V_f来表征，即

(1)

其中H_a为加速度计静电执行机的灵敏度系数 (即反馈电压到输出加速度的传递函数).

卫星重力梯度测量即基于差分加速度测量原理，通过六个加速度计之间观测量的差分组合获取重力位V的二阶导数 (祝竺和周泽兵，2012；祝竺等，2015)，即重力梯度张量为

(2)

2 静电重力梯度仪的潜在分辨率讨论

GOCE静电重力梯度仪分辨率的设计结合了重力场探测的科学目标要求和在测量频带内实现白噪声的技术能力，为保证可靠性，其核心部件单个静电加速度计的分辨率设计留有一定的可提升空间，因此挖掘静电重力梯度仪的潜在分辨率是提升卫星重力梯度测量精度的重要途径.

2.1 静电重力梯度仪测量精度的根本受限因素分析

静电重力梯度仪的测量灵敏度主要取决于核心部件静电加速度计的测量噪声.以对角梯度分量V_ii(i=x, y, z) 为例，设单个静电加速度计的内部测量噪声为δa_out，则其贡献梯度仪的测量精度δV_ii可写为 (祝竺和周泽兵，2012)

(3)

其中l_i表示i方向的基线长度 (GOCE卫星中l_i=0.5 m)，Δa为每对加速度计的差分测量加速度.

加速度计内部噪声主要包括机械探头噪声和电路噪声，可表示为

(4)

2.1.1 机械探头噪声极限

对于机械敏感探头部分，测量精度从根本上受限于导电金丝阻尼引起的机械热噪声，根据耗散涨落理论，该噪声可表示为

(5)

其中T=293 K为环境温度，k_B=1.38×10^-23 J/K为波尔兹曼常数，ω=2πf为测量带宽内的频率，m_TM为机械探头检验质量的质量.Q为金丝的品质因数，k_wire为金丝的刚度系数.对于一根直径为5 μm，长度2 cm的金丝来说，Q在5 mHz~0.1 Hz的测量频带内约为260(Liu et al., 2012)，k_wire约为3.6×10^-6 N/m.

目前GOCE加速度计检验质量采用的是铂铑合金材料，选择的形状是4 cm × 4 cm × 1 cm的扁形长方体，这样的设计是为了在地面测试中，便于让检验质量克服地球1 g重力加速度而实现悬浮.根据 (5) 式可知，机械热噪声随检验质量的质量增大而降低.因此在讨论极限噪声时，这里考虑将检验质量改进为4 cm×4 cm×4 cm的立方体设计，立方体的检验质量增大至m_TM=1.28 kg，一方面直接降低了金丝阻尼引入的机械热噪声，另一方面可以降低部分环境噪声，进一步保证加速度计的测量精度.此时导电金丝阻尼引起的机械热噪声在5 mHz~0.1 Hz的测量频带内不超过6.6×10^-14 m/s²/Hz^1/2，根据 (3) 式，其贡献的梯度仪极限噪声约为0.2 mE/Hz^1/2.

2.1.2 电路噪声极限

对于电路部分，噪声主要包含电容位移传感噪声和反馈控制电压噪声.其中位移传感噪声可做到1 pm/Hz^1/2，且可通过提高前端变压器的Q值等手段进一步降低 (Zhu et al., 2013)，而测量灵敏度的根本限制来源于静电反馈控制电压噪声.由 (1) 式可知，施加在检验质量上的反馈电压噪声δV_f直接贡献加速度计的内部测量噪声，可写为

(6)

在通常的反馈回路中，δV_f会受到电压放大器以及数模转换的噪声的限制.为抑制该部分噪声的影响，可通过一个高精度的ADC直接对施加在电容极板的反馈控制电压进行高精度采集，如图 2所示.此时反馈电压噪声δV_f主要由ADC器件的输出电压噪声V_{n, AD}来表征，即δV_f =V_{n, AD}.一般而言，ADC器件的输出电压噪声V_{n, AD}根本上受限于ADC的量化噪声，其量化台阶为Δ=1LSB=2V_ref /2^N，V_ref为参考电压，N为ADC的转换位数.设有效输出带宽为f_s，则量化噪声谱密度为

(7)

上式中，为实现ADC器件不失真的模数转换，ADC的参考电压V_ref不应小于施加在加速度计电容极板上的最大反馈电压V_{f, max}，即V_ref≥V_{f, max}.在讨论极限灵敏度的情况下，令V_ref=V_{f, max}，则带入 (6) 式，可得

(8)

其中等式最右边H_aV_{f, max}=a_{out, max}为加速度计的量程 (测量范围).因此上式可写为

(9)

从上式可以看出，静电加速度计的极限电路噪声与加速度计的测量范围a_{out, max}、反馈控制环节ADC的转换位数N以及有效带宽f_s有关.

卫星飞行在250 km的轨道高处，对于对角梯度分量测量而言，理论上加速度计测量的最大信号约为1×10^-6 m/s²(Zhu et al., 2013)，而GOCE搭载的静电加速度计其动态范围设计值为6.5×10^-6 m/s²，比理论的最大加速度输入信号大了6倍左右，因此可以通过降低加速度计的测量范围，提高静电重力梯度仪的测量精度.为了能够长时间的采集全球重力梯度场的信号，在进行静电加速度计的量程设计时，必须考虑到加速度计的偏值以及在轨受到的一些不可知的加速度扰动.基于此，我们可根据GOCE在轨实测的加速度输出数据来评判最大的加速度信号.由GOCE实测的加速度输出L1b数据可知，V_xx、V_yy、V_zz这三个对角梯度分量测量所对应的加速度计测量轴的输出不超过1.5×10^-6 m/s²(Zhu et al., 2013)，因此这里我们设计静电加速度计的极限量程为a_{out, max}=1.5×10^-6 m/s².

对于反馈控制环节的ADC采集系统而言，根据AD公司提供的元器件选型，目前ADC的最大转换位数为N=24 bit，根据重力场反演阶数与测量频带的要求，加速度计ADC采集系统的输出f_s=1 Hz.这里选取和GOCE梯度仪同样的基线长度，即l_i=0.5 m，则根据 (3) 式，在250 km的轨道高度，电路部分贡献的静电梯度仪的极限测量精度约为0.2 mE/Hz^1/2.

2.2 小结

由前文分析可知，静电重力梯度仪的潜在测量精度主要取决于机械探头噪声和电路噪声组成.机械探头噪声根本上受限于导电金丝阻尼引起的机械热噪声，通过选择高Q值的金丝和大质量的检验质量块，机械热噪声贡献的梯度仪测量精度约为0.2 mE/Hz^1/2；电路噪声根本上受限于静电反馈控制环节ADC器件的输出误差，通过确定加速度计的极限测量范围以及选取高精度的ADC器件，则电路噪声贡献的梯度仪测量精度约为0.2 mE/Hz^1/2.综合两者的贡献，在250 km的轨道高度，静电重力梯度仪的潜在测量精度可达0.3 mE/Hz^1/2，如表 1所示.

值得考虑的是，未来可通过进一步降低加速度计内部噪声来提升静电式重力梯度仪的潜在测量精度，对于敏感探头部分，可通过 (1) 选择合适的材料和探头尺寸来增大检验质量的质量、(2) 考虑采用紫外放电技术替代导电金丝 (Schulte et al., 2009)，来进一步降低机械热噪声极限.对于电路部分，由于加速度计的测量范围受轨道高度处重力梯度值大小的限制，测量范围基本固定，无法进一步降低，因此可考虑通过提高ADC器件的性能 (如研制更高位数的ADC) 来降低电路的噪声极限.同时需深入分析温度、磁场等环境因素引入的加速度扰动，必要时可考虑采取合适的屏蔽和控制手段.

3 下一代新型星载重力梯度仪发展建议

要提高卫星重力梯度测量精度，首先必须发展更高精度的星载重力梯度仪.由前文可知，在250 km的轨道高度，理论上星载静电式的重力梯度仪极限测量分辨率约为0.2 mE/Hz^1/2.尽管如此，但实际工程研制过程中，受静电加速度计电路低频1/f噪声、机械探头加工精度、电容极板和质量块间接触势效应等因素影响，静电重力梯度仪研制难度非常大，GOCE卫星梯度测量精度指标也因此一再修改，从初期的4 mE/Hz^1/2(ESA，1999)，改为发射前的6~7 mE/Hz^1/2(Drinkwater et al., 2007)，而实际在轨结果仅为10~20 mE/Hz^1/2(Rummel et al., 2011).因此，寻求新型的测量载荷是未来提升重力场探测空间分辨率的重要技术途径之一.

目前国际上重力梯度仪的类型除了静电式的以外，还有超导重力梯度仪和原子干涉重力梯度仪.但是超导重力梯度仪依赖于低温环境 (Paik，1994)，体积庞大，结构复杂，技术成熟度尚未达到工程化，而原子干涉重力梯度仪动态范围大，虽然在地面上测量精度有限，但在空间微重力环境下，原子处于悬浮状态，因此具有很高的潜在测量精度 (Yu et al., 2006；翟振和吴富梅，2007)，且NASA与ESA均已开展了便携式星载原子干涉重力梯度仪样机的研制工作 (Yu et al., 2006；Sorrentino et al., 2010)，拟用于未来相关计划的搭载，标志着原子干涉型的星载重力梯度仪正逐步从实验研究走向工程应用.因此，可考虑发展星载原子干涉重力梯度仪作为未来卫星重力梯度测量的核心载荷.

3.1 原子干涉重力梯度仪的空间测量优势

原子干涉重力梯度仪基于激光与原子相互作用，通过磁光阱 (MOT) 将原子冷却囚禁后上抛，形成两个空间相隔一定距离的两团原子，通过相同干涉光进行操控，使得这两团原子同时进行干涉过程，构成两个等效的原子干涉重力仪，测量出这两个原子干涉仪的相移差Δφ来获取相距L位置处的加速度之差Δa，进而得到该距离方向上的重力梯度分量 (吴琼等，2013；王晓海，2015)，如图 3所示.

原子干涉重力梯度仪的测量灵敏度与激光脉冲间隔T的平方成反比，由于地面存在1 g重力加速度，因此受仪器尺寸的限制，T一般只能在几百毫秒，因此目前地面能够实现的测量精度约为3 E/Hz^1/2(McGuirk et al., 2002；段小春，2011)；而在空间微重力环境下，原子接近悬浮状态，间隔T可以很容易增大到秒甚至数十秒的量级，有非常大的空间测量优势：一方面，使得星载重力测量的精度大大提高 (Yu et al., 2006；徐震等，2008)；另一方面，可有效缩短作用区真空腔长度 (Sorrentino et al., 2011)，利于星载装置的小型化.

因此，星载原子干涉重力梯度仪在地球重力场测量方面存有巨大潜力，目前已受到国外专家的广泛关注 (Yu et al., 2006).NASA量子科技团队指出，星载原子干涉重力梯度仪的测量精度将明显优于目前GOCE卫星搭载的静电重力梯度仪的测量精度水平 (Yu et al., 2006；Sorrentino et al., 2011).

3.2 星载原子干涉重力梯度仪的潜在测量灵敏度分析

由3.1节可知，原子干涉重力梯度测量采用差分加速度的测量原理，由于不同位置处的重力加速度不同，可以使得在同一方向上不同原子团与激光发生干涉，通过测定干涉相位差Δφ获得同一方向上的差分加速度Δa，即

(10)

其中Δ a是待测的差分加速度，k _eff是Raman激光脉冲的有效波矢，T是激光脉冲间隔.根据上式，待测的差分加速度可写为

(11)

此时根据 (3) 式，重力梯度V_ii(i=x, y, z) 的测量分辨率可写为

(12)

由上式可知，重力梯度的测量分辨率ΔV_ii直接取决于原子干涉重力梯度仪的相位分辨率δ(Δφ)，而量子投影噪声是原子干涉重力梯度仪测量分辨率的根本限制 (Amelino-Camelia et al., 2009)，量子投影噪声与原子数N的平方成反比，因此在条纹对比度100%的理想情况下，相位分辨率可表示为 (Sorrentino et al., 2010, 2011；Le Coq et al., 2012)：

(13)

采集的原子数可高达10¹⁰个 (Maleki et al., 2004)，按照选态时损失一个量级计算 (即N=10⁹)，则干涉仪的相移分辨率δ(Δφ) 可达到0.03 mrad的水平.以⁸⁷Rb原子为例，拉曼光中的两束光波长约780 nm，则两束光的波矢k₁=k₂=2π/780 nm，有效波矢k_eff=2k₁=2π/390 nm.在微重力环境下原子悬浮，原子平均速率为0，时间T仅受限于热运动的扩散速率，因此在作用区真空腔内，T可达到数十秒以上 (Sorrentino et al., 2011).由原子干涉重力梯度仪测量的原理可知，完成一次原子干涉测量的时间T_atom=2T，考虑到重力场恢复频段以及数据采样频率，这里选取T_atom=2T=7 s为宜，同时，为实现与GOCE静电式重力梯度仪的测量精度在同等情况下进行对比，这里梯度测量基线长度依然选取l_i=0.5 m，则根据 (12) 式，星载原子干涉重力梯度仪单次测量的分辨率可达到ΔV_ii=0.32 mE.

考虑完成一次干涉测量的时间约为T_atom=7 s，则星载原子干涉重力梯度仪的潜在测量灵敏度约为

(14)

另外，若要进一步提高空间测量灵敏度，发挥冷原子测量的最佳性能，在微重力环境下，可考虑进一步降低温度将原子冷却至玻色-爱因斯坦凝聚体 (BEC)(van Zoest et al., 2010；Le Coq et al., 2012；Müntinga et al., 2013；Rudolph et al., 2015)，在该状态下原子之间不再独立，具有一定的相干性，此时相移分辨率直接反比于原子数目N，即δ(Δφ)≈1/N (Maleki et al., 2004).对于⁸⁷Rb原子而言，BEC状态下的凝聚原子数N可达10⁶(Sorrentino et al., 2010；Müntinga et al., 2013)，那么在l_i=0.5 m的测量基线长度下，星载原子干涉重力梯度仪的潜在测量灵敏度有望达到

(15)

3.3 小结

由上述分析可知，原子干涉重力梯度仪的极限测量灵敏度主要取决于相位差测量噪声以及激光脉冲时间间隔.相位差测量噪声根本上受限于量子投影噪声 (主要取决于原子数N)，微重力环境下不受1 g重力加速度影响，原子处于悬浮状态，激光脉冲间隔时间T可以增大2个量级甚至更多，因此在空间中测量优势显著，潜在测量灵敏度可望达到0.03 mE/Hz^1/2，如表 2所示.

值得说明的是，要达到如此高的星载测量灵敏度，一方面，需加强对原子干涉重力测量自身的噪声抑制，如Raman光相位噪声、探测噪声等，另一方面，原子干涉重力测量对卫星平台振动、背景磁场等环境干扰较为敏感，其中卫星平台振动可通过共模抑制降低影响，背景磁场需考虑磁场梯度带来的差分测量误差，尤其是卫星飞行过程空间磁场变化和卫星平台的剩磁影响.

4 星载重力梯度仪恢复重力场精度评估

星载重力梯度仪作为卫星重力梯度测量的核心载荷和主要噪声源，其测量精度直接决定了地球重力场能够恢复的最大阶数.由前文分析可知，静电式和原子干涉式的星载梯度仪的潜在测量精度分别可望达到0.3 mE/Hz^1/2与0.03 mE/Hz^1/2.基于直接误差解析法 (Cai et al., 2013)，我们分别对这两类梯度仪恢复重力场的预期精度进行了对比评估.仿真中数据周期为6个月，频带内梯度仪测量噪声均设为白噪声，得到重力场位系数的误差阶方差如图 4所示.

可以看出，对于静电式的重力梯度仪而言，其0.3 mE/Hz^1/2的潜在测量精度可使重力场恢复阶数由现在的200阶提升至315阶，对应重力场测量空间分辨率由现有的100 km提升至63 km.对于原子干涉式的重力梯度仪而言，其在空间具有更高的潜在灵敏度，可将重力场恢复至372阶，对应重力场测量的空间分辨率约为54 km，有望完善200~400阶 (对应空间分辨率50~100 km) 的全球重力场模型，如表 3所示.

5 总结与展望

提高卫星重力梯度测量精度关键是提升核心载荷星载重力梯度仪的分辨率.本文分别讨论了技术成熟的静电重力梯度仪与国内外正在发展的星载原子干涉重力梯度仪的潜在测量精度，得出以下结论，并给出未来卫星重力梯度测量载荷的发展建议：

(1) 静电重力梯度仪的测量精度从根本上受限于加速度计敏感探头的机械热噪声以及ADC的输出噪声，通过对核心部件静电加速度计敏感探头以及动态范围的改进设计，在250 km的轨道高度，静电重力梯度仪的潜在测量精度可达0.3 mE/Hz^1/2，可望将重力场模型精度提升至315阶 (对应空间分辨率63km).

(2) 尽管静电重力梯度仪理论上的潜在测量精度可达0.3 mE/Hz^1/2，但其实际工程研制难度较大，GOCE卫星发射前，静电重力梯度梯度仪的指标几经修改，而发射后的运行数据表明其在轨也并没有达到预期的设计指标.而原子干涉型的重力梯度仪在空间具有较高的潜在测量灵敏度，且利于星载设备的小型化设计，初步分析表明，在0.5 m的测量基线长度下，原子干涉重力梯度仪在空间中的潜在测量灵敏度将达到0.03 mE/Hz^1/2，有望将全球重力场恢复至372阶 (对应空间分辨率54 km).因此我们建议可考虑发展原子干涉型的星载重力梯度仪，为未来开展更高精度的卫星重力测量、完善50~100 km空间分辨率的全球重力场模型提供另一种可能的技术途径.

致谢 感谢华中科技大学周泽兵教授、胡忠坤教授与作者的讨论和给予的帮助.